1.2.2 第1课时 函数和差积的求导法则 课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

1.2.2 第1课时 函数和差积的求导法则 一些基本初等函数的导数公式： 1.(c为常数)； 2. 3. 4. 5. 6. 7. 这些基本初等函数经过加、减、乘、除可以得到更多的函数，新得到的函数的导数，是否能通过这些已知导数的四则运算得到呢？ 问题1：函数y = 3x²可以看成由哪两个函数组成，你能应用导数定义计算它的导数吗？ 问题2：由y = 3x²的导数，你认为F(x)=c f (x)的导数是否为 f (x)和实数c的乘积？你能验证吗？ y'= 3x 3 （1）F(x)=c f (x) 函数常数倍的导数，等于常数乘函数的导数，即 （2）和函数 u(x)= f (x)＋g(x)的导数，等于两函数的导数和吗？ 即两函数之和的求导法则为 议一议1：类比和函数的导数，有人猜测差函数 u(x)= f (x)－g(x)的导数等于两函数的导数的差，你能和同学交流验证结论吗？ 两函数之和的求导法则为 差函数 u(x)= f (x)－g(x)的导数，等于两函数的导数差 ． 即两函数之差的求导法则为 两函数之和差的求导法则为 即:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差) [f 1(x)±f 2(x)±…±fn (x)]′＝ . 问题1：对于多个函数，它们和差的导数如何计算？ [af(x)＋bg(x)]′＝ (a，b为常数) 议一议2：与同学交流解决下面问题. f 1′(x)±f2 ′(x)±…±f n′(x) af′(x)＋bg′(x) 解：由基本初等函数的导数公式及运算法则可得 f ′ (x) = 6x²－2x－3x ． 将 x = 1代入得， f ′ (1) = 6－2－3 = 1． 所以该曲线在与直线 x = 1相交处切线的斜率k =1 ． 又 f (1) = －1，即切点坐标为(1，－1)． 故所求切线方程为y－(－1) =1×( x－1 ) ，即y = x－2． 例1 求曲线 f (x) = 2x³－x²－3x＋1在与直线 x = 1相交处的切线方程． 10 1.求函数 f (x) =3x3－3x2＋x－2平行于x 轴的切线方程． 练一练 （1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素． （2）准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． （3）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．另外有的点虽然在切线上，但是经过该点的切线不一定只有1条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要漏解． 解决有关切线问题的关注点: 方法归纳 （3）设 F(x)= f (x)g(x)，则 想一想：函数乘积的导数怎么算呢？ 函数乘积的求导法则为 即：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ①函数G(x)=c f (x)的导数 ②函数F(x)= f (x)g(x)的导数. 议一议：观察下列函数的导数，你能发现它们的关系吗？ 解：f ′ (x) = (x³sinx)′ = (x³)′ sinx ＋ x³(sinx)′ = 3x²sinx ＋ x³cosx． 例2 求函数 f (x) = x³sinx的导数． 2.求下列函数的导数． （1） S (t) = 3sint－6t＋100；（2） f (x) =5＋3 x－2x；（3） f (x) = x4cosx． 解： （1） S′ (t) = 3cost－6； （2） f′ (x) =3－2xln2； （3） f′ (x) = (x4cosx)′ = (x4)′ cosx ＋ x4(cosx)′ = 4x3cosx － x4sinx． 练一练 17 例3 设且，，求的值. 解： 由，，得 解得=1，. 3.已知函数其导函数 求的值； 练一练 M(-1，1) k切=6 f(0)=2 f(-1)=1 f ′(-1)=6 d=2，a=b=-3，f(x)=x3-3x2-3x+2 练一练 与同学交流，尝试解决这个问题 2.两函数之和的求导法则： 3.两函数之差的求导法则： 4.函数乘积的求导法则： 1.函数常数倍的求导法则： 21 解：因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 所以f′(x)＝2ax＋b. 又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. 变式：已知函数f(x)=x3+bx2+ax+d的图象过点P(0，2)，且在点M(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数f(x)的解析式. $