2.2.1等差数列的概念及其通项公式课件（第1课时）-2025-2026学年高二数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 数列 第1节 等差数列 2.1 等差数列的概念及其通项公式 第1课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解等差数列的概念. 2、掌握等差数列的通项公式及应用. 3、掌握等差数列的判定方法. 1、掌握等差数列的通项公式及应用. 2、掌握等差数列的判定方法. 1、理解等差数列的概念. 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、什么叫作数列？ 2、什么叫作数列的通项公式？ 按一定次序排列的一列数叫作数列。 如果数列{an｝的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n),那么这个式子就叫作这个数列的通项公式. 3 新 知 引 入 韦 达 3、一个剧场设置了20排座位，从第1排起各排的座位数组成数列： 50,51,52,53,54,…，69. 这个剧场座位安排有何规律？ 从第2项起，每一项与它的前一项的差都是 1 . 4、蓝白两种颜色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，前4个图案中白色地面砖的块数依次为多少？这些块数有何规律？ 前4个图案中白色地面砖的块数依次为 6,10,14,18. 从第2项起，每一项与它的前一项的差都是 4 . 4 新 知 引 入 布 丰 6、全国统一鞋号中,鞋的各种尺码（表示以mm为单位的鞋底的长度）由大至小可排列为 250,245,240,235,230,225,220,215,210, 这种尺码的排列有何规律？ 从第2项起，每一项与它的前一项的差都是 -5 . 5、S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是 38, 40, 42, 44, 46, 48. 这些尺码有何规律？ 从第2项起，每一项与它的前一项的差都是 2 . 5 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 等差数列 对于一个数列，如果从第2项起,每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列。 称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示. 注意：1、 2、 3、 4、 “都是同一个常数”。比如数列 1、2、4、7、11.每一项与它的前一项的差都是常数，但不是同一个常数，所以这个数列不是等差数列。 公差d是每一项（从第2项起）与它的前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 公差可以是正数,负数，也可以是0.常数列的公差为0. a2-a1=a3-a2=…=an-an-1= •••=d. 6 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 前面四个例子中的数列均为等差数列。 （1）50,51,52,53,54,…，69. d=_______ （2）6,10,14,18. d=_______ （3）38, 40, 42, 44, 46, 48. d=_______ （4）250,245,240,235,230,225,220,215,210. d=_______ 1 4 2 -5 7 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、下列数列是不是等差数列？如果是，求出公差d. （1）1，4，7,10. （2）1，1.5，2，2.5，3，3.5. （3）15，12，10，8，6，… 解：不是等差数列，相邻两项的差不相同. 解:是等差数列，公差d=3. 解：是等差数列，公差d=0.5. 8 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、判断下列各组数列{an}是不是等差数列．如果是，写出首项a1和公差d． (1)1，3，5，7，9，… (2)9，6，3，0，-3，… (3)1，3，4，5，6，… (4)7，7，7，7，7，… 解：是，a1=1,d=2 解：是，a1=9,d=-3 解：不是 解：是，a1=7,d=0 9 典 例 引 路 柯 西 例2、 判断下面数列是否为等差数列. (1)an=2n-1； (2) an = (-1)n. 解：a2-a1=1-(-1) = 2, a3-a2 = -1-1 = -2. 因为a2-a1≠a3-a2， 所以这个数列不是等差数列. 解：由 an = 2n-l,得 an+1 = 2(n+1)-1, 于是an+1-an= [2(n+l)-1]-(2n-1)=2. 由n的任意性知，这个数列是等差数列. 10 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、判断下列数列是否为等差数列： (1)an=3n-1 (2)an= 解：因为an-an-1=(3n-1)-(3n-4)=3 所以{an}是等差数列。 解：a1=1,a2=1,a3=2 a2-a1=1-1 = 0, a3-a2 = 2-1 = 1. 因为a2-a1≠a3-a2， 所以这个数列不是等差数列. 11 新 知 引 入 伯努利 设一个等差数列的首项为,公差为, 根据等差数列的定义，可得:当n≥2时 a2-a1=_____ a3-a2=_____ a2-a1=_____ …… an-an-1=_____ 把以上各式相加得：____________________,即__________________ 当n=1时，+__________ ， 这就是说,上式当时也成立。 d d d d an-a1=(n-1)d an=a1+(n-1)d (1-1) 12 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 等差数列的通项公式 首项为a1,公差为d的等差数列的通项公式为： an=a1+(n-1)d 注意：1、 公式中有四个量“an、a1、n、d”,如果知道任意三个量，可以求出第四个量。 13 典 例 引 路 牛 顿 例3、 (1)求等差数列9,5,1,…的第10项； (2)已知等差数列｛an},an=4n-3,求a1和d. 解：由a1 = 9, d=5-9 = -4, 得a10=a1 +(n-l)d=9+(10-l)×(-4) = -27. 解：由an = 4n-3, 得a1 = 4×1-3 = 1, 且d = a2-a1 =(4×2-3) -1 = 4. 所以等差数列{an}的首项a1=1,公差d=4. 14 同 步 练 习 黎 曼 练3、（1）求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项. 解：根据题意得： a1=3,d=7-3=4, ∴这个数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d=4n-1 ∴a4=4×4-1=15, a10=4×10-1=39. （2）已知等差数列的通项公式为求公差和首项； 解：由an = 5-2n, 得a1 = 5- 2×1= 3, 且d = a2-a1 =(5-2×2) -3 = -2. 所以等差数列{an}的首项a1=3,公差d = -2. 15 典 例 引 路 狄利克雷 例4、已知在等差数列{an}中,a5 = -20,a20=-35.试求出此数列的通项公式. 解：设数列{an}的通项公式为 an =a1 +（n-1）d, 由已知，得 这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组.解这个方程组，得 故数列｛an｝的通项公式为 an = -16 +（n-1）×（-1） = -n-15. 16 同 步 练 习 庞加莱 练4、已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. 解：设数列{an}的通项公式为 an =a1 +（n-1）d, 由已知，得 这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组. 解这个方程组，得 故数列｛an｝的通项公式为 an = +（n-1）× = n+4. a75 = ×75+4 = 24 17 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、判断102是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，第几项，如果不是，说明理由。 解：由题意得： a1=2,d=9-2=7 ∴这个数列的通项公式是： an=2+ (n-1)×7 = 7n-5 令102=7n-5,得 n = ，不合题意 ∴102不是这个数列的项。 18 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、（多选题）已知等差数列{an}的公差为 - 3，若a7＞0,a8＜0,则首项a1的值可能是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 解：依题意得an=a1+(n-1)×(-3) ∴ ∴18＜a1＜21 BC 19 典 例 引 路 华罗庚 例6、某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少(为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定的范围. 解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}． 由已知条件，得an＝an－1－d（n≥2）． 所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列. 因为a1＝220－d，所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10≥11，a11＜11. 即 ， 解得 19＜d≤20.9. 所以，d的求值范围为19＜d≤20.9. 20 同 步 练 习 陈景润 练6、某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元． 解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费． 令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2， 那么当出租车行至14 km处时，n＝11， 此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)． 21 全 课 总 结 一、等差数列的定义 二、等差数列的通项公式 22 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 23 $