1.3 弧度制（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第一章三角函数 五维课堂 §3.弧度制 课程标准 素养解读 1.理解弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间 通过学习弧度制的有关概念 的互化 2.体会引入弧度制的必要性 及表示，重点培养学生的数 学抽象、直观想象素养 3.理解弧度制下弧长与面积公式 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]角度与弧度的换算 1.在初中学过的角度制中，1度的角是如何规 1.角度与弧度的换算 定的？ 角度化弧度 弧度化角度 2.在我们度量长度时，有时用“米”作单位，有时 360°= rad 2x rad= 用“尺”作单位，有不同的单位制，度量质量时， 可以使用“千克”“磅”等不同的单位制，角的度 180°=rrad πrad= 量除了角度制之外，是否也有不同的单位 制呢？ 1 rad= rad≈ rad ≈ 2.常用特殊角在两种制度下的对应关系 [知识梳理] 度 0° 15° 30 45 60° 75 90° 120° 135° 150 [知识点一]度量角的单位制 1.角度制 弧 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制， 元 个 元 5元 2π 3π 5元 0 度 12 6 4 3 12 2 6 规定周角的 等于1度，记作1°. 2.弧度制 (1)单位圆 度 180° 2109 225 240 2709 3009 315 3309 360 半径为单位长度 的圆 (2)弧度制的定义 弧 7x 5元 4元 3π 7元 11元 在单位圆中，把长度等于 的弧所对的圆 度 6 4 3 2 3 2元 4 6 心角称为 ,用符号rad表示，读作 弧度. 思考2.角度制、弧度制都是角的度量制，那 以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧 么它们之间换算的关键是什么？ 度制 (3)任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个 ;负角的弧度数 是一个 ;零角的弧度数是 ?思考1.1弧度的定义中，1弧度的角的大小 3.一30°转化为弧度是多少弧度？ 警转化为角 与圆的半径是否有关系？ 度是多少度？ 世五维课堂 数学s)·必修第二册 [知识点三]扇形的弧长及面积公式 5.你认为式子|a=∠中，比值2与所取的圆的 设扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为a(n),则 度量单位 半径大小是否有关？ n为角度制 a为弧度制 类别 扇形的弧长 1= l= [预习自测] 1.下列语句正确的是 扇形的面积 S A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆 2思考4.在弧度制下，扇形的弧长公式与面积 周角 C.一弧度的圆心角所对的弧长为1 公式中有四个量a、r、l、S,根据公式已知几个 D.一弧度的圆心角所夹弧长等于半径 量可以求其他量呢？ 2.下列各式正确的是 ( ) A.元=180 B.r=3.14 c.90-号rad D.1rad=π 3.已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的 弧长为 ,扇形的面积为 课堂 互动学案 题型一 角度制写弧度制的换算 规律方法 [例1](1)把202°30化成弧度； 1.角度与弧度的理解 (2)把-3x化成角度： (1)引入弧度制后，角的集合与实数集建立 了一一对应关系。 (3)已知a=15°，8=0Y=1rad,0=105°，9= 元 (2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不 同，但数量相同（都是0）；用角度制和 晋试比较a8X,.g的大小 弧度制度量任意非零角，单位不同，数 量也不同 [思路点拨了第(1)(2)小题可直接利用1°= (3)牢记180°=πrad,充分利用其进行角 高d1ad-(四行镜么，多8)小复可 度制与弧度制互化. 先统一单位，由于用弧度表示的角较多，可统 (4)角度的单位“。”不可省略，而弧度的单 一为弧度，再根据实数大小进行比较 位“rad”可以省略. (5)在同一个式子中，角度、弧度不能混合 使用 2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于 抓住“π=180°”这一关系，由它可以得： 度×=度发，度度数×() 度数，同时还要牢记一些特殊角的度数 与弧度数的对应关系. 3.将角度化为弧度，当角度制中含有“分” “秒”单位时，应先将它们统一化为“度” 表示，再利用“1=ad”化为弧度 即可 ·8 第一章三角函数 五维课堂兰 ◇[变式训练] 题型三 扇形的弧长公式及面积公式 1.将下列角度与弧度进行互化： (1)511 [例3]已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心 :(2)-7段：(3)10,0-855 角为红求： (1)这个圆心角所对的弧长； (2)这个扇形的面积 汇思路点拨了“利用弧长公式和面积公式直 接求解。 题型二 角弧度制表宗任意角 [例2]用弧度制表示终边在坐标轴上的角的 集合 汇思路点拨]先表示出终边在x轴、y轴上 的角的集合，再求它们的并集， 规律方法 关于弧度制下扇形问题的解决方法 )三个公式：la=s=2=2r2,要 恰当选择公式，建立未知量、已知量间 的关系，通过解方程（组）求值 规律方法 (2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度 1.弧度制下角的集合表示 数、半径表示出弧长（面积），利用函数 可联想角度制下的角的集合表示，再转 知识求最值，一般利用二次函数的最值 化为弧度制，求象限角、区域角亦然.难 求解. 点是区间合并时，要做到准确无误，如本 ⊙[变式训练】 题中，前一集合是以受的偶数倍表示，后 3.(1)弧长为3π.圆心角为135°的扇形的半径为 ,面积为 一集合是以的奇数倍表示，两者合并， (2)已知一扇形的周长为40cm,当它的半径 和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最 即用罗的整数倍表示、 大？最大面积是多少？ 2.用弧度制表示终边相同角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ十α(k ∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不 是整数倍. (2)还要注意角度制与弧度制不能混用. ◇[变式训练] 2.已知4=-50w=60A-0=晋 (1)将a1,a2用弧度制表示出来，并指出它们 各自的终边所在的象限； (2)将31,32用角度制表示出来，并在[-720°， 一180°]内找出与它们终边相同的所有角. ·9· 世五维课堂 数学s)·必修第二册 ● 随堂。步步夯实 1.已知a=一3rad.则a是 ( 5.已知a=-800° A.第一象限角 B.第二象限角 (1)把a改写成3+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形 C.第三象限角 D.第四象限角 式，并指出α是第几象限角； 2.将一300°化为弧度数为 ( ②求x使y与a的终边相同，且（受)】 A B. c. 7 D.- 7π 3.角25是第 6 象限角 4.如图，扇形AOB的面积是1， 它的弧长是2，则扇形的圆心 角a的弧度数为 ;弦 AB的长为 C温馨提污 学习至此，请完成配套训练 §4.正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课程标准 素养解读 1.了解单位圆与正弦函数、余弦函数的关系 通过学习三角函数的定义培养学生直观 2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义 想象和数学抽象素养 课前。预习学案 -● [情境引入] P(u,o),那么点P的纵坐标v是角a的正弦 如图，如果一个锐角α的终边与单位圆的 函数值，记作v= ;点P的横坐标u 交点是P(,v),根据初中所学在直角三角形 是角α的余弦函数值，记作u= 中正弦、余弦、正切的定义，你能否用点P的坐 2.对正弦函数、余弦函数定义的理解 标表示sina,cosa,tana？这一结论能否推广 ①定义中，α是一个任意角，同时它也可以是 到α是任意角时的情形呢？ 一个实数（弧度数）. ②角a的终边与单位圆O交于点P(u,v),实际 上给出了两个对应关系，即 对应 实数a(弧度)对应于点P的纵坐标v一正弦， 。对应 实数α（弧度）对应于点P的横坐标u 余弦. ③三角函数可以 用 [知识梳理] 看成以实数为自 对 多对 [知识点一]正弦函数、余弦函数的定义 变量，以单位圆上 1.定义：如图，在直角坐标系 P(u)1 y 的点的坐标为函 实数 三角函数值 多对 中，给定单位圆，对于给定的 数值的函数.角与 任意角a,使角a的顶点与原 实数是一对一的.角和实数与三角函数值之间 点重合，始边与x轴正半轴 是多对一的，如图所示。 重合，终边与单位圆交于点 ④sina是一个整体，不是sin与a的乘积，单 独的“sin”“cos”是没有意义的. ·10参考答案 k∈Z,.k=4或5， 即S中适合一720°≤B0°的元素有 -2020°+4X360°=-580°， -2020°+5×360°=-220°. [例3][解]图中的阴影部分表示终边由一45°逆时针旋转 到120°的所有角，故B={a-45°十k·360°<a<120°十k ·360°，k∈Z}(注意不含边界)， 又.A={a90°+k·360°a180°+k·360°，k∈Z}, ∴.A∩B={a90°+k·360°a<120°+k·360°，k∈Z}. 变式训练 3.解：与30°角的终边在一条直线上的角的集合为S,={aa= 30°十k·180°，k∈Z},与180°-75°=105°角的终边在一条直 线上的角的集合为S2={aa=105°十k·180°，k∈Z,因此， 在图中阴影部分的角a的范围为{aα30°十k·180°≤a<105 +k·180°，k∈Z}. [例4][解]，90°十k·360°<a<180°十k·360°，k∈Z, ..180°+2k·360°<2a360°+2k·360°，k∈Z, ∴2a是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴 上的角. 同是45+号·360<号<90+专·360 当k为偶教时，不妨令=2m,n∈Z,则45十n…360<受< 90°十n·360°，此时，号为第一象限角； 当k为奇数时，令k=2n十1，n∈Z,则225°十n·360°<g< 2 270°十1·360，此时，受为第三象限角. “登为第一或第三象限角 变式训练 4.D[,90°+k·360°<a<180°+360°·k,k∈Z, ∴30+120°·k<号<60°+120°·k,k∈Z, 当k=0时，30<号<60，号是第一象限角： 当=1时，150<号<180，号是第二象限角： 当k=2时270<号<30，号是第四象限角.] 随堂步步夯实 1.D[A中的角应与直角终边相同，B中如480°不是钝角，C 中如300°不是负角，只有D正确.] 2.B[.600°=240°十360°， .600°与240°终边相同. .与600°终边相同的角即为与240°终边相同. .选B.] 3.解析：因为a与120°角的终边相同， 故有a=k·360°+120°，k∈Z. 又因为-990°<<-630°， 所以-990°<k·360°+120°<-630°， 即-1110°<k·360°<-750° 当k=-3时，a=(-3)×360°十120°=-960°. 答案：一960° 4.解析：集合{ak·180°ak·180°十45°，x∈Z}中，当k为 偶数时，此集合与{α0°α≤45°}表示终边相同的角，位于 第一象限；当k为奇数时，此集合与{a180°≤a≤225}表示 终边相同的角，位于第三象限.所以集合{a·l80°≤α≤k ·180°十45°，k∈Z}中角表示的范围为图②所示. 答案：② 5.解：(1)令-360<80+k·90<360,得-号<k<号，又 k∈Z,.k=一4，-3，-2，-1,0,1,2,3，.集合M中大于 一360°且小于360°的角共有8个，分别是-330°，-240°， -150°，-60°，30°，120°，210°，300°. ·21 五维课堂到 (2):集合M中的第二象限角与120°角的终边相同， B=120°+k·360°，k∈Z. §3.弧度制 课前预习学案情境引入 1,提示：周角的0等于1度。 2提示：有不同的单位制，即弧度制。 知识梳理知识点一 1 1.360 2.(1)1(2)11弧度(3)正数负数0 [思考] 1.提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯 一确定的，所以1弧度的角的大小与圆的半径无关. 知识点二 1.2π360°180° 180 0.01745 180)。 57181 [思考] 2.提示：计算时，我们要特别注意πrad=l80°，用这个公式进 行互化即可. 3提示：-灭 120. 6 知识点三 nπr nπr 180 360 合Rar [思考] 4提示：知二求二 5.提示：与半径大小无关，一定大小的圆心角α所对应的孤长 与半径的比值是唯一确定的 预习自测 1.D2.C3Ξ π 3 课堂互动学案 例1][解] (1)20230=202.5°= (2)- 5 (3)a=15=15×180=12 0=105°=105×7高0- 7π 显然8<0<1<径故e<y<0= 变式训练 1.解：1)5x-5里×180=1530. 6π 6 (2)一 7π 12×180°=-105. 7 (310=10×0-0 4085°-855x70=-1 4 [例2][解]角的终边在x轴上的角的集合为 {aa=kπ，k∈Z},角的终边在y轴上的角的集合 为{aa=受十km,k∈z} ∴，角的终边在坐标轴上的角的集合为 aa=x,k∈zU{aa=受+x,keZ {aa=2受，k∈z}U{a=(2k+1)·受，k∈ 变式训练 2.解：(1)1=-570°= 570=-19=-2X2x+5,a= 180 6 6 750°=50-24=2×2x+吾 180 6 巴五维课堂 故a1=一 号，=管a的终边在第二象限a,的锋边在 第一象限， 28=警-号×180=108 5 A=-=-×180°=-609. 3 3 设6=108°十k1·360°(k,∈Z), 02=-60°+k2·360°(k2∈Z), 令-720°≤01≤-180°，-720°82≤-180°， 即-720°108°十k1·360°-180°(k1∈Z), -720°≤-60°+k2·360°≤-180°(k2∈Z), 得k1=-2或k1=一1，k2=一1. 故在[-720°，一180门内，与月终边相同的角是一612°和 一252°，与月终边相同的角是-420°. [例3][解](1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角 为所以丰径，=1一2区 sin号 3 所以这个圆心角所对的孤长1=25×红=45西 31 3 9 （2)由1得扇形的面积S=之×25×45_ 3 9 变式训练 3(1)解折：因为135-10-子，所以扇彩的半径为经=4， 3π 面积为2×3mX4=6元 答案：46π (2)解：设扇形的圆心角为日，半径为r,孤长为1，面积为S, 则l十2r=40,所以1=40一2，， 所以s=合-合X40-2nr10D牛100 所以当半径r=10cm时，扇形的面积最大，最大值为 100cm2,这时9=-40-2X10=2rad. 10 随堂步步夯实 1.C[:-x<-3radK-受-3rad是第三象限角.] 2B[-300=-300×1总0=-爱] 3解折：警=晋十4要与吾的终边相同， 6 :25严是第一象限角. 6 答案：一 4.解析：设扇形半径为r,则 ar=1·解得=2， (ar=2, r=1. AB的长为2rsin受=2sin1. 答案：22sin1 5.解：(1)-800°=-3×360°+280°，280°=14元 9π， a=-800=14x+(-3)X2元. 9 :Q与14的终边相同，a是第四象限角. 9 (2):与a终边相同的角可写为2kx十1售，k∈7的形式，而 y与。的终边相同7=2kx+号，k∈Z 又（受，2)受<2x+g<受kez 解得=-1y=-2十1号=一祭 ·2 数学s·必修第二册 §4.正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课前预习学案情境引入 提示：u=sina,u=c0sa, 知识梳理知识点一 1.sin a cos a [思考] 1.提示：a终边在x轴非负半轴时，sina=0,cosa=1; a终边在y轴非负半轴时，sina=l,cosa=0; a终边在x轴非正半轴时，sina=0,cosa=一1； a终边在y轴非正半轴时，sina=一1，cosa=0. 2.提示：不会，三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆 上点的坐标（坐标的比值）为函数值的函数；三角函数值只与 角α的大小有关，即由角a的终边位置决定， 3.提示：因为sina>0,所以角a的终边除了在第一或第二象 限，还有可能在y轴的正半轴上 4.提示：正弦值相等，但两角不一定相等，如sin60°=sin120°， 但60°≠120°. 预习自测 1.B2B8合 课堂互动学案 [例1][解析]B[,角a,3的终边与单位圆分别交于点 (号是)（子） 5 故由定义知sina=i3,cosB=- 3 5 变式训练 1.A「.点P在单位圆上，则OP=1. 即V-3a)中(4a产=1，解得a=±行 a<0,∴.a=-5 P点的标为（停号） 0sa= 4 .'sin a=- [例2][解]因为点P的坐标为(-3a,4a)(a≠0)，原，点 为O, 所以r=OP=√(-3a)+(4a)'=5a. i.当a>0时，则r=5a,角a在第二象限，sina=义=4如 r 5a =8-3 ,4,c0sa=工=3a=一，所以2sina十cosa=5一局 5a =1. i,当a<0时，则r=一5a,角a在第四象限， 所以2sinacosa=-+=-1. 综上所述，2sina十cosa=士1. 变式训练 2.解析：由题意得x=m,y=√3， .r=OP=√m+3, cosa= m r √m'+3 0,很明显m>0, 4 解得m=√5. 答案：w5 [例3][解]设直线y=2x与单位圆x2十y2=1的交点分 别为A(x1y),B(x2y). 2