21.3.3正方形寒假预习讲义-2025-2026学年人教版八年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

21.3.3正方形寒假预习讲义（人教版） 💦 预习内容概览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.强化巩固★综合测试 ✅ 课前预习★目标 ● 掌握正方形的定义，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系； ● 熟记正方形的边、角、对角线、对称性等重要性质； ● 牢记正方形的主要判定方法，能根据已知条件（边、角、对角线）选择合适的判定思路； ● 理解正方形的应用实例（地砖、魔方面），分析其特性与实用性的关联； ● 能对比矩形、菱形、正方形的异同，形成几何图形认知，激发学习兴趣。 ✏ 重点知识★梳理归纳 【知识点一、正方形的定义】 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形． 【重点提示】（1）既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形； （2）正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形． 【知识点二、正方形的性质】 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心． 【重点提示】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形。 【知识点三、正方形的判定】 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）． 【知识点四、正方形对角线的重要作用】 1.正方形的对角线将其分成两个全等的等腰直角三角形； 2.对角线交点到四个顶点的距离相等（即外接圆圆心）； 3.对角线交点到四条边的距离相等（即内切圆圆心）； 4.对角线长度：若边长为a,则对角线长d=a 【知识点五、特殊平行四边形之间的关系】 【知识点六、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状】 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形； （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形； （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形； （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形． 【知识点七、常见辅助线与解题技巧】 1.连接对角线：构造等腰直角三角形，利用45°角解题； 2.作垂线或平行线：构造全等或相似三角形； 3.利用对称性：翻折、旋转图形简化问题； 4.坐标法：将正方形置于坐标系中（如A(0,0), B(a,0), C(a,a), D(0,a)），便于代数计算。 【知识点八、正方形典型应用与常见题型】 1. 证明题：证明某四边形是正方形（结合判定定理）  2. 计算题：求边长、对角线、面积、周长； 3. 几何综合题：与全等、相似、勾股定理结合； 4. 动点问题：在正方形中研究点的运动轨迹与最值；  5. 实际应用：设计、建筑、拼图中的对称与分割。 ☘ 核心考点★精讲精练 题型1正方形性质理解 例1．正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查矩形和正方形的性质．根据矩形和正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：正方形的对角线互相垂直平分且相等， 矩形的对角线互相平分且相等，但不一定垂直， 故选：B． 变式1．将三个面积均为6的正方形按如图所示摆放，点是左侧正方形的中心，也是中间正方形的一个顶点，是中间正方形的中心，也是右侧正方形的一个顶点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质．根据题意可得，是正方形的面积的，据此求解即可． 【详解】解：如图，标注图形，连接，， ∵由正方形性质可得：，，， ， ∴， ∴， ∴， 同理，右边空白四边形的面积也是， ∴图中阴影部分的面积是：． 故答案为：3． 变式2．如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. （1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可. （2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求. （2）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵平分， ∴， ∵直线，即， ∴， ∴． 题型2根据正方形的性质求角度 例2．如图，在正方形中，为上一点．若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是关键． 由正方形的性质可得．根据三角形的内角和定理求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 变式1．如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，首先由正方形得到，，，然后结合得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 变式2．如图，四边形是正方形，延长到点，使，连接交于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，根据正方形的性质可得，根据，可得，由此即可求出，进而可得． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 题型3根据正方形的性质求线段长 例3．如图，在Rt中，，点是斜边的中点，以为边作正方形．若，则的面积为（    ） A． B． C．24 D．36 【答案】C 【分析】此题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，先求，再根据直角三角形斜边中线的性质得，然后由勾股定理求出即可得出的面积，理解正方形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 是直角三角形，， 是的斜边的中线， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 故选：C． 变式1．如图，是正方形的对角线，延长至点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理． 根据正方形的性质得到，，，根据三角形内角和定理求出，根据等角对等边得到，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴，，， ∴， 即， ∵， ∴（负值舍去）． 故答案为：． 变式2．如图，四边形为正方形，点在正方形内部，连接，，是等边三角形，过点作于点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到为含30度角的直角三角形，，根据含30度角的直角三角形的性质求得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，； 又为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型4根据正方形的性质求面积 例4．对角线长是3的正方形的面积（    ） A． B．9 C． D．11 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解题的关键熟练掌握正方形的性质．设正方形边长为a，根据正方形的性质以及勾股定理即可得到，则，即可求解正方形的面积． 【详解】解：设正方形边长为a， 由正方形可得边长相等，且内角为， ∴由勾股定理得，， ∴， 即正方形的面积为， 故选：A． 变式1．如图，在正方形中，，点分别是边的中点，连接，则四边形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质．根据正方形的性质，结合三角形面积计算公式，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点分别是边的中点， ∴， ∴四边形的面积为： ． 故答案为：9． 变式2．如图，从一个大正方形木板上裁去面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为_____和_____； (2)求剩余木料的面积； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用： （1）根据正方形面积计算公式即可求出两个小正方形的边长； （2）根据（1）中结论求出大正方形的面积，再减去两个小正方形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：两个小正方形的面积为和， 两个小正方形的边长为，， 故答案为：，； （2）解：由（1）知大正方形的边长为：； ∴大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积． 答：剩余木料为． 题型5正方形折叠问题 例5．如图，正方形的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质以及勾股定理，由折叠的性质得出，设，再根据勾股定理得出，代入数值求解得出x的值，进而即可得出的值． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为3， ∴， 根据折叠的性质得：， 设， 则，，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， 故选B 变式1．如图，四边形是边长为8的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠问题及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是关键．由翻折的性质可知：，设，则，连接，在和中利用勾股定理构建方程求出y，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 连接， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， 即， 故答案为：． 变式2．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，将纸片压平并展开，得到折痕，设的对应边交于点，连接交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是关键． （1）根据折叠得到，即，由正方形的性质得到，则，由此即可求解； （2）如图，过点作交于点，可证，，，且，由此即可求解． 【详解】（1）解：由折叠得，， ， ， 即， 正方形中，， ， ； （2）解：如图，过点作交于点， ， 由（1）可知，， 在和中， ， ， ， 正方形中，， ， 在和中， ， ， ， ，且， ． 题型6求正方形重叠部分面积 例6．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，正方形环的面积计算是解题的关键．连接，根据题意，得阴影部分的面积是，解答即可． 【详解】解：连接， 由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3， 根据题意，得阴影部分的面积是， 故选：A． 变式1．如图，两个边长为a的正方形重叠，其中一个的顶点在另一个的对角线的交点上，则重叠部分的面积为 平方单位． 【答案】 【分析】根据题意，证明△COF≌△DOE进而可得四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD， ∴∠DOC＝∠EOF＝90°， ∴∠DOE＝∠COF， 在△COF和△DOE中， ， ∴△COF≌△DOE（ASA）， ∴S△COF＝S△DOE， ∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝a2， ∴重叠部分的面积为a2， 故答案为a2． 【点睛】本题考查了根据正方形的性质求正方形重叠面积，三角形全等的性质与判定，证明△COF≌△DOE是解题的关键． 变式2．如图，在正方形中，对角线交于点O，点E、F分别在边上，且，连接． (1)求证：； (2)若正方形的边长为2，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）由正方形的性质证明即可； （2）由，得，从而得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为2，， ∴， 即四边形的面积为1． 题型7根据正方形的性质证明 例7．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接并延长交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，利用正方形的性质可证，得到，再根据等腰三角形及三角形外角性质可得，进而得到，即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 变式1．如图，在正方形中，点是正方形中心，是边上一点，连接，过点作的垂线交于点，若，则正方形的面积为 ． 【答案】49 【分析】该题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，证明，得出，从而求出，即可解答． 【详解】解：∵在正方形中，点是正方形中心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为49， 故答案为：49． 变式2．如图，在正方形中，点、分别在边和的延长线上，连接、、，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，直角三角形全等的判定和性质；证即可解答． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中，，， ∴， ∴． 题型8正方形的判定定理理解 例8．在学习了《平行四边形》这一章节后，小侯针对几种特殊的平行四边形的关系画出了如图草图，他让同桌小润在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（    ） A．：中心对称 B．：对边相等 C．：有一组邻边相等 D．：对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法． 根据矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：A．：中心对称是平行四边形的固有性质，无法判断其为矩形； B．：对边相等是矩形的固有性质，无法判断其为正方形； C．：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，填写正确； D．：对角线互相平分是菱形的固有性质，无法判断其为正方形； 故选：C． 变式1．如图中，阴影部分表示的四边形是 ． 【答案】正方形 【分析】本题考查四边形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键； 根据题意可知，阴影部分既要满足矩形的性质，又满足菱形的性质，从而得解； 【详解】解：当矩形的邻边相等时，矩形可称为是正方形；当菱形的邻边互相垂直时，所给菱形可称为正方形； 故正方形即是特殊的矩形，也是特殊的菱形， 所以阴影部分表示的四边形是正方形； 故答案为：正方形 变式2．如图，点为直线外一点，垂直于直线，垂足为．在图中作正方形，使点、在直线上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）：并根据作图证明所作四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定．以点为圆心，为半径作，延长交于点，连接，，，，则四边形是正方形． 【详解】解：正方形即为所作， 证明：， 四边形是平行四边形，且， 平行四边形是矩形， ， 矩形是正方形． 题型9添一个条件使四边形是正方形 例9．在《特殊平行四边形》回顾与思考课上，李芳整理的本章知识结构图如图，同桌张丽在①②③④处添加了条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①处可填 B．②处可填 C．③处可填 D．④处可填 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的判定关系，根据这些特殊平行四边形的判定定理，逐一分析每个选项所添加的条件是否能使图形按箭头方向进行正确的转化． 【详解】解：A项：一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴①处可填是正确的，故该选项不符合题意； B项：有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴②处可填是正确的，故该选项不符合题意； C项：有一个角是直角的菱形是正方形， ∴无法判定两角是否为直角，故该选项符合题意； D项：一组邻边相等的矩形是正方形， ∴④处可填是正确的，故该选项不符合题意， 故选：C． 变式1．如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择 (限填序号)． 【答案】② 【分析】本题主要考查了正方形的判定定理，根据正方形的判定定理，由菱形添加对角线相等或四边形的一个角是直角，即可求解． 【详解】解：条件①③是菱形的性质，则添加条件①③时，不能使四边形是正方形， 添加条件②时，根据对角线相等的菱形是正方形，能使四边形是正方形， 故答案为：②． 变式2．已知中，平分，交于E，交于F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)时，四边形是正方形． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，正方形的判定等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）先通过题目条件证明是平行四边形，再通过平行线的性质和角平分线的定义得到，从而得到平行四边形一组邻边相等即可判断； （2）根据“有一个角是直角的菱形是正方形”即可解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． （2）时，四边形是正方形． ，四边形是菱形， 四边形是正方形． 题型10证明四边形是正方形 例10．顺次连接正方形各边的中点所组成的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题考查中位线定理和正方形的性质，解题的关键是掌握相关性质和判定． 画出图形，由三角形中位线的性质，可证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的四边形为菱形，可证明平行四边形是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形即可证明菱形是正方形． 【详解】解：设正方形，、、、分别为、、、的中点，连接、. ∵ 、是、的中点， ∴ ，且 . 同理，，， ∴ ，， ∴ 四边形是平行四边形. ∵ 、是、的中点， ∴ ， . ∵ 正方形对角线相等且垂直， ∴ ，， ∴ = ， 又∵四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形. ∵ ，，， ∴， ∴ ， ∴ 菱形是正方形. 故选：D． 变式1．如图，已知点、、、分别是四边形四边的中点，当对角线、满足条件 时，四边形是正方形． 【答案】， 【分析】本题考查了中位线定理，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定得到四边形为平行四边形，再根据菱形的判定、正方形的判定解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点、、、分别是四边形四边的中点， ∴、、分别为、、的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 当时，， ∴平行四边形为菱形， 当时，， ∴菱形为正方形， 故答案为：，． 变式2．已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了正方形、矩形的判定，角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质．先根据已知条件得出，再由，利用三角形内角和定理得出，从而根据等腰三角形的判定可知，，证明出四边形是矩形，进而求得四边形是正方形． 【详解】证明：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 题型11根据正方形的性质与判定求角度 例11．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 变式1．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 变式2．图①、图②、图③均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，在边上找一点D，连接，使； (2)在图②中，画出的角平分线； (3)在图③中，在边上找一点F，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是利用网格特点作图，同时考查了平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，熟记基本几何图形的判定与性质是解本题的关键． （1）取格点M，N，再利用平行四边形的对角线互相平分可得线段的中点D； （2）取格点Q，K，连接，连接交于，再利用正方形的性质可得是的角平分线； （3）取格点，G，可得直线是的垂直平分线，交于，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 题型12根据正方形的性质与判定求线段长 例12．如图，点E是正方形的中心（对角线的交点），以E为直角顶点作，的两直角边分别交于点M，N，若正方形的边长为6，则重叠部分四边形的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，先过点E分别作，，证明四边形是正方形，再得出，故重叠部分四边形的面积为，则，即可作答． 【详解】解：过点E分别作，，如图所示： ∵四边形是正方形，正方形的边长为6， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点E是正方形的中心， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵的两直角边分别交于点M，N， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 则重叠部分四边形的面积为， ∴， 即重叠部分四边形的面积为， 故选：B 变式1．如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换，正方形的判断与性质，勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论，正确理解题意作出图形． 根据题意分两种情况：在上，，四边形是正方形，；在上，，用勾股定理，解，即可得的长． 【详解】解：根据题意分以下两种情况： 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，， ∴四边形是正方形， ∴； 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：或． 变式2．如图，在矩形中，点E，F分别是，边上的点，，， (1)求证：； (2)若，求矩形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质. （1）由矩形的性质得到，进而证明，即可得到； （2）由得到，即可证明四边形是正方形，根据正方形的性质计算即可. 【详解】（1）证明：四边形是矩形， 又， 和中 （） ； （2）解：∵ ∴ 又四边形是矩形 四边形是正方形 四边形的周长 题型13根据正方形的性质与判定求面积 例13．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质. 先过点E分别作，，证明四边形是正方形，再得出，故重叠部分四边形的面积为，则，即可作答． 【详解】解：过点E分别作，，如图所示： ∵四边形是正方形，正方形的边长为8， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点E是正方形的中心， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵的两直角边分别交于点M，N， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 则重叠部分四边形的面积为， ∴， 即重叠部分四边形的面积为， 故选：D． 变式1．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 变式2．如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积． 【答案】100平方厘米 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质的应用，解此题的关键是求出四边形的面积等于正方形的面积． 过作于，求出四边形是矩形，求出，根据证，得出的面积等于的面积，，求出四边形的面积等于正方形的面积，即可求出答案． 【详解】解：过作于， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 在和中 ， ， ∴的面积等于的面积，， ∴矩形是正方形， ∴四边形的面积． 题型14根据正方形的性质与判定证明 例14．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变．当时，如图①，测得．当时，如图②，（   ） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 如图①先根据题意得到四边形是正方形，连接，利用勾股定理求出的长，如图②根据，证明三角形为等边三角形即可得到答案． 【详解】解：如图①∵，， ∴四边形是正方形， 连接，则， ∴， 如图②，，连接， ∵ ∴为等边三角形， ∴． 故选A． 变式1．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是 ． 【答案】④ 【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识， 先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵点 E、F、G、H分别是四边形边边、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ①当时，则， 则四边形为菱形，①说法错误； ②当时，则， 则四边形为矩形，②说法错误； ③四边形一定是平行四边形，与不一定互相平分，③说法错误； ④当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，④说法正确； 故答案为：④． 变式2．如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 由正方形性质得到，结合已知条件，由三角形全等的判定得到，再由全等性质得到，即可得证四边形是菱形，再求出，由正方形的判定即可得证． 【详解】证明：四边形是正方形， ， 又， ， ， 则四边形是菱形， 又 ， ， ， 四边形是正方形． 题型15中点四边形 例15．下列说法中，错误的是（    ） A．有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 D．矩形的中点四边形是菱形 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形和菱形的判定，矩形的性质，解题关键是准确掌握各类特殊平行四边形的判定定理与性质定理． 根据菱形的判定和平行四边形的判定方法，判断各选项的正误． 【详解】解：A中，有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，正确； B中，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，正确； C中，一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行四边形（如筝形），错误； D中，根据中点四边形性质，其边长等于原四边形对角线长的一半，因为矩形的对角线相等，所以其中点四边形的四条边相等，故为菱形，正确； 故选：C． 变式1．正方形的周长为，顺次连接正方形各边的中点，得到四边形，则四边形的面积等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时利用三角形的中位线的性质求解是关键．连接，，根据三角形的中位线的性质，可以得出四边形为正方形，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：连接，， ∵点、、、是正方形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵，，， ∴， ∴四边形是正方形 ∵正方形的周长为， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴四边形的面积． 故答案为：． 变式2．如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 【答案】四边形EFGH是平行四边形；当四边形ABCD为矩形时，四边形EFGH是菱形；当四边形ABCD为菱形时，四边形EFGH是矩形．当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形；理由见解析 【分析】连接，，由三角形中位线定理可得，，，，，，根据菱形、矩形、正方形的性质定理和判定解答即可． 【详解】解：如图，连接，． ，分别为，的中点， ∴，． 同理可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵，分别为，的中点， ∴，． 当四边形为矩形时，， ∴， ∴四边形是菱形． 当四边形为菱形时，， ∴， ∴四边形是矩形． 当四边形为正方形时，，， ∴，， ∴四边形是正方形． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，解题关键是掌握三角形中位线定理． 题型16利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 例16．如图，将沿方向平移至的位置，针对四边形与四边形，下列说法正确的是（） A．周长与面积都相等 B．周长等，面积不等 C．周长不等，面积等 D．周长面积都不相等 【答案】C 【分析】根据四边形周长及面积公式即可解答本题，注意两四边形底边为同边AD 【详解】∵沿方向平移得到． ∴四边形与四边形均为平行四边形． ∵． ∴四边形与四边形周长不相等． ∵四边形与四边形底边同为AD，且高相等． ∴四边形与四边形面积相等． 故本题选择C 【点睛】本题考查了平移的性质及四边形的周长、面积公式，正确掌握上述知识点是解答本题的关键． 变式1．如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积，平行四边形的性质和判定， 根据平移的性质得，可知四边形时平行四边形，再根据面积公式得出答案． 【详解】解：根据平移的性质得， ∴四边形时平行四边形． ∵， ∴． ∵， ∴阴影部分的面积等于． 故答案为：4． 变式2．如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为 . 【答案】9 【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解． 【详解】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为，所以阴影部分的面积9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了矩形是中心对称图形的性质．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 题型17（特殊）平行四边形的动点问题 例17．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿向终点运动．当四边形为平行四边形时，运动时间为（   ） A．4s B．3s C．2s D．1s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、动点问题的分析知识点，掌握平行四边形对边相等的性质以及根据动点位置表示线段长度的方法是解题的关键． 先判断点的位置：当四边形为平行四边形时，点必须在上，利用平行四边形对边相等的性质，列方程求解运动时间． 【详解】解：由题意可知，当四边形为平行四边形时，点在上． 设运动时间为，则，． 根据题意，得，解得． 故选：B． 变式1．如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为．当取某个值时，使得和全等，则满足条件的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定、矩形的性质、动点问题，分情况讨论即可作答． 【详解】①当点在上时，由题意得 要使，则需 解得： ②当在上时，不构成 ③当在 上时，由题意得 要使，则需，即 解得： 综上，当或时， 故答案为或． 变式2．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以/的速度向点运动；点从点同时出发，以/的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)____________，____________（用含的代数式示）； (2)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是矩形？若存在，请求出值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】本题考查列代数式，平行四边形、矩形的性质，关键是熟练掌握矩形的判定． （1）由运动的速度即可表示长，的长； （2）根据矩形的判定列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵， ∴ 故答案为：，； （2）解：存在， 在四边形中：， ∴当时，四边形是矩形， ∴， 解得：， ∴当时，四边形是矩形． 题型18四边形中的线段最值问题 例18．如图，菱形中，，，E、F分别是、上的动点，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，以及线段最值问题，准确添加辅助线是解题的关键． 如图构造全等三角形，使得，点A、G在直线两端，再根据三角形三边的性质，判断出，利用角度关系得出，结合直角三角形边长关系求出的长度，则为的最小值． 【详解】解：在下方取点，使， 连接、，如图所示： 又∵， ∴， ，故当、、三点共线时最小， ∵四边形为菱形， ∴，， 故，且， 得等腰， ， 则， 故选． 变式1．如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．在的右侧构造等腰直角三角形，连接，证明，求出，再根据可得结论． 【详解】解：如图，在的右侧构造等腰直角三角形，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的最大值为； 故答案为：． 变式2．如图，四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），，分别为，的中点，求的最大值． 【答案】6.5 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，动点最值问题，掌握利用中位线定理将转化为的一半，通过分析的最大值来求的最大值是解题的关键． 连接，利用三角形中位线定理将转化为的一半，再分析的最大值，从而求出的最大值． 【详解】解：如图，连接． ，分别为，的中点， 为的中位线， ， 当的值最大时，的值最大． 当点与点重合时，的值最大， 此时， 的最大值为． 题型19四边形其他综合问题 例19．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．下列四种说法：    ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形 ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，且，那么四边形是正方形． 其中，正确的有（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形、正方形的判定，先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得出为平行四边形，得出①正确；当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由，，根据等腰三角形的三线合一可得平分，同理可得四边形是菱形，但不一定为直角，④不一定正确． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，选项①正确； 若， 平行四边形为矩形，选项②正确； 若平分， ， 又， ， ， ， 平行四边形为菱形，选项③正确； 若，， 平分， 同理可得平行四边形为菱形，但不一定为直角，故菱形不一定为正方形；选项④错误， 则其中正确的是①②③． 故选：C． 变式1．如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是 ． 【答案】 【分析】根据四边形为矩形及为的中点即可得到，再利用正方形的性质得到即可解答． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴四边形的周长是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，全等图形，掌握图形的剪拼是解题的关键． 变式2．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形． (1)如图1，在8×5的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个，点A、B、C均在格点上，请在网格图中找出2个格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是和谐四边形，并画出相应的四边形． (2)如图2，在四边形中，，，，平分．试说明：是四边形的和谐线； (3)已知，在四边形中，，，是四边形的和谐线，直接写出的长_____． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据和谐四边形的定义，作出图形即可； （2）证明即可； （3）首先根据题意画出图形，然后由是四边形的和谐线，可以得出是等腰三角形，从图3，图4两种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和的直角三角形性质就可以得出结论． 【详解】（1）解：∵若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形， ∴作图如下： （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是四边形的和谐线； （3）解：如图3，4 ∵是四边形的和谐线， ∴是等腰三角形， ∵， 如图3，当时， ∴，， ∴是正三角形， ∴， ∵， ∴， 过点作于， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图4，当时，， 当时， ∵是四边形的和谐线， ∴， ∴综上所述，满足条件的的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查作图一应用与设计，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解和谐四边形的定义，属于中考常考题型． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 【答案】B 【分析】此题综合考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 因为正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分． 【详解】解：矩形、菱形、正方形的对角线相互平分， 故选：B． 2．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 首先由正方形的性质得到，，，然后由等边三角形的性质得到，，推出，，然后利用等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 3．蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如图所示的图形，其中“闺”为等腰直角三角形，点E，F分别是正方形ABCD中边AD，AB上的中点，点G为EF的中点．若正方形ABCD的边长为8，则“闺”的斜边GF的长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，边长为8，点，分别是边，的中点， ∴ 在中，由勾股定理得， ∵点是的中点， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 4．如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用折叠性质得对应边相等，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵正方形边长为，是中点， ∴ 设，则，由折叠性质得． 在中，由勾股定理：， 即，，，． ∴，，． 故选：C． 5．如图，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，已知两个正方形的边长都为，那么绕点转动正方形，两个正方形重叠部分的面积为（  ）． A．12 B．9 C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定及性质．求两个正方形重叠部分的面积，首先应证明：，从而将重叠部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵和是边长相等的正方形， ∴，，， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴重叠部分面积为：， 故选B． 6．如图，点是正方形对角线上的一点，连接、，延长交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明是解题的关键．由正方形的性质得，则，再证，得，然后由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的判定，关键是熟练掌握正方形的判定定理． 根据正方形的判定定理逐选项分别进行分析即可． 【详解】解：A． 由，可判断是矩形，由可判定矩形是正方形，此选项不合题意； B． 由可判断是菱形，由菱形可判定，此选项不能判定是正方形，符合题意； C． 由可判断是菱形，由可判定菱形为正方形，此选项不符合题意； D． 由可判定是菱形，由可得，进而可判定菱形为正方形，不符合题意； 故答案为：B． 8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解． 【详解】解：分别取的中点为，连接， 分别是的中点， ， 又， ， 四边形是正方形， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利用题意证明出四边形是正方形． 9．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 二、填空题 10．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组邻边相等；④一个角是直角．写出一个你认为能得到正方形的组合： ．（填序号） 【答案】①③④或②③④ 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键． 根据有一个角是直角的菱形是正方形即可求解． 【详解】解：由①得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加③得一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加④得一个角是直角的菱形是正方形； 由②得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，同样再添加③④即可得到正方形． 故能得到正方形的组合有①③④或②③④． 故答案为：①③④或②③④． 11．如图，在中，，垂直平分，．当满足条件 时，四边形是正方形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、矩形的判定方法和正方形的判定方法，解题的关键是可从四边形是正方形推出满足的条件． 由已知条件，垂直平分，，判定四边形为矩形，根据邻边相等的矩形为正方形可知时四边形是正方形． 【详解】解：添加条件：（答案不唯一）． 证明：∵，垂直平分，， ，， 四边形为矩形， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又四边形为矩形， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定、正方形的判定，因为平行四边形中，，根据对角线相等的平行四边形可证四边形是矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，再添加一组邻边相等即可证明四边形是正方形． 【详解】解：平行四边形中，， 四边形是矩形， 当时， 根据有一组邻边相等的矩形是正方形， 可知四边形是正方形． 故答案为：(答案不唯一)． 13．如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据正方形性质得出，，根据等边三角形性质得出，，推出，，根据等腰三角形性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． 14．如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的性质，解题的关键是作出辅助线证明四边形是菱形． 连接，，，，根据中位线定理得到，即可得到四边形是菱形，结合菱形对角线互相垂直及勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，，，，如图所示，设与的交点为O， E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴四边形是菱形． ∴． ∴的值为． 故答案为：． 15．如图，在矩形中，．若点P满足，且，则 ．    【答案】 【分析】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形与正方形是解题的关键．过点P作交延长线于M，交延长线于N，过点P作于Q，交于E，证明四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，现证明，从而证明四边形为正方形，利用正方形的性质即可得出结论． 【详解】解：过点P作交延长线于M，交延长线于N，过点P作于Q，交于E，如图，    ∵矩形 ∴，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ， ∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 在与 ∴ ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 故答案为：． 三、解答题 16．如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，，．求证：四边形ABCD是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形与正方形的判定、全等三角形的判定与性质，掌握矩形中一组邻边相等即可判定为正方形是解题的关键． 通过已知角的关系推导出，再结合和公共边，证明，从而得到，进而判定矩形为正方形． 【详解】证明：∵，，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 17．如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)边形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握对称性，正方形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． （1）对称性得到，，，，，进而推出，得到四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）设，推出，在中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下： ∵于点D， ∴． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 又∵， ∴矩形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，． 设，则． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，即． 解得． ∴． ∵， ∴． 18．如图，已知矩形中，，．将三角板的直角顶点放在矩形内，移动三角板保持两直角边分别经过点，．求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了定长定角构造辅助圆，以为直径，中点为圆心作圆，连接，由三角板可得，根据“两点之间线段最短”可以得到当点在一条直线上时，有最小值，此时即可求解. 【详解】解：如图，设的中点为，连接． ， 点在以为直径的半圆上运动， 当在一条直线上时，最小． ，， ，， ， 的最小值为； 故答案为：． 19．【问题提出】 （1）如图，正方形的对角线与相交于点，点为边的中点，连接，若，求正方形的边长； 【问题解决】 （2）如图，四边形是某果园的平面示意图，该果园共有五个出口，其中出口在边上，已知米，米，米，，为果园内两条小路（宽度忽略不计），现在的中点处修建一个临时库房（大小忽略不计），沿修一条运输通道（宽度忽略不计）． 判断的形状，并说明理由； 试求该运输通道的长度． 【答案】（）正方形的边长为；（）是等腰直角三角形，理由见解析；该运输通道的长度为米． 【分析】（）根据正方形性质和三角形的中位线定理即可求解； （）过点作于点，证明四边形是正方形，然后证明，得，，进而可以解决问题； 连接，取的中点，连接，证明，得，然后根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：（）∵四边形是正方形， ∴， ∴为中点， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∴正方形的边长为； （）是等腰直角三角形，理由如下： 过点作于点，如图， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，米， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； 连接，取的中点，连接，如图， ∵为的中点，和都是直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点分别为的中点， ∴为的中位线， ∴米，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴米， 即该运输通道的长度为米． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 20．综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2）①，②；（3），；（4），理由见解析 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由中位线的性质可得，结合正方形的性质可得结论； （3）取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）设的中点分别为E、F，并顺次连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 所以其中点四边形是正方形； 故选：D； （2）①，②；理由如下： 如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的位置关系为，数量关系为； （4），理由如下： 如图，设的中点分别为E、F，并顺次连接， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵F，N分别是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 21．如图，在中，，点D、E、F分别是的中点，以为对角线作正方形． (1)判断四边形的形状，并证明； (2)当正方形与面积相等时，连接，判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2)四边形是矩形，证明见解析 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、矩形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形三线合一得到，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到，即可证明结论成立； （2）设交于点，证明四边形都是矩形，则，即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 证明：连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）四边形是矩形， 证明：设交于点，如图， 设 ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴正方形的面积是， 在中，，点D是的中点， ∴ ∴的面积为， ∵正方形与面积相等， ∴， 解得， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形都是矩形， ∴， ∴四边形是矩形． 22．已知：如图，在边长的正方形中，点在边上， ，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的折叠证明，则得到，而折叠得到，再由即可求解； （2）由，可设，则，，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠得,， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在和中， ， ， ， 又 ， ， ． （2）解：∵， 设， , ， 在中， ， ∴． 23．已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查对角线互相垂直的四边形面积问题，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （2）根据（1）中的计算结果，发现三个图形的面积都是．将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （3）把四边形的面积分割成两个三角形面积之差，按三角形的面积公式进行计算． 【详解】（1）解：对于图1， ， ，， ， ， ， ， ； 同理可得，图2和图3中的四边形的面积，， 故答案为：，，； （2）解：对于线段与线段垂直相交（垂足不与点，，，重合）的任意情形，四边形的面积为定值． 证明如下： ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：顺次连接点，，，，所围成的封闭图形的面积仍为24． 证明：如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，当线段与（或）的延长线垂直相交时，顺次连接点所围成的封闭图形的面积是． 24．如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【答案】(1)从运动开始，两点运动6秒或10秒时， (2)从运动开始，存在某个时间，使得四边形恰好为正方形，运动时间为8秒 【分析】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的性质的应用，综合性较强，难度适中． （1）分两种情况：①，且；②与不平行，但； （2）设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形，则有，据此列出方程． 【详解】（1）解：分两种情况： ①当、运动到，则平行且等于， ∴四边形是平行四边形，此时． 设运动时间为秒，则， ， ， 解得， 即时，； ②当、运动到，时，满足，过，分别作于，于， ∵，， ∴，， ∴，四边形是矩形，即， ∴， 同理可得四边形是矩形， ∴， ， ， 解得． 综上所述，从运动开始，两点运动6秒或10秒时，； （2）解：设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形，如图： ∴， ∴， 所以当时，四边形是正方形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3.3正方形寒假预习讲义（人教版） 💦 预习内容概览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.强化巩固★综合测试 ✅ 课前预习★目标 ● 掌握正方形的定义，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系； ● 熟记正方形的边、角、对角线、对称性等重要性质； ● 牢记正方形的主要判定方法，能根据已知条件（边、角、对角线）选择合适的判定思路； ● 理解正方形的应用实例（地砖、魔方面），分析其特性与实用性的关联； ● 能对比矩形、菱形、正方形的异同，形成几何图形认知，激发学习兴趣。 ✏ 重点知识★梳理归纳 【知识点一、正方形的定义】 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形． 【重点提示】（1）既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形； （2）正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形． 【知识点二、正方形的性质】 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心． 【重点提示】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形。 【知识点三、正方形的判定】 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）． 【知识点四、正方形对角线的重要作用】 1.正方形的对角线将其分成两个全等的等腰直角三角形； 2.对角线交点到四个顶点的距离相等（即外接圆圆心）； 3.对角线交点到四条边的距离相等（即内切圆圆心）； 4.对角线长度：若边长为a,则对角线长d=a 【知识点五、特殊平行四边形之间的关系】 【知识点六、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状】 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形； （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形； （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形； （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形． 【知识点七、常见辅助线与解题技巧】 1.连接对角线：构造等腰直角三角形，利用45°角解题； 2.作垂线或平行线：构造全等或相似三角形； 3.利用对称性：翻折、旋转图形简化问题； 4.坐标法：将正方形置于坐标系中（如A(0,0), B(a,0), C(a,a), D(0,a)），便于代数计算。 【知识点八、正方形典型应用与常见题型】 1. 证明题：证明某四边形是正方形（结合判定定理）  2. 计算题：求边长、对角线、面积、周长； 3. 几何综合题：与全等、相似、勾股定理结合； 4. 动点问题：在正方形中研究点的运动轨迹与最值；  5. 实际应用：设计、建筑、拼图中的对称与分割。 ☘ 核心考点★精讲精练 题型1正方形性质理解 例1．正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 变式1．将三个面积均为6的正方形按如图所示摆放，点是左侧正方形的中心，也是中间正方形的一个顶点，是中间正方形的中心，也是右侧正方形的一个顶点，则图中阴影部分的面积是 ． 变式2．如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 题型2根据正方形的性质求角度 例2．如图，在正方形中，为上一点．若，则（   ）． A． B． C． D． 变式1．如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，则的度数是 ． 变式2．如图，四边形是正方形，延长到点，使，连接交于点，求的度数． 题型3根据正方形的性质求线段长 例3．如图，在Rt中，，点是斜边的中点，以为边作正方形．若，则的面积为（    ） A． B． C．24 D．36 变式1．如图，是正方形的对角线，延长至点，连接，若，，则的长为 ． 变式2．如图，四边形为正方形，点在正方形内部，连接，，是等边三角形，过点作于点，若，求的长． 题型4根据正方形的性质求面积 例4．对角线长是3的正方形的面积（    ） A． B．9 C． D．11 变式1．如图，在正方形中，，点分别是边的中点，连接，则四边形的面积为 ． 变式2．如图，从一个大正方形木板上裁去面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为_____和_____； (2)求剩余木料的面积； 题型5正方形折叠问题 例5．如图，正方形的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，四边形是边长为8的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是 ． 变式2．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，将纸片压平并展开，得到折痕，设的对应边交于点，连接交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的周长． 题型6求正方形重叠部分面积 例6．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 变式1．如图，两个边长为a的正方形重叠，其中一个的顶点在另一个的对角线的交点上，则重叠部分的面积为 平方单位． 变式2．如图，在正方形中，对角线交于点O，点E、F分别在边上，且，连接． (1)求证：； (2)若正方形的边长为2，求四边形的面积． 题型7根据正方形的性质证明 例7．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接并延长交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在正方形中，点是正方形中心，是边上一点，连接，过点作的垂线交于点，若，则正方形的面积为 ． 变式2．如图，在正方形中，点、分别在边和的延长线上，连接、、，且．求证：． 题型8正方形的判定定理理解 例8．在学习了《平行四边形》这一章节后，小侯针对几种特殊的平行四边形的关系画出了如图草图，他让同桌小润在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写正确的是（    ） A．：中心对称 B．：对边相等 C．：有一组邻边相等 D．：对角线互相平分 变式1．如图中，阴影部分表示的四边形是 ． 变式2．如图，点为直线外一点，垂直于直线，垂足为．在图中作正方形，使点、在直线上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）：并根据作图证明所作四边形是正方形． 题型9添一个条件使四边形是正方形 例9．在《特殊平行四边形》回顾与思考课上，李芳整理的本章知识结构图如图，同桌张丽在①②③④处添加了条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①处可填 B．②处可填 C．③处可填 D．④处可填 变式1．如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择 (限填序号)． 变式2．已知中，平分，交于E，交于F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 题型10证明四边形是正方形 例10．顺次连接正方形各边的中点所组成的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 变式1．如图，已知点、、、分别是四边形四边的中点，当对角线、满足条件 时，四边形是正方形． 变式2．已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 题型11根据正方形的性质与判定求角度 例11．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为 ． 变式2．图①、图②、图③均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，在边上找一点D，连接，使； (2)在图②中，画出的角平分线； (3)在图③中，在边上找一点F，连接，使． 题型12根据正方形的性质与判定求线段长 例12．如图，点E是正方形的中心（对角线的交点），以E为直角顶点作，的两直角边分别交于点M，N，若正方形的边长为6，则重叠部分四边形的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 变式1．如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ． 变式2．如图，在矩形中，点E，F分别是，边上的点，，， (1)求证：； (2)若，求矩形的周长． 题型13根据正方形的性质与判定求面积 例13．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 变式1．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是 ． 变式2．如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积． 题型14根据正方形的性质与判定证明 例14．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变．当时，如图①，测得．当时，如图②，（   ） A． B．2 C．6 D． 变式1．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是 ． 变式2．如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形．求证：四边形是正方形． 题型15中点四边形 例15．下列说法中，错误的是（    ） A．有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 D．矩形的中点四边形是菱形 变式1．正方形的周长为，顺次连接正方形各边的中点，得到四边形，则四边形的面积等于 ． 变式2．如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 题型16利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 例16．如图，将沿方向平移至的位置，针对四边形与四边形，下列说法正确的是（） A．周长与面积都相等 B．周长等，面积不等 C．周长不等，面积等 D．周长面积都不相等 变式1．如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为 ． 变式2．如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为 . 题型17（特殊）平行四边形的动点问题 例17．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿向终点运动．当四边形为平行四边形时，运动时间为（   ） A．4s B．3s C．2s D．1s 变式1．如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为．当取某个值时，使得和全等，则满足条件的值是 ． 变式2．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以/的速度向点运动；点从点同时出发，以/的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)____________，____________（用含的代数式示）； (2)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是矩形？若存在，请求出值；若不存在，说明理由． 题型18四边形中的线段最值问题 例18．如图，菱形中，，，E、F分别是、上的动点，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 变式1．如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为 ． 变式2．如图，四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），，分别为，的中点，求的最大值． 题型19四边形其他综合问题 例19．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．下列四种说法：    ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形 ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，且，那么四边形是正方形． 其中，正确的有（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 变式1．如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是 ． 变式2．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形． (1)如图1，在8×5的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个，点A、B、C均在格点上，请在网格图中找出2个格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是和谐四边形，并画出相应的四边形． (2)如图2，在四边形中，，，，平分．试说明：是四边形的和谐线； (3)已知，在四边形中，，，是四边形的和谐线，直接写出的长_____． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 2．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如图所示的图形，其中“闺”为等腰直角三角形，点E，F分别是正方形ABCD中边AD，AB上的中点，点G为EF的中点．若正方形ABCD的边长为8，则“闺”的斜边GF的长为（    ） A． B．2 C． D．4 4．如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 5．如图，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，已知两个正方形的边长都为，那么绕点转动正方形，两个正方形重叠部分的面积为（  ）． A．12 B．9 C． D．不确定 6．如图，点是正方形对角线上的一点，连接、，延长交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 9．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 二、填空题 10．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组邻边相等；④一个角是直角．写出一个你认为能得到正方形的组合： ．（填序号） 11．如图，在中，，垂直平分，．当满足条件 时，四边形是正方形． 12．如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是 ． 13．如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为 ． 14．如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为 ． 15．如图，在矩形中，．若点P满足，且，则 ．    三、解答题 16．如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，，．求证：四边形ABCD是正方形． 17．如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 18．如图，已知矩形中，，．将三角板的直角顶点放在矩形内，移动三角板保持两直角边分别经过点，．求的最小值． 19．【问题提出】 （1）如图，正方形的对角线与相交于点，点为边的中点，连接，若，求正方形的边长； 【问题解决】 （2）如图，四边形是某果园的平面示意图，该果园共有五个出口，其中出口在边上，已知米，米，米，，为果园内两条小路（宽度忽略不计），现在的中点处修建一个临时库房（大小忽略不计），沿修一条运输通道（宽度忽略不计）． 判断的形状，并说明理由； 试求该运输通道的长度． 20．综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 21．如图，在中，，点D、E、F分别是的中点，以为对角线作正方形． (1)判断四边形的形状，并证明； (2)当正方形与面积相等时，连接，判断四边形的形状，并证明． 22．已知：如图，在边长的正方形中，点在边上， ，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 23．已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 24．如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $