1.3.2 函数的极值与导数 课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

1.3.2 函数的极值与导数 题西林壁 苏轼 横看成岭侧成峰， 远近高低各不同。 不识庐山真面目， 只缘身在此山中。 绵延不绝的各个山峰，虽然高低不同，但站在每个山顶，我们都可以俯瞰周围的美丽风光. 转化 问题1：已知函数y=f(x)在定义域( ，3)内的图象如图所示，记y=f(x)的导函数为y=f '(x)，则f '(x)≤0的解集为 . 问题2：函数的图象有何特点？你能确定它的最大值、最小值吗？ 对于函数而言，一个函数由增到减或者由减到增的转折点，也很重要 说一说1：观察下面两个函数的图象，能找出函数 y =f (x)在x0点函数值与它两侧附近的函数值之间有什么关系吗？ 图 1 图 2 设函数 y = f (x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点， (1)若点x0附近的函数值都小于或等于 f (x0)（即 f (x)≤ f (x0)），就说 f (x0)是函数 y = f (x)的一个极大值，此时x0称为 f (x)的一个极大值点． (2)若点x0 附近的函数值都大于或等于 f (x0)（即 f (x) ≥ f (x0)），就说 f (x0)是函数 y = f (x)的一个极小值，此时x0称为 f (x)的一个极小值点． 极值与极值点的定义 极大值、极小值统称为极值. 极大值点、极小值点统称为极值点. a b 说一说2：观察下面的图像回答问题. 1.函数f(x)的极值和极值点有哪些？ 2.f(a)、f(b)是函数的极值吗？ 3.函数f(x)的极值一定是最值吗？ 4.极大值一定比极小值大吗？ 5.每个函数都有极值吗？ 区间端点不能是极值点 函数的极值是局部开区间上的最值 函数的极大值不一定大于极小值 不是每个函数都有极值，单调函数没有极值 说一说3：继续观察下面的图象，回答下列问题： 1.函数f (x)在极大值点x1，x3，x5处的导数值为多少？ 2. x2，x4两侧附近导数的符号有什么变化规律？ 可以看到，如果函数在某个区间内有极大值，将一条平行于x轴的直线从曲线的上方渐渐向下平移，直到碰上曲线（在这个区间上的一段）就停下来．这样，直线停下来时的高度，也就是曲线在这个区间内所达到的最高点，这时这条直线就是曲线在这个局部最高点处的切线 如果函数曲线在极值点处有切线，则该切线应和 x 轴平行（或重合），换句话说，函数在极值点的导数为0． 想一想：反之，若f '(x0)=0,则x0一定是f(x0)的极值点吗？ 即：若x0一定是f(x0)的极值点， f'(x0)=0 导函数的零点不一定是函数的极值点. 8 例如，函数f (x) = x3的导函数 f′ (x)=3x2 有零点，但f (x) = x3是增函数，没有极值点，如图可见，导函数的零点可能不是函数的极值点． 若 f ′ (c)存在，则 f ′ (c)=0是f (x)在x = c处取到极值的必要条件，但不是充分条件． x y O f (x)x3 导函数的零点不一定是函数的极值点. 注意：若f ′ (c)=0，则x = c叫作函数f (x)的驻点． 对可导函数而言，极值点一定是为驻点，而驻点不一定是极值点． 提示：驻点，就是驻扎下来稍事休息支点，至于休息之后继续前进还是后退，是另一回事． 9 想一想：在什么条件下，驻点才是函数的极值点呢？ 如果一个函数在驻点的两侧单调性互异，即函数的导数在驻点的两侧变号，则该驻点就是此函数的一个极值点． 10 如果函数 y = f (x)在某个区间内可导，就可按下列步骤求它的极值： （1）求导数 f ′ (x)． （2）求f (x)的驻点，即求方程f ′ (x)=0的解． （3）对于方程f ′ (x)=0的每一个解x0，分析f ′ (x)在x0左右两侧的符号（即 讨论f (x)的单调性），确定极值点： ①若f (x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点； ②若f (x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点． （4）求出各极值点的函数值，就得到函数 y = f (x)的全部极值． 11 例1 试求下列函数的驻点，判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号，并判断驻点是否为极值点． （1）f (x) =x4； （2）f (x) =x5 12 （2）f (x) =x5 13 例2 求函数 g (x) = x2 (3－x) 的极大值和极小值． x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) g′ (x) g (x) － 0 ＋ 0 － 递减↘ 0 递增↗ 4 递减↘ 方法：求导—求临界点—列表—求极值 14 上述结论也可从 g (x) = x2 (3－x) 的图象得到直观验证． 15 解:函数定义域,（） 令,得 当或时, 函数在,和,上是增函数, 当时,, 函数在,上是减函数, 当时,函数有极大值 当时,函数有极小值 练一练 1.求函数 的极值 小组PK: 2.求函数的极值 3.求函数 的极值 -2 2.求函数的极值 解:函数定义域, 令,得或 当或时, 函数,在和,上是减函数 当时,, 函数在,上是增函数 当时,函数取得极小值 当时,函数取得极大值 练一练 3.求函数 的极值 -2 令0,得 当或时, 函数在,和,上是减函数 当时, 函数在,上是增函数 当时,函数取得极小值 当时,函数取得极大值 解: 函数定义域 练一练 本节课你学到了哪些知识与方法？ 1.极小值、极大值的概念 3.求可导函数f (x)极值的步骤 2.判断函数f (x)极值的方法 知识点 思想方法 数形结合 转化与化归 B 1.已知函数 的定义域为 ，导函数 在 上的图象如图所示，则函数 在 上的极大值点的个数为( ). A. B. C. D. 解：由导函数的图象可知， 在 上与 轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故 不是函数 的极值点．其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个． 2.已知函数，其导函数的图象如图所示，则 满足( ) A.在上为减函数 B.在处取极小值 C.在上为减函数 D.在处取极大值 解：由导函数的图象可知：时，； 时，， 因此在，上为增函数，在，上为减函数， ∴函数在处取得极大值，处取得极小值，处取得极大值 C 3.已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1处取得极值，则a= ， b= . 解： =3ax2+2bx-2 因为f(x)在x=-2,x=1处取得极值， 所以 解得 即 $