2.2.1等差数列的概念及其通项公式课件（第2课时）-2025-2026学年高二数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 数列 第1节 等差数列 2.1 等差数列的概念及其通项公式 第2课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解数列的函数特性，会画数列的图象，会根据数列的通项判断数列的单调性. 2、理解等差中项的概念． 3、掌握等差数列性质． 1、掌握等差数列的性质。 2、理解等差中项的概念． 1、掌握等差数列的性质。 2、理解等差中项的概念． 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 对于一个数列，如果从第2项起,每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列。 称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示. 1、什么叫作等差数列？ 2、等差数列的通项公式是什么？ an=a1+(n-1)d 3 新 知 引 入 韦 达 3、一般地，对于一个数列{an}, 如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即__________，那么这个数列叫作递增数列. 如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即___________,那么这个数列叫作递减数列. an+1>an an+1＜an 我们知道，数列是一种特殊的函数，下面我们从函数的角 度来研究等差数列的单调性。 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 等差数列{an}的通项公式为： an = a1+(n-1)d = ____n+________ d (a1-d) 可将an记作f(n),它是定义在正整数集（或其子集）上的函数. 其图象是直线y=dx+(a1-d）上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率. 当d______0时， 数列{an}为常数列 当d______0时， 数列{an}为递增数列 当d______0时， 数列{an}为递减数列 > < = 5 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、已知(1,1),(3,5)是等差数列{an}图象上的两点. (1)求数列{an}的通项公式； (2)画出数列{an}的图象； (3)判断数列{an}的增减性. 解 (1)因为(1,l),(3,5)是等差数列{an}图象上的两点， 所以a1=1,a3=5. 由a3=a1+(3-1)d=1+2d=5,解得d=2, 于是an=1+2(n-1)=2n-1. (2)数列{an}的图像是直线y=2x-1上一些等 间隔的点，如图. ⑶由⑴可知d>0,所以数列{an}是递增数列. 6 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、已知(3,-5),(5,-13)是等差数列{an}的图象上的两点． (1)求数列{an}的通项公式； (2)画出数列{an}的图象； (3)判断数列{an}的单调性． 解：设数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d （1）依题意得 解得a1= 3 , d=-4 所以an=3+(n-1)×(-4)=-4n+7 （2）图像如图所示 （3）∵d=-4＜0 ∴{an}单调递减 7 典 例 引 路 柯 西 例2、在首项为31，公差为－4的等差数列{an}中，绝对值最小的项是___. 解： 依题意可得数列的通项公式是 an=31+(n-1)×(-4)=35-4n ∴|an|= ∴当n≤8时，{|an|}单调递减，最小值为|a8|=3 当n≥9时，{|an|}单调递增，最小值为|a9|=1 故绝对值最小的项是. 8 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、已知等差数列{an}的首项a1=16,，公差d= - , (1)此等差数列中从第几项开始出现负数？ (2)当n为何值时，|an|最小？ 解：依题意得通项公式an=16+(n-1)×(- )= - n + (1)由 - n+＜0得n＞,即从第23项开始出现负数. (2)|an|= ∴n≤22时，{|an|}单调递减，最小值为|a22|= n≥23时，{|an|}单调递增，最小值为|a23|= ∴n=22时，|an|最小。 9 典 例 引 路 牛 顿 例3、已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a8=6，则a6的取值范围是（     ） A. (-∞,3) B. (3,6) C. (3,+∞) D. (6,+∞) 解：∵等差数列{an}单调递增 ∴d＞0 ∵6=a1+a8=a1+a1+7d=2a1+7d ∴a1=3 - d ∴a6=a1+5d= 3- d + 5d = 3 + d ＞3 C 10 同 步 练 习 黎 曼 练3、已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a10=4，则a8的取值范围是（ ） A. (2,4) B. (2,+∞) C.(-∞,2) D. (4,+∞) 解：∵等差数列{an}单调递增 ∴d＞0 ∵4=a1+a10=a1+a1+9d=2a1+9d ∴a1=2 - d ∴a8 = a1+7d = 2- d + 7d = 2 + d ＞2 B 11 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 等差中项 如果在与之间插入一个数，使成等差数列，那么叫作与的等差中项. 即，即. 在一个等差数列中，从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项. 注意：1、 2、 证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若成等差数列，则有反之，若，则成等差数列. 12 典 例 引 路 狄利克雷 例4、已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________． 解：由题意得 ∴3(m＋n)＝20＋16＝36， ∴m＋n＝12， ∴ ＝6. 13 同 步 练 习 庞加莱 练4、（1）-3和5的等差中项是            . 解:设-3和5的等差中项是A,则A = = 1 （2）2-和2+的等差中项是            . 解:设2-和2+的等差中项是B,则B = = 2 （3）log64与log69的等差中项为           . 解：设log64与log69的等差中项为C,则C= = = =3 （4）若a是4+m，4-m的等差中项，则a=         . 解：∵2a=(4+m)+(4-m) =8, ∴a=4 14 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、已知， ， 是等差数列，求证：，，也是等差数列． 证明　∵ ， ， 成等差数列， ∴＝＋，即2ac＝b(a＋c)． ∵＋＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴ ，，成等差数列． 15 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、已知， ， 是等差数列，并且a+c,a-c,a+c-2b均为正数,求证:lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)也成等差数列. 解：∵ ， 是等差数列 ∴ + = ，即b(a+c)=2ac ∴lg(a+c)+lg(a+c-2b) = lg[(a+c)(a+c-2b)] = lg[(a+c)2-2b(a+c)] = lg[(a+c)2-4ac] = lg(a2+2ac+c2-4ac) = lg(a2+c2-2ac) = lg(a-c)2 = 2lg(a-c) ∴lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列. 16 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 已知数列 是等差数列， ,且 .则. 注意：1、 2、 等号两边都是两项。 特别的2an=an+m+an-m , n、m 设数列 的公差为,则 +() +() +() +() 所以, 因为所以 证明： 17 典 例 引 路 华罗庚 例6、（1）已知等差数列{an}，a1+a15=15,a4=9，则a12等于     . 解：∵a1+a15=a4+a12 ∴a12=a1+a15-a4=15-9=6 （2）在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=60，则2a9-a10的值为        . 解：∵60=a1+3a8+a15=3a8+(a1+a15)=3a8+2a8=5a8 ∴a8=12 ∴2a9-a10=(a8+a10)-a10=a8=12 （3）在等差数列{an}中，a1+a2=5,a5+a6=7，则a9+a10=        . 解：∵a1+a2+a9+a10=(a1+a10)+(a2+a9)=2(a5+a6) ∴5+a9+a10=14 ∴a9+a10=9 18 同 步 练 习 陈景润 练6、（1）在等差数列{an}中，a3+a4+a5=30，则a2+a6的值为      . 解：∵30=a3+a4+a5=a4+(a3+a5)=a4+2a4=3a4 ∴a4=10 ∴a2+a6=2a4=20 （2）在等差数列{an}中，已知a7+a8+a12+a13=20，则a1+a19=       . 解：∵ 20=a7+a8+a12+a13=(a7+a13)+(a8+a12)=2(a1+a19) ∴a1+a19=10 （3）已知{an}为等差数列，a2+a4+a5=a3+a6，a10=10，则a6=      . 解：∵a4+a5=a3+a6 ∴由a2+a4+a5=a3+a6，得a2=0 ∵2a6=a2+a10=0+10=10 ∴a2=5 19 学 习 新 知 拉格朗日 扩展的通项公式 an=am+(n－m)d 证明： ∵an=a1+(n-1)d am=a1+(m-1)d ∴an-am=[a1+(n-1)d]-[a1+(m-1)d]=(n-m)d ∴an=am+(n-m)d 变形得 d = 20 典 例 引 路 傅里叶 例7、在等差数列{an}中，已知a15=10,a45=90,则a60=_____ 解：设{an}的公差为d, 则 d = = = ∴a60 = a45+(60-45)×d = 90+15× = 130 21 同 步 练 习 洛必达 练7、在等差数列{an}中，a2=m，am=2，则am+2=____ 解：d = = = -1 am+2 = a2+(m+2-2)d = m+m×(-1) = 0 22 学 习 新 知 布 丰 三数成等差数列，通常设为：a－d,a,a+d；(公差为d) 四数成等差数列，通常设为a－3d,a－d,a+d,a+3d.(公差为2d) 若d等差数列{an}的公差，则其子数列 ak,ak+m,ak+2m，…(k,m∈N+)也成等差数列，且公差为md 若{an}为等差数列，k∈R，则{kan}也是等差数列. 23 典 例 引 路 贝叶斯 例8、已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数. 解：设这三个数为 由题意得 解得a=6, 所以这三个数为4，6，8. 24 典 例 引 路 伯努利 例9、成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，这四个数为      ． 解：设这四个数依次为 a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d)． 因为四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40， ∴ ∴ a = , d = ± ∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2 25 同 步 练 习 佩雷尔曼 练8、三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为-24，则这三个数为      ． 解：设这三个数分别为a-d,a,a+d． 由题意可得 解得a=2,d=±4 所以这三个数为-2,2,6或6,2，-2 26 典 例 引 路 丘成桐 例10、已知{an}为等差数列，a15=8，a60=20，则a75=________. 解：∵ {an}为等差数列, ∴ a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差d, 则a15为首项,a60为第4项. ∴ a60=a15＋3d ∴ 20=8＋3d. 解得d=4 ∴ a75=a60＋d=20＋4=24 27 同 步 练 习 毕达哥拉斯 练9、等差数列{an}中，a3=2，a6=3，则a12=（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 解：由等差数列的性质可知： a3,a6,a9,a12构成等差数列，首项为2，公差d=3-2=1, 所以a12=5 D 28 全 课 总 结 一、根据数列的通项判断数列的单调性. 二、等差中项． 三、①已知数列 是等差数列，,且 .则. ②扩展的通项公式：an=am+(n－m)d ③三数成等差数列，通常设为：a－d,a,a+d；(公差为d) ④四数成等差数列，通常设为a－3d,a－d,a+d,a+3d.(公差为2d) ⑤若d等差数列{an}的公差，则其子数列ak,ak+m,ak+2m，…(k,m∈N+)也成等差数列， 且公差为md ⑥若{an}为等差数列，k∈R，则{kan}也是等差数列. 29 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 30 $