第1章 2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

第一课时　等差数列的概念及其通项公式 1 1.理解等差数列的概念（数学抽象）. 2.掌握等差数列的通项公式及应用（数学建模）. 3.掌握等差数列的判定方法（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 （1）我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2024年是龙年，从2024年开 始，龙年的年份为2 024，2 036， 2 048，2 060，2 072，2 084，…； （2）我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值 按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…； （3）2024年6月中，每个星期日的日期为2，9，16，23，30. 【问题】　以上数列有什么共同的特点？ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　等差数列的概念 定义 （文字语言） 对于一个数列，如果从第 项起，每一项与它的 ⁠ 的差都是 ，那么称这样的数列为等 差数列，称这个 为等差数列的公差，通常用字 母 ⁠表示 定义式 （符号语言） {an}成等差数列⇔an－an－1＝d（d为常数，n∈N＋且 n≥2）⇔an＋1－an＝d（d为常数，n∈N＋） 2　 前 一项　 同一个常数　 常数　 d　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：对等差数列概念的再理解：①“从第2项起”是指第1项前面没 有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；②“每一项与它的前 一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”；③定义中的“同 一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不 能称为等差数列. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是 等差数列吗？ 提示：不一定.必须是同一个常数. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 递推公式 通项公式 ＝d（n≥2） an＝ （n∈N＋） 　　提醒：数列{an}组成等差数列的充要条件是an＝pn＋q（p、q为常 数）. an－an－1　 a1＋（n－1）d　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）数列4，4，4，…是等差数列. （　√　） （2）数列{an}的通项公式为an＝ 则{an}是等差数列. （　×　） （3）如果等差数列的通项公式为an＝2n＋1，那么该数列的公差为2. （　√　） √ × √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 若数列{an}是首项a1＝2，公差d＝4的等差数列，如果an＝2 022，则n ＝（　　） A. 504 B. 505 C. 506 D. 507 解析： 　令2＋4（n－1）＝2 022，解得n＝506. √ 3. 等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝ ⁠. 解析：由题知，a1＝－3，d＝2，an＝－3＋（n－1）×2＝2n－5. 2n－5　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜等差数列的概念 【例1】　下列数列中成等差数列的是（　C　） A. ， ， B. lg 5，lg 6，lg 7 C. 1， ， D. 2，3，5 解析：　对于A，∵ － ≠ － ，故A不是等差数列；对于B，∵lg 6 －lg 5≠lg 7－lg 6，故B不是等差数列；对于C，∵ －1＝ － ＝－ ，故C是公差为－ 的等差数列；对于D，∵3－2≠5－3，故D不是等 差数列.故选C. C 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　判断一个数列是不是等差数列，就是判断从该数列的第2项起，每一 项减去它的前一项的差是否为同一个常数.但当数列项数较多或是无穷数 列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an（n≥1，n∈N＋）是不 是一个与n无关的常数. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 下列数列中，是等差数列的为 （填序号）. ①an＝－2n＋3；②0，1，0，1，0，1，…；③an＝ 解析：由等差数列的定义可知，①是等差数列，②③均不是. ①　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜等差数列的通项公式 角度1　求等差数列的通项公式 【例2】　在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an. 解：因为a4＝7，a10＝25， 则 得 所以an＝－2＋（n－1）×3＝3n－5， 所以通项公式an＝3n－5（n∈N＋）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想.一般地，可由 am＝a，an＝b， 得 求出a1和d，从而确定通项公式. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点（ ， ） 在直线x－y－ ＝0上，则（　　） A. an＝3n B. an＝ C. an＝n－ D. an＝3n2 解析： 　∵点（ ， ）在直线x－y－ ＝0上，∴ － ＝ ，∴数列{ }是首项为 ，公差为 的等差数列.∴数 列{ }的通项公式为 ＝ ＋（n－1）× ＝ n，∴an＝3n2. 故选D. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 角度2　利用通项公式判断项或求项 【例3】　在等差数列{an}中： （1）已知a1＝8，a9＝－2，求d与a14； 解： 由a9＝a1＋8d＝－2， ∵a1＝8.∴d＝－ ， ∴a14＝a1＋13d＝8＋13× ＝－ . （2）已知a3＋a5＝18，a4＋a8＝24，求d. 解： 由（a4＋a8）－（a3＋a5）＝4d＝6. ∴d＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【母题探究】 1. （变条件）若本例（1）中条件变为“a5＝11，a8＝5”，如何求解？ 解：设数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式及已知， 得 解得 ∴a14＝19＋（14－1）×（－2）＝－7. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. （变设问）若本例（2）条件不变，试求a6＋a10的值. 解：由（2）知d＝ ， 所以a6＋a10＝（a4＋a8）＋4d＝24＋4× ＝30. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 等差数列通项公式的三个主要应用 （1）已知an，a1，n，d中的任意三个量，可求出第四个量； （2）由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项也可以判断某一 个数是不是该数列中的项； （3）根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组， 求出a1和d，从而确定通项公式，求得所需求的项. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　在等差数列{an}中，求解下列各题： （1）已知公差d＝－ ，a7＝8，则a1＝ ⁠； 解析： 由a7＝a1＋6d，得8＝a1＋6× ，故a1＝10. （2）已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝ ⁠； 解析： 由题意得 解得 10　 － 　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （3）已知{an}的前3项依次为2，6，10，则a15＝ ⁠. 解析： 由题意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋（n－ 1）d，得an＝2＋（n－1）×4＝4n－2，∴a15＝4×15－2＝58. 58　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜等差数列的判断与证明 【例4】　已知数列{an}的通项公式如下，分别判断数列{an}是否为等差 数列. （1）an＝4－2n； 解： ∵an＝4－2n，∴an＋1＝4－2（n＋1）＝2－2n. ∴an＋1－an＝（2－2n）－（4－2n）＝－2. 故数列{an}是等差数列. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）an＝ 解： 由通项公式可知，当n≥3时，显然an－an－1＝1，即数列从第3 项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，即a3－a2＝a4－a3＝…＝1， 但a2－a1＝0，因此数列{an}不是等差数列. （3）an＝n2＋n. 解： ∵an＋1－an＝（n＋1）2＋（n＋1）－（n2＋n）＝2n＋2，不 是常数，故数列{an}不是等差数列. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 定义法证明数列是等差数列的方法：an＋1－an＝d（常数）（n∈N＋） ⇔{an}是等差数列；an－an－1＝d（常数）（n≥2，n∈N＋）⇔{an}是等 差数列. 2. 若证明一个数列不是等差数列，只要证明其中特定三项（如前三项a1， a2，a3）不是等差数列即可. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝ . （1）数列 是否为等差数列？说明理由； 解： 数列 是等差数列.理由如下： 因为a1＝2，an＋1＝ ， 所以 ＝ ＝ ＋ ， 所以 － ＝ ， 即 是首项为 ＝ ，公差d＝ 的等差数列. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求an. 解： 由（1）可知， ＝ ＋（n－1）d＝ ， 所以an＝ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 若数列{an}的通项公式是an＝2（n＋1）＋3，则此数列（　　） A. 是公差为2的等差数列 B. 是公差为3的等差数列 C. 是公差为5的等差数列 D. 不是等差数列 解析： 　an＋1－an＝[2（n＋2）＋3]－[2（n＋1）＋3]＝2，故{an}是 公差为2的等差数列. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n（n∈N＋），则它的公差d＝ （　　） A. 2 B. 3 C. －2 D. －3 解析： 　由等差数列的定义，得d＝－2. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 〔多选〕下列命题中正确的是（　　） A. 数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 B. 数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列（a为常数） C. 等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式（k，b为常数） D. 数列{2n＋1}是等差数列 解析： 　A中的公差为－2，A错误；B、C、D均正确. √ √ √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是 ⁠. 解析：d＝－1－1＝－2，设an＝－89，则－89＝a1＋（n－1）d＝1－2 （n－1），解得n＝46. 5. 已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}也是等差 数列. 证明：因为数列{an}是等差数列，可设其公差为d，则an＋1－an＝d. 从而bn＋1－bn＝（2an＋1＋3）－（2an＋3）＝2（an＋1－an）＝2d，它是 一个与n无关的常数， 所以数列{bn}是等差数列. 46　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 在数列{an}中，a1＝－2，an＋1－an＝2.则a5＝（　　） A. －6 B. 6 C. －10 D. 10 解析： 　∵an＋1－an＝2，∴数列{an}是公差为2的等差数列，又a1＝－ 2，∴a5＝a1＋4d＝－2＋2×4＝6.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. （2025·武汉期末）数列{an}中，a25＝22，an＋1－an＝1，则a1＝ （　　） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 解析： 　由题意知，{an}是公差为1的等差数列，a25＝a1＋（25－1） ×1＝22，解得a1＝－2.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 在数列{an}中，已知a1＝3，当n≥2时， － ＝ ，则a16＝ （　　） A. B. C. D. 解析： 　因为当n≥2时， － ＝ ，所以 是以 ＝ 为首项， 为公差的等差数列，故 ＝ ＋15× ＝ ，故a16＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 《九章算术》中有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤. 斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰， 长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截 下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由 粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是 （　　） A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 3斤 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为 a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－ ，所以a2＝4－ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕已知等差数列{an}的首项为－ ，若{an}从第6项起出现正 数，则公差d的值可能为（　　） A. B. C. D. 解析： 　an＝－ ＋（n－1）d，∵从第6项开始为正数，∴a6＝－ ＋ 5d＞0，a5＝－ ＋4d≤0，解得 ＜d≤ ，故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2（n∈N ＋），则下列说法正确的有（　　） A. 数列{an}是等差数列 B. a2k＝7－2k（k∈N＋） C. a2k－1＝12－2k（k∈N＋） D. an＋an＋1＝18－3n √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由an－an＋2＝2得a3＝a1－2＝8，由于a2－a1≠a3－a2，所以 {an}不是等差数列，A不正确；由an－an＋2＝2，知{an}的偶数项，奇数项 分别构成等差数列，公差都为－2，当n＝2k（k∈N＋）时，a2k＝a2＋ （k－1）×（－2）＝7－2k，当n＝2k－1（k∈N＋）时，a2k－1＝a1＋ （k－1）×（－2）＝12－2k，故B、C都正确；当n＝2时，a2＋a3＝5＋8 ＝13不满足an＋an＋1＝18－3n，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 在等差数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋1（n∈N＋），则该数列的公 差为 ⁠. 解析：∵an＋1＝an＋ ，∴an＋1－an＝ （n∈N＋），∴数列{an}是以2为 首项， 为公差的等差数列. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 已知等差数列{an}的前3项依次为x，2x，2x＋1，则x＝ ，a2 024 ＝ ⁠. 解析：由等差数列{an}的前3项依次为x，2x，2x＋1，得2x－x＝2x＋1 －2x＝1，解得x＝1，故公差d＝1，所以an＝n，所以a2 024＝2 024. 1　 2 024　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公 差为4的等差数列.若an＝bn，则n的值为 ⁠. 解析：an＝2＋（n－1）×3＝3n－1，bn＝－2＋（n－1）×4＝4n－6， 令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 在等差数列{an}中： （1）若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项； 解： 因为 解得 所以an＝7＋2（n－1）＝2n＋5. 令2n＋5＝91，得n＝43. 因为43为正整数，所以91是此数列中的项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若a2＝11，a8＝5，求a10. 解： 设{an}的公差为d，则 解得 所以an＝12＋（n－1）×（－1）＝13－n， 所以a10＝13－10＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的 数学著作《孙子算经》.1852年，传至欧洲，1874年，英国数学家马西森 指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西 方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2 024 这2 024个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列， 构成数列{an}，则该数列共有（　　） A. 202项 B. 203项 C. 204项 D. 205项 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由已知可得an－1既能被2整除，也能被5整除，故an－1能被10 整除，所以an－1＝10（n－1），n∈N＋，即an＝10n－9，故1≤an≤2 024，即1≤10n－9≤2 024，解得1≤n≤203.3，故共203项，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有（　　） A. {an＋an＋1} B. { } C. {an＋1－an} D. {2an} 解析： 设等差数列{an}的公差为d.对于A，（an＋an＋1）－（an－1 ＋an）＝（an－an－1）＋（an＋1－an）＝2d（n≥2），所以{an＋an＋1} 是以2d为公差的等差数列；对于B， － ＝（an＋1－an）·（an＋an ＋1）＝d（an＋an＋1）≠常数，所以{ }不是等差数列；对于C，因为an＋ 1－an＝d，所以{an＋1－an}为等差数列；对于D，因为2an＋1－2an＝2d， 所以{2an}为等差数列. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知数列{an}满足a1＝1，若点 在直线x－y＋1＝0上，则 an＝ ⁠. 解析：由题设可得 － ＋1＝0，即 － ＝1，所以数列 是以1 为首项，1为公差的等差数列，故通项公式为 ＝n，所以an＝n2（n∈N ＋）. n2（n∈N＋）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知数列{an}满足an＋1＝ ，且a1＝3（n∈N＋）. （1）证明：数列{ }是等差数列； 解： 证明：由 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ ， 得 － ＝ ，n∈N＋，故数列{ }是等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求数列{an}的通项公式. 解： 由（1）知 ＝ ＋（n－1）× ＝ ， 所以an＝ ，n∈N＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 15. 以过圆x2＋y2＝10x内一点（5，3）的最短弦长为等差数列{an}的首 项a1，最长弦长为其末项an，若等差数列{an}的公差d∈［ ， ］，则项 数n的取值不可能是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 由题意，将圆x2＋y2＝10x化为（x－5）2＋y2＝25，可得圆心 坐标为C（5，0），半径r＝5.设A（5，3），可得｜AC｜＝3，由圆的 弦长公式，可得a1＝2 ＝8，an＝10，设等差数列{an}的公差为 d，则an＝a1＋（n－1）d，即8＋（n－1）·d＝10，所以n＝ ＋1.因为 ≤d≤ ，所以5≤ ＋1≤7，即5≤n≤7，结合选项可得n的取值不可能 是4.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 16. 若数列{bn}对于n∈N＋，都有bn＋2－bn＝d（d为常数），则称数列 {bn}是公差为d的准等差数列.例如cn＝ 则数列{cn} 是公差为8的准等差数列.设数列{an}满足：a1＝a，对于n∈N＋，都有an ＋an＋1＝2n. （1）求证：数列{an}为准等差数列； 解： 证明：因为an＋an＋1＝2n（n∈N＋），① 所以an＋1＋an＋2＝2（n＋1），② ②－①得an＋2－an＝2（n∈N＋），所以数列{an}是公差为2的准等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求数列{an}的通项公式. 解： 因为a1＝a，an＋an＋1＝2n（n∈N＋），所以a1＋a2＝2×1， 即a2＝2－a. 因为a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列， a2，a4，a6，…是以2－a为首项，2为公差的等差数列， 所以当n为偶数时，an＝2－a＋（ －1）×2＝n－a，当n为奇数时，an ＝a＋（ －1）×2＝n＋a－1.所以an＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $