1.2 任意角（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第一章三角函数 五维课堂乡 §2.任意角 课程标准 素养解读 1.了解角的概念 1.根据角的概念培养数学直观和逻辑 2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义 推理素养 3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表 2.通过学习终边相同的角、象限角提 示这些角 升数学建模素养 课前。预习学案 [情境引入] 2思考1.当角的始边和终边确定后，这个角就 1.当钟表慢了（或快了）一点时，我们会将分针按 被确定了吗？ 某个方向转动，把时间调整准确，在调整的过 程中，分针转动的方向是否相同？ 2.在跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向 2.你能说出角的三要素吗？ 前翻转两周半”等动作，做上述动作时，运动员 转体多少度？转过的度数还能用0°到360°的 角表示吗？ 3.正角、负角、零角是根据什么区分的？ [知识梳理] [知识点一]任意角的概念 1.角的概念 4.如果一个角的终边与其始边重合，这个角 角可以看成平面内 绕着它的 定是零角吗？ 旋转所成的图形 2.角的表示 如图，①始边：射线的 位B 置OA; ②终边：射线的 位 置OB; [知识点二]平面直角坐标系中的任意角 ③顶点：射线的端点O: 1.象限角 ④记法：图中的角a可记为“角a”或“∠a”或 在平面直角坐标系中，若角的顶点与 重 “∠AOB”. 合，角的始边与 轴的非负半轴重合， 3.角的分类 那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几 名称 定义 图形 :如果角的终边在 ,这个角不 属于任何一个象限. 条射线绕其端点 B 正角 按 方向旋转 2.各象限角的集合 形成的角 0 象限角 象限角a的集合表示 一条射线绕其端点 B 第一象限角 {ak·360°<a<k·360°+90°，k∈Z} 负角 按 方向旋转 形成的角 第二象限角 {ak·360°+90°<a<k·360°+180°，k∈Z 一条射线没有作 第三象限角 {ak·360°+180°a<k·360°+270°，k∈Z 零角 旋转形成的角 A(B) 第四象限角{ak·360°+270°<a<k·360°+360°，k∈Z 3 世五维课堂 数学s·必修第二册 3.终边落在坐标轴上的角 (4)终边相同的角的表示形式不唯一，如 终边落在x轴 {xx=k·360°-90°，k∈Z}与{xx=k· 的非负半轴上 {aa=k·360°，k∈Z 360°十270°，k∈Z)均表示终边在y轴的非正 的角的集合 半轴上的角的集合. ?思考5.相等的角终边一定相同吗？不相 终边落在x轴 的非正半轴上 {aa=k·360°+180°，k∈Z} 等的角终边一定不同吗？ 的角的集合 终边落在x轴 6.角3=a十k·720°，k∈Z,3与a终边相 上的角的集合 {aa=k·180°，k∈Z 同吗？ 终边落在y轴 的非负半轴上 {aa=k·360°+90°，k∈Z 的角的集合 7.把一个角放在平面直角坐标系中时，这个 终边落在y轴 角是否一定就是某一个象限的角？ 的非正半轴上 {aa=k·360°+270°.k∈Z} 的角的集合 终边落在y轴 8.若角a,3满足S={33=a十k·360°，k∈ {aa=k·180°+90°，k∈Z 上的角的集合 Z)时，角a,3是否是终边相同的角？ 终边落在坐标 轴上的角的 {a|a=k·90°，k∈Z} 集合 [预习自测] 4.终边相同的角 1.下列各命题正确的是 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可 A.终边相同的角一定相等 构成一个集合S= B.第一象限角都是锐角 即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示 C.锐角都是第一象限角 成角a与 的和 D.小于90°的角都是锐角 5.对终边相同的角的理解 2.-1060°的终边落在 ( (1)终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原 A.第一象限 B.第二象限 点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. C.第三象限 D.第四象限 (2)a是任意角且k为整数. 3.在（一360°，0°）内与角1250°终边相同的角是 (3)k·360°与a之间用“+”号连接. 课堂 互动学案 题型 任意角的概念 A.80° B.-80° [例1门(1)下列结论： C.960 D.-960° ①三角形的内角必是第一、二象限角： [尝试解答](1) (2) ②始边相同而终边不同的角一定不相等； 规律方法 ③小于90的角是第一象限角； 理解与角的概念有关问题的关键 ④钝角比第三象限角小； 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝 ⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角. 角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终 其中正确的结论为 (填序号). 边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断 [思路点拨]利用任意角的概念判断. 结论正确与否的技巧，判断结论正确需要 (2)若钟表的时针走过了2小时40分，则分针 证明，而判断结论不正确只需要举一个反 转过的角度为 ( 例即可。 第一章三角函数 五维课堂兰 ⊙[变式训练] 题型目 区间角 1.给出下列四个结论：①一15°是第四象限角； [例3]设A={a90°十k·360°≤a≤ ②185°是第三象限角；③475°是第二象限角； 180°+k·360°，k∈Z},B为终边在 ④一350°是第一象限角.其中正确的个数为 如图所示阴影部分中的角的集合， 求A∩B. A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 终边相同的角 汇思路点拨]先写出集合B,再求 A∩B. [例2]己知a=-1910°. (1)把a写成3+k·360°(k∈Z,0°≤3<360) 的形式，指出它是第几象限角： (2)求0，使0与a的终边相同，且一720°≤0 <0°. [思路点拔了“解答本题(1)用a除以360°， 使余数为正，且使余数在[0°，360°)即可； (2)根据终边相同角的定义，用公式Q十k· 360°列不等式求解. 规律方法 区间角是指终边落在坐标系的某个区域内 的角.其写法可分为三步： (1)先按逆时针的方向找到区域的起始和 终止边界； (2)按由小到大分别标出起始和终止边界 对应的一360°到360°范围内的角α和 B,写出最简区间{xa<x<B},注意，若 含边界，则不等式中应带“=” 规律方法 (3)起始、终止边界对应角a、3再加上360 1.终边落在直线上的角的集合的步骤 的整数倍，即得区间角集合 (1)写出在0°360°范围内相应的角. ◇[变式训练] (2)由终边相同的角的表示方法写出角的 3.如图，角α终边在图中阴影部 集合. 分，试指出角a的范围. (3)根据条件能合并一定合并，使结果 75 309 简洁 2.终边相同角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍. (2)终边在同一直线上的角之间相差180 的整数倍. (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间 相差90°的整数倍. ◇[变式训练] 题型四 象限角的判断 2.已知a=-2020° (1)写出与角α终边相同的角的集合S,并指 [例4]已知a为第二象限角，问2a,号分别是第 出角α是第几象限的角； 几象限角？ (2)写出S中适合不等式一720°≤3<0°的 角B. 汇思路点拨了“由角a为第二象限角，可以写 出a的范围：90°+k·360°<a<180°+k· 360,kC乙，在此基础上可以写出2a,受的范 围，进而可以判断出它们所在的象限. ·5· 世五维课堂 数学s,·必修第二册 规律方法 (1)解决此类问题，要先确定α的范围，进 α所在的象限 三 四 一步确定出a或。的范围，再根据k n 号所在的家限 、三 、三 二、四 二、四 与n的关系进行讨论， (3)这类问题也可采用特值法判断角的终 (2)一般地，要确定&所在的象限，可以作 边位置，如本例中受，46+·180<号 出n等分各个象限的从原 90°+k·180°，k∈Z,令k=1,2,3,4 点出发的射线，它们与坐 标轴把周角等分成4n个 分别得号的终边位于第三、一、三、一象 区域，从x轴的正半轴起，23 按逆时针方向把这4n个 限，如此循环往复，从而可断定受是第 区域依次循环标上号码1、2、3、4，则标 一或第三象限角。 号是几的区域，就是α为第几象限角 ◇[变式训练] 时，。终边可能落在的区域，。所在的 n 4,若。是第二象限角，则号是 象限就可直观地看出.例如，已知角α A.第一象限角 所在的象限，可用如图求角号所在的象 B.第二象限角 C.第四象限角 限，也可以用下表来表示： D.第一象限或第二象限或第四象限角 随堂。步步夯实 1.下列命题中正确的是 ( (2)写出集合M中的第二象限角B的一般 A.终边在y轴的非负半轴上的角一定是直角 表达式 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角 D.始边相同而终边不同的角一定不相等 2.与600°终边相同的角表示为(k∈Z)( A.k·360°+220° B.k·360°+2409 C.k·360°+60 D.k·360°+260 3.已知-990°<a<-630°，且a与120°角的终边 相同，则a= 4.集合{ak·180°≤a≤k·180°+45°，k∈Z}中 角表示的范围（用阴影表示）是图中的 (填序号) 5.己知角的集合M={aa=30°+k·90°，k∈Z,回 答下列问题： C温馨提西 (1)集合M中大于一360°且小于360°的角是哪 学习至此，请完成配套训练 几个？ 6世五维课堂 参芳 第一章三角函数 §1.周期变化 课前预习学案知识梳理知识点一 1.间隔2.重复出现 [思考] 1.提示：2025年10月6日是星期一，由200=28×7十4知自 2025年10月6日再过200天是星期五。 知识点二 1.x十T∈Df(x) 「思考] 2.提示：不是，例如函数f(x)=x一[x]的周期就不止一个，若 T是周期，则nT(n∈N”)一定是周期， 3.提示：不能，因为周期函数的定义是对定义域中的每一个x 值来说. 预习自测 1.C2.C3.2 课堂互动学案 [例1][解析]AD[对于A,太阳东升西落是周期现象； 对于B,李明每天上午上学的时间会有差别，不是周期现象： 对于C,高速公路每天通过的车辆数一般不相同且随机变 化，不是周期现象；对于D,天干地支表示年份的次序，周而 复始，是周期现象.故选AD.] 变式训练 1.解：根据题意，钟表的分针每小时转一圈，即钟表的分针每小 时转一圈，分针会重复出现在同一位置，具有“周而复始”的 变化规律，符合周期变化的定义，其变化是周期变化. [例2][解析]B[由题图可以看出该造父变星的亮度每 经过7天等级相同，所以此变星亮度变化的周期是7天.] 变式训练 2.D[从0开始，每四个数一个周期，2021÷4=505…1，故 选D.] [例3][证明]因为f(x十1)=-f(x), 所以f(x十2)=-fx十1)=-[-fx)]=f(x), 所以f(x)是周期函数，所以f(x)的一个周期是2. 变式训练 3.证明：因为定义在R上的函数y=f(x)满足f(x十a)=一f(x) (a是不为零的常数)， 所以f(x十2a)=-f(x十a)=f(x), 所以2a是函数y=f(x)的一个周期. 随堂步步夯实 1.A2.C 3.解析：函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)=3,则f(6) =f(2十4)=f(4)=f(2十2)=f(2)=3. 答案：3 4.解析：T=8, ∴.f(25)=f(3X8+1)=f(1)=f(-1)=-1+1=0. 答案：0 5.解：因为f(x十6)=(x十6)=f(x)不恒成立，所以f(x)不 是以6为周期的周期函数. §2.任意角 课前预习学案情境引入 1.提示：不同，当钟表慢了，要顺时针转动分针，当钟表快了，要 逆时针转动分针， 2.提示：因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同，因此运 动员“转体两周”的度数可以是顺时针旋转720°或逆时针旋 转720°，“向前翻转两周半”可以是顺时针旋转900°或逆时 针旋转900°.显然这些角都不在0°~360°，不能用0°到360 的角表示. 知识梳理知识点 1.一条射线端点 2.起始终止 3.逆时针顺时针任何 ·21 数学s·必修第二册 答案 [思考] 1.提示：不是的.虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量 的大小（旋转圈数）并没有确定，所以角也就不能确定 2.提示：角的三要素是顶点、始边、终边」 3.提示：根据组成角的射线的旋转方向」 4.提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的 角不一定是零角，如360°，一360°等，角的大小不是根据始 边、终边的位置，而是根据射线的旋转， 知识点二 1.原点x终边象限角坐标轴上 4.{B3=a十k·360°，k∈Z}周角的整数倍 [思考] 5.提示：相等的角终边一定相同；不相等的角终边可能相同，也 可能不同. 6.提示：3=a十2k·360°，故3与a终边相同. 7.提示：不一定，因为象限角是指的当角的始边与x轴的非负 半轴重合时，终边在哪个象限，我们就说这个角是第几象限 角.如果一个角的终边在坐标轴上时，我们认为这个角不在 任何象限内，又叫轴线角. 8.提示：当角a,3满足S={3B=a十k·360°，k∈Z}时，表示角 α与B相隔整数个周角，即角a,B终边相同， 预习自测 1.C2.A3.-190 课堂互动学案 [例1](1)[解析]①90°的角既不是第一象限角，也不是第 二象限角，故①不正确； ②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确： ③小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不正确； ④钝角大于一100°，而一100°的角是第三象限角，故④不 正确； ⑤0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤ 不正确 [答案]② (2)[解析]D[:40÷60=号360×号=240.分 针是顺时针旋转，∴.时针走过2小时40分，分针转过的角的 度数为-2×360°一240°=一960°，故选D.] 变式训练 1.D[①-15°在第四象限； ②180°<185°<270°在第三象限； ③475°=360°+115°，而90°<115°<180°，所以475°在第二 象限； ④-350°=-360°十10°是第一象限角 所以四个结论都是正确的.门 [例2][解](1)，-1910°÷360°=-6余250°， .-1910°=-6×360°+250°， .8=250°，从而a=-6×360°十250°是第三象限角. (2)令0=250°+k·360(k∈Z), ∵-720°≤0<0°， .-720°≤250°+k·360°<0°， 即器K-器 k∈Z,.k=-1或-2 即250°+(-1)·360°=-110°， 250°+(-2)·360°=-470°. .0=-110°或0=-470°. 变式训练 2.解：(1)S={BB=-2020°+kX360°，k∈Z, ,140°=-2020°+6×360°，.140°与-2020°的终边相同. 140°是第二象限的角，，一2020°是第二象限的角. (2)S由-720°≤-2020°+kX360°0 解得3是<<5是 0 参考答案 k∈Z,.k=4或5， 即S中适合一720°≤B0°的元素有 -2020°+4X360°=-580°， -2020°+5×360°=-220°. [例3][解]图中的阴影部分表示终边由一45°逆时针旋转 到120°的所有角，故B={a-45°十k·360°<a<120°十k ·360°，k∈Z}(注意不含边界)， 又.A={a90°+k·360°a180°+k·360°，k∈Z}, ∴.A∩B={a90°+k·360°a<120°+k·360°，k∈Z}. 变式训练 3.解：与30°角的终边在一条直线上的角的集合为S,={aa= 30°十k·180°，k∈Z},与180°-75°=105°角的终边在一条直 线上的角的集合为S2={aa=105°十k·180°，k∈Z,因此， 在图中阴影部分的角a的范围为{aα30°十k·180°≤a<105 +k·180°，k∈Z}. [例4][解]，90°十k·360°<a<180°十k·360°，k∈Z, ..180°+2k·360°<2a360°+2k·360°，k∈Z, ∴2a是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴 上的角. 同是45+号·360<号<90+专·360 当k为偶教时，不妨令=2m,n∈Z,则45十n…360<受< 90°十n·360°，此时，号为第一象限角； 当k为奇数时，令k=2n十1，n∈Z,则225°十n·360°<g< 2 270°十1·360，此时，受为第三象限角. “登为第一或第三象限角 变式训练 4.D[,90°+k·360°<a<180°+360°·k,k∈Z, ∴30+120°·k<号<60°+120°·k,k∈Z, 当k=0时，30<号<60，号是第一象限角： 当=1时，150<号<180，号是第二象限角： 当k=2时270<号<30，号是第四象限角.] 随堂步步夯实 1.D[A中的角应与直角终边相同，B中如480°不是钝角，C 中如300°不是负角，只有D正确.] 2.B[.600°=240°十360°， .600°与240°终边相同. .与600°终边相同的角即为与240°终边相同. .选B.] 3.解析：因为a与120°角的终边相同， 故有a=k·360°+120°，k∈Z. 又因为-990°<<-630°， 所以-990°<k·360°+120°<-630°， 即-1110°<k·360°<-750° 当k=-3时，a=(-3)×360°十120°=-960°. 答案：一960° 4.解析：集合{ak·180°ak·180°十45°，x∈Z}中，当k为 偶数时，此集合与{α0°α≤45°}表示终边相同的角，位于 第一象限；当k为奇数时，此集合与{a180°≤a≤225}表示 终边相同的角，位于第三象限.所以集合{a·l80°≤α≤k ·180°十45°，k∈Z}中角表示的范围为图②所示. 答案：② 5.解：(1)令-360<80+k·90<360,得-号<k<号，又 k∈Z,.k=一4，-3，-2，-1,0,1,2,3，.集合M中大于 一360°且小于360°的角共有8个，分别是-330°，-240°， -150°，-60°，30°，120°，210°，300°. ·21 五维课堂到 (2):集合M中的第二象限角与120°角的终边相同， B=120°+k·360°，k∈Z. §3.弧度制 课前预习学案情境引入 1,提示：周角的0等于1度。 2提示：有不同的单位制，即弧度制。 知识梳理知识点一 1 1.360 2.(1)1(2)11弧度(3)正数负数0 [思考] 1.提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯 一确定的，所以1弧度的角的大小与圆的半径无关. 知识点二 1.2π360°180° 180 0.01745 180)。 57181 [思考] 2.提示：计算时，我们要特别注意πrad=l80°，用这个公式进 行互化即可. 3提示：-灭 120. 6 知识点三 nπr nπr 180 360 合Rar [思考] 4提示：知二求二 5.提示：与半径大小无关，一定大小的圆心角α所对应的孤长 与半径的比值是唯一确定的 预习自测 1.D2.C3Ξ π 3 课堂互动学案 例1][解] (1)20230=202.5°= (2)- 5 (3)a=15=15×180=12 0=105°=105×7高0- 7π 显然8<0<1<径故e<y<0= 变式训练 1.解：1)5x-5里×180=1530. 6π 6 (2)一 7π 12×180°=-105. 7 (310=10×0-0 4085°-855x70=-1 4 [例2][解]角的终边在x轴上的角的集合为 {aa=kπ，k∈Z},角的终边在y轴上的角的集合 为{aa=受十km,k∈z} ∴，角的终边在坐标轴上的角的集合为 aa=x,k∈zU{aa=受+x,keZ {aa=2受，k∈z}U{a=(2k+1)·受，k∈ 变式训练 2.解：(1)1=-570°= 570=-19=-2X2x+5,a= 180 6 6 750°=50-24=2×2x+吾 180 6