1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的基本定义（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

解：(1)根据题意，可得l屁=x0m,l布=100m. 因为BA十CD+lR+l和=30， 所以(10-x)+(10-x)+x0+100=30, 所以0=21+10(0<x<10). x+10 (2)根搭题意，可知y一Sa0m一Sa=合9X 1o2-2x, §4.正弦函数和余弦 4.1单位图与任意角的 课程标准 1.了解单位圆与正弦函数、余弦函数的关系 2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义 课前® [情境引入] 如图，如果一个锐角α的终边与单位圆的交点 是P(,v),根据初中所学在直角三角形中正弦、余 弦、正切的定义，你能否用点P的坐标表示sina, cosa,tana？这一结论能否推广到a是任意角时的 情形呢？ 提示：v=sina,u=cosa. [知识梳理] [知识点一]正弦函数、余弦函数的定义 1.定义：如图，在直角坐标系中，给 P(u)1y 定单位圆，对于给定的任意角Q, 使角α的顶点与原点重合，始边 与x轴正半轴重合，终边与单位 -1M 圆交于点P(u,o),那么点P的 纵坐标v是角a的正弦函数值， 记作o=sina;点P的横坐标u是角a的余弦函数 值，记作u=cosa. 2.对正弦函数、余弦函数定义的理解 ①定义中，α是一个任意角，同时它也可以是一个 实数（弧度数）. ②角a的终边与单位圆O交于点P(u,v),实际上 给出了两个对应关系，即 实数（弧度）对应于点P的纵坐标对度正弦， 实数a(孤度)对应于点P的横坐标u对应余弦. ·1 第一章三角函数 化简得y=-x2十5.x十50=- （-)+四 所以当x= （满足条件0<10）时。 yn225 4 因此，当x= 号时，铭牌的减面西积最大，且最大 面软为2空m。 鱼数的概念及其性质 正弦函数、余弦函数定义 素养解读 通过学习三角函数的定义培养学生直观想象和 数学抽象素养 预习学案 对应学生用书P10 ③三角函数可以看 成以实数为自变量， 对 多对一 以单位圆上的点的 坐标为函数值的函 实数 三角函数值 数.角与实数是一对 多对 一的.角和实数与三角函数值之间是多对一的，如 图所示. ④sina是一个整体，不是sin与a的乘积，单独的 “sin”“cos”是没有意义的. [知识点二]正弦函数与余弦函数的定义拓展 2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义，实际上，我们 可以把定义进一步拓展，通过角的终边上任意一点 的坐标来定义正弦函数、余弦函数. 设a是一个任意角，a的终边上任意一点P的坐标 是(x,y),它与原点的距离是r(r=√x十y>0), 如图 a角的终边 a角的终边y /Px,) Px,y） 0 0 ② y 0 P(x,y)r 0元 P(x,y) a角的终边 α角的终边 ③ ④ 那么，比值义叫作a的正弦，记作sina,即sina ;比值兰叫作a的余弦，记作cosa,即cosa= 数学s·必修第二册 2思考1.终边在坐标轴的角。的三角函数值分别 是什么？ 提示：a终边在x轴非负半轴时，sina=0, cos a=1; a终边在y轴非负半轴时，sina=1,cosa=0; a终边在x轴非正半轴时，sina=0,c0sa=一1； a终边在y轴非正半轴时，sina=一1，cosa=0. 2.对于确定的角a,请问三角函数的结果会随点P 在α终边上的位置的改变而改变吗？ 提示：不会，三角函数也是函数，是以角为自变量， 以单位圆上点的坐标（坐标的比值）为函数值的函 数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角a的 终边位置决定· 3.若sina>0,则角a的终边在第几象限？ 提示：因为sina>0,所以角a的终边除了第一或 第二象限，还有可能在y轴的正半轴上. 4.若sina=sin3,则a和3是什么关系？ 提示：正弦值相等，但两角不一定相等，如sin60° =sin120°，但60°≠120°. 课堂。 题型一己知角α终边上一点的坐标求三角函数值] [例1]在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为 角的始边，如果角α，3的终边分别与单位圆交于点 侣)和（子）椰么ncos( 36 B高 c吉 D.号 [思路点拔]依三角函数的定义求解. [解析]B[角a,B的终边与单位圆分别交于 点得) 故由定义知sina= 3cos月= 3 ' .'sin acos B= ×() 3 规律方法 己知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值 在a的终边上任选一点P(x,y),设P到原点 的距离为r(>0),则sina=兰，osa=二.当 已知a的终边上一点求a的三角函数值时，用 该方法更方便 ·1 [预习自测门 1.已知角α的终边与单位圆交于点 台)则 cos a= A.5 B.-5 4 c.-3 D.-3 4 解析：B[根据余弦函数的定义，得cosa=一 4 2.若。-否，则。的终边与单位圆的交点P的坐标是 A.1, 1√3 22 B. -2’2 C. 解析：B[设P(x,y),,角a= 否在第二象限， ,'.x=C0s 2=sin 2π=3 3-2 3.sin510° 解析：sin510=sin(150°+360)=sin150°， 10角的终边与单住国的文点为〔誓，》 所以sin510°=sin150°=2 1 答案：号 互动学亲 对应学生用书P11 ◇[变式训练] 1.设a<0,角a的终边与单位圆的交点为P(一3a, 4a),那么sina十2cosa的值等于 A号 &-昌 C. 解析：A[.点P在单位圆上，则OP=1. 即(-3a)+(4a=1,解得a=±号 ,a<0,.a= P点的坐标为（一）】 ∴.sina= 5.cos a=5 .'sin a+2cos a=- 题型二利用正弦、余弦函数定义求参数的值] [例2]已知角a的终边过点P(-3a,4a)(a≠0)，求 2sina十cosa的值. 汇思路点拨]根据点P的坐标，求出点P到原点 O的距离|OP|,再根据定义求出sina,cosa的 值，计算时要注意讨论a的正负. [解]因为，点P的坐标为（一3a,4a)(a≠0），原，点 为0， 所以r=|OP|=√J(-3a)2+(4a)2=5a. i.当a>0时，则r=5a,角a在第二象限，sina= 铝-青6osa=号-2=一寻，所以2sima y=4a=4, r 5a 83=1. +cos a=55 i.当a<0时，则r=一5a,角a在第四象限， Aa sin a=-5a -3a_3 -÷:cosa=-5a=5 所以2sina十cosa=-8+3=-1. 5T5 综上所述，2sina十cosa=士1. 规律方法 利用正弦函数、余弦函数的定义，求一个角的正 弦函数、余弦函数，需要确定三个量：角的终边 上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐 标y和点P到原点的距离r.特别注意，当点的 坐标含有参数时，应分类讨论， ◇[变式训练] 2.已知角a的终边上一点P(m),且c0sa=四 41 则m= 解析：由题意得x=m,y=√3， ∴.r=OP|=√m2+3, :.cos a= √m2+3 ,很明显m>0, m_√10 解得m=√5. 答案：5 题型三正弦函数、余弦函数定艾的综合应用 [例3]已知角a的终边在直线y=2.x上，求sina,cosa 的值. [思路点拨]注意讨论角的终边所在象限. [解]法一：（单位圆）设直线y=2x与单位圆x 十y2=1的交点分别为A(x1y1),B(x2y2). 由十y=1得 1 y=2x, 3y1 2w5 25 5 5 ● 随堂。 1.角a的终边经过点P(一b,4)且cosa= 3 ,则b 的值为 ( ) A.3 B.-3 C.±3 D.5 一b -6 解析：A[r=√b十16，cosa= r√62+16 是所以6=8.] ·1 第一章三角函数 5 ①当角a的终边在第一象限时，cosa=x1=写， sin a=y= 2√5 5 ②当角α的终边在第三象限时， cos a=2=- sin a=y 25 51 法二：（定义法）在直线y=2上任取一点P(t,2)(t≠0) 则r=√+(2t)=√5t. ①若>0时，则r=5,从而sina=2兴=25 √5t 51 t_5 cos a= 5t 5 ②若t<0,则r=-√5t, 2t 从而sina= 2V5 -√5t 5,cos a=- t 5 5t 规律方法 已知角α的终边在直线（或射线）上的问题时，常 用的解题方法有以下两种： 解法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点 P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、 正切值. 解法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点 P(x,y),(P与原点不重合)， 第二步，计算r:r=OP|=√x十y, 第三步，求值：由sina=义，cosa=二求值. ⊙[变式训练] 3.若角a的终边与直线y=3x重合且sina<0,又 P(m,n)是a终边上一点，且OP=√10，则m-n 解析：因为y=3.x,sina<0,所以，点P(m,n)位于y =3.x在第三象限的图象上，且m<0,n<0,n=3m. 所以OP=√m+n=√10m=-√10m=√10. 所以m=-1,n=一3，所以m一n=2. 答案：2 步步夯实 对应学生用书P12 2.如果a的终边过点(2sin30°，-2cos30°)，那么 sin a= A. C③ D.- 2 解析：D[依题意可知点(2sin30°，-2cos30),即 （1-),则r=+(-3=2,因此sina=兰 2·」 数学s·必修第二册 3.已知角0的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半 轴，若P(4,y)是角0终边上一点，且sin0= 则y 解析：因为sin0= y =25 42+y 51 所以y<0,且y2=64,所以y=-8. 答案：一8 4.已知角a的终边经过点(3a-9,a十2)且sina>0, cosa≤0，则实数a的取值范围是 解析：因为，点(3a-9,a十2)在角a的终边上，sina 0cosa≤0，所以{ag0·解得一2<a≤3. 答案：-2<a≤3 5.在平面直角坐标系的单位圆中，已知a= 3元 (1)画出角a; (2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角a的正弦函数值. 课后 基础过关 JI CHU GUO GUAN 1.已知角a的终边经过点（一-4,3），则cosa=( ) A台 c 答案：D 2.已知角9的终边经过点P(4,m),且sn9=号则m 等于 ) A.-3 B.3 C. D.±3 解析：B[sin0= m =号，解得m=3.] 3 √16+m 3.已知角a的终边过点P(一8m,-6sin30),且cosa =一专，则m的值为 B.- 2 C. D 解析：C[由已知得P(-8m,-3),r=√64m+9, -8m .∴.c0sa √/64m2+9 号解得m= 4.已知角a的终边经过点P(m,一6)，且cosa= 告则m A.8 B.-8 C.4 D.-4 答案：B 5.(多选)若角a的终边在直线y=一2x上，则cosa 可能等于 A.-25 5 B-5C.25 5 5 D.+ 解：(1)因为a= 3π=2π十 3元， 所以角。的锋边与号x的终边 相同. 以原点为角的顶点，以x轴非负 半轴为角的始边，逆时针旋转，与单位圆交于点 P,则角a如图所示， (2)国为a=号，所以点P在第二象限，由(1)知 ∠AOP-誓进点P作PMLx轴于点M, 则在R△OMP中，∠0MP-受Z∠MOP-景，OP=1, 由直商三角形的边角关系，得OM=号，MP-, 所以点P的坐标为 (3)根据正孩函数的定义有sin8r= 321 素养提升 对应学生课时P7 解析：AC[在a的终边上任取一点P(一1,2)，则 十45，所以sina三-后始.或者取 P'(1,-2),则r=√+4=5，所以sina=义 2=25] 55 6.（多选)有下列说法，其中错误的是 () A.终边相同的角的同名三角函数值相等 B.同名三角函数值相等的角也相等 C.终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等 D.不相等的角，同名三角函数值也不相等 解析：BCD[对于A,由诱导公式一可知正确；对 于Bsin30°=sin150=号，但30°≠150，所以B 错误；对于C,如a=60°，3=120°的终边不相同，但 sn60°=Sm120-号，所以C错：对于D.由C 中的例子可知D错误.] 7.如图，在平面直角坐标系中，角 a的终边与单位圆的交点为P a6,若a=a(受 1 则角a的大小为 解析：由三角函数的定义，可得 2 1 cos a-1 21 因为a(小所以。= 答案号 8 第一章三角函数 8.已知角a的终边经过点P(5m,12),且cosa= 能力提升 NENG LI TI SHENG 则m 12.已知角a的终边上一点P(m,一√3)(m≠0)，且cosa 解析：由已知 5m =2m 4 25m2+12 3m<0且25m2 (1)求m的值； 十122=132，解得m=-1. (2)求sina. 答案：一1 解：(1)由题意知r=|OP|=√(-√5)+m2=√3十m 9.角a的终边经过点P(,4),且c0sa=号，则x (O为坐标原点)，因此cosa= m_√2m 4 sin a= 3+m .2√2=√3+m,解得m=土5. 解析：由题意，得工 √+16 了，解得x=0或x (2)当m-5时，sina= 4 土3.当x=0时，sina=1;当x=士3时，sina= 4 5 当m=-√5时，sina= 6 41 答案：0或士3 号或1 13.已知点M是圆x2+y=1上的点，以射线OM为终 10.已知角a的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴 边的角a的正发值为号求e的值 重合，角a的终边经过点P(4,一3)， 解：设，点M的坐标为(x1,y).由题意，可知sina= 求sina,cosa. 解：由x=4,y=一3，得 -号即=为点M在+y=1上 r=OP|=√42+(-3)7=5. 所以+y=1, 即x十 2 1,解得1=气 2 11.已知角a的终边在直线y=2x上，求sina十cosa 所以cosa= 或C0Sa= 2 的值. 解：在直线y=2x上任取一，点P(x,2x)(x≠0)， 素养培优 SU YANG PEI YOU 则r=√x十(2x)=√5x. 14.已知角a的终边与单位圆相交于点P(a,b),若sina ①若x>0,则r=√5.x,从而sina= 2x= 言求ab的值，并说明e是第几象限角。 √5x 解：由正弦函数的定义可知sm。=一手 5 cos a= 5 ,∴.cosa十sina= 又公+8=1，所以云=1-6=器所以a=士 5 ②若x<0,则r=√5.x,从而sina= 2x √5.x 故a=6春当a=号6青时，点P在第 cos a- 5.osa十sina= 四象限，此时角是第四象限角：当a=一号山 4 5 √5x 时，点P在第三象限，此时角a是第三象限角. 4.2 单位图与正弦画数、余弦函数的基本性质 课程标准 素养解读 1.利用单位圆和正弦函数、余弦函数的定义研究正弦函数、余 通过运用性质解决与正弦、余弦函数有关的问题， 弦函数的定义域、值域、最大（小）值、周期性和单调性 2.掌握任意角的正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号 提升直观想象，逻辑推理素养 课前。预习学案 对应学生用书P13 [情境引入] 提示：当a在第一象限时，sina>0,cosa>0;当a在第二 根据三角函数的定义，各个三角函数值是用单位圆 象限时，sina0,cosa<0;当a在第三象限时，sina<0, 上点的坐标表示的，当角在不同象限时，其与单位圆的交 点坐标的符号就不同，因此其各个三角函数值的正负就 cosa<0;当a在第四象限时，sina<0,cosa>0. 不同，你能推导出sina,cosa在不同象限内的符号吗？ ·19·