1.3 弧度制（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

数学s,·必修第二册 解：(1)由题意知：3=45°+k×360(k∈Z), (2)因为M={xx=(2k+1)×45°，k∈Z}表示的 则令一720°≤45°+k×360°≤0°，得一765°≤k× 是终边落在四个象限的平分线上的角的集合； 360≤-45舒得-≤≤品向北可知6 而集合N={xx=(k+1)X45°，k∈Z}表示终边 360 落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从 -2或k=-1,则=-675°或3=-315. 而MN. §3.孤度制 课程标准 素养解读 1.理解弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间 通过学习弧度制的有关概念及表示， 的互化 重点培养学生的数学抽象、直观想象 2.体会引入弧度制的必要性 素养 3.理解弧度制下弧长与面积公式 课前。预习学案 对应学生用书P7 [情境引入] [知识点二]角度与弧度的换算 1.在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ 1.角度与弧度的换算 提示：周角的0等于1度. 角度化弧度 弧度化角度 2.在我们度量长度时，有时用“米”作单位，有时用 360°=2πrad 2x rad=360 “尺”作单位，有不同的单位制，度量质量时，可以使 用“千克”“磅”等不同的单位制，角的度量除了角度 180°=元rad 元rad=180 制之外，是否也有不同的单位制呢？ 提示：有不同的单位制，即弧度制. 10= 180rad0.01745rad I rad= 180 元 °≈57°18 [知识梳理] [知识点一]度量角的单位制 2.常用特殊角在两种制度下的对应关系 1.角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定 容 0° 160 309 45 60 75 908 1209 135 1509 周角的0等于1度，记作1口 弧 0 元 元 5 元 2元 3π 5π 2.弧度制 度 12 6 4 3 3 4 6 (1)单位圆 半径为单位长度1的圆. 度 180° 210 225 240° 270° 300° 315 330° 360 (2)弧度制的定义 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称 弧 7x 5π 4π 3π 5π 7x 11π 元 为l弧度，用符号rad表示，读作弧度 度 6 4 4 6 2x 以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制. (3)任意角的弧度数与实数的对应关系 ?思考2.角度制、弧度制都是角的度量制，那么它 正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个 们之间换算的关键是什么？ 负数；零角的弧度数是0. 提示：计算时，我们要特别注意元rad=180°，用这 2思考1.1弧度的定义中，1弧度的角的大小与圆 个公式进行互化即可. 的半径是否有关系？ 3.一30°转化为弧度是多少弧度？ 2转化为角度是 提示：一定大小的圆心角α所对应的孤长与半径 多少度？ 的比值是唯一确定的，所以1孤度的角的大小与 元 120 圆的半径无关」 提示：一 6 ·10· 第一章三角函数 [知识点三]扇形的弧长及面积公式 [预习自测] 设扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为a(n°)，则 1.下列语句正确的是 度量单位 A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 n为角度制 a为弧度制 类别 B.一弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆周角 C.一弧度的圆心角所对的弧长为1 D.一弧度的圆心角所夹弧长等于半径 扇形的弧长 l=n元r 180 1=alr 答案：D 2.下列各式正确的是 扇形的面积 S=In ar2 a r A.元=180 B.π=3.14 360 /R- c90-受ad D.1rad=π 2思考4.在弧度制下，扇形的弧长公式与面积公式 答案：C 中有四个量a、r、l、S,根据公式已知几个量可以求 3.已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的弧长 其他量呢？ 为 ,扇形的面积为 提示：知二求二 解析：扇形的圆心角为。=60°=号，故孤长为1 5.你认为式子a=中，比值与所取的圆的半径 大小是否有关？ 经西教为=×号×2- 提示：与半径大小无关，一定大小的圆心角α所对 应的孤长与半径的比值是唯一确定的 答案行智 课堂。互动学案 对应学生用书P8 规律方法 题型一 角度制与弧度制的换算 1.角度与弧度的理解 [例1](1)把20230化成弧度： (1)引入弧度制后，角的集合与实数集建立了一 (2)把一 x化成角度： 对应关系 (2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但 8)尼知a=15,g=07=1rad,0=105,4=7径 7元 数量相同（都是0）；用角度制和弧度制度量任 意非零角，单位不同，数量也不同 试比较a、3、Y、0、9的大小. (3)牢记180°=元rad,充分利用其进行角度制与 弧度制互化. [思路点拨] 第(1)(2)小题可直接利用1°=， (4)角度的单位“。”不可省略，而弧度的单位“rad” 180 可以省略. rad,1 rad= 180 °进行转化，第(3)小题可先统 (5)在同一个式子中，角度、弧度不能混合使用. 2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于抓住 一单位，由于用弧度表示的角较多，可统一为弧 度，再根据实数大小进行比较。 “-180”这-关系，由它可以得：度数×0 弧度数，弧度数× 180 °=度数，同时还要牢 [解] (1)202°30=202.5°= 元 记一些特殊角的度数与弧度数的对应关系. (2) 3.将角度化为弧度，当角度制中含有“分”“秒”单 位时，应先将它们统一化为“度”表示，再利用 (3)法-（化为孤度）：a=15°-15×恶0， 180rad”化为孤度即可. “1°= 9=105=105×7高0-得 ◇[变式训练] 1.将下列角度与弧度进行互化： 显然登品<1<得故。9 a2)-音：810o,4)-853 法二（化为角度）： 解：(1)51 6 51×180°=15330. 6 × 180 18°，y=1rad≈57.3°， (2)- 7元三 12 7×180=-105 -×( °=105 (810°=10X7高0泰 元 显然15°<18°<57.3°<105°.故a<3<y<0=9. (4)-855°=-855X元=-19 180 ·11 数学s·必修第二册 题型二 用弧度制表示任意角 得k,=一2或k,=-1,k2=一1. [例2]用弧度制表示终边在坐标轴上的角的集合， 故在[一720°，一180]内，与3，终边相同的角是 612°和-252°，与32终边相同的角是一420°. [思路点拨]先表示出终边在x轴、y轴上的角 的集合，再求它们的并集。 题型 扇形的弧长公式及面积公式 [例3]已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为 [解]角的终边在x轴上的角的集合为 {aa=kπ，k∈Z,角的终边在y轴上的角的集合 要求： 为{a=受+xkeZ: (1)这个圆心角所对的弧长； (2)这个扇形的面积. ∴角的终边在坐标轴上的角的集合为 [思路点拨了利用弧长公式和面积公式直接求 aa=k,keZU{aa=+k,k∈Z 解. {a=2k·受kZU{a=(2+1)·ke [解](1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆 心角为2，所以半径r=1 2√3 sin 3 3 规律方法 1,弧度制下角的集合表示 所以这个圆心角所对的孤长1=25×2红-4B云 31 3 91 可联想角度制下的角的集合表示，再转化为弧 度制，求象限角、区域角亦然.难点是区间合并 (2)南1)得扇形的面叔S=名×29×4 3 9 时，要做到准确无误.如本题中，前一集合是以 =4红 受的偶数倍表示，后一集合是以受的奇数倍表 9 规律方法 示，两者合并，即用的整数倍表示 关于弧度制下扇形问题的解决方法 2.用弧度制表示终边相同角的两个关注点 1)三个公式：a=,s=r=2ar,要恰当 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ十α(k∈Z) 选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过 时，其中2kπ是元的偶数倍，而不是整数倍. 解方程（组）求值. (2)还要注意角度制与弧度制不能混用. (2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径 ◇[变式训练] 表示出弧长（面积），利用函数知识求最值，一 2.已知0=-530a=750A-8=-吾 般利用二次函数的最值求解。 ⊙[变式训练] (1)将a1,a2用弧度制表示出来，并指出它们各自的 3.(1)弧长为3元.圆心角为135°的扇形的半径为 终边所在的象限； ,面积为 (2)将B,B2用角度制表示出来，并在[一720°， 180门内找出与它们终边相同的所有角. 解析：国为135--票所以扇彩的半径为 解：(1)a1=-570°=- 570x__19x =-2×2π十 4 180 6 5π =4,面积为号×3元X4=6m 6,a2=750°三750x=25x=2×2π十天， 1806 答案：46π 故a=- 19π 2a,的终边在第二象限心 (2)已知一扇形的周长为40cm,当它的半径和圆 心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面 的终边在第一象限。 积是多少？ （2g=酒-号×180=108. 解：设扇形的圆心角为0，半径为r,孤长为1，面积 为S,则1+2r=40,所以1=40-2r, 月= -元=-}×180°=-60° 331 所以S=号=合×(40-2r)r=-(-10) 1 设01=108°+k1·360°(k,∈Z), 02=-60°+k2·360°(k2∈Z), +100. 令-720°≤0，≤-180°，-720°≤02≤-180°， 所以当半径r=10cm时，扇形的面积最大，最大值 即-720°≤108°+k1·360°≤-180°(k1∈Z), 为100cm2,这时0=L=40-2X10=2rad. 10 -720°≤-60°+k2·360°≤-180(k2∈Z), ·12 第一章三角函数 随堂。步步夯实 对应学生用书P10 1.已知a=一3rad.则a是 ( A.第一象限角 B.第二象限角 解析：设扇形半径为r,则 =1解得a=2, r=1. C.第三象限角 D.第四象限角 ar=2, 解折：C[:-<-3radK-至-3rad是第 .AB的长为2rsin a=2sin 1. 三象限角.] 答案：22sin1 2.将一300°化为弧度数为 ( ) 5.已知a=一800°. (1)把a改写成3+2kπ(k∈Z,0≤B<2π)的形式，并 A.-3 B.- 5 指出a是第几象限角： C.- 6 . (②)求7，使y与。的终边相同，且y(一受受. 解折：B【-30=-300×7高0=-要] 解：(1)：-800°=-3×360°+280°，280°=14 9π， 3.角是第 象限角 .a=-800°=14+(-3)X2元 9 解析：2-晋十4管严与云的终边相同， 6 “。与1的终边相同，。是第四象限角。 25匹是第一象限角. 6 (2):与a终边相同的角可写为2元十14，k∈7的 答案：一 4.如图，扇形AOB的面积是1，它的 B 形式，而y与a的终边相同y-2x+1号，∈7 弧长是2，则扇形的圆心角a的弧 度数为 ;弦AB的 又y(-受)-受<2m+<受ke7, 长为 解得=一1，∴y=一2x+14一4 9 9 课后。素养提升 对应学生课时P5 -● 基础过关 5.(多选)下列转化结果正确的是 JI CHU GUO GUAN 1.把50°化为弧度为 ( A.6730'化成弧度是 A.50 B器 B. 10匹化成角度是一600° 3 c. D.9000 C.-150化成弧度是- 6 案：B 2.若a=-10,则a为 ( D.晋化成角度是15 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三角限角 解析：ABD[对于A,6730=67.5°=67.5×180 D.第四角限角 答案：B =警正确：对子B,-19=-1g×1 3 3 3.扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面 积是 ( ) 5π 609,正确：对于C,-150°=-150×高=-爱， A.16π B.32π C.16 D.32 经钱时于D音×罗-15E确 答案：C 6.(多选)扇形周长为6cm,面积为2cm2,则其圆心 4.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 角的弧度数是 ( A.1 B.2 A B一晋 C.5 D.4 解析：AD[若扇形的半径为rcm圆心角为a(0< C. a<2x),则 答案：B 22-2.解得{支=2 2r+ar=6, 1 a=41 a=1. ·13· 数学s·必修第二册 7.把钙化为度为 解：(1)1690°=4×360°+250°=4X2x 18元. 解析：5-誓×10-80 (2)八0与a的终边相同0=2kπ十8x(质∈Z). 25 答案：80° 8.用弧度制表示终边落在x轴上方的角α的集合为 又0E(-4红，4.-<26x+0<4玩 解析：若角a的终边落在x轴上方，则2kπ<a< 解得器<<0∈k=-2,-10,1. 2kπ+π(k∈Z). 答案：{a2kπ<a<2kπ+π，k∈Z} 0的住是最，总急0 9.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长， 13.(1)已知扇形的周长为20cm,面积为9cm,求扇 则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为 形圆心角的弧度数 ;若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的 (2)一个扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角a 周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出 这个扇形的最大面积. 解析：设圆半径为，这段孤所对圆心角的孤度数为 解：(1)设扇形的半径为rcm,孤长为lcm,圆心角 9,则圆外切正三角形的边长为2V3r,l=2Br 为0，则1+2r=20,∴.l=20-2r r 又：2=9，即220-2rr=9… =2√；又圆内接正方形的边长为√2r,圆孤长为 .r2-10r+9=0, 4V2r,.91=4r=4W2 即(r-1)(r-9)=0,.r1=1,r2=9. 答案：2√54√2 当r=1时，l=18,则日==18>2x(合去)， 护 10.把下列角化为2kπ十a(0≤a<2π，k∈Z)的形式： a19,(2)-315 当r=9时1=2，则0==号，即扇形国心角的 r 解：1因为0誓<2，所以=标十经 弧度数为号 3 (2)设扇形的半径为rcm,则孤长为l=(20一 (2)因为-315°=-315×7高0-至=-2x+ 2r)cm. 4 因为0≤买<2x,所以-315°=-2x+至 由0<1<2，得0<20-2<，六吕<7 <10 11.已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角a(0<a<π)的大小； 于是扇形的面叔为3=号(20-2r)7=-(,-5 (2)求圆心角α所在的扇形弧长1及弧所在的弓 形的面积S. +25 解：(1)因为圆O的半径为10，弦AB的长为10， 当r=5时，l=10,a=2,S取到最大值，此时最大值为 所以△AOB为等边三角形，所以Q=∠A0B=号. 25cm. 故当扇形的圆心角α等于2孤度时，这个扇形的 (2)因为a=晋，所以1=ar=19。 31 面积最大，最大面积是25cm2. S扇形= =1×10r×10=50x. 素养培优 SU YANG PEI YOU 2 21 3 3 14.某企业欲做一个介绍企业 又因为S△A0B=2 ×10×10x 2 =25√5， 发展史的铭牌，铭牌的截 面形状是如图所示的扇形 所以S= S角卷一S△B= 50π -25√3= 3 环面（由扇形OAD挖去扇 √3 形OBC后构成).已知OA 0 50 3 2 =10m,OB=xm(0<x<10),线段BA,CD与弧 能力提升 BC,弧AD的长度之和为30m,设圆心角为日 NENG LI TI SHENG 弧度 12.已知a=1690°， (1)求0关于x的函数解析式； (1)把a写成2kπ+3(k∈Z,3∈[0,2π)的形式； (2)记铭牌的截面面积为ym2,试问x取何值时， (2)求0，使0与a终边相同，且0∈（一4π，4π. y的值最大？并求出最大值. 14 第一章三角函数 解：(1)根据题意，可得l屁=z0m,l命=100m. 化简得y=-x2十5.x+50=一 因为BA十CD十l金十I0=30, 所以(10-x)+(10-x)+x0+100=30, 所以当x= （满足条件0<10）时。 所以0=2+10(0<<10). x+10 225 4 (2②)根据题意，可知y=S0一S6m=专9X 因此，当x= 号时，铭牌的截面面积最大，且最大 面积为2华m。 §4.正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1单位图与任意角的正弦函数、余弦品数定义 课程标准 素养解读 1.了解单位圆与正弦函数、余弦函数的关系 通过学习三角函数的定义培养学生直观想象和 2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义 数学抽象素养 ● 课前0 预习学案 对应学生用书P10 [情境引入] ③三角函数可以看 成以实数为自变量， 角 如图，如果一个锐角α的终边与单位圆的交点 对 多对一 是P(,v),根据初中所学在直角三角形中正弦、余 以单位圆上的点的 弦、正切的定义，你能否用点P的坐标表示sina, 坐标为函数值的函 实数 三角函数值 数.角与实数是一对 多对 cosa,tana？这一结论能否推广到a是任意角时的 一的.角和实数与三角函数值之间是多对一的，如 情形呢？ 图所示. ④sina是一个整体，不是sin与a的乘积，单独的 “sin”“cos”是没有意义的， [知识点二]正弦函数与余弦函数的定义拓展 2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义，实际上，我们 可以把定义进一步拓展，通过角的终边上任意一点 提示：v=sina,u=cosa. 的坐标来定义正弦函数、余弦函数。 [知识梳理] 设a是一个任意角，a的终边上任意一点P的坐标 [知识点一]正弦函数、余弦函数的定义 是(x,y),它与原点的距离是r(r=√十y>0), 1.定义：如图，在直角坐标系中，给 P(u)1 y 如图 定单位圆，对于给定的任意角a, a角的终边 α角的终边y 使角α的顶点与原点重合，始边 P(x,y) 与x轴正半轴重合，终边与单位 r /Px,) 圆交于点P(u,v),那么点P的 0 纵坐标v是角a的正弦函数值， ① 记作v=sina;点P的横坐标u是角a的余弦函数 值，记作u=cosa. y个 y 2.对正弦函数、余弦函数定义的理解 07 ①定义中，α是一个任意角，同时它也可以是一个 P(x.y)r 0元 P(x,y) 实数（弧度数）. a角的终边 a角的终边 ②角a的终边与单位圆O交于点P(u,),实际上 ③ ④ 给出了两个对应关系，即 实数a(弧度)对应于点P的纵坐标口对应正弦， 那么，比值Y叫作a的正弦，记作sina,即sina= 实数a(孤度)对应于点P的横坐标u对应余弦. 斗：比值叫作a的余弦，记作cosa,即cosa=子 ·15·