专题12 圆锥曲线（6大易错点+典例分析+避错攻略+举一反三+易错通关（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题12 圆锥曲线 目录 第一部分 易错点剖析 易错典题 避错攻略 举一反三 易错点1 忽略圆锥曲线定义中的限制条件 易错点2 忽略圆锥曲线焦点的位置 易错点3 求离心率范围时忽略离心率本身范围 易错点4 求轨迹方程时忽略变量的取值范围 易错点5 直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错 易错点6 恒成立意义不明导致定点问题错误 第二部分 易错题闯关 易错点1 忽略圆锥曲线定义中的限制条件 易错典题 【例1】（24-25高二上·北京·阶段练习）下列说法正确的个数是（   ） ①动点满足，则P的轨迹是椭圆 ②动点满足，则P的轨迹是双曲线 ③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 ④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】①，表示点与点的距离和为2a=， 而两点的距离为2c=4，所以点轨迹是两点间的线段(易错点)，①错误. 当2a>2c时点的轨迹才是椭圆 ②，表示点与点的距离和为， 而两点的距离为，，所以点的轨迹是椭圆，②错误. ③，动点满足到y轴的距离比到的距离小1， 当点在y轴左侧或在y轴上时则动点满足到直线的距离和到的距离相等(易错点)，则P的轨迹是抛物线； 转化为到定点的距离等于到定直线的距离，便符合抛物线的定义 当点在y轴右侧时，此时P的轨迹是射线，③不正确. ④，动点满足， 则或， 表示的是直线在圆外和圆上的部分； 表示一个圆，所以P的轨迹是圆和两条射线，④错误.（易错点） 所以正确的有0个. 故选：A 【错因分析】对圆锥曲线的定义理解不够透彻，从而错误判断曲线的形状. 知识混淆:混淆椭圆、双曲线、抛物线的定义与公式，把距离和、差的绝对值、常数与焦距大小关系混淆，只套方程不看条件，把不满足定义的轨迹错判为圆锥曲线. 概念模糊:对圆锥曲线定义理解不完整，只记 “动点满足的距离关系”，忽略常数大于 0、与焦距的大小限制、点不能重合等条件，直接用结论导致轨迹判断错误. 望文生义:看到 “距离之和 / 差” 就直接认定是椭圆或双曲线，不审题中数值限制，默认满足定义条件，忽略轨迹可能是线段、射线或不存在，造成结果错误. 避错攻略 【方法总结】在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制条件，如椭圆要满足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数；双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差的绝对值是小于焦距的常数；二抛物线则要满足定点不在定直线上. 【知识链接】1、椭圆的定义 (1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． (2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|． 【解读】在椭圆定义中，必须2a>|F1F2|，这是椭圆定义中非常重要的一个条件；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点轨迹不存在．因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件． 2、双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，焦距的一半称为半焦距． (2)几何表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|)． 【解读】(1)常数要小于两个定点的距离． (2)如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 3.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 【解读】(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 举一反三 【变式1-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）（24-25高二上·黑龙江·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为圆 易错点2 忽略圆锥曲线焦点的位置 易错典题 【例2】（25-26高三上·天津和平·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为2，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】当双曲线的焦点在轴上时，其方程可设为： ， 依题意，，因，故得，双曲线方程为：； 当双曲线的焦点在轴上时，其方程可设为： ，（易错点） 由于焦点位置未确定，故需分焦点在x轴上、在y轴上分类讨论 依题意，，因，故得，双曲线方程为：，即. 故选：D. 【错因分析】本题容易忽略对双曲线焦点位置的讨论而漏解. 知识混淆:混淆椭圆与双曲线焦点在 x 轴、y 轴的标准形式，只记方程结构，不区分a2、b2对应分母大小，盲目套用公式，造成焦点位置判断错误. 概念模糊:对圆锥曲线标准方程概念不清，不理解焦点位置由二次项分母大小或系数正负决定，不分析条件就默认焦点在 x 轴，遗漏焦点在 y 轴的情况. 望文生义:看到椭圆或双曲线方程，不看分母与系数，直接按习惯设焦点在 x 轴，忽略焦点位置不确定的情况，导致方程、离心率、渐近线求解错误. 避错攻略 【方法总结】由于建系的方案不同，三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦点在x,y轴两种情况，二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一定要先定位，即分析焦点位置，不确定要讨论，在定量，即求或的值． 【知识链接】1.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 (－c，0)与(c，0) (0，－c)与(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 【解读】(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴． (2)两种椭圆＋＝1，＋＝1(a＞b＞0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同． (3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上. 2.双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 【解读】　(1)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上，即x2，y2的系数异号． (2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线定形的条件，注意这里的b2＝c2－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．其中c＞a，c＞b，而a，b无大小要求． 3.抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) F x＝－ y2＝－2px(p>0) F x＝ x2＝2py(p>0) F y＝－ x2＝－2py(p>0) F y＝ 【解读】　(1)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式． (2)标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式． (3)抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离． (4)焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向． 举一反三 【变式2-1】（24-25高三上·江苏无锡·期中）求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（   ） A． B． C．或 D． 【变式2-2】（25-26高二上·江苏南通·期末）写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为 . ①实轴长为4；②渐近线方程为 易错点3 求离心率范围时忽略离心率本身范围 易错典题 【例3】（25-26高三上·北京·期中）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是 . 【答案】 【解析】解：当点位于短轴的端点时，最大， 要使椭圆上存在一点P满足， 只要最大时大于等于即可， 即当点位于短轴的端点时，， 所以， 又椭圆的离心率，(易错点) 若忽视此范围，则将得错解 【错因分析】本题容易忽略椭圆的离心率满足这一范围而出错. 知识混淆:混淆椭圆与双曲线离心率公式和范围，只关注题目条件推出的不等式，忘记椭圆 0<e<1、双曲线 e>1，把算出的区间直接当答案，与曲线本身范围冲突。 概念模糊:对离心率概念理解不完整，只把它当作比值，不记得它自带天然范围。解不等式后不检验、不与曲线固有范围取交集，得出不符合定义的错误结果。 望文生义:看到 “求离心率范围” 就只列题给条件，默认结果都有效，不看是椭圆还是双曲线，自动忽略其本身限制，导致解出的 e 不在合理区间内。 避错攻略 【方法总结】求离心率范围的方法 技巧1：建立关于和的一次或二次方程与不等式． 技巧2：利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 技巧3：利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为． 技巧4：利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 技巧5：涉及的关系式利用基本不等式，建立不等关系． 【知识链接】 1.椭圆的离心率e的范围为0<e<1. 2.双曲线的离心率e的范围为e>1. 3.抛物线的离心率e为1. 举一反三 【变式3-1】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆的右焦点为F，P､Q是椭圆上关于原点对称的两点，M､N分别是PF､QF的中点，若以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e的范围是 . 易错点4 求轨迹方程时忽略变量的取值范围 易错典题 【例4】（25-26高三上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，整理得，(易错点) 当时，点M与点A或点B重合，此时直线MA或MB不存在 所以动点的轨迹方程是. 故选：A. 【错因分析】本题容易忽略自变量的取值范围而出错而出错. 知识混淆：混淆方程同解变形与轨迹等价性，只关注方程形式化简，不考虑几何条件带来的范围约束，把变形前后方程视为同一轨迹，导致变量范围扩大或缩小。 概念模糊：对曲线与方程概念理解不清，只满足方程解对应点，不保证轨迹上点都满足条件，忽略纯粹性与完备性，不主动标注 x、y 范围，使轨迹出现多余部分。 望文生义：看到几何条件就直接列式推导，只追求方程标准形式，不结合图形判断实际范围，默认方程全域有效，忽略线段、射线、部分圆弧等真实轨迹。 避错攻略 【方法总结】求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错． 【知识链接】求轨迹方程的方法 1.直接法 利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下： 第一步：建系：建立适当的坐标系 第二步：设点：设轨迹上的任一点 第三步：列式：列出有限制关系的几何等式 第四步：代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简 注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线． 2.定义法 根据动点满足的几何条件判断出轨迹的类型，然后求出轨迹方程． 3.相关点法 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程． 4.交轨法 在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数． 举一反三 【变式4-1】（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·广东惠州·月考）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 易错点5 直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错 易错典题 【例5】（25-26高三上·北京·阶段练习）若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率的所有可能值为 . 【答案】或 【解析】将代入双曲线方程中得到：， 展开整理得. 当时，即时，方程变为一次方程，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线恰好有一个交点. (易错点) 注意直线与双曲线恰有一个公共点时，直线与双曲线可能相切，也可能相交于一点（此时平行于渐近线） 当时方程是二次方程， 若直线与双曲线恰好有一个交点，则判别式， 展开得到：. 进一步化简为，则. 解得.   综上所得，直线的斜率的所有可能值或. 【错因分析】本题容易忽略对二次方程的二次项系数是否为零的讨论. 知识混淆：混淆方程同解变形与轨迹等价性，只关注方程形式化简，不考虑几何条件带来的范围约束，把变形前后方程视为同一轨迹，导致变量范围扩大或缩小。 概念模糊：对曲线与方程概念理解不清，只满足方程解对应点，不保证轨迹上点都满足条件，忽略纯粹性与完备性，不主动标注 x、y 范围，使轨迹出现多余部分。 望文生义：看到几何条件就直接列式推导，只追求方程标准形式，不结合图形判断实际范围，默认方程全域有效，忽略线段、射线、部分圆弧等真实轨迹。 避错攻略 【方法总结】在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形． 【知识链接】1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点． (2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程．消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离． ②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合． 2．圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2| ＝，k为直线斜率且k≠0. 举一反三 【变式5-1】（2026·四川南部县模拟)过点P(3,1)作直线l与抛物线y2＝－4x只有一个交点，这样的直线l有________条(　　) A．1　　 B．2 C．3　　 D．4 【变式5-2】（多选）（25-26高三上·河南南阳·阶段练习）已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（   ） A．当时，直线与双曲线只有一个公共点 B．直线与双曲线只有一个公共点时，或 C．当或时，直线与双曲线没有公共点 D．当时，直线与双曲线有两个公共点 【变式5-3】已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试求当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点． 易错点6 恒成立意义不明导致定点、定值问题错误 易错典题 【例6】（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【解析】（1）由题知，，，， 由的面积为，得， 又，代入可得，，∴椭圆的方程为. （2）联立得， 设，，可得，， 由题知， 即， 即，解得， ∴直线的方程为，故直线恒过定点. 【错因分析】本题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线的方程时计算错误；二是在得到了直线系的方程后，对直线恒过定点的意义不明，找错方程的常数解． 概念模糊：未正确理解由含有一个量词命题的真假，从而导致无法正确转化. 望文生义：审题不清，从而导致思维混乱. 避错攻略 【方法总结】直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．解决定点与定值问题，不能仅靠研究特殊情况来说明． 知识混淆:混淆恒成立与存在成立，把对所有参数都成立的定点、定值，当成只对部分参数成立。不会用系数为 0 法，错用解方程思路，导致定点求错或定值不唯一。 概念模糊:对恒成立概念理解不清，不明白式子对任意参数都成立，等价于对应系数全为 0。只代入特殊值求定点定值，不验证一般性，结果片面不可靠。 望文生义:看到 “定点、定值” 就只算特殊点、特殊值，不理解 “对任意都成立” 的本质。忽略整体恒等条件，把偶然成立的点当成定点，答案不严谨。 【知识链接】1、求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 常用消参方法： ①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数． ②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值． ③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉． ④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如： ，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用． 2、求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明． 一般解题步骤： ①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个． ②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉． ③参数无关找定点：找到和没有关系的点． 举一反三 【变式6-1】（25-26高三上·青海西宁·月考）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 【变式6-2】（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）已知抛物线的焦点为，点，动点在抛物线上，的最小值为，过点的直线交于两点. (1)求的方程； (2)若点是的中点，求直线的方程； (3)在直线上是否存在定点，使得.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式6-3】（2026·广东佛山·一模）已知点，双曲线的一条渐近线方程是，直线被截得的弦长为. (1)求的方程. (2)已知是的右支上不同的两点，且存在实数，使得. （i）若点满足，求证：点总在某定直线上； （ii）若直线与的另一个交点为（异于），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 1、 单选题 1．（24-25高三上·四川雅安·诊断测试）已知椭圆的离心率为，则（   ） A．2 B． C．4或 D．或2 2.（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·安徽·期末）已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 5．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若是上关于原点对称的两点，若成立，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 2、 多选题 9.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 10．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 11．（25-26高二上·陕西榆林·期末）如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线和下部分曲线.）构成，曲线的一个焦点为是“心形”曲线上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．的最大值为 C．若直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为-3 D．曲线上的点到直线的距离的最小值是 3、 填空题 12．（24-25高三上·上海杨浦·阶段练习）与椭圆有相等的焦距，且过圆的圆心的椭圆的标准方程为 ． 13．（2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则 . 14．（25-26高二上·湖北随州·期末）已知，是焦点在轴上的椭圆和双曲线公共的焦点，若椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点既在第一象限，又在双曲线上，且，若椭圆的离心率的取值范围为，则双曲线的离心率的取值范围为 . 四、解答题 15．（24-25高三上·广东·月考）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 16．对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 17．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 18．（2026·四川遂宁·一模）已知双曲线分别是的左、右焦点．在直线上，且到其中一条渐近线的距离为.抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为. (1)求的方程和的方程； (2)若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．（25-26高三上·河南周口·月考）已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线（，）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，连接OD（O为坐标原点）并延长，交椭圆C于点E，交直线于点H． ①若，求的值． ②若，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 圆锥曲线 目录 第一部分 易错点剖析 易错典题 避错攻略 举一反三 易错点1 忽略圆锥曲线定义中的限制条件 易错点2 忽略圆锥曲线焦点的位置 易错点3 求离心率范围时忽略离心率本身范围 易错点4 求轨迹方程时忽略变量的取值范围 易错点5 直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错 易错点6 恒成立意义不明导致定点问题错误 第二部分 易错题闯关 易错点1 忽略圆锥曲线定义中的限制条件 易错典题 【例1】（24-25高二上·北京·阶段练习）下列说法正确的个数是（   ） ①动点满足，则P的轨迹是椭圆 ②动点满足，则P的轨迹是双曲线 ③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 ④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】①，表示点与点的距离和为2a=， 而两点的距离为2c=4，所以点轨迹是两点间的线段(易错点)，①错误. 当2a>2c时点的轨迹才是椭圆 ②，表示点与点的距离和为， 而两点的距离为，，所以点的轨迹是椭圆，②错误. ③，动点满足到y轴的距离比到的距离小1， 当点在y轴左侧或在y轴上时则动点满足到直线的距离和到的距离相等(易错点)，则P的轨迹是抛物线； 转化为到定点的距离等于到定直线的距离，便符合抛物线的定义 当点在y轴右侧时，此时P的轨迹是射线，③不正确. ④，动点满足， 则或， 表示的是直线在圆外和圆上的部分； 表示一个圆，所以P的轨迹是圆和两条射线，④错误.（易错点） 所以正确的有0个. 故选：A 【错因分析】对圆锥曲线的定义理解不够透彻，从而错误判断曲线的形状. 知识混淆:混淆椭圆、双曲线、抛物线的定义与公式，把距离和、差的绝对值、常数与焦距大小关系混淆，只套方程不看条件，把不满足定义的轨迹错判为圆锥曲线. 概念模糊:对圆锥曲线定义理解不完整，只记 “动点满足的距离关系”，忽略常数大于 0、与焦距的大小限制、点不能重合等条件，直接用结论导致轨迹判断错误. 望文生义:看到 “距离之和 / 差” 就直接认定是椭圆或双曲线，不审题中数值限制，默认满足定义条件，忽略轨迹可能是线段、射线或不存在，造成结果错误. 避错攻略 【方法总结】在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制条件，如椭圆要满足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数；双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差的绝对值是小于焦距的常数；二抛物线则要满足定点不在定直线上. 【知识链接】1、椭圆的定义 (1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． (2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|． 【解读】在椭圆定义中，必须2a>|F1F2|，这是椭圆定义中非常重要的一个条件；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点轨迹不存在．因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件． 2、双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，焦距的一半称为半焦距． (2)几何表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|)． 【解读】(1)常数要小于两个定点的距离． (2)如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 3.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 【解读】(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 举一反三 【变式1-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 【变式1-2】（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义. 则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 【变式1-3】（多选）（24-25高二上·黑龙江·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为圆 【答案】AD 【解析】对于A：，则点的轨迹为以、为焦点的椭圆，故A正确； 对于B：，则点的轨迹是以、为焦点双曲线的右支，故B错误； 对于：由，可得， 则点的轨迹是以为直径的圆，故C错误； 对于D：设，由，则， 即，所以点的轨迹为圆，故D正确. 故选：AD. 易错点2 忽略圆锥曲线焦点的位置 易错典题 【例2】（25-26高三上·天津和平·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为2，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】当双曲线的焦点在轴上时，其方程可设为： ， 依题意，，因，故得，双曲线方程为：； 当双曲线的焦点在轴上时，其方程可设为： ，（易错点） 由于焦点位置未确定，故需分焦点在x轴上、在y轴上分类讨论 依题意，，因，故得，双曲线方程为：，即. 故选：D. 【错因分析】本题容易忽略对双曲线焦点位置的讨论而漏解. 知识混淆:混淆椭圆与双曲线焦点在 x 轴、y 轴的标准形式，只记方程结构，不区分a2、b2对应分母大小，盲目套用公式，造成焦点位置判断错误. 概念模糊:对圆锥曲线标准方程概念不清，不理解焦点位置由二次项分母大小或系数正负决定，不分析条件就默认焦点在 x 轴，遗漏焦点在 y 轴的情况. 望文生义:看到椭圆或双曲线方程，不看分母与系数，直接按习惯设焦点在 x 轴，忽略焦点位置不确定的情况，导致方程、离心率、渐近线求解错误. 避错攻略 【方法总结】由于建系的方案不同，三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦点在x,y轴两种情况，二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一定要先定位，即分析焦点位置，不确定要讨论，在定量，即求或的值． 【知识链接】1.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 (－c，0)与(c，0) (0，－c)与(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 【解读】(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴． (2)两种椭圆＋＝1，＋＝1(a＞b＞0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同． (3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上. 2.双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 【解读】　(1)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上，即x2，y2的系数异号． (2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线定形的条件，注意这里的b2＝c2－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．其中c＞a，c＞b，而a，b无大小要求． 3.抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) F x＝－ y2＝－2px(p>0) F x＝ x2＝2py(p>0) F y＝－ x2＝－2py(p>0) F y＝ 【解读】　(1)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式． (2)标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式． (3)抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离． (4)焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向． 举一反三 【变式2-1】（24-25高三上·江苏无锡·期中）求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】由题意可知，， 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为， 将点的坐标代入椭圆方程可得，解得， 此时，椭圆的标准方程为； 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为， 将点的坐标代入椭圆方程可得，解得， 此时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高二上·江苏南通·期末）写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为 . ①实轴长为4；②渐近线方程为 【答案】或 【解析】当双曲线焦点在x轴上时，由题意可知:，此时双曲线标准方程为. 当双曲线焦点在y轴上时，由题意可知：，此时双曲线标准方程为. 故答案为：或 易错点3 求离心率范围时忽略离心率本身范围 易错典题 【例3】（25-26高三上·北京·期中）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是 . 【答案】 【解析】解：当点位于短轴的端点时，最大， 要使椭圆上存在一点P满足， 只要最大时大于等于即可， 即当点位于短轴的端点时，， 所以， 又椭圆的离心率，(易错点) 若忽视此范围，则将得错解 【错因分析】本题容易忽略椭圆的离心率满足这一范围而出错. 知识混淆:混淆椭圆与双曲线离心率公式和范围，只关注题目条件推出的不等式，忘记椭圆 0<e<1、双曲线 e>1，把算出的区间直接当答案，与曲线本身范围冲突。 概念模糊:对离心率概念理解不完整，只把它当作比值，不记得它自带天然范围。解不等式后不检验、不与曲线固有范围取交集，得出不符合定义的错误结果。 望文生义:看到 “求离心率范围” 就只列题给条件，默认结果都有效，不看是椭圆还是双曲线，自动忽略其本身限制，导致解出的 e 不在合理区间内。 避错攻略 【方法总结】求离心率范围的方法 技巧1：建立关于和的一次或二次方程与不等式． 技巧2：利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 技巧3：利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为． 技巧4：利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 技巧5：涉及的关系式利用基本不等式，建立不等关系． 【知识链接】 1.椭圆的离心率e的范围为0<e<1. 2.双曲线的离心率e的范围为e>1. 3.抛物线的离心率e为1. 举一反三 【变式3-1】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线的渐近线为，即. 设，则. 因为点在双曲线的渐近线上，所以，即. 所以点在直线上. 因为点在圆上，所以直线与圆有公共点. 所以圆心到直线的距离不大于圆的半径，所以，. 设双曲线的焦距为，则，所以，所以. 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆的右焦点为F，P､Q是椭圆上关于原点对称的两点，M､N分别是PF､QF的中点，若以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e的范围是 . 【答案】 【解析】设点，则，又点， ∴，又以为直径的圆过原点，则有, 所以，即， ∴，又， 所以，得， ∴，整理得：， 解得，又， 所以. 故答案为：. 易错点4 求轨迹方程时忽略变量的取值范围 易错典题 【例4】（25-26高三上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，整理得，(易错点) 当时，点M与点A或点B重合，此时直线MA或MB不存在 所以动点的轨迹方程是. 故选：A. 【错因分析】本题容易忽略自变量的取值范围而出错而出错. 知识混淆：混淆方程同解变形与轨迹等价性，只关注方程形式化简，不考虑几何条件带来的范围约束，把变形前后方程视为同一轨迹，导致变量范围扩大或缩小。 概念模糊：对曲线与方程概念理解不清，只满足方程解对应点，不保证轨迹上点都满足条件，忽略纯粹性与完备性，不主动标注 x、y 范围，使轨迹出现多余部分。 望文生义：看到几何条件就直接列式推导，只追求方程标准形式，不结合图形判断实际范围，默认方程全域有效，忽略线段、射线、部分圆弧等真实轨迹。 避错攻略 【方法总结】求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错． 【知识链接】求轨迹方程的方法 1.直接法 利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下： 第一步：建系：建立适当的坐标系 第二步：设点：设轨迹上的任一点 第三步：列式：列出有限制关系的几何等式 第四步：代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简 注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线． 2.定义法 根据动点满足的几何条件判断出轨迹的类型，然后求出轨迹方程． 3.相关点法 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程． 4.交轨法 在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数． 举一反三 【变式4-1】（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆与圆外切，如图， ，即， ， 由双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，其中，， ． 故所求轨迹方程为：． 故选：C． 【变式4-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 【变式4-3】（25-26高二上·广东惠州·月考）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C 易错点5 直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错 易错典题 【例5】（25-26高三上·北京·阶段练习）若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率的所有可能值为 . 【答案】或 【解析】将代入双曲线方程中得到：， 展开整理得. 当时，即时，方程变为一次方程，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线恰好有一个交点. (易错点) 注意直线与双曲线恰有一个公共点时，直线与双曲线可能相切，也可能相交于一点（此时平行于渐近线） 当时方程是二次方程， 若直线与双曲线恰好有一个交点，则判别式， 展开得到：. 进一步化简为，则. 解得.   综上所得，直线的斜率的所有可能值或. 【错因分析】本题容易忽略对二次方程的二次项系数是否为零的讨论. 知识混淆：混淆方程同解变形与轨迹等价性，只关注方程形式化简，不考虑几何条件带来的范围约束，把变形前后方程视为同一轨迹，导致变量范围扩大或缩小。 概念模糊：对曲线与方程概念理解不清，只满足方程解对应点，不保证轨迹上点都满足条件，忽略纯粹性与完备性，不主动标注 x、y 范围，使轨迹出现多余部分。 望文生义：看到几何条件就直接列式推导，只追求方程标准形式，不结合图形判断实际范围，默认方程全域有效，忽略线段、射线、部分圆弧等真实轨迹。 避错攻略 【方法总结】在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形． 【知识链接】1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点． (2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程．消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离． ②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合． 2．圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2| ＝，k为直线斜率且k≠0. 举一反三 【变式5-1】（2026·四川南部县模拟)过点P(3,1)作直线l与抛物线y2＝－4x只有一个交点，这样的直线l有________条(　　) A．1　　 B．2 C．3　　 D．4 【答案】C 【解析】当直线l斜率不存在时，l：x＝3，与抛物线无交点，不合题意； 当直线l斜率为零时，l：y＝1，与抛物线有且仅有一个交点，满足题意； 当直线l斜率不为零时，x－3＝(y－1)， 即x＝(y－1)＋3， 由得ky2＋4y＋12k－4＝0， 则Δ＝16－4k(12k－4)＝0，解得k＝， ∴满足题意的直线l有两条； 综上所述，过点P(3,1)与抛物线y2＝－4x只有一个交点的直线l有3条． 【变式5-2】（多选）（25-26高三上·河南南阳·阶段练习）已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（   ） A．当时，直线与双曲线只有一个公共点 B．直线与双曲线只有一个公共点时，或 C．当或时，直线与双曲线没有公共点 D．当时，直线与双曲线有两个公共点 【答案】AC 【解析】由直线方程知，直线过，双曲线的渐近线为，所以时一个交点， 联立直线与双曲线，得，则， 当，即时直线与双曲线相切， 当，即或时没有公共点， 当且，即或或时两个公共点. 所以A、C对，B、D错. 故选：AC 【变式5-3】已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试求当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点． 【解析】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． 易错点6 恒成立意义不明导致定点、定值问题错误 易错典题 【例6】（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【解析】（1）由题知，，，， 由的面积为，得， 又，代入可得，，∴椭圆的方程为. （2）联立得， 设，，可得，， 由题知， 即， 即，解得， ∴直线的方程为，故直线恒过定点. 【错因分析】本题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线的方程时计算错误；二是在得到了直线系的方程后，对直线恒过定点的意义不明，找错方程的常数解． 概念模糊：未正确理解由含有一个量词命题的真假，从而导致无法正确转化. 望文生义：审题不清，从而导致思维混乱. 避错攻略 【方法总结】直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．解决定点与定值问题，不能仅靠研究特殊情况来说明． 知识混淆:混淆恒成立与存在成立，把对所有参数都成立的定点、定值，当成只对部分参数成立。不会用系数为 0 法，错用解方程思路，导致定点求错或定值不唯一。 概念模糊:对恒成立概念理解不清，不明白式子对任意参数都成立，等价于对应系数全为 0。只代入特殊值求定点定值，不验证一般性，结果片面不可靠。 望文生义:看到 “定点、定值” 就只算特殊点、特殊值，不理解 “对任意都成立” 的本质。忽略整体恒等条件，把偶然成立的点当成定点，答案不严谨。 【知识链接】1、求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 常用消参方法： ①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数． ②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值． ③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉． ④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如： ，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用． 2、求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明． 一般解题步骤： ①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个． ②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉． ③参数无关找定点：找到和没有关系的点． 举一反三 【变式6-1】（25-26高三上·青海西宁·月考）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 【解析】（1）由题意，所以， 因为，所以， 又离心率，解得， 联立解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）将直线与椭圆联立，得， 设，则， 又，所以， 所以 . 【变式6-2】（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）已知抛物线的焦点为，点，动点在抛物线上，的最小值为，过点的直线交于两点. (1)求的方程； (2)若点是的中点，求直线的方程； (3)在直线上是否存在定点，使得.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当时，，因为，所以 所以点在抛物线开口内， 等于点到准线的距离， 所以， 当且仅当垂直于准线时取等号， 所以， 所以的方程. （2）由题意如图所示： 设直线， 联立消去整理得：， 由 设，则， 又点是的中点，所以 所以直线的方程为：. （3）由题意如图所示： 当为时，点是的中点，又， 从而，从而若满足条件的点存在， 设点，由点在直线上， 所以有，①， 由题意知为直线与直线的距离， 即， 也即，② 联立①②解得：，即点. 下证点满足题意： 设直线，直线， 由， 即证点到直线的距离相等， 因为点到直线的距离为： ， 所以，即证， 由 成立， 特别地，当时，仍然成立，从而题设结论成立， 所以在直线上是存在定点，使得. 【变式6-3】（2026·广东佛山·一模）已知点，双曲线的一条渐近线方程是，直线被截得的弦长为. (1)求的方程. (2)已知是的右支上不同的两点，且存在实数，使得. （i）若点满足，求证：点总在某定直线上； （ii）若直线与的另一个交点为（异于），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【解析】（1）因为双曲线的一条渐近线方程是，则，即， 则双曲线的方程即为， 因为直线的方程为， 由题意可知：双曲线过点，则， 所以双曲线的方程为. （2）（i）设，且， 则，， 因为，则，可得， 设，则，， 因为，则，可得， 因为点在双曲线：上， 则，即， 两式相减得，即， 可得，所以点总在定直线上； （ii）因为双曲线的渐近线方程为， 由题意可知：直线的斜率存在，设直线，， 联立方程，消去y可得， 则， 可得，， 则， ， ， 直线的斜率，直线的斜率方程：， 联立方程，消去y可得， 则， 设，可得， 则， 且，即， 可得， 且， 即， 则直线：，即， 令，可得 ， 因为 所以直线过定点. 1、 单选题 1．（24-25高三上·四川雅安·诊断测试）已知椭圆的离心率为，则（   ） A．2 B． C．4或 D．或2 【答案】C 【解析】根据椭圆方程可知， 当时，可得，所以离心率， 解得； 当时，可得，所以离心率， 解得，所以； 所以或4. 故选：C 2.（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C 3．（24-25高三下·安徽·期末）已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】的离心率为时，当焦点在轴时，，解得， 当焦点在轴时，，解得， 故“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件， 故选：B 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 5．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 6．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 7．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若是上关于原点对称的两点，若成立，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，， 设，则，， 因为，所以 ，则， 联立，得， 则，即，则解得， 故椭圆离心率的取值范围是. 故选：D 8．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 2、 多选题 9.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 【答案】ABD 【解析】对于A：设曲线上的动点，则且， 因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确. 对于B：又曲线方程为，而， 故. 当时，， 故在曲线上，故B正确. 对于C：由曲线的方程可得，取， 则，而，故此时， 故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误. 对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得， 故，故D正确. 故选：ABD. 10．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【解析】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 11．（25-26高二上·陕西榆林·期末）如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线和下部分曲线.）构成，曲线的一个焦点为是“心形”曲线上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．的最大值为 C．若直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为-3 D．曲线上的点到直线的距离的最小值是 【答案】ACD 【解析】由可变形为， 则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆. 对于选项A：曲线的焦点为，解得，，， 则曲线的方程为，故A正确； 对于选项B：设椭圆的上焦点，则， 当点位于的下顶点时，即， 则，故B错误； 对于选项C：联立方程，消去可得， 令，解得或， 直线与曲线只有1个交点，则实数的最小值为-3，故C正确； 对于选项D：结合图形可知：曲线上的点到直线的距离的最小值即为直线与直线之间的距离， 且两平行线间距离为， 所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 3、 填空题 12．（24-25高三上·上海杨浦·阶段练习）与椭圆有相等的焦距，且过圆的圆心的椭圆的标准方程为 ． 【答案】或 【解析】由题意可知， 即其圆心为， 因为椭圆的焦距为， 所以与该椭圆等焦距的椭圆的焦点为或， 若焦点为，则圆心到两焦点的距离之和为， 所以相应椭圆方程为； 若焦点为，则圆心到两焦点的距离之和为， 所以相应椭圆方程为. 故答案为：或. 13．（2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则 . 【答案】 【解析】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，代入椭圆中， 得，又，故， 故答案为： 14．（25-26高二上·湖北随州·期末）已知，是焦点在轴上的椭圆和双曲线公共的焦点，若椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点既在第一象限，又在双曲线上，且，若椭圆的离心率的取值范围为，则双曲线的离心率的取值范围为 . 【答案】 【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，半焦距为，双曲线的离心率为， 延长交双曲线于点， 因为，由对称性得. 设，则，由双曲线的定义得，， 由， 知， 化简得，所以， 则椭圆的离心率为， 又椭圆的离心率的取值范围为，所以， 又，解得， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 四、解答题 15．（24-25高三上·广东·月考）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 【解析】（1）由题意得焦点，准线方程为， 以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形， 而这个等边三角形的高为， 即焦点到准线的距离，解得（负值舍去）， 所以的方程为． （2）若直线的斜率存在，设的方程为． 由方程组可得． （Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点； （Ⅱ）当时，方程的根的判别式为， （ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点； （ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，与有两个公共点； （ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，与没有公共点； 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与没有公共点． 综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或1或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2． 16．对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 【答案】(1) (2)或或 (3)不存在，理由见解析 【解析】（1）设双曲线的标准方程为代入，， 得，解得， ∴双曲线的标准方程. （2）如图：    设直线方程：，联立得 ， 直线与双曲线有两个交点， 所以或或. （或：且）. （3）设A，B两点坐标分别为，由（2）可得， 若P为AB中点，则， 此时， 所以不存在实数，使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点. 17．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【解析】（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . （2）由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 法三：则，， 故， 又， 所以，即平分. 法四：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为， 所以平分. 18．（2026·四川遂宁·一模）已知双曲线分别是的左、右焦点．在直线上，且到其中一条渐近线的距离为.抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为. (1)求的方程和的方程； (2)若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为直线与轴的交点为，所以点的坐标为，半焦距， 又双曲线的渐近线方程为，即，由点到直线的距离公式得到点到其中一条渐近线的距离为，所以，则，又，所以双曲线的方程为 又设为抛物线的焦点，则，如图，已知，为到准线的距离且为垂足，则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立，所以，解得，因为，所以，故抛物线的方程为    （2）假设存在常数满足条件，由（1）知， 设直线， 联立方程得，消去，整理可得， 所以，， ． 因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以两点在轴同侧，所以． 此时，即，所以． 设，将代入抛物线方程，得， 则， 所以 ． 所以． 故当时，为定值，所以，当时，为定值      19．（25-26高三上·河南周口·月考）已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线（，）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，连接OD（O为坐标原点）并延长，交椭圆C于点E，交直线于点H． ①若，求的值． ②若，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【解析】（1）由题意可得，解得，， 则椭圆的标准方程为． （2）设，， ①当直线的斜率存在，且不为时，设直线的方程为， 由，得，则， 因为，所以，则直线OB的方程为， 同理可得，则． 故； 当直线，中的一条直线斜率不存在时，另一条直线的斜率为， 此时， 综上，． ②联立，得， 则，即， 则， 所以，， 即点D的坐标为， 所以， 因为，所以直线OD的方程为． 由，得，则， 则， 由，得，即点H的坐标为， 则． 因为， 所以，得，满足， 所以直线l的方程为，则直线l过定点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $