1.2 任意角（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

数学s,·必修第二册 10.函数f)=(-1)是周期函数，且f0+号) f(0),为什么号不是它的周期？ 解：因为当x=2时，f)=(-1)°=1， f(2+号)f=(-10八=-1，所以f(合)≠ f日+号)所以2不是它的周期。 11.设函数y=f(x),x∈R.若函数y=f(x)为偶函 数并且图象关于直线x=a(a≠0)对称，那么函数 y=f(x)为周期函数吗？ 解：由图象关于x=a对称得f(a一x)=f(a十x),可 得f(2a十x)=f(-x). 因为f(x)为偶函数，所以f(一x)=f(x),从而 f(2a十x)=f(x),所以f(x)是以2a为周期的 函数。 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+ 5),当x∈[-2,0)时，f(x)=-(x+2)2,当x∈ [0,3)时，f(x)=x,求f(1)+f(2)十…十 f(2026)的值. 解：由f(x)=f(x十5)，可知f(x)的一个周期为 5,因为当x∈[-2,0)时，f(x)=-(x+2)2,当 x∈[0,3)时，f(x)=x,所以f(1)=1,f(2)=2, f(3)=f(-2)=0,f(4)=f(-1)=-1,f(5)= f(0)=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=2, 所以f(1)+f(2)+…+f(2026)=f(2026)+ 405×[f(1)+f(2)+…+f(5)]=f(1)+2×405 =811. §2.1 课程标准 1.了解角的概念 2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义 3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符 示这些角 课前 [情境引入] 1.当钟表慢了（或快了）一点时，我们会将分针按某个 方向转动，把时间调整准确，在调整的过程中，分针 转动的方向是否相同？ 提示：不同，当钟表慢了，要顺时针转动分针，当钟 表快了，要逆时针转动分针 13.游乐场中的摩天轮匀速旋转， 每转一圈需要12分钟，其中心 ☑7 O距离地面40.5米，半径 40米.如果你从最低处登上摩 天轮，那么你与地面的距离将 随时间的变化而变化，以你登 77777777777777777777 上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现 象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？ (3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？ 解：(1)是周期现象. (2)转四圈需要时间为4×12=48（分钟）. (3)第1次距高地面最高高号=6（分钟），而月期 是12分钟，所以第四次距地面最高需12X3十6= 42(分钟). (4)因为60÷12=5，所以转60分钟时你距离地面 与开始时刻距离地面相同，即40.5一40=0.5 (米). 素养培优 SU YANG PEI YOU 14.已知定义在N上的函数f(n)满足f(n十2)=f(n+ 1)-f(n). (1)求证f(n)是周期函数，并求出其周期； (2)若f(2)=3,求f(2024)的值. 解：(1)因为f(n+2)=f(n+1)-f(n), 所以f(n+3)=f(n+2)-f(n+1) =[f(n+1)-f(n)]-f(n+1)=-f(n), 所以f(n十6)=-f(n+3)=f(n). 所以f(n)是周期函数，周期为6. (2)因为f(n)是周期为6的函数，f(2)=3, 所以f(2024)=f(337×6+2)=f(2)=3. 豆意角 素养解读 1.根据角的概念培养数学直观和逻辑推理素养 2.通过学习终边相同的角、象限角提升数学建 号表 模素养 预习学案 对应学生用书P3 2.在跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻 转两周半”等动作，做上述动作时，运动员转体多少 度？转过的度数还能用0°到360°的角表示吗？ 提示：因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不 同，因此运动员“转体两周”的度数可以是颜时针旋 转720°或逆时针旋转720°，“向前翻转两周半”可以 是顺时针旋转900°或逆时针旋转900°.显然这些角 都不在0°~360°，不能用0°到360°的角表示. [知识梳理] [知识点一]任意角的概念 1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所 成的图形 2.角的表示 如图，①始边：射线的起始位B、 置OA: ②终边：射线的终止位置OB; ③顶点：射线的端点O: ④记法：图中的角a可记为“角a”或“∠a”或 “∠AOB” 3.角的分类 名称 定义 图形 条射线绕其端点 正角 按逆时针方向旋转 形成的角 0 一条射线绕其端点 B 负角 按顺时针方向旋转 形成的角 0 零角 一条射线没有作任 何旋转形成的角 A(B) 门思考1.当角的始边和终边确定后，这个角就被确 定了吗？ 提示：不是的.虽然始、终边确定了，但旋转的方向 和旋转量的大小（旋转圈数）并没有确定，所以角 也就不能确定， 2.你能说出角的三要素吗？ 提示：角的三要素是顶点、始边、终边。 3.正角、负角、零角是根据什么区分的？ 提示：根据组成角的射线的旋转方向， 4.如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是 零角吗？ 提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与 始边重合的角不一定是零角，如360°，一360°等， 角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射 线的旋转， [知识点二]平面直角坐标系中的任意角 1.象限角 在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角 的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在 第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终 边在坐标轴上，这个角不属于任何一个象限. 第一章三角函数 2.各象限角的集合 象限角 象限角a的集合表示 第一象限角 {ak·360°<a<k·360°+90°，k∈Z} 第二象限角 {ak·360°+90°a<k·360°+180°，k∈Z 第三象限角 ak·360°+180°<a<k·360°+270°，k∈Z 第四象限角 Kak·360°+270°<a<k·360°+360°，k∈Z 3.终边落在坐标轴上的角 终边落在x轴的非 {aa=k·360°，k∈Z 负半轴上的角的集合 终边落在x轴的非 {aa=k·360°+180°，k∈Z 正半轴上的角的集合 终边落在x轴上的 {aa=k·180°，k∈Z 角的集合 终边落在y轴的非 负半轴上的角的集合 {aa=k·360°+90°，k∈Z 终边落在y轴的非 {aa=k·360°+270°.k∈Z 正半轴上的角的集合 终边落在y轴上的 角的集合 {aa=k·180°+90°，k∈Z} 终边落在坐标轴上的 {aa=k·90°，k∈Z} 角的集合 4.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成 一个集合S={33=a十k·360°，k∈Z},即任何一 个与角α终边相同的角，都可以表示成角a与周角 的整数倍的和. 5.对终边相同的角的理解 (1)终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重 合，角的始边与x轴的非负半轴重合. (2)a是任意角且k为整数， (3)k·360°与a之间用“+”号连接」 (4)终边相同的角的表示形式不唯一，如{xx=k· 360°-90°，k∈Z}与{xx=k·360°+270°，k∈Z) 均表示终边在y轴的非正半轴上的角的集合. ?思考5.相等的角终边一定相同吗？不相等的角 终边一定不同吗？ 提示：相等的角终边一定相同；不相等的角终边可 能相同，也可能不同 6.角3=a十k·720°，k∈Z,3与a终边相同吗？ 提示：3=a十2k·360°，故3与a终边相同. 7.把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否一 定就是某一个象限的角？ 提示：不一定.因为象限角是指的当角的始边与 轴的非负半轴重合时，终边在哪个象限，我们就说 这个角是第几象限角.如果一个角的终边在坐标轴 上时，我们认为这个角不在任何象限内，又叫轴 线角. 数学s)·必修第二册 8.若角a,3满足S=3g=a十k·360°，k∈Z)时，角 α，3是否是终边相同的角？ 提示：当角a,3满足S={33=a十k·360°，k∈Z} 时，表示角α与B相隔整数个周角，即角α，3终边 相同. [预习自测] 1.下列各命题正确的是 A.终边相同的角一定相等 B.第一象限角都是锐角 C.锐角都是第一象限角 D.小于90°的角都是锐角 答案：C ● 课堂。 题型一 任意角的概念 [例1](1)下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③小于90的角是第一象限角； ④钝角比第三象限角小； ⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角. 其中正确的结论为 (填序号). [思路点拨利用任意角的概念判断， [解析]①90°的角既不是第一象限角，也不是第 二象限角，故①不正确； ②始边相同而终边不同的角一定不相等，故② 正确； ③小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不 正确： ④钝角大于一100°，而一100°的角是第三象限角，故 ④不正确： ⑤0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或 锐角，故⑤不正确. [答案]② (2)若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过 的角度为 ) A.80° B.-80° C.960 D.-960° [解析] D[40÷60=号360×号=240. 2 3 分针是顺时针旋转，时针走过2小时40分，分 针转过的角的度数为一2×360°一240°=一960°，故 选D.] 规律方法 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平 角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向 与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧， 判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需 要举一个反例即可. 2.一1060°的终边落在 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：A[因为-1060°=一3×360°十20°，所以 一1060°的终边落在第一象限.] 3.在（一360°，0°）内与角1250终边相同的角是 解析：与1250°角的终边相同的角a=1250 +k·360°， -360°<a<0,-161<6<-125 36 36 .k∈Z,.k=-4,.a=-190°. 答案：-190 互动学案 对应学生用书P4 ⊙[变式训练] 1.给出下列四个结论：①一15°是第四象限角；②185 是第三象限角；③475°是第二象限角；④一350°是第 一象限角.其中正确的个数为 A.1B.2C.3D.4 解析：D[①一15°在第四象限； ②180°<185°<270°在第三象限； ③475°=360°+115°，而90°<115°<180°，所以 475°在第二象限； ④-350°=-360°+10°是第一象限角. 所以四个结论都是正确的.] 题型二 终边相同的角 [例2]已知a=-1910°. (1)把a写成3十k·360°(k∈Z,0≤3360°)的形 式，指出它是第几象限角； (2)求0，使0与a的终边相同，且-720°≤0<0. 思路点拨j解答本题(1)用a除以360°，使余数 为正，且使余数在[0°，360°)即可；(2)根据终边相 同角的定义，用公式a十k·360°列不等式求解. [解](1).-1910°÷360°=-6余250°， .-1910°=-6×360°+250°， .3=250°，从而a=-6×360°+250°是第三象 限角 (2)令0=250°+k·360°(k∈Z), ,-720°≤0<0°， ∴.-720°≤250°+k·360°<0°， 中-阳<一需 ,k∈Z,.k=-1或-2. 即250°+(-1)·360°=-110°， 250°+(-2)·360°=-470°. .∴.0=-110°或0=-470°. 规律方法 1.终边落在直线上的角的集合的步骤 (1)写出在0°~360°范围内相应的角. (2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合， 、 (3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁. 2.终边相同角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍 (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍。 (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的 整数倍. ◇[变式训练] 2.已知a=-2020°. (1)写出与角aα终边相同的角的集合S,并指出角a 是第几象限的角； (2)写出S中适合不等式一720°≤3<0的角3. 解：(1)S={33=-2020°+k×360°，k∈Z}, .140°=-2020°+6×360°，∴.140°与-2020°的 终边相同. ,140°是第二象限的角，.一2020°是第二象限 的角. (2)S由-720°≤-2020°+k×360°<0°， 解得8是 11 .k∈Z,.k=4或5， 即S中适合一720°≤3<0°的元素有 -2020°+4×360°=-580°， -2020°+5×360°=-220°. 题型三 区间角 [例3]设A={a90°+k·360°≤a≤180° 十k·360°，k∈Z},B为终边在如图所 30 示阴影部分中的角的集合，求A∩B. 汇思路点拔]先写出集合B,再求 A∩B. [解]图中的阴影部分表示终边由一45°逆时针旋 转到120°的所有角，故B={a一45°+k·360°<a <120°+k·360°，k∈Z}(注意不含边界)， 又，A={a90°+k·360°≤a≤180°+k·360°，k∈Z}, .A∩B={a90°+k·360°≤a<120°+k· 360°.k∈Z} 规律方法 区间角是指终边落在坐标系的某个区域内的角. 其写法可分为三步： (1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止 边界； (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 一360°到360°范围内的角α和3，写出最简区 间{xa<x<},注意，若含边界，则不等式中 应带“=”： (3)起始、终止边界对应角a、3再加上360°的整数 倍，即得区间角集合. ⊙[变式训练] 3.如图，角α终边在图中阴影部 分，试指出角a的范围. 解：与30°角的终边在一条直线 75° 30° 上的角的集合为S,={aa=30 0 +k·180°，k∈Z},与180°-75 =105°角的终边在一条直线上的角的集合为S2= {aa=105°+k·180°，k∈Z},因此，在图中阴影部 分的角a的范围为{a30°+k·180°≤a<105°+k ·180°，k∈Z}. 第一章三角函数 题型四 象限角的判断 [例4)已知a为第二象限角，问2a,号分别是第几象 限角？ 汇思路点拨了由角a为第二象限角，可以写出a 的范围：90°+k·360°<a<180°十k·360°，k∈Z, 在此基础上可以写出2a,号的范围，进而可以判 断出它们所在的象限， [解]，90°+k·360°<a<180°+k·360°，k∈Z, .180°+2k·360°<2a<360°+2k·360°，k∈Z, ,2a是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的 非正半轴上的角. 同星45+号·360<号<90+专·360 当k为偶数时，不妨令k=2n,n∈Z,则45°十n· 360°<号<90+n·360,此时，受为第一象限角： 当k为奇数时，令k=2n十1，n∈Z,则225°+n· 360<号<270+n…360,此时，号为第三象限角. “号为第一或第三象限角. 规律方法 (1)解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确 定出a或Q的范围，再根据k与n的关系进 10 行讨论. (2)一搬地，要确定号所在的象限，可以作出n等 分各个象限的从原点出发的射 线，它们与坐标轴把周角等分成 4n个区域，从x轴的正半轴起， 按逆时针方向把这4个区域依 次循环标上号码1、2、3、4，则标 号是几的区域，就是Q为第几象限角时，。终 边可能落在的区城，号所在的象限就可直观地 看出. 例如，已知角Q所在的象限，可用如图求角受 所在的象限，也可以用下表来表示： a所在的象限 二 三 仑 受所在的象限 一、三 一、三 二、四 二、四 (3)这类问题也可采用特值法判断角的终边位置， 知本例中号，45十·180°<号<90°+· 180°，k∈7，令=1,2,3,4分别得号的终边位 于第三、一、三、一象限，如此循环往复，从而可 断定号是第一或第三象限角。 数学s·必修第二册 ◇[变式训练 4.若α是第二象限角，则号是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第四象限角 D.第一象限或第二象限或第四象限角 ● 随堂 1,下列命题中正确的是 A.终边在y轴的非负半轴上的角一定是直角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角 D.始边相同而终边不同的角一定不相等 解析：D[A中的角应与直角终边相同，B中如 480°不是钝角，C中如300°不是负角，只有D 正确.] 2.与600°终边相同的角表示为(k∈Z) ( A.k·360°+220 B.k·360°+240° C.k·360°+60 D.k·360°+2609 解析：B[,600°=240°+360°， .600°与240°终边相同. ∴.与600°终边相同的角即为与240°终边相同， .选B.] 3.已知-990°<a<-630°，且a与120°角的终边相 同，则a= 解析：因为a与120°角的终边相同， 故有a=k·360°+120°，k∈Z. 又因为-990°<a<-630°， 所以-990°<k·360°+120°<-630°， 即-1110°<k·360°<-750° 当k=-3时，a=(-3)×360°+120°=-960°. 答案：一960 4.集合{ak·180°≤a≤k·180°+45°，k∈Z}中角表 示的范围（用阴影表示）是图中的 (填序 号). 课后 基础过关 JI CHU GUO GUAN 1.若角2a与240°角的终边相同，则a= ( A.120°+k·360°(k∈Z) B.120°+k·180°(k∈Z) C.240°+k·360(k∈Z) D.240°+k·180(k∈Z) 答案：B 2.设集合A={00为锐角}，B={00为小于90°的 角}，C={00为第一象限角}，D={00为小于90° 的正角}，则下列等式中成立的是 解析：D[90°十k·360°<a<180°十360°· k,k∈Z, ·30+120°，k<号<60+120°·k,k∈Z, 当=0时，30<号<60，号是第-象限角： 当k=1时，150<号<180，号是第二象限角： 3 当k=2时，270<号<30，号是第四象限角.] 步步夯实 对应学生用书P6 下业0 ② 解析：集合{ak·180°≤a≤k·180°十45°，x∈Z 中，当k为偶数时，此集合与{a0°≤a≤45°}表示终 边相同的角，位于第一象限；当为奇数时，此集合 与{a180°≤a≤225°}表示终边相同的角，位于第三 象限.所以集合{ak·180°≤a≤k·180°+45°，k∈ Z}中角表示的范围为图②所示. 答案：② 5.已知角的集合M={aa=30°+k·90°，k∈Z},回 答下列问题： (1)集合M中大于-360°且小于360°的角是哪 几个？ (2)写出集合M中的第二象限角3的一般表达式. 解：(1令-360<30+6·90<360，得-5<及 <号又：6∈ZA=-4,-3,-2,-1,01,2. 3,.集合M中大于一360°且小于360°的角共有8 个，分别是-330°，-240°，-150°，-60°，30°，120°， 210°，300° (2),集合M中的第二象限角与120°角的终边 相同， .3=120°+k·360°，k∈Z. 素养提升 对应学生课时P3 A.A=B B.B=C C.A-C D.A-D 答案：D 3.如图，终边落在阴影部分的角的 集合是 A.{a-45°≤a≤120} B.{a120°≤a≤315°} 045° C.{ak·360°-45≤a≤k·360°+ 120°，k∈Z} D.{ak·360°+120°≤a≤k·360°+315°，k∈Z} 答案：C 4.在一720°~0°范围内所有与30°角终边相同的角为 A.-330 B.-690° C.-690°或-330 D.-300°或-330° 答案：C 5.(多选)若a=k·180°十45°，k∈Z,则a终边所在的 象限可能是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：AC[由题意知a=k·180°+45°，k∈Z. 当k=2n+1,n∈Z时，a=2n·180°+180°+45 =n·360°+225°，n∈Z,其终边在第三象限； 当k=2n,n∈Z时，a=2n·180°+45°=n·360°+ 45°，n∈Z,其终边在第一象限. 综上，α终边所在的象限是第一或第三象限.] 6.(多选)已知角2a的终边在x轴的上方，那么角a 可能是 ( A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析：AC[因为角2a的终边在x轴的上方，所以 k·360°<2a<k·360°+180°，k∈Z,则有k·1801 <a<k·180°+90°，k∈Z.故当k=2n,n∈Z时， n·360°<a<n·360°+90°，n∈Z,a为第一象限 角；当k=2n十1，n∈Z时，n·360°+180°<a<n· 360°十270°，n∈Z,a为第三象限角.故选AC.] 7.一1040°角在第 象限 解析：与一1040°角终边相同的角可表示为a=k·360° +(-1040),当k=3时，a=40°，所以一1040°角与40° 角的终边相同，故一1040°角的终边在第一象限 答案： 8.已知a=2026°，若3与a的终边相同，且0°<3< 360°，则3= 解析：依题意：a=2026°=5×360°+226°，又3与a 的终边相同，且0°<3<360°，所以3=226°. 答案：226 9.与2025°角终边相同的最小正角是 角；与 2025角终边相同的最大负角是 角. 解析：因为与2025°角终边相同的角是2025°+k·360 (k∈Z),所以当=一5时，与2025°角终边相同的最小 正角是225°角.当k=一6时，与2021°角终边相同的最 大负角是一135°角， 答案：225°一135 10.在与530终边相同的角中，求分别满足下列条件 的角. (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在一720°~一360°范围内的角. 解：(1)与530°终边相同的角为k·360°+530°，k ∈Z.由-360°<k·360°+530°<0°且k∈Z,可得 k=一2，故所求的最大负角为一190°. (2)由0°<k·360°+530°<360°且k∈Z,可得k=-1, 故所求的最小正角为170° (3)由-720°≤k·360°+530°<-360°且k∈Z,可 得k=一3，故所求的角为一550°. 第一章三角函数 11.写出终边在直线y=x上的角的集合 解：终边在直线y=x上的角的集合为： S=S,US2={aa=45°+k·360°，k∈Z}U{aa =225°+k·360°，k∈Z} ={aa=45°+2k·180°，k∈Z}U {aa=45°+(2k+1)·180°，k∈Z ={aa=45°+180°的整数倍} ={aa=45°+n·180°，n∈Z}. 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.已知a,3都是锐角，且a+3的终边与一280°角的 终边相同，a一3的终边与670°角的终边相同，求角 a,B的大小. 解：由题意可知，a十3=一280°+k·360°，k∈Z, ,a,3都是锐角，.0°<a十B<180°. 取k=1,得a十3=80°. ① :a-B=670°+k·360°，k∈Z,a,3都是锐角， ∴.-90°<a-B<90°. 取k=-2,得a-月=-50° ② 由①②，得a=15°，3=65° 13.已知角3的终边在直线√5.x-y=0上. (1)写出角3的集合S; (2)写出集合S中适合不等式一360°<3<720°的 元素 解：(1)如图，直线√3x一y=0 过原点，倾斜角为60°，在0 v=0 一360°范围内，终边落在射 60° 线OA上的角是60°，终边 落在射线OB上的角是 240°，所以以射线OA,OB B/ 为终边的角的集合分别为S1={BB=60°+· 360°，k∈Z, S2=(3B=240°+k·360°，k∈Z, 所以角B的集合S=S,US,={3|3=60°+ k·360°，k∈Z}U{3B=60°+180°+k·360°，k∈Z} ={33=60°+2k·180°，k∈Z}U{33=60°+(2k +1)·180°，k∈Z}={3B=60°+k·180°，k∈Z. (2)由于-360°<3<720°，即-360°<60°+k· 180<720,6C,解得-寻<<号4∈Z,所以友 =-2,-1,0,1,2,3.所以集合S中适合不等式-360 <3720°的元素为60°-2×180°=-300°：60°-1× 180°=-120°； 60°+0×180°=60°；60°+1×180°=240°： 60°+2×180°=420°：60°+3×180°=600° 素养培优 SU YANG PEI YOU 14.已知角a=45°； (1)在一720°~0°内找出所有与角a有相同终边的 角B; (2)集合M={x=专×180+45，k∈Z,N- {xx=冬×180+45，k∈Z,那么两集合的关系 是什么？ 数学s,·必修第二册 解：(1)由题意知：3=45°+k×360(k∈Z), (2)因为M={xx=(2k+1)×45°，k∈Z}表示的 则令一720°≤45°+k×360°≤0°，得-765°≤k× 是终边落在四个象限的平分线上的角的集合； 360≤-45舒得一<≤品由北可知6 而集合N={xx=(k+1)×45°，k∈Z}表示终边 360 落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从 -2或k=-1,则=-675°或3=-315. 而MN. §3.孤度制 课程标准 素养解读 1.理解弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间 通过学习弧度制的有关概念及表示， 的互化 重点培养学生的数学抽象、直观想象 2.体会引入弧度制的必要性 素养 3.理解弧度制下弧长与面积公式 课前。预习学案 对应学生用书P7 [情境引入] [知识点二]角度与弧度的换算 1.在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ 1.角度与弧度的换算 提示：周角的0等于1度. 角度化弧度 弧度化角度 2.在我们度量长度时，有时用“米”作单位，有时用 360°=2rrad 2x rad=360 “尺”作单位，有不同的单位制，度量质量时，可以使 用“千克”“磅”等不同的单位制，角的度量除了角度 180°=元rad 元rad=180 制之外，是否也有不同的单位制呢？ 提示：有不同的单位制，即弧度制. 10= rad≈0.01745rad I rad= 180 180 °≈57°18 [知识梳理] [知识点一]度量角的单位制 2.常用特殊角在两种制度下的对应关系 1.角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定 度 00 160 309 45° 60 75 908 1209 135 1509 周角的0等于1度，记作1 弧 0 元 个 元 5 元 2元 3π 2.弧度制 度 12 6 4 3 3 4 6 (1)单位圆 半径为单位长度1的圆. 度 180° 210 225 240° 270° 300 315 330° 360 (2)弧度制的定义 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称 弧 7x 5π 3π 5π 7x 11x 元 为1弧度，用符号rad表示，读作弧度 度 6 4 3 4 6 2元 以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制， (3)任意角的弧度数与实数的对应关系 ?思考2.角度制、弧度制都是角的度量制，那么它 正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个 们之间换算的关键是什么？ 负数；零角的弧度数是0. 提示：计算时，我们要特别注意πrad=l80°，用这 2思考1.1弧度的定义中，1弧度的角的大小与圆 个公式进行互化即可. 的半径是否有关系？ 3.一30转化为弧度是多少弧度？ 转化为角度是 3 提示：一定大小的圆心角α所对应的孤长与半径 多少度？ 的比值是唯一确定的，所以1孤度的角的大小与 元 120°. 圆的半径无关」 提示：一 6 ·10·