1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 课件-2025-2026学年高一下学期北师大版必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 三角函数 互动设计 4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 互动设计课程 1 学 习 目 标 理解单位圆的概念，理解并掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义。。。 返回主页 1 理解单位圆的概念，掌握单位圆上点的坐标表示方法理解并掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义能根据定义求特殊角的正弦值、余弦值掌握正弦函数、余弦函数在各象限的符号规律 2 经历从锐角三角函数到任意角三角函数的推广过程，体会数形结合思想通过单位圆探究三角函数的定义，培养直观想象能力通过坐标计算，提升数学运算素养 情 境 引 入 【情境一】摩天轮问题 返回主页 【情境二】时钟指针 【情境一】摩天轮问题 🎡 生活情境：游乐园的摩天轮匀速转动，座舱P距离地面的高度h与时间t的关系如何描述？ 设摩天轮半径为1，中心O在地面上方1单位处，座舱P从最低点A开始逆时针转动，转过的角度为θ。 O P 𝛉 h 思考：当θ = 30°, 120°, 210°, 300°时，点P的纵坐标（即高度h）分别是多少？ 【情境二】时钟指针 问题：时钟的分针从12点位置开始转动，当转过角度α时，分针尖端的位置如何表示？ 𝛂 互 动 设 计 【探究活动1】回顾锐角三角函数 返回主页 【探究活动2】单位圆的引入 【探究活动3】定义建构 【互动探究4】终边相同的角 【探究活动1】回顾锐角三角函数 教师引导：在初中，我们学过锐角三角函数，如图，在Rt△OMP中，∠MOP = α（锐角） P O M α x y r 关键问题：当α是钝角或负角时，这样的定义还适用吗？ 【探究活动2】单位圆的引入 小组讨论：为了使定义适用于任意角，我们需要一个统一的”参照系”。 教师点拨：当点P在半径为r的圆上时，和的值与r的大小有关吗？ 发现：当点P在半径为r的圆上时，和的值与r的大小是定值。 自然过渡：取r = 1，即单位圆（圆心在原点，半径为1的圆），可使问题简化。 【探究活动3】定义建构 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P(x, y) 三角函数 定义 口诀 正弦函数 “正弦对y” 余弦函数 “余弦邻x” 几何意义： sinα = 点P的纵坐标（有向线段MP的数量） cosα = 点P的横坐标（有向线段OM的数量） 探 求 新 知 1. 核心概念 返回主页 2. 定义域与值域 3. 各象限符号规律 4. 特殊角的三角函数值 1. 核心概念 定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y)，则： sinα=y, cosα=x 2. 定义域与值域 函数 定义域 值域 （任意角） （任意角） 3. 各象限符号规律 象限 sinα cosα 记忆口诀 第一象限 + + 全正 第二象限 + - 正弦 第三象限 - - 切（正切）— 扩展记忆：正弦余弦都负 第四象限 - + 余弦 4. 特殊角的三角函数值 角度 0 sin 0 1 0 -1 0 cos 1 0 -1 0 1 典 例 铺 路 【例1】基础应用 【例2】求值问题 【例3】符号判断 【例题4】综合应用 例题5：折点落在区域内 【例1】基础应用 例1.已知角α的终边经过点， 求和。 解：验证： ∴ 点P在单位圆上 【例2】求值问题 例2.求下列各角的正弦值和余弦值： (1) (2) 解(1)：，终边在第二象限，与单位圆交于 解(2)：，终边在第四象限，与单位圆交于 【例3】符号判断 例3.确定下列三角函数值的符号： (1) (2) (3) （3,4为弧度） 解： - (1) 250°在第三象限，∴ - (2) 在第四象限，∴ - (3) ∵ （第三象限），∴ ∵ （第三象限），∴ ∴ 【例4】综合应用 例4.已知角α终边上一点P(-4, 3)，求sinα和cosα。 解：点P不在单位圆上，需先求r： 由定义（推广）：， 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 1. 角的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标为（　） A. B. C. D. 解析：在第三象限，终边为在第三象限的部分，∴ 【基础训练】 2. 若角α的终边经过点，则______ 解析：验证，点在单位圆上，∴ 【基础训练】 3. 若，则α在第____象限。 答案：第一或第三象限 解析：同号为正，∴ sinα与cosα同正（第一象限）或同负（第三象限） 【能力提升】 4. 求函数的值域。 解析：需且，即x不在坐标轴上。 第一象限：，∴ 第二象限：，∴ 第三象限：，∴ 第四象限：，∴ ∴ 值域为 随 堂 检 测 返回主页 【选择题】 1. 已知点在单位圆上，且α为第二象限角，则（　） A. B. C. D. 解析：，∴ ，又α在第二象限，∴ 2. 下列各式中，值为负的是（　） A. sin100° B. cos(-30°) C. sin5（5弧度） D. cos2（2弧度） 答案 D 解析：5弧度≈286.5°在第四象限，；A在第二象限sin>0；B第四象限cos>0；D第二象限cos<0但2弧度≈114.6°，cos2<0？重新计算：π≈3.14，∴ 2弧度在第二象限，cos2<0。但5弧度：，在第四象限，sin5<0。选C。 3. 若角α的终边过点P(3, -4)，则（　） A. B. C. D. 解析：，，，∴ 【填空题】（每题5分） 4. ______ 解析：在第三象限， 5. 若，且α为第二象限角，则 ______ 解析：，第二象限cos<0，∴ 【解答题】（10分） 6. 已知角α的终边在直线上，求和的值。 解：终边在上，取点P(1, 2)或P(-1, -2) 取P(1, 2)：，， 取P(-1, -2)：，， 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 3. 思想方法 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 单位圆定义 ↓ ┌──────┴──────┐ ↓ ↓ sinα = y cosα = x （纵坐标） （横坐标） ↓ ↓ 有向线段MP 有向线段OM 50 2. 方法小结 要点 内容 定义前提 单位圆（圆心在原点，半径r=1） 本质 点P的坐标 → 三角函数值 推广 任意角（正负、大小不限） 关键 终边与单位圆交点P(x,y) 符号 由点P所在象限决定  注意区分”终边经过点P”与”终边与单位圆交于点P”： 若点P在单位圆上：直接用定义 - 若点P不在单位圆上：需用推广定义 【易错提醒】 3. 思想方法 数形结合：坐标系中的几何直观与代数运算相结合 化归思想：将任意角三角函数化归为坐标计算 特殊到一般：从锐角三角函数推广到任意角三角函数 $