1.8 三角函数的简单应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

世数学B5) 10.解：由√3-tanx≥0，并结合图 象可求定义域，进而可求值域. 作出函数y=tanx在 3 (受受)上的因，如图 0 所示 因为√5-tanx≥0，所以tanx <,结合图易得x一受<x ≤kπ十号(k∈Z),显然有≥0， 故所求画教的定义城为(kr受x+吾]∈》， 值域为[0，十o). 11.解：(1)，90°<167°<173°<180°， 又y=tanx在90°<x<270°范围内是增函数， ,∴.tan167°<tan173. 4 13g tan 5 a(-)=-anl .2π 增函数， l2.解：作出函数y=tanx,x∈ (受受)的图象，如国所示 )在(-受，受)内，满足anx≤引-月 -1的x的取值范国为一受<≤ 一工，结合画数图象， 可知tanx≤一1的解集为 {红R一吾<x-于，k∈Z (2)由tamx≥-1，得x-牙≤x<受+km,k∈Z 由kx-晋<2红-君<kx十受ke经-员≤x< 经+吾ke7 an(2x-晋)≥-1的解集为 13.解：(1)由题意知正切函数图象与x轴相邻两交点的距 离为一个周期，得函数f(x)的最小正周期T=受，即 品受 因为w>0,所以w=2,所以f(x)=tan(2x十p). 因为画教)一)的图象关于点M(-后0）对称， 所以2x(晋)十g-受：ez.中-经+导e乙 因为0<g<受，所以g=季.故f)=am(z+晋)月 (2)由1)知，fx)=tam(2x+牙）】月 将2x十于看成一个整体，代入正切函数的单调区间。 ·13 必修第二册 所以画载的单调递增区间为（一警+经吾+经） ∈Z,无单调递减区间. (3)由1)，知fx)=tan(2红+牙) 由-l≤an(z+)5,得-子+红≤2红+牙≤ k∈Z. 所以一1≤f(x)≤√3的解集为 14.解：山)由c0sx≠0，得x≠kx十受（∈Z, 所以函数f()的定义域是{红x≠π十乏，∈Z (2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原，点对称， 因为f(一x)= sin(-x) 一sin工=-f(x), cos(-x)cos 所以f(x)是奇函数. tan z,2 (3)f(x)= tan,-≤K-受或受<x≤， 所以f(x)在[一π，π]上的图象如图所示， YA - 0 §8.三角函数的简单应用 1.D2.D3.C4.C5.BC 6.ACD[建立如图所示的 平面直角坐标系，设(0≤ <2π)是以x轴的非负半 轴为始边，OP。(P。表示，点 P。 P的起始位置)为终边 的角， 由点P的起始位置在最高 0 π 点知，p=之： 又由题知OP在tmin内 转过的角为品，即酷所以以x轴的非负半轴为始边， OP为终边的角为器十受，即点P的纵坐标 为40sim(号+受）， 所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系 式是A)=50+40sin(酷+受）=50+40c0s恶 当t=10时，h=50十40cosπ=10，A正确：当转速减半 17元 时，周期是原来的2倍，B错误；h(17)=50+40c0s10 50十40c0s语h(43)=50十40c0s05=50十40c0s语 10 C正确：由A()=50+40c0s器>70，得0s器≥号，所 πt1 以2x吾≤号≤十子eZ.即20-号≤1≤20 6 参考答案 ，k∈乙，因此一个周期内高度不低于70m的时间为 + 号min,DE境，故选ACD.] 7.解析：不妨设y=Asin(wx十p)(其中A>0,w>0).由题 知A=4,周期T=,所以0=2祭=2.当x=0时，y=2, T 且小球先开始向上运动，所以g=2x十晋k∈乙，不坊 取g=百，故所求关系式可以为y=4sim(2z+吾)月 答案：y=4sin(2x+若)（答案不唯一） 8.解析：由A十60=80，得A=20. 因为当1=150时油价最低，所以150x十晋=-受 k1 2kx,k∈Z,即u=方200，又0>0，所以当k=1时，0 取得最小值，此时w=7方一200-120 11 答案：20 120 9,解析：根据图象，知（合0）（侣0）两点的距离附好是 是个周期所以子T=吕吉=是 1113 所以T=1,则。=2票=2.周为当=。时，画教取得最 大值，所以2π 日十9=吾+2x,k∈Z.又0<g<受， 所以9=吾，因为1=0时，s=3,所以A=6,所以s 6sin(2t+看）月 答案：6sim(2m+晋） 10.解：(1)过P作x轴的垂线（图略），垂足为M,则MP就 是正弦线， y=rsin(ot十g),因此周期T=西 (2)当9= 若=仙=1时，y=in(十若）其图可由 y=sint的图象向左平移交个单位长度得到，如图 6 所示. y 4π 11π 6 6 0 5元T 2ni -1 3 6 11.解：(1)如图所示，设t时 刻蚂蚁爬到A点，连接 OA,过点A作AB⊥OP。, 因为蚂蚁爬行一圈需要4 分钟，所以在t时刻所转 过的圆心角为∠BOA= 平= 4 在Rt△OBA中， 地面 OB=cos 所以h=1.5-c0s受4 (2h=l5-o受>1pos1<号→号<受<号 3 →号<号则特续时为号号号〔分钟>. ·18 课时作业乡 12.解：(1)设该函数为f(x)=Asin(x十p)十B(A>0,w> 0,0<<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是 12;由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)一f(2)= 400,故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2,8]上 单调递增，且f(2)=100,所以f(8)=500. 根据上迷分新可得，石=12，故。-晋，且 {AB三100解得{A=200, {A+B=500, 1B=300. 根据分析可知，当x=2时，f(x)最小，当x=8时，f(x) 最大，故sin(2×6十g)=-1,且sin(8×6十p)=1. 又周为0<9<，所以p=一船 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x) =20sin(-)十30， -5 (2)由条件可知，20sin(后x-晋）十30≥40.化简得 m(一晋）≥即x+吾≤若-晋≤2 6 晋k∈Z,解得12k十6≤≤12k+10,k∈Z 因为x∈N,且1≤x≤12，所以x=6,7,8,9,10,即在6 月、7月、8月、9月、10月均要准备400份以上的食物， 13.解：(1)散点图： Y 13 10中 7 0 6 91215182124 由数据知函数y=f(t)的周期T=12, 振幅A=3k=10u=得-晋 ∴y=3sin晋+10(0≤≤24). (2)由题意可知，该船进出港时，水深应不小于5十6.5 =11.5(米). 1 3sin若1+10≥1.5，脚sin吾≥2 2kx+若<名1≤2kx+号x,k∈z ∴.12k十1t12k十5，k∈Z. 在同一天内，取k=0或1， 此时，1≤t≤5或13≤t≤17. .该船最早在凌晨1时进港，5时出港，或中午13时进 港，下午17时出港，最多在港口停留8小时. 14.解：1)由题意知画数，y=f0=sin(子十看）≥0， 所以f0)=sn吾= 1 (2)根据题意列表： 0 1 2 2 6 π π 3π 31 6 6 2π 6 2 1 0 0 1 2 7 世数学B5) 描点、连线，作出函数f(t),0≤t≤6的简图，如图所示。 y 3(3)>f(）)>()月 第二章平面向量及其应用 §1.从位移、速度、力到向量 1.D 2.D 3.ABC 4.D 5.ACD 6.ABC[对于A,向量平行时，表示向量的有向线段所在 直线可以重合或平行，故A正确.对于B,a=b≠ 0,.a,b都是非零向量，a∥b,.a与b方向相同或相 反，∴a=b或a=一b.故B正确.对于C,向量AB与向量 BA方向相反，但长度相等.故C正确.对于D,单位向量 除了长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等且方 向相同.故D错误.故选ABC. 7.②③ 8.解析：连接AC(图略)，由OC1=OB|,得∠ABC= ∠0CB=30,又∠ACB=90°，则C=3A店=合× 2=1. 答案：1 9.解析：由题易知AC⊥BD,且∠ABD=30°， 所以向量AB与BD的夹角为150°. 答案：150° 10.解：(1)与AO相等的向量为：OC,BF,ED (2)与AO共线的向量为：OA,OC,CO,AC,CA,ED,DE BF,FB. (3)向量AO与CO不相等，因为AO与CO的方向相反，所 以它们不相等. 11.解：(1)如图所示： C (2)连接DA,由于CD方向是正 北 东，模长为250m,AB方向是正 西，模长为250m,所以CDL AB,因此四边形ABCD为平行西 东 A 四边形，所以|DA|=BC|= 南 450m,即DA的模为450m. 12.解析：根据题意画出示意图（图略）.由题意可知，AB =100,BC=100,∠ABC=45°+15°=60°，.△ABC 为正三角形，.CA=100,即此人从C点回到A点所 走的路程为100m.又易知此人行走的方向为西偏北 15°，所以此人从C点走回A,点的位移为沿西偏北15°， 长度为100m. 答案：沿西偏北15°，长度为100m 13.解：(1)AD=BC,且AD与BC不平行. 因为AB∥CD,所以四边形ABCD为梯形或平行四边 形.若四边形ABCD为等腰梯形，则AD=BC,同 时两向量不平行， (2)AD=BC(或AD∥BC). 若AD=BC,即四边形的一组对边平行且相等，此时四 边形ABCD为平行四边形. ·18 必修第二册 14.解：(1)证明：因为AB=6,AD=1,所以BD=5,又DE =3,BE=4, 所以DE十BE=BD,所以△DBE是直角三角形， ∠DEB=90°. 因为AB为直径，所以∠ACB=90. 所以AC∥DE,故AC∥DE. (2)因为AC∥DE,所以△ABC△DBE, 所以品品申S 3 5· 解得AC=竖即d=9 (3)向量DE与向量AB的夹角即向量DE与向量DB的夹 角∠EDB,丙cs∠BDB=B票=是，所以向量D与向 量A店夹角的余孩值为号。 §2.从位移的合成到向量的加减法 2.1向量的加法 1.D2.B3.C4.C5.AC 6.CD[①满足向量加法的交换律与结合律，①正确.AB 十BA=0,②不正确.DC+AB+BD=DC+(AB+BD) =DC+AD=AD+DC=AC,③正确.] 7.08.2√2 9.解析：易知AB+BC1=AC1=1,以AB,AC为邻边作 平行四边形ABDC,则AB+AC1=|AD=2ABX sn60=2X1X9-反 答案：1√ 10.解：1)DG+EA+CB=GC+BE+CB=G元+CB+BE -GB+BE=GE; (2)EG+CG+DA+EB=EG+GD+DA+AE=ED+ DA十AE=EA十AE=0. 11.解：AB,BC分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞 行800km,从B地按南偏东55的方向飞行800km,则飞 机飞行的路程指的是AB十BC; 两次飞行的位移的和指的是AB十BC=AC 依题意，有AB|+BC=800十800=1600(km), 又a=35°，8=55°，∠ABC=35°+55°=90°， 所以ACAB?+BC √/800+800=800√2(km). 其中∠BAC=45°，所以方向为北偏东35°十45°=80°. 从而飞机飞行的路程是1600km,两次飞行的位移和 的大小为800km,方向为北偏东80. 12.解：(1)在平面内任取一点O,作OA= D a,AB=b,BC=e,CD=d,OD=a 十b+c+d. (2)在平面内任取一点O,作OA=a, AB=e,则a十e=OA十AB=OB,因为e为单位向量， 所以点B在以A为圆心的单位圆上（如图所示）， B a 0 由图可知当点B在点B1时，O,A,B1三点共线，OB 即a十e最大，最大值是3. 8第一章三角函数 数课时 §8.三角因 学作业 基础过关 JI CHU GUO GUAN 1.一根长lcm的线，一端固定，另一端悬 挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置 的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式 是=8o月+ ,其中g是重力加 速度，当小球摆动的周期是1s时，线长 1等于 ( A是 B器 c D. 2.如图，单摆从某点开始 auliuuguiuiu 来回摆动，离开平衡位 置O的距离s(cm)和时 间t(s)的函数关系式为 6sin2+答)，则单 摆摆动一个周期所需的时间为( A.2πs B.πs C.0.5sD.1s 3.商场人流量被定义为每分钟通过入口 的人数，五一期间某商场的人流量满足 函数F()=50+4sim克（≥0），则在下 列时间段内人流量增加的是 A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15 D.[15,20 4.下表是某市近30年来月平均气温（℃） 的数据统计表： 月份12 3 4 6789101112 月平均 温℃)5.a2.29.31.120.32.82.218.21.9.3-2. 则适合这组数据的函数模型是( A.y=acos 6 B.y=acos (x-1)π+k(a>0,k>0) 6 C.y=-acos (x-1)π 6 +k(a>0,k>0) D.y=acos 兀x一3 5.(多选)如图所示是一质点做简谐运动 的图象，则下列结论正确的是( ·31 课时作业乡 函数的简单应用 间 纠错空间 ↑ylcm 0.20.40.6 /0.8 -0.10 0.10.3 0.5 70.7 t/s -5 A.该质点的运动周期为0.7s B.该质点的振幅为5cm C.该质点在0.1s和0.5s时运动速度 为零 D.该质点在0.3s和0.7s时运动速度 为零 6.(多选)如图，摩天 轮的半径为40m, 其中心O点距离 地面的高度为 40 50m,摩天轮按逆 方法总结 时针方向匀速转 动，且20min转一圈，若摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，则摩天轮转动 过程中，下列说法正确的是 ( A.经过10min点P距离地面10m B.若摩天轮转速减半，则其周期变为原 来的 C.第17min和第43min时P点距离 地面的高度相同 D.摩天轮转动一圈，P点距离地面的高 度不低于70m的时间为号 min 7.如图所示，弹簧下挂着 的小球做上下振动.开 000000 始时小球在平衡位置 初始位置 上方2cm处，然后小球 平衡位置 先向上运动，小球的最 高点和最低点与平衡位置的距离都是 4cm,每经过πs小球往复运动一次，则 小球离开平衡位置的位移y(cm)(假设 向上为正)与振动时间x(s)的关系式可 以是 世数学(B5 8.国际油价在某一时间内呈现正弦波动 间 规律：P=Asn(ot十)十60（单位：关 元/桶，t为天数，A>0,w>0).现采集 纠错空间 到下列信息：最高油价80美元/桶，当 t=150时，油价最低，则A的值为 ,w的最小值为 9.有一小球从某点开始 s/cm 来回摆动，离开平衡位 置的距离s(单位：cm) 关于时间t(单位：s)的 11 函数解析式是s= 6 Asin(@t+o),0 多，函数图象如图所 示，则函数的解析式为s= 10.将自行车支起来，使 后轮能平衡地匀速 转动，观察后轮气针 的运动规律，若将后 轮放入如图所示的 坐标系中，轮胎以角 速度wrad/s做圆周 方法总结 运动，P。是气针的初始位置，气针（看 作一个点P)到原点O的距离为r (1)求气针P的纵坐标y关于时间 t(s)的函数解析式，并求出P的运动 周期； (2)当9= 吾，=0=1时，作出其 图象. 11.如图，一只蚂蚁 绕一个竖直放 置的圆逆时针 匀速爬行，已知 圆的半径为 1米，圆心O距 P 离地面的高度 地面 3 必修第二册 为1.5米，蚂蚁爬行一圈需要4分钟， 且蚂蚁的起始位置在最低点P。处. (1)试写出蚂蚁距离地面的高度h(米) 关于时刻t(分钟)的函数关系式； (2)在蚂蚁绕圆爬行一圈的时间内，有 多长时间蚂蚁距离地面超过1米？ 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺 设置了一个专门安排游客住宿的客 栈，寺庙的工作人员发现为游客准备 的食物有些月份剩余不少，浪费很严 重，为了控制经营成本，减少浪费，就 想适时调整投入.为此他们统计每个 月入住的游客人数，发现每年各个月 份来客栈入住的游客人数会发生周期 性的变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，入住客栈的游客 人数基本相同； ②入住客栈的游客人数在2月份最 少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人， 随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一 年中入住客栈的游客人数与月份之间 的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以 上的食物？ 第一章三角函数 课时作业乡 13.受日月的引力，海水会发生涨落，这种 素养培优 SU YANG PEI YOU 现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨 14.如图是半径为1m 间 潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮 的水车截面图，在它 时返回海岸，某港口水的深度y(米)是 纠错空间 的边缘圆周上有一 时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数， 动点P,按逆时针方 记作：y=f(t),下表是该港口在某季 节每天水深的数据： 向以角速度号rad/s (小时)03691215182124 (米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0 (每秒绕圆心转动于rad)做圆周运动， 经过长期观察，y=f(t)的曲线可以近 已知点P的初始位置为P。,且 似地看作函数y=Asin wt-十k的图象. ∠OP。=吾，设点P的纵坐标y是转 (1)根据以上数据，作出这些数据的散 动时间t（单位：s)的函数，记为y 点图，求出函数y=f(t)的近似表 达式 =f(t). (2)一般情况下，船舶航行时，船底离 (1)写出函数y=f(t)的解析式，并求 海底的距离为5米或5米以上时认为 的值； 是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰 (2)选用恰当的方法作出函数f(t), 到海底即可)，某船吃水深度（船底离 0≤t≤6的简图； 水面的距离)为6.5米，如果该船想在 方法总结 同一天内安全进出港，问它至多能在 (3)试比较 )r))的大 港内停留多长时间（忽略进出港所需 小（直接给出大小关系，不用说明理 时间)？ 由) ·33·