1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的基本定义（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学s)·必修第二册 ● 随堂。步步夯实 1.已知a=一3rad.则a是 ( 5.已知a=-800° A.第一象限角 B.第二象限角 (1)把a改写成3+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形 C.第三象限角 D.第四象限角 式，并指出α是第几象限角； 2.将一300°化为弧度数为 ( ②求x使y与a的终边相同，且（受)】 A B. c. 7 D.- 7π 3.角25是第 6 象限角 4.如图，扇形AOB的面积是1， 它的弧长是2，则扇形的圆心 角a的弧度数为 ;弦 AB的长为 C温馨提污 学习至此，请完成配套训练 §4.正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课程标准 素养解读 1.了解单位圆与正弦函数、余弦函数的关系 通过学习三角函数的定义培养学生直观 2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义 想象和数学抽象素养 课前。预习学案 -● [情境引入] P(u,o),那么点P的纵坐标v是角a的正弦 如图，如果一个锐角α的终边与单位圆的 函数值，记作v= ;点P的横坐标u 交点是P(,v),根据初中所学在直角三角形 是角α的余弦函数值，记作u= 中正弦、余弦、正切的定义，你能否用点P的坐 2.对正弦函数、余弦函数定义的理解 标表示sina,cosa,tana？这一结论能否推广 ①定义中，α是一个任意角，同时它也可以是 到α是任意角时的情形呢？ 一个实数（弧度数）. ②角a的终边与单位圆O交于点P(u,v),实际 上给出了两个对应关系，即 对应 实数a(弧度)对应于点P的纵坐标v一正弦， 。对应 实数α（弧度）对应于点P的横坐标u 余弦. ③三角函数可以 用 [知识梳理] 看成以实数为自 对 多对 [知识点一]正弦函数、余弦函数的定义 变量，以单位圆上 1.定义：如图，在直角坐标系 P(u)1 y 的点的坐标为函 实数 三角函数值 多对 中，给定单位圆，对于给定的 数值的函数.角与 任意角a,使角a的顶点与原 实数是一对一的.角和实数与三角函数值之间 点重合，始边与x轴正半轴 是多对一的，如图所示。 重合，终边与单位圆交于点 ④sina是一个整体，不是sin与a的乘积，单 独的“sin”“cos”是没有意义的. ·10 第一章三角函数 五维课堂乡 [知识点二]正弦函数与余弦函数的定义拓展 2.对于确定的角α，请问三角函数的结果会随点 2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义，实际上， P在α终边上的位置的改变而改变吗？ 我们可以把定义进一步拓展，通过角的终边上 任意一点的坐标来定义正弦函数、余弦函数. 设a是一个任意角，a的终边上任意一点P的 坐标是(x,y),它与原点的距离是r (r=√Jx2+y2>0),如图 3.若sina>0,则角a的终边在第几象限？ α角的终边 a角的终边y Px,y） r P(x,y) 0 O 0 ② 4.若sina=sinB,则a和3是什么关系？ y↑ 0 P(x,y)r P(x.y) a角的终边 a角的终边 ③ ④ 那么，比值y叫作a的正弦，记作sina,即sina [预习自测] =之：比值叫作a的余弦，记作cosa,即cosa 1.已知角a的终边与单位圆交于点 43) 则cosa= r B.-号 c.- D.- 3 2思考1.终边在坐标轴的角α的三角函数值 分别是什么？ 2.者。=学则。的终边与单位圆的交点P的坐 标是 13 2’2 C. 22 3.sin510°= 课堂。互动学案 题型一己知角α终边上二点的坐标求三角函数值 规律方法 已知角α终边上任意一点的坐标求三角 [例1]在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴 函数值 为角的始边，如果角α，3的终边分别与单位圆 在a的终边上任选一点P(x,y),设P到 交于点侣)和 34 55 ,那么sin acos B-= 原点的距离为r(r>0,则sina=兰 ( cosa=号.当已知a的终边上一点求。的 A.一 36 司 三角函数值时，用该方法更方便， ⊙[变式训练] c青 D器 1.设a<0,角a的终边与单位圆的交点为 P(-3a,4a),那么sina+2cosa的值等于 汇思路点拨了“依三角函数的定义求解 ( ) [尝试解答] A号 R一号 cD.- ·11 世五维课堂 数学s)·必修第二册 题型二利用正弦、余弦函数定艾求参数的值] 题型三正弦函数、余弦函数定义的综合应用 [例2]已知角a的终边过点P(-3a,4a)(a≠0)，求 [例3]已知角a的终边在直线y=2x上，求 2sina十cosa的值. sina,cosa的值. 汇思路点拨]根据点P的坐标，求出点P 汇思路点拔]注意讨论角的终边所在象限. 到原点O的距离|OP|,再根据定义求出 sina,cosa的值，计算时要注意讨论a的 正负 规律方法 已知角α的终边在直线（或射线）上的问题 时，常用的解题方法有以下两种： 解法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆 的交点P的坐标，然后利用定义得出该角 规律方法 的正弦、余弦、正切值。 利用正弦函数、余弦函数的定义，求一个 解法二：第一步，取点：在角α的终边上任 角的正弦函数、余弦函数，需要确定三个 取一点P(x,y),(P与原点不重合)， 量：角的终边上任意一个异于原点的点P 第二步，计算r:r=|OP|=√x2十y2, 的横坐标x、纵坐标y和点P到原点的距 离.特别注意，当点的坐标含有参数时， 第三步，求值：由sina=,osa=求值， 应分类讨论： ◇[变式训练] ⊙[变式训练] 3.若角a的终边与直线y=3x重合且sina<0,又 2.已知角x的终边上一点P(m,√3)，且c0sa= P(m,n)是a终边上一点，且OP=√/10，则m一 F则m n= 随堂。步步夯实 1.角a的终边经过点P(-b,4)且cosa=一 :则6 5.在平面直角坐标系的单位圆中，已知a=8 的值为 ( (1)画出角a; A.3 B.-3 (2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； C.±3 D.5 (3)求出角a的正弦函数值. 2.如果a的终边过点(2sin30°，一2cos30°)，那么 sin a= () 1 A.2 R c号 D.~③ 2 3.已知角0的顶点为坐标原点，始边为x轴的正 半轴，若P(4,y)是角0终边上一点，且sin0= 25,则y一 C温馨提 4.已知角a的终边经过点(3a-9,a十2)且sina>0, 学习至此，请完成配套训练 cosa≤0，则实数a的取值范围是 ·12·巴五维课堂 故a1=一 号，=管a的终边在第二象限a,的锋边在 第一象限， 28=警-号×180=108 5 A=-=-×180°=-609. 3 3 设6=108°十k1·360°(k,∈Z), 02=-60°+k2·360°(k2∈Z), 令-720°≤01≤-180°，-720°82≤-180°， 即-720°108°十k1·360°-180°(k1∈Z), -720°≤-60°+k2·360°≤-180°(k2∈Z), 得k1=-2或k1=一1，k2=一1. 故在[-720°，一180门内，与月终边相同的角是一612°和 一252°，与月终边相同的角是-420°. [例3][解](1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角 为所以丰径，=1一2区 sin号 3 所以这个圆心角所对的孤长1=25×红=45西 31 3 9 （2)由1得扇形的面积S=之×25×45_ 3 9 变式训练 3(1)解折：因为135-10-子，所以扇彩的半径为经=4， 3π 面积为2×3mX4=6元 答案：46π (2)解：设扇形的圆心角为日，半径为r,孤长为1，面积为S, 则l十2r=40,所以1=40一2，， 所以s=合-合X40-2nr10D牛100 所以当半径r=10cm时，扇形的面积最大，最大值为 100cm2,这时9=-40-2X10=2rad. 10 随堂步步夯实 1.C[:-x<-3radK-受-3rad是第三象限角.] 2B[-300=-300×1总0=-爱] 3解折：警=晋十4要与吾的终边相同， 6 :25严是第一象限角. 6 答案：一 4.解析：设扇形半径为r,则 ar=1·解得=2， (ar=2, r=1. AB的长为2rsin受=2sin1. 答案：22sin1 5.解：(1)-800°=-3×360°+280°，280°=14元 9π， a=-800=14x+(-3)X2元. 9 :Q与14的终边相同，a是第四象限角. 9 (2):与a终边相同的角可写为2kx十1售，k∈7的形式，而 y与。的终边相同7=2kx+号，k∈Z 又（受，2)受<2x+g<受kez 解得=-1y=-2十1号=一祭 ·2 数学s·必修第二册 §4.正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课前预习学案情境引入 提示：u=sina,u=c0sa, 知识梳理知识点一 1.sin a cos a [思考] 1.提示：a终边在x轴非负半轴时，sina=0,cosa=1; a终边在y轴非负半轴时，sina=l,cosa=0; a终边在x轴非正半轴时，sina=0,cosa=一1； a终边在y轴非正半轴时，sina=一1，cosa=0. 2.提示：不会，三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆 上点的坐标（坐标的比值）为函数值的函数；三角函数值只与 角α的大小有关，即由角a的终边位置决定， 3.提示：因为sina>0,所以角a的终边除了在第一或第二象 限，还有可能在y轴的正半轴上 4.提示：正弦值相等，但两角不一定相等，如sin60°=sin120°， 但60°≠120°. 预习自测 1.B2B8合 课堂互动学案 [例1][解析]B[,角a,3的终边与单位圆分别交于点 (号是)（子） 5 故由定义知sina=i3,cosB=- 3 5 变式训练 1.A「.点P在单位圆上，则OP=1. 即V-3a)中(4a产=1，解得a=±行 a<0,∴.a=-5 P点的标为（停号） 0sa= 4 .'sin a=- [例2][解]因为点P的坐标为(-3a,4a)(a≠0)，原，点 为O, 所以r=OP=√(-3a)+(4a)'=5a. i.当a>0时，则r=5a,角a在第二象限，sina=义=4如 r 5a =8-3 ,4,c0sa=工=3a=一，所以2sina十cosa=5一局 5a =1. i,当a<0时，则r=一5a,角a在第四象限， 所以2sinacosa=-+=-1. 综上所述，2sina十cosa=士1. 变式训练 2.解析：由题意得x=m,y=√3， .r=OP=√m+3, cosa= m r √m'+3 0,很明显m>0, 4 解得m=√5. 答案：w5 [例3][解]设直线y=2x与单位圆x2十y2=1的交点分 别为A(x1y),B(x2y). 2 参考答案 5 电{十=1得 Z1= x=- 51 (y=2x, 25 5 5 5 ①当角a的终边在第一象限时，c0sa=x1= sin a=y215 5 ②当角α的终边在第三象限时， 5 cos a=x2= ,sin a=y:=215 5 51 变式训练 3.解析：因为y=3x,sina<0,所以点P(m,n)位于y=3x在第 三象限的图象上，且m<0,n<0,n=3m. 所以OP=√m十n=√10m=-√10m=√10. 所以m=-1,n=-3,所以m-n=2. 答案：2 随堂步步夯实 1A[r=VB+16,0sa=二b= -b √62+16 =3.] 2.D[依题意可知点(2sin30°，-2cos30),即(1，-√3)，则r =√P+(-B)=2,因此sina=义=-5.] r 2 3.解析：因为sin0=- y 4+y 5 所以y<0,且y2=64,所以y=-8. 答案：一8 4.解析：因为点(3a-9,a十2)在角a的终边上，sina>0,cosa ≤0，所以{。.年得-2<a8 答案：-2<a≤3 5解：1D周为a=号=2x+号x 8 所以角ú的终边与号无的路边相同。 以原，点为角的顶点，以x轴非负半轴为 M 角的始边，逆时针花转号，与单位国交 于点P,则角a如图所示. (2)因为a=号x,所以点P在第二象限，由(1知∠A0P 经，进点P作PMLr轴于点M 则在R△OMP中，∠OMP=,∠MOP=牙，OP-1, 由直肩三商形的边肩关系：得OM=宁MP-9。 所以点P的生标为（合号） (3)根据正孩画数的定义有sin3=乞 4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课前预习学案情境引入 提示：当a在第一象限时，sina>0,cosa>0;当a在第二象 限时，sina>0,cosa<0;当a在第三象限时，sina<0,cosa <0;当a在第四象限时，sina<0,cosa>0. 知识梳理[思考] 1.提示：不可以，y=sinx的最大值是1， 2.提示：当a=2kx十受k∈乙，正孩函教0=sina取得最大值1：当 。=2kx一受，k∈Z时，正孩通数u=sina取得最小值-1 ·2 五维课堂色 3提示：这两个角的终边不一定相同，加sina=sin月=子，则 有可能是a=30°，3=150° 4.提示：由三角函数定义可知，三角函数在各象限的符号由角 α终边上任意一点的坐标来确定， 预习自测 1.C2.D3.0 课堂互动学案 [例1][解](1)由y=4一cosx知定义域为R. (2)由题意知2sinx十1≥0，即sinx≥- 在周期 2 [一三]内满足上选条件的角为x【晋得]由此 可以得到西数的定义城为[2一吾，2x+晋]∈D. (3)由2十c0sx≠0知c0sx≠-2， 又由cosx∈[-1,1]，故定义域为R (4)由题意知sinx>0.又y=sinx在[0,2π]内，sinx>0满 足0x<π，所以定义域为(2kπ，2kπ十π)(k∈Z) 变式训练 1.解：(1)要使y=√c0sx有意义，可得c0sx≥0，解 得{红-5+2km≤x≤受+2km,k∈Z} (2)要使y=lg(2sinx-1)有意义， 可得2sinx-1>0,即sm>2, 解得{吾+2x<<号+2e7☑ (3)要使y=1于sn有意义，可得sinx≠一-1， 所以函数的定义城为：{红x≠-受十2π，k∈Z} [例2][解析]在单位圆中，当x由-元到否时，sinx由0 减小到-1，再由一1增大到分所以它的单调增区间为 [一受，香]单调减区间为[-，登] [答案] [-登][-x-] 变式训练 2.解：由余弦函数u=cosx的单调性可知， y=c0sx一4在区间[2kπ一π，2kπ](k∈Z)上单调递增，在区 间[2kπ，2kπ十π](k∈Z)上单调递减. [例3][解]因为正孩画教=sinx在区问[-否，受]上 单调递增，在区问[受，]上单调递减，且sim(晋) 血所以=在=一吾时取最小位 1 ，在x=受时取最大值1.故y=-3nx十1在 [一后]上的最大值是-3×()十1=号，最小值是 -3×1+1=-2. 变式训练 3.解：由余弦函数u=cosx的基本性质可知函数y=2c0sx 4当x=2kπ(k∈Z)时，取最大值为一2；当x=2kπ十π(k∈Z) 时，取最小值为一6，所以值域为[一6，一2]. [例4][解](1)，191°是第三象限角， .sin191°0，c0s191°0， .sin191°+cos191°0. (2):受<2<，受<3<，<4<经。 2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角. .',sin 2>0,cos 3<0,sin 4<0. .∴.sin2cos3sin4>0. 3