第1章 §1 周期变化 §2 任意角（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦三角函数第一章，核心涵盖周期函数、任意角、终边相同的角及象限角与区域角。以体操旋转角度实例导入，衔接初中0°-360°角概念，通过思考问题搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生理解角的范围扩大及周期性本质。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过定义辨析（如周期函数判定）、数形结合（终边相同角集合表示）发展数学思维，用符号语言（区域角集合）精准表达。采用“思考-梳理-例题-训练”模式，助学生构建知识网络，教师可直接用于教学，提升课堂效率。

第一章　三角函数 1 §1　周期变化　 §2　任意角 2 新课导入 学习目标 同学们，在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们常常听到 1.了解现实生活中的周期现象，会利用周期函数的定义判断函数是否为周期函数． 2．了解最小正周期的定义，会求某些周期函数的最小正周期． 3．了解任意角的概念，区分正角、负角与零角． 4．了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合． 5．利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题． “前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题中的角不仅有超出0°～360°范围的角，而且旋转的方向也不相同．为了准确地描述这些问题，我们需要扩大角的范围． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 5 一　函数周期性的应用 思考　探索下图所呈现的规律，判断2 024至2 026箭头的方向是什么？   提示：由题图易知，周期T＝4， 因为2 024＝506×4，所以2 024至2 026箭头的方向和0至2箭头的方向相同． 返回导航 [知识梳理] 1．一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有___________，且满足f(x＋T)＝_____________，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． 2．如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期． x＋T∈D f(x) 返回导航 [例1] 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x). (1)证明：函数f(x)是周期函数； 【解】　证明：由于f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数． (2)若f(－1)＝1，求f(985). 【解】　由(1)知函数f(x)的周期为4，故 f(985)＝f(4×246＋1)＝f(1)＝f(－1＋2)＝－f(－1)＝－1. 返回导航 判断函数周期性的方法 (1)观察函数图象判断周期性，关键是观察图象是否是周而复始重复出现． (2)用定义法判断周期性，关键是证明对于任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x). 返回导航 [跟踪训练1] 定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x)＋f(x＋1)＋f(x＋2)＝3(x∈R)，f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝－1. (1)求证：函数f(x)为周期函数； 解：证明：因为f(x)＋f(x＋1)＋f(x＋2)＝3，所以f(x＋1)＋f(x＋2)＋f(x＋3)＝3，两式相减得f(x)＝f(x＋3)，所以函数f(x)是周期为3的周期函数． (2)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(211)的值． 解：由(1)可知f(1)＋f(2)＋f(3)＝3，f(4)＋f(5)＋f(6)＝3，…，f(208)＋f(209)＋f(210)＝3，f(211)＝f(70×3＋1)＝f(1)＝1， 所以f(1)＋f(2)＋…＋f(211)＝70[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(1)＝70×3＋1＝211. 返回导航 二　角的概念推广 思考1　在初中是如何定义角的？角的范围是多少？ 提示：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°. 思考2　小明要将射线OA绕着端点O旋转到OB位置．请问有几种旋转方向？ 提示：两种，分别为顺时针方向与逆时针方向． 思考3　小明要将射线OA绕着端点O旋转到OB位置．请问旋转的角度确定吗？ 提示：不确定，旋转的角度可以相差周角的整数倍． 返回导航 [知识梳理] 1．角的概念如图，平面内一条射线OA绕着它的_______按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的______，射线OA是角α的______，射线OB是角α的______． 端点O 顶点 始边 终边 返回导航 2．角的分类(按旋转方向分为三类)   点拨　设角α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边对应的角是α＋β. 逆时针 顺时针 没有作任何 返回导航 × [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)终边与始边重合的角是零角．(　　) (2)终边与始边都相同的两个角一定相等．(　　) (3)小于90°的角是锐角．(　　) (4)第二象限角是钝角．(　　) × × × 返回导航 2．射线OA绕端点O逆时针旋转270°到达OB的位置，再顺时针旋转120°到达OC的位置，则∠AOC＝________． 解析：逆时针旋转是正角，顺时针旋转是负角，所以∠AOC＝270°－120°＝150°. 150° 返回导航 3．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________. －100°　 －1 200° 返回导航 任意角的理解 (1)正确理解零角、正角、负角、锐角、钝角、周角等概念． (2)处理任意角问题的两个关键点： ①定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的． ②定大小：根据旋转角度的绝对值确定角的大小． 返回导航 三　终边相同的角 思考　如图所示，60°角的终边是OA. －660°，420°角的终边与60°角的终边有什么关系？如何表示与60°角终边相同的角？   提示：相同.60°＋k·360°(k∈Z). 返回导航 [知识梳理] 一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝________________，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________________的和． α＋k·360° 周角的整数倍 返回导航 [例2] (对接教材例2、例3)写出终边在直线y＝x上的角的集合S，并把S中符合－360°<β<720°的元素β写出来． 返回导航 返回导航 (1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤 ①写出在0°～360°内，终边在直线上的角； ②用终边相同的角的表示方法写出角的集合； ③根据条件能合并一定要合并，使结果简洁． (2)三个常用结论 ①终边相同的角之间相差360°的整数倍； ②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍； ③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 返回导航 [跟踪训练2] (1)若角2α与240°角的终边相同，则α＝(　　) A.120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈Z C．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z 解析：角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.故选B. √ 返回导航 (2)(多选)在0°～720°范围内，下列给出角度与800°角终边相同的角是(　　) A．80° B．120° C．180° D．440° 解析：800°－360°×2＝80°，800°－360°×1＝440°，A，D正确，B，C错误． √ √ 返回导航 {β|β＝30°＋k·180°，k∈Z} 返回导航 四　象限角和区间(域)角 [知识梳理] 在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在_____________．以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是_______________；如果角的终边在_________上，这个角就不属于任何象限． x轴的非负半轴 第几象限角 坐标轴 返回导航 角度1　象限角的判定 [例3] (1)1 860°角是第________象限角． 【解】　由于1 860°＝360°×5＋60°，且60°角为第一象限角，故1 860°角是第一象限角．故填一． 一 返回导航 【解】　因为角α是第一象限角， 所以k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)，(*) 所以k·720°<2α<k·720°＋180°(k∈Z). 故角2α是第一或第二象限角或是终边在y轴的非负半轴上的角． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 角度2　区域角的表示 [例4] 如图，阴影部分表示角α的终边所在的位置，试写出角α的集合．   【解】　①{α|－30°＋k·360°≤α≤k·360°，k∈Z}∪{α|150°＋k·360°≤α≤180°＋k·360°，k∈Z}＝{α|－30°＋2k·180°≤α≤2k·180°，k∈Z}∪{α|－30°＋(2k＋1)·180°≤α≤(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|－30°＋k·180°≤α≤k·180°，k∈Z}． ②{α|－30°＋k·360°<α<60°＋k·360°，k∈Z}． 返回导航 表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． 返回导航 √ √ √ 返回导航 (2)已知角α的终边在图中阴影部分内，则角2α的终边一定不在第___象限． 解析：终边在30°角的终边所在直线上的角的 集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}， 终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}， 因此，终边在题图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}． 设β＝2α，则角β的取值范围为{β|60°＋k·360°≤β<210°＋k·360°，k∈Z}， 所以角2α的终边一定不在第四象限． 四 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 37 √ 1．已知角α＝563°，那么α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：因为α＝563°＝360°＋203°，又180°<203°<270°，所以α的终边在第三象限．故选C. 返回导航 返回导航 3．如图所示，终边落在阴影部分的角α的集合是______________________ ___________________________________． 解析：因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式，所以题图中终边落在阴影部分的角α的集合为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}． {α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z} 返回导航 4．(教材P8练习T3改编)写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角． 返回导航 1．已学习：周期变化、角的概念、终边相同的角、象限角与区域角． 2．须贯通：终边相同的角以及区域角的表示． 3．应注意：(1)终边相同的角的表示中勿漏掉k∈Z； (2)表示区域角时，按逆时针旋转方向来确定区域的始边与终边所对应的角．  返回导航 (3)终边在直线y＝x上的角β的集合S＝__________________________． $