1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 三角函数 互动设计 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 互动设计课程 1 学 习 目 标 理解并掌握正弦函数、余弦函数的周期性，奇偶性。。。 返回主页 1 理解并掌握正弦函数、余弦函数的周期性，会求最小正周期掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性，并能运用性质简化计算理解并掌握正弦函数、余弦函数在各单调区间的单调性 掌握正弦函数、余弦函数的最大值、最小值及取得最值的条件能够运用单位圆直观理解并证明上述性质 2 通过单位圆的对称性探究三角函数的性质，体会数形结合思想经历从直观感知到严格证明的过程，培养逻辑推理能力 情 境 引 入 【情境一】周而复始的自然现象 返回主页 【情境二】摩天轮的高度变化 【情境三】单位圆上的对称美 【情境一】周而复始的自然现象 🌍 问题1：地球自转一周需要24小时，钟表指针每12小时重复一次，这些现象有什么共同特点？ 这些现象都具有重复性——经过一定时间后，状态回到原来的样子。 【情境二】摩天轮的高度变化 🎡 回顾：上节课我们研究了摩天轮座舱高度h与时间t的关系。如果座舱转第二圈、第三圈……高度变化规律会改变吗？ 思考：设h=f(t)，那么f(t+24)=f(t)是否成立？（设转一圈需24分钟） 【情境三】单位圆上的对称美 🔍 观察：在单位圆中，角α与角-α、π-α、π+α、2π-α的终边位置有什么关系？ 互 动 设 计 【探究活动1】周期性的发现 返回主页 【探究活动2】奇偶性的探究 【探究活动3】单调性与最值 引导：在单位圆上，角α和角α+2π的终边位置有什么关系？ 学生操作：在草稿纸上画出角30°和390°（=30°+360°）的终边。 发现：终边重合！∴ 点P位置相同，三角函数值相同。 归纳： sin(α+2π)=sinα, cos(α+2π)=cosα 【探究活动1】周期性的发现 定义建构： 周期函数：存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)对定义域内任意x成立 最小正周期：所有周期中最小的正数（正弦、余弦函数的最小正周期为2π） 【探究活动1】周期性的发现 【探究活动2】奇偶性的探究 小组任务：比较sin(-α)与sinα，cos(-α)与cosα的关系。 画图探究： - 角α的终边与单位圆交于P(x, y) - 角-α的终边与单位圆交于P’(x, -y)（关于x轴对称） 得出结论： sin(-α)=-sinα （奇函数） cos(-α)=cosα （偶函数） 【探究活动3】单调性与最值 动态演示：想象点P在单位圆上逆时针运动，观察y=sinα和x=cosα的变化趋势。 动画演示：正余弦函数值的变化 α的范围 点P运动 sinα = y的变化 cosα = x的变化 第一象限从(1,0)到(0,1) 0→1（增） 1→0（减） 第二象限从(0,1)到(-1,0) 1→0（减） 0→-1（减） 第三象限从(-1,0)到(0,-1) 0→-1（减） -1→0（增） 第四象限从(0,-1)到(1,0) -1→0（增） 0→1（增） 探 求 新 知 1. 周期性 返回主页 2. 奇偶性 3. 单调性与最值 4. 诱导公式（一）—— 周期性与奇偶性 1. 周期性 定理1：正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx都是周期函数，最小正周期为2π。 证明思路： - 单位圆上，角x和x+2π终边重合 - ∴ 对应点坐标相同，函数值相等 - 假设存在更小正周期T∈(0,2π)，则sinT=sin0=0，但(0,2π)内sinx=0只有x=π，而sin(+π)=-1≠1=sin ，矛盾！ 推广：的周期为 2. 奇偶性 函数 奇偶性 证明 几何意义 奇函数 图像关于原点对称 偶函数 图像关于y轴对称 重要推论： - 计算负角三角函数值时，可先化为正角 - 例： 3. 单调性与最值 正弦函数 y=sinx 单调区间 单调性 极值点 单调递增 最小值-1，最大值1 单调递减 最大值1，最小值-1 最大值1：当时取得 最小值-1：当时取得 余弦函数 y=cosx 单调区间 单调性 极值点 单调递增 最小值-1，最大值1 单调递减 最大值1，最小值-1 最大值1：当时取得 最小值-1：当时取得 4. 诱导公式（一）—— 周期性与奇偶性 公式 名称 记忆口诀 周期公式 “周期2π，值不变” 周期公式 “周期2π，值不变” 奇函数性质 “正弦奇，负号提” 偶函数性质 “余弦偶，负号消” 典 例 铺 路 【例1】周期计算 【例2】奇偶性判断与化简 【例3】求值与化简 【例4】单调区间与最值 【例5】综合应用 【例1】周期计算 【例2】奇偶性判断与化简 【例3】求值与化简 【例4】单调区间与最值 【例5】综合应用 已知函数f(x)=asinx+bsinxcosx+1，若f(2)=3，求f(-2)的值。 解： 设g(x)=f(x)-1=asinx+bsinxcosx 则g(-x)=asin(-x)+bsin(-x)cos(-x)=-g(x) g(-2)=f(-2)-1=-g(2)=1-f(2) f(-2)=-1 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 1. 函数的最小正周期是（　） A. B. C. D. 解析： 【基础训练】 2. 下列函数中，是偶函数的是（　） A. y=sinx+x B. y=xcosx C. y=sin2 x D. y=sinx-cosx 解析：C项：，是偶函数。 A非奇非偶，B奇函数，D非奇非偶。 【基础训练】 3. 的值等于（　） A. B. C. D. 解析：， 4. 函数的最大值为______， 此时______ 【能力提升】 5. 求函数的定义域。 解析：需，由正弦函数性质，当时， 6. 已知，若，求。 随 堂 检 测 返回主页 【选择题】 【填空题】（每题5分） 【解答题】（10分） 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 3. 课后思考 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 单位圆性质 ↓ ┌──────┼──────┐ ↓ ↓ ↓ 周期性 奇偶性 单调性/最值 ↓ ↓ ↓ T=2π 正弦奇 正弦：[-π/2,π/2]增 周而复始 余弦偶 余弦：[0,π]减 ↓ ↓ ↓ 诱导公式 化简计算 值域[-1,1] 58 2. 方法小结 性质 正弦函数 余弦函数 周期 奇偶性 奇函数 偶函数 最大值 1（） 1（） 最小值 -1（） -1（） 增区间 减区间 3. 思想方法 方法 应用 数形结合 用单位圆理解周期性、奇偶性、单调性 换元法 求的性质时，令 化归思想 将任意角化归为内的角求值 $