第8章 整式乘法 单元测试卷 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

第8章 整式乘法 提优测试卷 2025-2026学年苏科版七年级数学下册 一．选择题（共8小题） 1．如果（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．0 D．1 2．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　） A．（x+a）（x﹣a） B．（a+b）（﹣a﹣b） C．（﹣x﹣b）（x﹣b） D．（b+m）（m﹣b） 3．已知a+b＝3，ab＝2，则a2+b2的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的结果是（　　） A．a8+2a4b4+b8 B．a8﹣2a4b4+b8 C．a8+b8 D．a8﹣b8 5．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 6．如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（　　） A．a2+4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．4a2﹣a﹣2 7．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 8．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 二．填空题（共12小题） 9．已知a+＝3，则a2+的值是　 　 ． 10．如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为　 　 ． 11．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片　 　 张． 12．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是　 　 （用a、b的代数式表示）． 13．如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝63，那么a+b的值为 　 　 ． 14．对于实数a，b，c，d，规定一种运算＝ad﹣bc，如＝1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当＝27时，则x＝　 　 ． 15．已知单项式3x2y3与﹣5x2y2的积为mx4yn，那么m﹣n＝　 　 ． 16．已知a﹣b＝2，那么a2﹣b2﹣4b的值为　 　 ． 17．设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝　 　 ． 18．（﹣3x2+2y2）（　 　 ）＝9x4﹣4y4． 19．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝　 　 ． 20．观察下列各式及其展开式 （a+b）2＝a2+2ab+b2； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3； （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5⋯． 请你猜想（2x﹣1）11的展开式中含x2项的系数是 　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2． 22．若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项， （1）求p、q的值； （2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值． 23．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积． 24．乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积： 方法1：　 　 ， 方法2：　 　 ； （2）观察图2，请你写出三个代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系：　 　 ； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知a+b＝7，a2+b2＝33，求ab的值； ②已知（2023﹣a）2+（a﹣2021）2＝8，求（2023﹣a）（a﹣2021）的值． 25．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？ 26．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　 　 （请选择正确的一个） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） （2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值； （3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）． 27．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： ×（﹣xy）＝3x2y﹣xy2+xy （1）求所捂的多项式； （2）若x＝，y＝，求所捂多项式的值． 28．规定运算，如＝11．若m﹣n＝5，且． 求（1）mn的值；（2）m2+n2和（m+n）2的值． 29．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数” （1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？ （3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？ 30．认真阅读材料，然后回答问题： 我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝（a+b）2（a+b）＝a3+3a2b+3ab2+b3，… 下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式： 上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题： （1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数； （2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和． （3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C B C C D C 1．如果（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．0 D．1 【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m， 又∵（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项， ∴3+m＝0， 解得m＝﹣3． 故选：A． 2．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　） A．（x+a）（x﹣a） B．（a+b）（﹣a﹣b） C．（﹣x﹣b）（x﹣b） D．（b+m）（m﹣b） 【解答】解：A、C、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算； B、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算． 故选：B． 3．已知a+b＝3，ab＝2，则a2+b2的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：∵a+b＝3，ab＝2， ∴a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝32﹣2×2 ＝5， 故选：C． 4．计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的结果是（　　） A．a8+2a4b4+b8 B．a8﹣2a4b4+b8 C．a8+b8 D．a8﹣b8 【解答】解：（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）， ＝（a2﹣b2）（a2+b2）（a4﹣b4）， ＝（a4﹣b4）2， ＝a8﹣2a4b4+b8． 故选：B． 5．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 【解答】解：∵原式＝x2+x﹣2＝x2+mx+n， ∴m＝1，n＝﹣2． ∴m+n＝1﹣2＝﹣1． 故选：C． 6．如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（　　） A．a2+4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．4a2﹣a﹣2 【解答】解：（2a）2﹣（a+2）2 ＝4a2﹣a2﹣4a﹣4 ＝3a2﹣4a﹣4， 故选：C． 7．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2， 第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）． 则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：D． 8．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 【解答】解：令t＝x﹣2023，则原式可化简为（t﹣2）2+（t+2）2＝34，则t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34， 解得：t2＝13，即（x﹣2023）2＝13． 故选：C． 二．填空题（共12小题） 9．已知a+＝3，则a2+的值是　7　 ． 【解答】解：∵a+＝3， ∴a2+2+＝9， ∴a2+＝9﹣2＝7． 故答案为：7． 10．如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为　2m+4　 ． 【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x， 则4x＝（m+4）2﹣m2＝（m+4+m）（m+4﹣m）， 解得x＝2m+4． 故答案为：2m+4． 11．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片　3　 张． 【解答】解：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． 则需要C类卡片3张． 故答案为：3． 12．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是ab （用a、b的代数式表示）． 【解答】解：方法一：如图，运用割补法将长方形①和②剪下，拼接到对应的位置，形成一个长为a，宽为b的长方形， ∴图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是ab， 故答案为：ab． 方法二：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得， 解得， ②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积＝（）2﹣4×（）2＝ab． 故答案为：ab． 13．如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝63，那么a+b的值为 　±4　 ． 【解答】解：∵（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝63， ∴（2a+2b）2﹣12＝63， ∴（2a+2b）2＝64， 2a+2b＝±8， 两边同时除以2得，a+b＝±4． 14．对于实数a，b，c，d，规定一种运算＝ad﹣bc，如＝1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当＝27时，则x＝　22　 ． 【解答】解：∵＝27， ∴（x+1）（x﹣1）﹣（x+2）（x﹣3）＝27， ∴x2﹣1﹣（x2﹣x﹣6）＝27， ∴x2﹣1﹣x2+x+6＝27， ∴x＝22； 故答案为：22． 15．已知单项式3x2y3与﹣5x2y2的积为mx4yn，那么m﹣n＝　﹣20　 ． 【解答】解：3x2y3×（﹣5x2y2）＝﹣15x4y5， ∴mx4yn＝﹣15x4y5， ∴m＝﹣15，n＝5 ∴m﹣n＝﹣15﹣5＝﹣20 故答案为：﹣20 16．已知a﹣b＝2，那么a2﹣b2﹣4b的值为　4　 ． 【解答】解：∵a﹣b＝2， ∴a＝2+b， ∴那么a2﹣b2﹣4b的 ＝（2+b）2﹣b2﹣4b ＝4+4b+b2﹣b2﹣4b ＝4， 故答案为：4． 17．设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝　﹣　 ． 【解答】解：法一：（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4， 两式相减得4xy＝﹣3， 解得xy＝﹣， 则P＝﹣． 法二：由题可得， 解之得：， ∴P＝xy＝﹣， 故答案为：﹣． 18．（﹣3x2+2y2）（　﹣3x2﹣2y2 ）＝9x4﹣4y4． 【解答】解：∵相同的项是含x的项，相反项是含y的项， ∴所填的式子是：﹣3x2﹣2y2． 19．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝　　 ． 【解答】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+， ＝（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+， ＝（532﹣1）+， ＝． 20．观察下列各式及其展开式 （a+b）2＝a2+2ab+b2； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3； （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5⋯． 请你猜想（2x﹣1）11的展开式中含x2项的系数是 　﹣220　 ． 【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3， （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4， （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， …… 依据规律可得到： （a+b）2倒数第三项的系数为1， （a+b）3倒数第三项的系数为3＝1+2， （a+b）4倒数第三项的系数为6＝1+2+3， … ∵（2x﹣1）11展开式有12项，其中含有x2的是第10项为：1+2+3+…+9+10＝55， ∴含有x2项的系数为：22×（﹣1）9×55＝﹣220， 故答案为：﹣220． 三．解答题（共10小题） 21．先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2． 【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4） ＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2 ＝﹣20a2+9a， 当a＝﹣2时，原式＝﹣20×4﹣9×2＝﹣98． 22．若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项， （1）求p、q的值； （2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值． 【解答】解：（1）（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）＝x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p﹣）x2+（qp+1）x﹣q， ∵积中不含x项与x3项， ∴p﹣3＝0，qp+1＝0 ∴p＝3，q＝﹣， （2）（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014 ＝[﹣2×32×（﹣）]2++×（﹣）2 ＝36﹣+ ＝35． 23．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积． 【解答】解：阴影部分的面积＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2 ＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2 ＝5a2+3ab， 当a＝3，b＝2时，原式＝5×32+3×3×2＝63（平方米）． 24．乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积： 方法1：　（a+b）2 ， 方法2：a2+b2+2ab ； （2）观察图2，请你写出三个代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系：　（a+b）2＝a2+b2+2ab ； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知a+b＝7，a2+b2＝33，求ab的值； ②已知（2023﹣a）2+（a﹣2021）2＝8，求（2023﹣a）（a﹣2021）的值． 【解答】解：（1）（a+b）2，a2+b2+2ab； （2）（a+b）2＝a2+b2+2ab； （3）①∵a+b＝7，a2+b2＝33，且 （a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴49＝33+2ab， 解得：ab＝8； ②设2023﹣a＝m，a﹣2021＝n，可得 m2+n2＝8，m+n＝2023﹣a+a﹣2021＝2， ∴（m+n）2＝m2+n2+2mn，即4＝8+2mn， 解得：mn＝﹣2， 则（2023﹣a）（a﹣2021）的值为﹣2． 25．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？ 【解答】解：这个多项式是（x2﹣4x+1）﹣（﹣3x2）＝4x2﹣4x+1， 正确的计算结果是：（4x2﹣4x+1）•（﹣3x2）＝﹣12x4+12x3﹣3x2． 26．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是B （请选择正确的一个） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） （2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值； （3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）． 【解答】解： （1）∵边长为a的正方形面积是a2，边长为b的正方形面积是b2，剩余部分面积为a2﹣b2；图（2）长方形面积为（a+b）（a﹣b）； ∴验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 故答案为：B． （2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，且x+3y＝4 ∴x﹣3y＝3 （3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣） ＝（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+）（1﹣） ＝× ＝ ＝ 27．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： ×（﹣xy）＝3x2y﹣xy2+xy （1）求所捂的多项式； （2）若x＝，y＝，求所捂多项式的值． 【解答】解：（1）设多项式为A， 则A＝（3x2y﹣xy2+xy）÷（﹣xy）＝﹣6x+2y﹣1． （2）∵x＝，y＝， ∴原式＝﹣6×+2×﹣1＝﹣4+1﹣1＝﹣4． 28．规定运算，如＝11．若m﹣n＝5，且． 求（1）mn的值；（2）m2+n2和（m+n）2的值． 【解答】解：（1）∵， ∴mn+1×（﹣2）＝0， ∴mn＝2； （2）m2+n2＝（m﹣n）2+2mn， ＝52+2×2＝29； （m+n）2＝（m﹣n）2+4mn， ＝52+4×2， ＝33． 29．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数” （1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？ （3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？ 【解答】解：（1）设28和2012都是“神秘数”，设28是x和x﹣2两数的平方差得到， 则x2﹣（x﹣2）2＝28， 解得：x＝8，∴x﹣2＝6， 即28＝82﹣62， 设2012是y和y﹣2两数的平方差得到， 则y2﹣（y﹣2）2＝2012， 解得：y＝504， y﹣2＝502， 即2012＝5042﹣5022， 所以28，2012都是神秘数． （2）（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）＝4（2k+1）， ∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍． （3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1， 则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k＝4×2k， 即：两个连续奇数的平方差是4的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为4的奇数倍这一条件． ∴两个连续奇数的平方差不是神秘数． 30．认真阅读材料，然后回答问题： 我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝（a+b）2（a+b）＝a3+3a2b+3ab2+b3，… 下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式： 上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题： （1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数； （2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和． （3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）． 【解答】解：（1）∵当n＝1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0＝， 当n＝2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1＝， 当n＝3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3＝， 当n＝4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6＝， … ∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：； （2）预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n； （3）∵当n＝1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1＝2＝21， 当n＝2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1＝4＝22， 当n＝3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1＝8＝23， 当n＝4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1＝16＝24， … ∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S＝2n． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $