第4章 三角恒等变换 B卷 素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂单元双测卷（北师大版）

数 新高考 第四章 三角恒等变换 学 同步单元双测卷 B卷·素养提升卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分， 7.已知a,阝满足cos2a十 cos a- 共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 +sinB,且a∈ 整 1.若s十 sinx=cos(x十o),则p (0,π)，则a 的值可能是 A吾 B C. D.Z B.- 6 c晋 D. 8.已知函数f(x)=sin wx+√3cosωx(w>0), 1 2.已知x∈(0，π)，c0sx= 4 ,则 0,且f(x)在区间 'tan 2x 若f)+f ( 1 (，上单调递减，则整数w= 7 A.24 B.- C24 D. 24 24 A.1 B.2 3.函数f(x)=sin2x·cos2x是 C.1或2 D.5 A.周期为π的偶函数 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分， B.周期为元的奇函数 共18分.在每小题给出的选项中，有多个 选项符合题目要求.全部选对的得6分，部 C.周期为受的奇函数 分选对的得部分分，有选错的得0分 D.周期为5的偶函数 9.已知0<a<K受，且ana,anB是方程 0+1 7,则tan0= x2一飞x十2=0的两不等实根，则下列结 4.已知2tan0-tan 论正确的是 A.tan a+tan B=-k A.-2 B.-1 C.1 D.2 B.tan(a+B)=-k 5.已知a∈[0，π]，且3sin2 =√1十sina,则 C.k>2√2 菌 D.k+tana≥4 tan 2 10.已知4〔-。一)=im2a+受)，则 A.- B. 1 C. 4 2 3 D.2 下列结论正确的是 3 6.若sina+ 2 ,且α是第三象限角， A.cos a+sin a- 2 则cosa+ 2025π 2 B.a=kπ+T(k∈Z) 4 C.tan 4a=0 A. B. 5 C.- 3-5 D.- 45 D.tan a=1 29 11.已知函数f(x)=sin xcos x-cosx,则 2)若co+求sna的值 A.函数f(x)在区间0，上为增函数 B.直线x=5是函数f(x)图象的一条 对称轴 C.函数f)的图象可由函数y三号sin2 的图象向右平移个单位长度得到 D.对任意x∈R,恒有f(+x十 f(-x)=-1 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分， 共15分.将答案填在题中横线上. 12.已知an+军)-2，则m妥的值 tan 2x 为 13.函数y=sinx十2cosx在区间 [-a上的值域为-，2小，则a的 取值范围是 14.已知函数f(x)=cosx十sinx,给出下 列结论：①f(x)是偶函数；②函数f(x) 的最小值为：③5是函数f(x)的一个 周期：④函数f(x)在(0，受)内是减函 数.其中正确结论的序号是 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)已知∈0 若m。-5求sma+)的值： 30 16.(本小题满分15分)①点P(1,3)在角a 17.(本小题满分15分)已知函数f(x)= 的终边上，②sina=3cosa,③sina十cosg sin a-cos a 2cas〔x+十cos2x-8) =2,在这三个条件下任选一个，完成下 (1)求函数图象的对称轴方程； 列问题. (2)求函数y=f(一x)的单调递减 问题：已知在条件 下， 区间. （1)计算2cosx二a)-3sin+a)的值： 4cos(-a)+sin(2π-a) (2)计算2sin2a+cos2a+1的值. (注：如果选择多个条件分别解答，按第 一个解答给分.) 31 18.(本小题满分17分)已知函数f(x)= 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)= simx+3)+sin-3十cosx os2x+sinx ·（1-2sim2号)其 (1)求函数f(x)的最大值： 中x∈R. 6到=-8当< (1)求使得f(x)≥的x的取值范围： 平时，求2n2二的值。 tan x+1 2若两数)-号m2x+月对 任意的x1,x2∈[0，t],当x1<x2时，均 有f(x1)-f(x2)<g(x1)-g(x2)成 立，求正实数t的最大值 32数学(BS) 所以S2(0)=6·AD·AB =6·20sin0·(10cos0-10√5sin8) =600sin20-1200√5sin2a. (2)因为S1(θ)+S2(θ) =600√5sin20+600sin20-1200√5sin20 =600(sin20-√5sin20) =600sin20+2c0s20号 2 =300√7sin(20+41)-300√5. 所以当0=24.5°时，种植鲜花的面积最大， 最大值为300√7-300√5平方米. 第四章 三角恒等变换 (B卷) 号sinz=齐+sinx·sin π ）=cos十p),故g的值可能为一平故 选A.] 2.A[因为x∈(0，π)，cosx= 4,所以sinx= 5,tanc 是，所以an2z 2tan x24 1-tan2.x 7 所以1 .故选A] tan 2x 24' 3.C[f(x)=2sin4x所以T=受，fx)为奇画疑，故 1 选C.] 4.D[由题意可知2tan0- -tan97,整理得2tan0 1+tan 0 -2tan0-1-tan0=7-7tan8.化简得(tan9-2)2= 0.故tan0=2.故选D.] 5.B[由于0≤a≤，所以0≤号≤受， 故sin 号≥0，c0s号≥0，周此V1十sima √im2+2simcos号+cos2号=sin号+cos号， 所以sim号十os号=3in号，即s号=2sin受，故 tan 2 ws号 6B[因为sn+）=-casa=，中os=一 3 且a是第三象限角，则sina=一√1-cosa= 所 4 2 ）=cos(a++1012x)= 7.c[由于sm(+)·sim(-）+sim 子cosg-子sn2+sim=是cos2+sim2g子，因 3 3 此c0s2a+号·c0sa=，即2osa-1+号c0sa= 必修第二册 异，解得c0s8=我c0s。=子（合去）又国为C (0,x,所以a=子] &.B[fx)=sin r+5 Os=2sin(ar+晋），令号 十2张x≤r+吾<2kx+经，k∈乙，当k=0时，磊<d 2 <石由于fx)在区间（后，受）上单调逅减，所以 6w (货)[高]即 661 元7 解得1<w<子，所 26 以。=1或如=2.当w=1时f(骨)十f(受）-3≠0， 不符合题意：当w=2时，满足f()十f()=0.故 w=2.] 9.BCD[因为tana,tanB是方程x2-kx十2=0的两 不等实根， 所以tana+tan3=k,tana·tanB=2, tan(a十3)= g合 由0<a<K受，得tana,lanB均为正数， 则tana十tan3=k≥2√tana·tanF=2√2，当且仅 当tana=tanB时取等号，等号不成立，k十tana=2tana +tanB≥2√2tana·tanF=4,当且仅当2tana= tanB时取等号，故选BCD.] 10.BCD ,[同为4o（-g-)-m(2a+）且 co(a晋)=oe+置)片 sim(2a+）=-os2a, 所以4cos(+开) =-cos 2a, p22(cos a-sin a)=-(cos a-sin a)(cos a+sin a), 所以(cosa-sina)(2√2+cosa十sina)=0. 又cosa+sina>-1-1=-2, 故2√2+cosa+sina>0 所以cosa-sina=0,tana=1,选项D正确，且a= 晋十a∈乙，选项B正确， 4a=π十4kπ，所以tan4a=tan(π+4kπ)=0，选项C 正确， 2 当a为锐角时，sina=cosa=号，sina十cosa=√2， 选项A错误.故选BCD.] 1.ABD[由题意得f()=号sin2x-1+c9s2 2 9m(2x晋)当ze(0管)时，2x-昏 (于，0小函数f)为增函教，故A说法正确；令2江 至-受十xk∈乙得x誓+经k∈Z,显然直线x 一誓是画数化)因象的一条对龄轴：故B说法正确：画 78 参考 数)一号n2:的国象向右平移答个率位长度得到西 效y-号m2(音）号)的图象，故 C说法暗误：f(骨+)十--号m(2+) 号n(2十晋）-1=-1，故D说法正确，故 选ABD.] 12解折：因为an(+)-巴2 所以tanx= 3,又因为tan2x= tanx,所以 1-tanx 温器-21-m)-÷×）告 答案：号 13.解析：由已知得y=1-cos2x+2cosx=-(cosx 十2，：此函数在区同[一行]上的位城为 [子2]并且0sx取得最大值1，即x=2x,k∈ Z时，函数值为2，≥0，又当x=-时，函数值 3 为一子，当x=警时，函数值为-子a<行@ 3 的取值范国是0<a< 答案[0] 14.解析：易知f(x)的定义域为R,其图象关于原点对 称.又f(-x)=cos(-x)+sin2(-x)=cos4x十 sin2x=f(x),故函数f(x)是偶函数，故①正确：由于 f(x)=(1-sin2x)2+sin2x sin'r-sin2+1= (nz）广+是且mx∈[0,1，所以当sm 111 子时fx)=子，所以®正确：f(+受） sin'(+号）sinm2(e+)+1=cosx+1-cog2x =cos十sin2,则f()=f(+受）故圆正确；因 为()子f()=1,所以f()f(受) 所以④错误. 答案：①②③ 15.解：(1)因为sina= e∈(，受）所以msa =25 5 所以sin(e+）号ma+s=+2 10 10 5+25 10 2周为(0，受)所以a+晋∈（倍） 又(+)所以+)=2 答案 所以sina=sin[a+看）否] -n(a+晋）os(+） 2√15_5_2√15-√⑤ 1010 10 16.解：条件①因为点P(1,3),所以tana=3, 条件②因为sina=3cosa,所以tana=3, 条件③因为ima十cosg=2, sin a-cos a 所以sina十cosa=2sina-2cosa, 所以sina=3cosa,tana=3, 因此选哪个条件都有tana=3, 若选择①，则tana=3. (1)原式=-2c0sa+3sine=2+3ana=7. 4cos a-sin a 4-tan a (2)2sin 2a+cos 2a+1 -4sin acos a+2cosa-4sin acos a+2cos sin2a+cos"a 4tan a+27 tan2a+1 -5 1.解：fx)=2o(+)+o(2a-登) os(a+)十1+cos(2:一) =sin(2x+8)+os(2:+)+1 =·sin(2x++)十1 =Ein(2x+)十1 令2x+号=kx+受k∈乙， 解得1受+登∈乙。 故品钱图象的对称轴方程为工-管+臣〔∈Z, (2y=f-x)=2sim(-2x+号）+1 =-·i如(2x)+1. 令-+2km≤2-≤+2kx,k∈Z, 解得-意+kx≤<+kx,k长乙， 故函数y=f(一x)的单调递减区间是 18,解：f)=sos号+sin+no π =sin z+cos x =厄sin(e+资）： ∴函数f(x)的最大值为√瓦. (2)结合1)得f(-艺）-2sin(-)片 sin(e-晋) 32 5 数学(BS)· m()即m。 3 .'sin x-cos x=- 3瓦 6 18 两边平方得1-2 sin ccos=25 ∴.2 sin rcos x= 25 .(sin x+cos z)2=1+2sin xcos r= 32 25 .'sin x+cos z<0,.'.sin z+cos x=- 4v② 5 2sin'-sin 2r2sin'r-2sin acosa tan x+1 sin文+1 coS x 2sin acos x(sin x-cos x) sin x+cos x 3√2 5 42 100 5 19.解：(1)由题意得f（x)=2cos2x+ （-2sm2营)smx=号n(z+） ◆9(2x+)）P2 得m(2+)户9 即+2<2x+<+2kx, 4 故x的取值范国为[x,+]∈Z (2)由题意得f(x1)-g(x1)<f(x2)-g(x2), 令h(x)=f(x)-g(x) 9n(:+）竖n(e+) 号[(2x+)n(2:+)] =ico(x+）sin(-至) =sin 2x,h()<h(x2 ) 故h(x)在区间[0，t]上为增函数， 由2kr-<2x<2x+受，k∈Z得出， x-香<<x+至k∈Z 则函数h(x)包含原点的单调递增区间为 [至晋]即至，故正实教1的最大值为至 第五章复数 (A卷) 1.A[复数之=(1-mi)2=m22-2mi+1=1-m2- 2mi,因为复数之为纯虚数，所以1一m2=0且一2m≠ 0,解得m=士1，故选A.] 必修第二册 2.B[设复数之的虚部为b, 则之=-√5+bi,b>0, .3=√5+b, .b=2,.之=-5+2i, 则之的共轭复数是一√5一2i,故选B.] 3.D[由m+i=1+i(m,n∈R),∴.m=1且n=1,则 m+i_1+i_(1+i)2 m-ni 1-i 2 =i.] 4.C[x=3-2ai_3i+2a=-2a-3i, 一1 :复数之在复平面内对应的点在第三象限 ∴.-2a<0台a>0, .“复数之=3一2在复平面内对应的，点在第三象限” 是“a>0”的充要条件，故选C.] 5.B[,2-i是关于x的实系数方程x2十px十g=0的 一个根， ∴.2十i是关于x的实系数方程x2十px十g=0的另一 个根， 则q=(2-i)(2+i)=4+1=5.故选B.] 6.B[x=3+4i,∴.x=√32+4=5， ∴.之=3+4i-5-(1-i)=(3-5-1)+(4+1)i=-3 +5i. 复数之在复平面上的对应点在第二象限.故选B.] 7.C[z=1+2i, 则質 则一0+2n-2D可-i故选C] 4i 8.A[由题意可得之1=2-i,2=-i, 则4=2i_i2-=1+2i,2=1, 之2 一2 据此可得+2=2十2i故选A.] 22 9.ACD[对于A,由复数的几何意义知，实轴上的点表 示的数均为实数，A正确；对于B,原点在虚轴上，原点 代表的数为零，不是纯虚数，B错误；对于C,互为共轭 复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数，C正 确：对于D.由1十i):=3-i得= (3一D(1-D_24i=1-2i,所以复数之在复平面内 (1+i)(1-i)2 所对应的点位于第四象限，D正确.故选ACD.] 10.BC[M={i,-1,-i,1},由于(1-i)(1+i)=2E M,号-ieM,告=ieM.1-i=-aEM 故B、C正确.] 11.CD[因为|之1-22不一定等于(1-2)2，故 |1一之2|与√（名1十之2）2一421之2不一定相等，A错误； 若1=2十i,之2=1-2i,则之1=3+4i,号=-3-4i, 好十z号=0，但1=2=0不成立，故B错误；设1=Q +bi(a,b∈R),则1=a-bi,故之1-之1=2bi,当b=0 时是零，当b≠0时，是纯虚数，C正确，D显然正确，] 12.解析：由之·之十之十之=3，得之（之十1）十之十1=4，所以 (之+1)（之+1）=4，即之+1(x十1)=4，所以之+1|2= 4,因此之十1=2. 答案：2