专题03 三角恒等变换（期末复习讲义，10大重难题型）高一数学下学期北师大版

专题03 三角恒等变换（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 同角三角函数关系 题型二 和差角公式（公式的使用） 题型三 和差角公式（多角转化） 题型四 和差角公式（计算） 题型五 和差角公式（凑角） 题型六 二倍角公式（公式使用） 题型七 二倍角公式（凑角） 题型八 半角公式的应用 题型九 积化和差、和差化积 题型十 恒等变换的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 同角三角函数关系 公式的应用，平方和弦化切方法 基础必考点，常出现在小题中，考查对应的公式的直接使用和平方、弦化切的做题方法，属于基础题型 和差角公式 公式的应用和化简 基础必考点，常出现在小题中，考查和差角公式的应用和逆用，并结合凑角进行分析，属于基础和中偏难题型 二倍角公式 公式的应用和化简 基础必考点，常出现在小题中，考查和差角公式的应用和逆用，并结合凑角进行分析，属于基础和中偏难题型 半角公式 公式的应用和角度象限的判断 基础必考点，常出现在小题中，考查和差角公式的应用，利用倍角公式进行推导，从而转化，属于中等题型 积化和差、和差化积公式 公式的应用 基础必考点，常出现在小题中，考查和差角公式的应用，属于中偏难题型 恒等变换与三角函数性质的综合应用 公式的综合应用，三角函数的图像和性质 基础必考点，长处现在多选和解答题中，考查恒等变换的公式和三角函数图像和性质的应用，属于基础和中等题型 知识点01 同角三角函数关系 1、同角三角函数关系式：①；②； 常见变形有：； 易错点：在应用方面，没有注意到角所在的象限，即正负号的判断上存在问题. 知识点02 和差角公式 1、正弦的和差角公式：； 2、余弦的和差角公式：. 3、正切的和差角公式：. 易错点：公式的正负号使用混淆. 知识点03 二倍角公式，降幂公式，辅助角公式 1、二倍角公式：； 2、降幂公式：. 3、辅助角公式：，其中. 4、半角公式：. 5、万能公式：. 易错点：降幂公式和半角公式混淆，正负号的判断不清楚. 知识点04 积化和差、和差化积公式 1、积化和差公式：；； ；. 2、和差化积公式:；； ；. 易错点：不会使用公式及公式的错误判断. 题型一 同角三角函数关系 解｜题｜技｜巧 解题常用平方关系、商数关系、倒数关系化简求值。已知一角函数值求其余值，先判断角所在象限定符号，再代入公式计算；齐次式题型统一弦化切求解。 易｜错｜点｜拨 忽略角度范围导致正负取值错误；平方开根未分类讨论；化简随意约分、漏写定义域；混用诱导公式与同角公式；求值时遗漏多解情况，计算符号失误。解题先定象限符号，再套用公式，做完核验取值合理性。 【典例1】．已知，则（ ） A． B． C． D．1 【典例2】．（多选）已知，且，下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．已知，则___________． 【变式3】．三角函数变形化简中常用“切割化弦”的技巧．其中“弦”指正弦函数与余弦函数，“切”指正切函数与余切函数，“割”指正割函数与余割函数．设是一个任意角，如图所示，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为与原点的距离为，则的正割函数定义为，余割函数定义为． (1)证明：； (2)若为第二象限角且，求的值． 题型二 和差角公式（公式的使用） 解｜题｜技｜巧 解题熟记正余弦、正切和差公式，灵活正向展开、逆向合并。角度拆分凑特殊角，配凑角的和差关系代换求解；弦切互化统一形式计算。 易｜错｜点｜拨 记错公式符号与系数，正弦差余弦易混淆；忽略正切公式定义域限制；角度范围判断失误，影响函数正负；凑角时角度换算出错；混用诱导与和差公式，化简步骤随意变形，计算细节易出现数值差错。 【典例1】．已知且，则（ ） A． B． C． D． 【典例2】．（多选）已知分别为第一、第三象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（ ） A． B． C． D． 【变式2】．和是关于的方程的两根，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】．已知，，，则（ ） A． B． C．1 D．2 题型三 和差角公式（多角转化） 解｜题｜技｜巧 解题灵活拆角、凑角转化已知角度，结合同角关系、诱导公式联动运算。可整体代换求值，齐次式弦切互化，搭配公式变形化简最值、证明类题型。 易｜错｜点｜拨 角度等量代换出错，公式正负符号混淆；忽视角范围，判断函数取值偏差；多公式混用步骤混乱；拆分角度不符合实际范围；整体代换遗漏隐含条件，计算化简易出现运算失误。 【典例1】．已知，则（ ） A． B． C． D． 【典例2】．已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（多选）已知，为锐角，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】．已知，，，，则________. 题型四 和差角公式（计算） 解｜题｜技｜巧 先将所求角拆为已知特殊角、关联角的和差形式，套用和差公式展开计算。结合同角关系算出基础函数值，代入公式逐步运算，特殊角数值牢记准确。 易｜错｜点｜拨 角度拆分搭配失误，公式正负号记混；未判定角的范围，函数符号取值出错；特殊角三角函数值记错；展开计算合并同类项出错；直接近似估算代替公式运算，忽略精确求值要求。 【典例1】．若，，则的大小关系是（ ） （ ） A． B． C． D． 【典例2】．__________． 【变式1】．（多选）下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．化简的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【变式3】．______． 题型五 和差角公式（凑角） 解｜题｜技｜巧 解题核心找准角的等量关系，把目标角拆解成已知角的和差形式，常见配凑如。结合同角公式求出对应三角函数值，再代入和差公式运算，灵活结合范围判定符号。 易｜错｜点｜拨 角的配凑思路出错，关系式构造不合理；忽略角度区间限制，函数正负判断偏差；套用公式混淆符号；拆分后角度范围把控不当，代值计算粗心出错。 【典例1】．已知，，，，则（ ） A． B． C． D． 【典例2】．若，则（ ） A． B． C． D． 【典例3】．已知，则__________. 【典例4】．已知为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 【变式1】．已知为第一象限角，，，则_____. 【变式2】．已知，，，则_____. 【变式3】．若，则____________________. 【变式4】．已知，，且. （1）求的值； （2）求. 题型六 二倍角公式（公式使用） 解｜题｜技｜巧 熟练掌握正弦、余弦、正切二倍角及余弦变形公式，解题可正向展开、逆向合并化简。常规题型直接代公式计算，遇高次三角函数利用降幂公式转化，结合角的范围判定函数符号，也可搭配和差公式综合运算。 易｜错｜点｜拨 公式系数、符号易记混；降幂变形换算出错；忽略角度范围导致正负取值错误；正切二倍角忽视定义域限制；化简时随意约分，遗漏隐含取值条件。 【典例1】．已知，则（ ） A． B． C． D． 【典例2】．（ ） A． B． C． D． 【典例3】．若为第二象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】．若是第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 题型七 二倍角公式（凑角） 解｜题｜技｜巧 依托角的倍数、半倍关系凑角变形，常用半角、二倍角转化，把目标角拆成已知角的二倍或半倍形式。结合二倍角、降幂公式换算，搭配同角关系求取函数值，依据角度区间判定正负。 易｜错｜点｜拨 倍角、半角换算关系判断失误；公式符号系数记错；角度缩放后范围把控不准，符号判定出错；凑角后混用公式，逆向还原变形易出错，数值计算疏漏偏差。 【典例1】．若，则（ ） A． B． C． D． 【典例2】．若，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】．已知，则的值等于（ ） A． B． C． D． 题型八 半角公式的应用 解｜题｜技｜巧 依据半角正余弦、正切公式运算，可直接代式求值，也能结合二倍角公式互相转化。解题先根据已知角范围，判定半角所在象限，确定函数正负，也可巧用不带根号的万能形式简化计算。 易｜错｜点｜拨 开方后符号极易判断错误；混淆半角与倍角换算关系；记错公式系数结构；忽略角度缩放后的区间变化；根式化简运算失误，混用不同形式公式导致结果偏差。 【典例1】．已知为锐角，，则（ ）． A． B． C． D． 【典例2】．若，，则____________． 【变式1】．已知，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（ ） A． B．0 C． D． 题型九 积化和差、和差化积 解｜题｜技｜巧 根据式子结构选择对应公式，乘积形式转化为和差，和差形式合并为乘积。多用于化简、求值、证明，常搭配角的范围判定符号，结合其他三角公式联动运算，整体变形简化算式。 易｜错｜点｜拨 公式系数、角度配比易记错；正负符号辨别失误；随意拆分合并式子破坏结构；忽略角取值范围误判符号；变形后未检验定义域，混用公式导致化简结果出错。 【典例1】．计算：（ ） A． B． C． D． 【典例2】．已知角满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【典例3】．已知角，，满足，且，则()()()=（ ） A．0 B．1 C． D． 【变式1】．已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】．设，则（ ） A．1 B． C． D． 【变式3】．若，，则（ ） A． B． C． D． 题型十 恒等变换的综合应用 解｜题｜技｜巧 解题先观察式子结构，灵活选用和差、倍角、升降幂、和差化积公式统一角度与函数名。优先降次、消元、凑特殊角，结合角的范围判断符号，再开展化简求值、最值与证明运算。 易｜错｜点｜拨 公式混用记错符号系数；角度变换后区间判断偏差；化简随意变形出错；忽略函数定义域限制；多次变换后未核验结果，计算细节失误丢分。 【典例1】．已知函数，． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在上的最小值和最大值． 【典例2】．已知函数（其中） （1）求函数的值域； （2）若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调增区间． 【变式1】．已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【变式2】．已知． (1)求f（x）的最小正周期与图象的对称轴方程； (2)已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值． 【变式3】．如图，在半径为、圆心角为的扇形的半径上任取一点，过且平行于半径的直线与弧交于点． (1)若为的中点，证明：不是弧的中点； (2)求周长的最大值； (3)作，垂足为，求四边形面积的最大值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．的值是（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．在中，，，则（ ） A． B． C． D． 5．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，均为锐角，，，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 8．古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 9．在中，，，则__________. 10．____________． 四、解答题 11．已知． (1)求函数的解析式； (2)若，且，求的值； (3)求在区间上的最值及相应的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（ ） A． B． C． D．1 2．已知，若，则（ ） A． B． C． D． 3．若，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，则（ ） A．2 B． C． D．10 5．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 8．已知，为锐角，，，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 9．______． 10．已知，则的值为______. 四、解答题 11．已知函数． (1)求的解析式和对称轴； (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．对于任意的，方程有且仅有一个解，求的取值范围． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知，则等于（ ）． A． B． C． D． 2．若，，则（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 3．已知，则（ ） A． B． C． D．1 4．已知函数 (1)若的最小正周期为，求，的单调区间． (2)将（1）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称．若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于7个且不多于10个，求正实数的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角恒等变换（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 同角三角函数关系 题型二 和差角公式（公式的使用） 题型三 和差角公式（多角转化） 题型四 和差角公式（计算） 题型五 和差角公式（凑角） 题型六 二倍角公式（公式使用） 题型七 二倍角公式（凑角） 题型八 半角公式的应用 题型九 积化和差、和差化积 题型十 恒等变换的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 同角三角函数关系 公式的应用，平方和弦化切方法 基础必考点，常出现在小题中，考查对应的公式的直接使用和平方、弦化切的做题方法，属于基础题型 和差角公式 公式的应用和化简 基础必考点，常出现在小题中，考查和差角公式的应用和逆用，并结合凑角进行分析，属于基础和中偏难题型 二倍角公式 公式的应用和化简 基础必考点，常出现在小题中，考查和差角公式的应用和逆用，并结合凑角进行分析，属于基础和中偏难题型 半角公式 公式的应用和角度象限的判断 基础必考点，常出现在小题中，考查和差角公式的应用，利用倍角公式进行推导，从而转化，属于中等题型 积化和差、和差化积公式 公式的应用 基础必考点，常出现在小题中，考查和差角公式的应用，属于中偏难题型 恒等变换与三角函数性质的综合应用 公式的综合应用，三角函数的图像和性质 基础必考点，长处现在多选和解答题中，考查恒等变换的公式和三角函数图像和性质的应用，属于基础和中等题型 知识点01 同角三角函数关系 1、同角三角函数关系式：①；②； 常见变形有：； 易错点：在应用方面，没有注意到角所在的象限，即正负号的判断上存在问题. 知识点02 和差角公式 1、正弦的和差角公式：； 2、余弦的和差角公式：. 3、正切的和差角公式：. 易错点：公式的正负号使用混淆. 知识点03 二倍角公式，降幂公式，辅助角公式 1、二倍角公式：； 2、降幂公式：. 3、辅助角公式：，其中. 4、半角公式：. 5、万能公式：. 易错点：降幂公式和半角公式混淆，正负号的判断不清楚. 知识点04 积化和差、和差化积公式 1、积化和差公式：；； ；. 2、和差化积公式:；； ；. 易错点：不会使用公式及公式的错误判断. 题型一 同角三角函数关系 解｜题｜技｜巧 解题常用平方关系、商数关系、倒数关系化简求值。已知一角函数值求其余值，先判断角所在象限定符号，再代入公式计算；齐次式题型统一弦化切求解。 易｜错｜点｜拨 忽略角度范围导致正负取值错误；平方开根未分类讨论；化简随意约分、漏写定义域；混用诱导公式与同角公式；求值时遗漏多解情况，计算符号失误。解题先定象限符号，再套用公式，做完核验取值合理性。 【典例1】．已知，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为，所以， 上下同除即可得， 代入，可得. 【典例2】．（多选）已知，且，下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对A，两边同平方即可判断；对B，根据和即可判断；对C，利用完全平方式的变形即可判断；对D，联立方程组即可判断. 【详解】对A，因为，两边平方得：，A错误； 对B，因，且，所以，B正确； 对C，因为，所以，，所以， 因为，，则，即：，故C正确； 对D，联立：及，解得：，，故D错误. 故选：BC． 【变式1】．（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由条件等式两边平方，结合平方关系可得判断A；结合可得判断B；求得的值，可求判断C；解方程求得，进而利用商数关系计算可判断D. 【详解】对于A，由，得， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以，结合中,所以，所以，故B正确； 对于C，， 又因为，，所以， 所以，故C错误； 由，可得，所以，故D错误. 故选：AB. 【变式2】．已知，则___________． 【答案】 【分析】根据齐次式方程化简计算即可求解. 【详解】 故答案为：. 【变式3】．三角函数变形化简中常用“切割化弦”的技巧．其中“弦”指正弦函数与余弦函数，“切”指正切函数与余切函数，“割”指正割函数与余割函数．设是一个任意角，如图所示，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为与原点的距离为，则的正割函数定义为，余割函数定义为． (1)证明：； (2)若为第二象限角且，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）依题意可知，，代入不等式左边结合同角三角函数平方关系和基本不等式证得不等式； （2）由题意知，根据平方关系和诱导公式计算得到结果； 【详解】（1）因为，所以，， ， 当且仅当时，等号成立． （2）由题意知，且为第二象限角， 所以， 所以 ． 题型二 和差角公式（公式的使用） 解｜题｜技｜巧 解题熟记正余弦、正切和差公式，灵活正向展开、逆向合并。角度拆分凑特殊角，配凑角的和差关系代换求解；弦切互化统一形式计算。 易｜错｜点｜拨 记错公式符号与系数，正弦差余弦易混淆；忽略正切公式定义域限制；角度范围判断失误，影响函数正负；凑角时角度换算出错；混用诱导与和差公式，化简步骤随意变形，计算细节易出现数值差错。 【典例1】．已知且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平方关系求得，再由两角和的余弦公式求值. 【详解】因为，， 所以， 则． 故选：C. 【典例2】．（多选）已知分别为第一、第三象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先由，结合同角三角函数关系可得，，，，进而可判断AB，根据两角和与差的余弦公式可判断CD. 【详解】因，得， 又，得，即， 因为第一象限角，故，， 同理可得，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：AD 【变式1】．（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，再根据两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为. 故选：C 【变式2】．和是关于的方程的两根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数根与系数的关系与两角和正切的计算即可. 【详解】由和是关于的方程的两根， 则，， . 故选：C 【变式3】．已知，，，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题可求得，进而得到，即，进而得到，再代入求即可． 【详解】，即， ， ， 由解得， ， ，则， ，又， ，即， 则，即， 解得或（舍去）． 故选：B． 题型三 和差角公式（多角转化） 解｜题｜技｜巧 解题灵活拆角、凑角转化已知角度，结合同角关系、诱导公式联动运算。可整体代换求值，齐次式弦切互化，搭配公式变形化简最值、证明类题型。 易｜错｜点｜拨 角度等量代换出错，公式正负符号混淆；忽视角范围，判断函数取值偏差；多公式混用步骤混乱；拆分角度不符合实际范围；整体代换遗漏隐含条件，计算化简易出现运算失误。 【典例1】．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值. 【详解】由题意可得：， 则：，， 从而有：， 即. 故选：B. 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题 【典例2】．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 【变式1】．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 【变式2】．（多选）已知，为锐角，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角函数的两角和差公式和同角三角函数的基本关系逐项计算即可. 【详解】对于A，，故， 则，故故A错误； 对于B，故B正确； 对于C，，故， 因为，为锐角，所以，故， 故 所以故C正确； 对于D，由B知，，故 所以 故，故D正确. 故选：BCD 【变式3】．已知，，，，则________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，再结合角的范围及同角公式求解. 【详解】由及，得， 由，得，而，则， 由，，得. 故答案为： 题型四 和差角公式（计算） 解｜题｜技｜巧 先将所求角拆为已知特殊角、关联角的和差形式，套用和差公式展开计算。结合同角关系算出基础函数值，代入公式逐步运算，特殊角数值牢记准确。 易｜错｜点｜拨 角度拆分搭配失误，公式正负号记混；未判定角的范围，函数符号取值出错；特殊角三角函数值记错；展开计算合并同类项出错；直接近似估算代替公式运算，忽略精确求值要求。 【典例1】．若，，则的大小关系是（ ） （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知得利用两角和的正弦公式求解，用两角和的余弦公式求解，先利用正切化弦，再利用余弦的二倍角公式求解，然后将三个值都化在内，利用函数的单调性求解即可. 【详解】由已知得 ， ， ， 因为在上单调递增， 所以， 所以. 【典例2】．__________． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换先化简，结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意得： . 故答案为：. 【变式1】．（多选）下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】对于A，由两角和的正弦公式可判断，对于BC，由两角和的正切公式可判断，对于D，由切化弦，结合余弦二倍角公式可判断. 【详解】 ，A正确； ， 所以，B正确： ，C错误； ，D错误． 故选：AB． 【变式2】．化简的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先由同角关系将化为，通分后使用辅助角公式结合二倍角公式将原式化简为，再使用诱导公式化简为最终结果即可. 【详解】原式可化为 ， 故选：B. 【变式3】．______． 【答案】 【详解】 . 题型五 和差角公式（凑角） 解｜题｜技｜巧 解题核心找准角的等量关系，把目标角拆解成已知角的和差形式，常见配凑如。结合同角公式求出对应三角函数值，再代入和差公式运算，灵活结合范围判定符号。 易｜错｜点｜拨 角的配凑思路出错，关系式构造不合理；忽略角度区间限制，函数正负判断偏差；套用公式混淆符号；拆分后角度范围把控不当，代值计算粗心出错。 【典例1】．已知，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以，为整体，可得，结合三角恒等变换运算求解即可. 【详解】因为，则， 且，可得， 又因为，则， 且，可得， 所以 . 故选：A. 【典例2】．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B； 再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 【典例3】．已知，则__________. 【答案】/ 【分析】平方相加可得，即可根据角的范围求解. 【详解】将两式平方, 相加得，即， 因为，所以，所以. 故答案为： 【典例4】．已知为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果. 详解：解：（1）因为，，所以． 因为，所以， 因此，． （2）因为为锐角，所以． 又因为，所以， 因此． 因为，所以， 因此，． 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”. (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 【变式1】．已知为第一象限角，，，则_____. 【答案】 【分析】由同角三角函数的基本关系，得，再由进行求解. 【详解】因为为第一象限角，则， 又，可知为第一象限角， 所以，所以， 又， 所以 . 故答案为： 【变式2】．已知，，，则_____. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用和差角的余弦公式，结合同角公式求解. 【详解】由，得，而，则， 又 ，解得， 又，则， 所以. 故答案为： 【变式3】．若，则____________________. 【答案】/ 【分析】将条件式两式平方相加，结合平方关系和两角差的余弦公式求得；再由条件式结合平方关系消去，化简求得. 【详解】因为，，两式平方相加得， ， 整理得，即. 由，得，由，得， 所以， 展开化简整理得，即. 故答案为：；. 【变式4】．已知，，且. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先根据，且，求出，则可求，再求； （2）先根据，，求出，再根据求解即可. 【详解】（1）∵且， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ， 所以. 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．本题考查运算求解能力，是中档题. 题型六 二倍角公式（公式使用） 解｜题｜技｜巧 熟练掌握正弦、余弦、正切二倍角及余弦变形公式，解题可正向展开、逆向合并化简。常规题型直接代公式计算，遇高次三角函数利用降幂公式转化，结合角的范围判定函数符号，也可搭配和差公式综合运算。 易｜错｜点｜拨 公式系数、符号易记混；降幂变形换算出错；忽略角度范围导致正负取值错误；正切二倍角忽视定义域限制；化简时随意约分，遗漏隐含取值条件。 【典例1】．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数关系式及二倍角公式计算可得. 【详解】因为，两边平方得， 整理得，所以. 故选：A. 【典例2】．（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解. 【详解】由题意， . 故选：D. 【典例3】．若为第二象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的商关系和二倍角公式进行化简可求得，然后根据同角三角函数的关系求出. 【详解】由题意得，，化简得， 整理得，,， 因为为第二象限角，所以. 故选：A 【变式1】．若是第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角的三角函数关系式及倍角公式可得答案. 【详解】由及， 得：， 即：， 解得：， 由于在第四象限，， 故：； 所以. 故选：D 【变式2】．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 【变式3】．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】，得， 即，解得或（舍去）， 又. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 题型七 二倍角公式（凑角） 解｜题｜技｜巧 依托角的倍数、半倍关系凑角变形，常用半角、二倍角转化，把目标角拆成已知角的二倍或半倍形式。结合二倍角、降幂公式换算，搭配同角关系求取函数值，依据角度区间判定正负。 易｜错｜点｜拨 倍角、半角换算关系判断失误；公式符号系数记错；角度缩放后范围把控不准，符号判定出错；凑角后混用公式，逆向还原变形易出错，数值计算疏漏偏差。 【典例1】．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式及二倍角公式进行求解． 【详解】 ． 故选：B 【典例2】．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式求出，然后运用诱导公式即可得解. 【详解】由已知得，，即， 则. 故选：A 【变式1】．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角的余弦公式和诱导公式计算即可. 【详解】因为，所以. 所以. 故选：B. 【变式2】．已知，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简可得出的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】因为， 所以， 所以，故， 故. 故选：C. 题型八 半角公式的应用 解｜题｜技｜巧 依据半角正余弦、正切公式运算，可直接代式求值，也能结合二倍角公式互相转化。解题先根据已知角范围，判定半角所在象限，确定函数正负，也可巧用不带根号的万能形式简化计算。 易｜错｜点｜拨 开方后符号极易判断错误；混淆半角与倍角换算关系；记错公式系数结构；忽略角度缩放后的区间变化；根式化简运算失误，混用不同形式公式导致结果偏差。 【典例1】．已知为锐角，，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 【典例2】．若，，则____________． 【答案】/ 【分析】先利用同角三角函数的关系求出，再利用半角公式求出，，从而可求出，进而可求得答案 【详解】因为，， 所以， 因为 所以， 所以，， 所以， 所以， 故答案为： 【变式1】．已知，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的范围，然后利用半角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以. 故选：A 【变式2】．（ ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式得出，，根据半角公式求出，从而得出的值. 【详解】因为，， 所以. 根据半角公式， 所以. 故选：D. 题型九 积化和差、和差化积 解｜题｜技｜巧 根据式子结构选择对应公式，乘积形式转化为和差，和差形式合并为乘积。多用于化简、求值、证明，常搭配角的范围判定符号，结合其他三角公式联动运算，整体变形简化算式。 易｜错｜点｜拨 公式系数、角度配比易记错；正负符号辨别失误；随意拆分合并式子破坏结构；忽略角取值范围误判符号；变形后未检验定义域，混用公式导致化简结果出错。 【典例1】．计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和差角公式以及积化和差公式即可求解. 【详解】 ， 故选：C 【典例2】．已知角满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用积化和差公式得到，代入求值即可. 【详解】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C 【典例3】．已知角，，满足，且，则()()()=（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】结合诱导公式与和差化积公式进行求值. 【详解】因为. 由和差化积公式得： . 所以或或. 若，则； 同理，当或时，都有. 故选：A 【变式1】．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据及将已知化简，再根据辅助角公式结合余弦函数的性质求出，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】 ， ， 因为， 所以， 所以， 即，即， 所以或，， 所以， 故， 所以. 故选：A. 【变式2】．设，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】使用和差化积公式化简分子即可代值求解． 【详解】， ， 代入，． 故选：A． 【变式3】．若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题及两角差的余弦公式可得的值，再由和差化积公式可得的值，即可求解. 【详解】由题知. ∵， ∴， 即. ∴. 故选：C. 题型十 恒等变换的综合应用 解｜题｜技｜巧 解题先观察式子结构，灵活选用和差、倍角、升降幂、和差化积公式统一角度与函数名。优先降次、消元、凑特殊角，结合角的范围判断符号，再开展化简求值、最值与证明运算。 易｜错｜点｜拨 公式混用记错符号系数；角度变换后区间判断偏差；化简随意变形出错；忽略函数定义域限制；多次变换后未核验结果，计算细节失误丢分。 【典例1】．已知函数，． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在上的最小值和最大值． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值． 【详解】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值． 由已知，有 的最小正周期． （2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为． 考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性． 【典例2】．已知函数（其中） （1）求函数的值域； （2）若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调增区间． 【答案】（1）函数的值域为[-3,1] （2）的单调增区间为[，]. 【详解】解：（1） 由≤≤1,得≤2≤1. 可知函数的值域为[-3,1]. （2）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周期为＞0， 得，即得 于是有，再由≤≤， 解得≤x≤. 所以的单调增区间为[，]. 【变式1】．已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）π（2）最大值为f（）=2；最小值为f（0）=﹣2． 【详解】（1）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x） ∴f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1 =2sin2x﹣2cos2x=2sin（2x﹣） 因此，f（x）的最小正周期T==π； （2）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤ ∴当x=0时，sin（2x﹣）取得最小值﹣；当x=时，sin（2x﹣）取得最大值1 由此可得，f（x）在区间上的最大值为f（）=2；最小值为f（0）=﹣2． 【变式2】．已知． (1)求f（x）的最小正周期与图象的对称轴方程； (2)已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值． 【答案】(1)， (2)92 【分析】（1）化简函数为，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意，化简得到，求得，设结合正弦函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）解：由 ， 所以函数的最小正周期为， 令，可得， 所以函数图象的对称轴的方程为. （2）解：由， 当时，可得， 因为， 结合正弦函数的性质，可得方程在区间上共有6个实数解， 设 根据正弦函数图像的对称性，可得， 又由， 所以，解得 【变式3】．如图，在半径为、圆心角为的扇形的半径上任取一点，过且平行于半径的直线与弧交于点． (1)若为的中点，证明：不是弧的中点； (2)求周长的最大值； (3)作，垂足为，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)证明过程见解析. (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理进行判断；（2）利用平行线性质和正弦定理并设，用三角函数表示各边，得到周长关于的函数；（3）利用三角函数表示出各相关线段长度，进而得到四边形面积关于变量的函数，再利用函数求最值的方法求解最大值. 【详解】（1）证明：已知扇形半径，，，故. 设，则，在中由正弦定理， 代入得. 若为中点，则，得. 若是弧中点，则，此时，矛盾. 因此不是弧的中点. （2）由正弦定理得，周长， 代入得， 化简，， 故，的最大值为（当时取到）. 因此周长最大值为. （3）设，，，故，，.四边形为直角梯形， 由梯形面积公式得， 化简得， 利用三角恒等变换， 由辅助角公式得的最大值为， 因此面积最大值为. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以 故选：A 2．的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的正弦公式求解. 【详解】， 故选：D. 3．已知向量，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标表示得，再应用齐次式运算，由弦化切求目标式的值. 【详解】由题设， 而. 故选：B 4．在中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在中，，则，， 又，所以. 5．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用诱导公式以及半角公式分别验证充分性、必要性可得结论. 【详解】由，可得， 利用半角公式可得，充分性不成立， 当时，， 可得，则必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选： B 6．已知，均为锐角，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角关系以及两角差的正弦公式计算可得结果. 【详解】由题意得, 由可得, 又， 则, 故选：A 二、多选题 7．已知，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知条件，两边平方求出，即可判断A；再根据，得出和，由即可判断B；再根据即可判断C和D，进而得出答案． 【详解】两边平方，得， 即，则，选项A正确； 因为，所以， 又因为，所以， 因为， 所以，选项B正确， 因为，故D正确，C错误， 故选：ABD． 8．古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据三角恒等变换的公式化简，即可判断各选项. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，故C正确， 对于D，，故D错误． 故选：AC． 三、填空题 9．在中，，，则__________. 【答案】 【分析】由同角三角函数的平方关系结合角的范围可得和，再根据两角和的正弦公式求解即可. 【详解】因为，，且，，， 所以. 10．____________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的正弦公式化简所给的式子，可得结果． 【详解】 =. 故答案为： 四、解答题 11．已知． (1)求函数的解析式； (2)若，且，求的值； (3)求在区间上的最值及相应的值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为1，，最大值为2， 【分析】（1）根据三角恒等变换化简整理即可. （2）代入解析式求得，结合同角的三角函数关系求解即可. （3）结合正弦型三角函数的性质求解即可. 【详解】（1） ， 故. （2）由可知，，化简得， 因为，所以. （3）因为，所以， 所以当时，取到最小值为，此时， 当时，取到最大值为，此时. 所以当时，取到最小值1；当时，取到最大值2. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由诱导公式及两角和的正弦公式求解. 【详解】. 故选：A 2．已知，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合公式求，再利用两角差正弦公式求结论. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 故选：A. 3．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式，将原式化简为，等式两边平方，由同角三角函数的平方关系及二倍角的正弦公式可得. 【详解】由，得， 两边平方，得，即. 所以. 故选：D. 4．已知，则（ ） A．2 B． C． D．10 【答案】B 【分析】根据二倍角的正切公式以及两角和的正切公式，结合已知条件，求解即可得出答案. 【详解】因为， 所以， ， 所以，. 故选：B. 5．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倍角公式将问题转化为二次函数在给定区间内求值域问题. 【详解】，令， 则，，在单调递减，，故的值域为. 故选：C 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，进而根据计算即可. 【详解】由，得， 因为， 所以， 所以 . 故选：D 二、多选题 7．已知函数，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】将条件变形为用表示的形式，进而可求出，则可判断选项B，然后利用诱导公式及弦切互化求解判断A，利用“1”的代换及化弦为切用表示，代入的值即可判断选项C，利用诱导公式及同角三角函数基本关系变形，用表示，代入的值即可判断D. 【详解】由题意得，解得，故B错误， 所以，所以A正确； ，故C正确； ， ，故D错误. 故选：AC. 8．已知，为锐角，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角函数的两角和差公式和同角三角函数的基本关系逐项计算即可. 【详解】对于A，，故， 则，故故A错误； 对于B，故B正确； 对于C，，故， 因为，为锐角，所以，故， 故 所以故C正确； 对于D，由B知，，故 所以 故，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 9．______． 【答案】 【详解】 . 10．已知，则的值为______. 【答案】 【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【详解】由可得， 故. 四、解答题 11．已知函数． (1)求的解析式和对称轴； (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．对于任意的，方程有且仅有一个解，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用二倍角公式结合辅助角公式求出的解析式，根据正弦函数的对称轴求解； （2）先对进行平移变换求出，再将方程有一个解转化为与有一个交点，进而作出图象求出的取值范围． 【详解】（1）， 正弦函数的对称轴为，故， 解得， 的对称轴为：． （2）的图象先向右平移个单位长度得：， 再将横坐标变为原来的2倍得：， 对于任意的，方程有且仅有一个解等价于： 与有一个交点， 由函数与的图象可知：． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知，则等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用半角公式结合诱导公式计算求解即可. 【详解】 ， 故选：B． 2．若，，则（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【分析】根据题意利用三角恒等变换整理得，结合角的范围运算求解. 【详解】因为 ， 则， 又因为，则， 显然不成立，所以，解得. 故选：D. 3．已知，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和差化积公式及切化弦求解即得. 【详解】依题意，，则， 又，则 所以. 故选：B 4．已知函数 (1)若的最小正周期为，求，的单调区间． (2)将（1）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称．若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于7个且不多于10个，求正实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，单调递减； (2). 【分析】（1）先用倍角公式和辅助角公式对函数化简，根据最小正周期确定的值，再根据正弦函数的单调性求出区间的单调性. （2）根据诱导公式求出，再根据区间长度与周期函数的区间长度的比值确定区间内的交点个数，最后根据区间端点的可能性取值判断端点是否取到，从而确定取值范围. 【详解】（1）， 由，所以. 因为，所以， 令，所以在区间单调递增，在单调递减. 而，， 所以函数，在单调递增，在单调递减. （2）由平移得到， 由关于对称得到函数为偶函数，即 ，，又因为，所以， 所以，所以. 对于任意实数，函数，与的公共点个数不少于7个且不多于10个， 设的周期为，，余弦函数与在周期内有两个交点， 所以，所以正实数的取值范围为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $