1.1.1数列的概念课件-2025-2026学年高二数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 数列 第1节 数列的概念及其函数性质 1.1 数列的概念 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解数列及其相关概念,明确数列的分类. 2、掌握数列通项公式的概念,能根据通项公式求出数列的项. 3、能根据数列的前几项写出数列的通项公式. 1、理解数列及其相关概念。 2、掌握数列通项公式的概念。 1、理解数列及其相关概念。 2、掌握数列通项公式的概念。 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、一个工厂把所生产的钢管堆成下图的形状. 从最上面的一排起，各排钢管的数量依次是： ______,______,______,______,______,______,______. 3 4 5 6 7 8 9 3 新 知 引 入 韦 达 2、正弦函数y=sinx的图象如图所示： 在y轴左侧所有最低点从右向左，它们的横坐标依为： - ________,________,________,________，… - - - 4 新 知 引 入 布 丰 姓名 班级 文/理 应/往 高考成绩 蔡冰霄 13 文 应 490 崔冰心 13 文 应 503 崔浩然 13 文 应 540 崔雨薇 13 文 应 490 淡雪瑶 13 文 应 520 段玮辰 13 文 应 506 韩静媛 13 文 应 504 3、下表是我教的2020届的部分学生的高考成绩： 这些成绩从高到低排列，依次为： ______,______,______,______,______,______,______. 540 520 506 504 503 490 490 5 新 知 引 入 伯努利 4、观察上面三个例子所得到的结果： （1）3、4、5、6、7、8、9. （2）- ，- ，- ，- （3） 540，520，506，504，503，490，490. 它们有什么共同的特点？ 1、都是一列______. 2、这些数都有一定的_________. 数 顺序 6 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 按一定次序排列的一列数叫作数列。 数 列 结论：1、 2、 同样的数字可以构成不同的数列。 问题：1、“1, 2, 3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同一个数列吗？ 2、数列中的数可以重复吗？ 数列中的数字可以重复。特别的，当数列中的数字是同一个数字时，这样的数列称为常数数列。 7 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 数列中的每一个数叫作这个数列的项. 数列中的每一项都和它的序号有关。 排在第一位的数称为这个数列的第1项(也叫数列的首项)， 排在第二位的数称为这个数列的第2项 …… 排在第n位的数称为这个数列的第n项，也叫数列的通项. 数列的项 结论：1、 2、 项数有限的数列叫有穷数列；项数无限的数列叫无穷数列 8 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 （1）数列3、4、5、6、7、8、9是_________数列， 首项是______,6是第_______项； （2）- ，- ，- ，- 是_________数列， 首项是_______,第4项是_________. （3）数列540，520，506，504，503，490，490是________数列， 首项是________,第2项是______，490是第__________项。 3 4 540 520 6或7 有穷 无穷 有穷 - - 9 学 习 新 知 拉格朗日 数列的表示方法 数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,a4,…,an,… 或简记为{an} 数列{an}不是集合,它是数列的一个整体符号. {an}表示数列a1, a2, a3, a4,…, an,…，而an表示数列的第n项. 注意：1、 2、 n是从1开始的正整数。 10 学 习 新 知 数列的表示方法 数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,a4,…,an,… 或简记为{an} 注意：3、 4、 如果数列{an｝的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n),那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.但不是每个数列都有通项公式，通项公式的形式也不是唯一的。 从函数的观点看，数列的项an是序号n的函数. 即数列可以看成以正整数集N+（或其子集{1,2，…，n}）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. 反过来，对于函数y=f（x）,如果f（i）（i=1,2,3，…）有意义，那么我们可以得到一个数列f（1），f（2），f（3），…，f（n），… 莱布尼兹 11 函数 数列 定义域 解析式 学 习 新 知 牛 顿 数列与函数对比 R或R的子集 N*或它的有限子集{1,2,3，…，n} an＝f(n) y＝f(x) 12 学 习 新 知 （1）数列3、4、5、6、7、8、9中， a1=______,a6=_______,an=__________________ （2）数列- ，- ，- ，- 中 a1=_______,a4=_________,an=______________ （3）数列540，520，506，504，503，490，490中， a1=________,a2=______，a6=_______,a7=_______。 3 8 540 520 - - 狄利克雷 n+2 (1≤n≤7) 490 490 - 13 典 例 引 路 集合论之父——康托 (1) {0,1,2,3,4}是有穷数列.（ ） (2) 数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列.（ ） (3) π,π2,π3,π4,…,πn 是无穷数列.（ ） (4) 数列5,4,3,2,1,…是有穷数列.（ ） (5) 所有的自然数能构成数列.（ ） (6) 1,1,1,2,2,2,3,3,3,…不能构成数列.（ ） (7) 数列2,6,8,10,12可以表示成{2,6,8,10,12}.（ ） (8) 数列10,100,1000与1000,100,10是相同的两个数列.（ ） 例1、判断正误： × √ × × × × × × 14 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、判断正误： （1）数列-1,0,1,2与数列0,1,2,-1不相同.（ ） （2）数列中的项不能是三角形.（ ） （3）同一个数在数列中可能重复出现.（ ） （4）数列1,3,5,7,1的第5项是1.（ ） （5）数列{n2+1}的第10项是100.（ ） （6）数列4,7,3,4的首项是4.（ ）    （7）在数列{an}中,若a1=3,则从第2项起,各项均不等于3.（ ） （8）数列的通项公式不同,该数列也可能相同.（ ） × × √ √ √ √ √ √ 15 典 例 引 路 柯 西 例2、写出下面各数列的一个通项公式. （1）3,5,7,9,… （2）1,2,4,8,… （3）9,99,999,9999,… 解：观察知，这个数列的前4项都是序号的2倍加1, 所以它的一个通项公式为an=2n+1 ； 解：观察知，这个数列的前4项可以写成20，21，22,23， 所以它的一个通项公式为an=2n-1； 解：观察知，这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1000-1,10000-1, 所以它的一个通项公式为an= 10n-l. 16 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、写出下面各数列的一个通项公式. （1）－1,7，－13,19，… （2）0.8,0.88,0.888，… （3） ， ，- ， ，- ，，… 解：将数列变形为(1－0.1), (1－0.01),(1－0.001),…， ∴an＝ . 解：符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5）． 解：各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子 分别比分母少3.因此把第1项变为－ ，至此原数列已化为 －，，－，，…，∴an＝(－1)n 17 典 例 引 路 皮 亚 诺 例3、根据下面数列的通项公式,分别写出各数列的前5项. ⑴= ⑵=cos . 解：在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5, 得到数列｛an｝的前5项为,,,, 解：在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5, 得到数列｛an｝的前5项为-,0,,-1, 18 同 步 练 习 黎 曼 练3、分别写出各数列的前5项. （1）按从小到大的顺序排列的所有素数构成的数列 （2）an=3 （3）an= 解：前5项为2，3，5，7，11 解：前5项为3，3，3，3，3 解：前5项为1，3，1，7，1 19 典 例 引 路 华罗庚 例4、数列{an}的通项公式是an=(n∈N+). ①0和1是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项? ②数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项? 解:①若0是{an}中的第n项,则=0, 因为n∈N+,所以n=21.所以0是{an}中的第21项. 若1是{an}中的第n项,则=1, 所以n2-21n=2,即n2-21n-2=0. 因为方程n2-21n-2=0不存在正整数解,所以1不是{an}中的项. ②假设{an}中存在第m项与第(m+1)项相等,即am=am+1,则解得m=10. 所以数列{an}中存在连续的两项,第10项与第11项相等. 20 同 步 练 习 陈景润 练4、已知数列{an}的通项公式an=,n∈N* (1)判断 是不是该数列中的项；(2)求an+1及a2n. 解：（1）令 = 当n为偶数时， = ，整理得8n2-33n-35=0， 解得 n = - 或 n=5,不合题意，舍去。 当n为奇数时， = ，整理得8n2+33n+31=0， 因为△=332-4×8×31=97，又n∈N*，所以方程无解。 所以不是该数列中的项。 （2）an+1= = a2n = = 21 全 课 总 结 一、数列的概念 二、数列的通项公式 22 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 23 $