精品解析：山东潍坊市坊子区2025-2026学年第一学期期末质量检测八年级数学试题

2025-2026学年度第一学期期末质量检测八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 8的立方根是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 分别连接等边三角形、平行四边形、矩形、正方形各边中点得到下列图形，其中对称轴条数最多的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点是线段的中点，于点，于点，连接．若利用“”证明，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，梯形的顶点都在网格线的交点上，其中长度为无理数的边是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，以下结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 9. 如图，三边的长分别为，与的平分线交于点，若点到的距离为，则有下列结论：①垂直平分；②；③点到点的距离为；④．其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 10. 某地政府计划用一块面积为的土地建造公租房小区，小区内每幢楼5层．要求只建的两室两厅和的一室两厅两种户型，共300套，且建楼的土地面积不超过．要想求出的户型最多可以建多少套，则设的户型可以建套，可列不等式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 写出不等式的一个负整数解___________． 12. 将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的___________． 13. 问题：如图1，已知为钝角三角形，，用尺规作的高． 作法：如图2，①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接，；③延长交于点．线段即为的高． 判定为高的依据是___________． 14. 以下是小莹和小亮关于家、学校、图书馆位置的对话： 小莹：学校在我家的北偏东方向，与我家的距离为米；图书馆在我家的正北方向． 小亮：学校在图书馆的正东方向；我家在你家和学校连线的中点处． 请根据以上信息，用方向和距离表示图书馆相对于小亮家的位置为___________． 15. 如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解分式方程： （1）； （2）． 17. 解下列不等式或不等式组： （1）； （2） 18. 如图，方格纸上每个小正方形的边长都为1，点，，都在网格线的交点上，点的坐标为，点的坐标为． （1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系； （2）写出点的坐标；写出点关于轴的对称点的坐标； （3）连接，求出的面积． 19. 如图，在等边三角形中，，垂足分别为点，相交于点．求证：． 20. 手工课上，小莹用一个面积为的长方形宣纸进行镂空雕刻，宣纸的长与宽之比为，她准备了一个面积为的正方形衬纸进行后期制作． （1）请问这个宣纸的长和宽分别是多少厘米？（结果保留根号） （2）若雕刻后的作品轮廓仍然是原来的长方形，小莹能否将该作品按如图所示的样式（雕刻作品完全粘贴在衬纸上且各边分别平行于衬纸的各边）粘贴在正方形衬纸上？请说明理由． 21. 如图，在菱形中，点，分别是的中点，点，在对角线上，且． （1）判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）若，求四边形的面积． 22. 为了响应国家的“乡村振兴”战略，某高校大学生创业团队与当地果农合作，帮助销售优质农产品．他们从果园采购了一批樱桃，这批樱桃中，中果的进价比大果每千克少2元，他们花了5000元购买中果，3000元购买大果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． （1）这批樱桃中，中果和大果的进价分别是每千克多少元？ （2）大学生创业团队将购进的樱桃进行销售．其中果的售价比进价高，大果在进价的基础上每千克加价元进行销售，一周后，中果还剩，大果还剩没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，他们准备在现销售价格的基础上降价促销：中果每千克降价5元，大果每千克降价元进行销售．预计除了40千克中果和20千克大果损坏不能售出外，其余全部售出． ①请你根据以上信息将下表补充完整；（不写计算过程，直接填表，大果的销售价格用含的代数式表示） 销售情况 时间 中果 大果 销售价格（元/千克） 销售量（千克） 销售价格（元/千克） 销售量（千克） 第一周 一周后 ②大学生创业团队希望总利润不少于2880元，求a的最小值． 23. 【问题呈现】 如图1，正方形的对角线相交于点，在上任取一点，连接，过点作垂直于，交于点，连接． 【问题发现】 （1）如图1，求证：； （2）猜想线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【迁移应用】 如图2，有一个矩形菜园边上的点处和边上的点处各有一个门口．点是矩形两条对角线的交点，连接．已知，．请求出点处门口到点处门口的最短距离．（结果保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量检测八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 8的立方根是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】若一个数的立方等于，即，则是的立方根，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 根据立方根的定义，的立方根是． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征．根据点A的横纵坐标符号即可判断其所在象限，即可作答． 【详解】解：∵点的横坐标为负数，纵坐标为正数 ∴点A在第二象限 故选：B． 3. 分别连接等边三角形、平行四边形、矩形、正方形各边中点得到下列图形，其中对称轴条数最多的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：连接等边三角形各边中点得到的图形是等边三角形，共有三条对称轴； 连接平行四边形各边中点得到的图形是平行四边形，不是轴对称图形，没有对称轴； 连接矩形各边中点得到的图形是菱形，共有两条对称轴； 连接正方形各边中点得到的图形是正方形，共有四条对称轴； 所以对称轴条数最多的图形是D． 故选：D． 4. 如图，点是线段的中点，于点，于点，连接．若利用“”证明，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据，添加条件即可． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴当时，； 故选C 5. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，理解并掌握不等式的性质是关键． 不等式的基本性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变； 不等式的基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变； 不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变；由此分析各选项即可． 【详解】解：∵， A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，原选项正确，符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，梯形的顶点都在网格线的交点上，其中长度为无理数的边是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理，计算各条线段的长度，后判定它们的属性解答即可． 本题考查了勾股定理，无理数，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理，得，是有理数，不符合题意； ，是有理数，不符合题意； ，是有理数，不符合题意； ，是无理数，符合题意； 故选：D． 7. 已知，以下结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算．先对B进行通分化简，再将化简后的B与A进行运算，验证各选项结论，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴，故选项C正确， ∵， ∴，故选项A不正确， ∵， ∴，故选项B不正确， ∵， ∴，故选项D不正确， 故选：C． 8. 如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，图形的周长，熟练掌握性质是解题的关键．根据平行四边形的性质，得，结合折叠的性质，得，继而证明，根据图形的周长定义计算即可． 【详解】解：， ， ， 根据折叠的性质，得， ， ， 又的周长是， 故的周长是， 的周长为12， ， 故的周长是6， 故选：B． 9. 如图，三边的长分别为，与的平分线交于点，若点到的距离为，则有下列结论：①垂直平分；②；③点到点的距离为；④．其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和定义，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形面积计算，熟练掌握相应知识是解题的关键．利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行判断即可求解． 【详解】解：由平分，与不一定相等，因此不一定垂直平分，故不正确； ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故正确； ∵平分， ∴点到的距离等于点到的距离， 如图，过点作于，则，连接， ∴点到的距离大于，故不正确； 如图，连接，过点作于，过点作于，过点作于， ∵、分别平分、， ∴， ∴，故正确； 综上所述，正确． 故选：C． 10. 某地政府计划用一块面积为的土地建造公租房小区，小区内每幢楼5层．要求只建的两室两厅和的一室两厅两种户型，共300套，且建楼的土地面积不超过．要想求出的户型最多可以建多少套，则设的户型可以建套，可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的运用，根据建楼土地面积的限制条件，结合两种户型的套数与每幢楼的层数，推导建楼占地面积的不等式，关键是明确每套户型对应的建楼占地面积计算方式． 【详解】解：∵设的户型建套， ∴的户型建套， ∵每幢楼5层， ∴套户型对应的建楼占地面积为，套户型对应的建楼占地面积为， 又∵建楼的土地面积不超过总土地面积的，总土地面积为， ∴， 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 写出不等式的一个负整数解___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解不等式得到x的取值范围，再找出满足条件的负整数解． 【详解】解：， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴负整数解为、、，任取一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的___________． 【答案】10倍 【解析】 【分析】本题考查判断分式的值的变化情况，根据分式的基本性质，求出变化后的分式的值，进行判断即可． 【详解】解：将x和y都扩大10倍后，新分式为， 故新分式的值是原分式的10倍． 故答案为：10倍． 13. 问题：如图1，已知为钝角三角形，，用尺规作的高． 作法：如图2，①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接，；③延长交于点．线段即为的高． 判定为高的依据是___________． 【答案】等腰三角形的三线合一 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一性质判定即可． 本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的三线合一性质，基本作图，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是等边三角形， 故， ， 故， 故， 故为高， 故答案为：等腰三角形的三线合一． 14. 以下是小莹和小亮关于家、学校、图书馆位置的对话： 小莹：学校在我家的北偏东方向，与我家的距离为米；图书馆在我家的正北方向． 小亮：学校在图书馆的正东方向；我家在你家和学校连线的中点处． 请根据以上信息，用方向和距离表示图书馆相对于小亮家的位置为___________． 【答案】北偏西方向，距小亮家500米 【解析】 【分析】本题主要考查方位角表示地理位置，根据对话建立坐标系，以小莹家为原点，北为y轴正方向，东为x轴正方向，通过坐标计算和小亮家位置，确定图书馆相对于小亮家的方向和距离． 【详解】解：如图所示，一个单位长度表示米， ∴设小莹家为点，学校为点A，图书馆为点B，小亮家为点C，， ∵学校在图书馆的正东方向， ∴轴，即， ∵小亮家在小莹家和学校连线的中点处，即点为的中点， ∴， ∴（米），， ∵小亮家所在方向的正北方与平面直角坐标系的y轴平行， ∴点B在点C的北偏西方向，距小亮家500米处， ∴图书馆相对于小亮家的位置为北偏西方向，距小亮家500米处， 故答案为：北偏西方向，距小亮家500米． 15. 如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定是解题的关键．设点，的运动时间为，根据题意，得，，，然后分类计算即可． 【详解】解：设点，的运动时间为，根据题意，得，，， 当点P到达点D时所用时间为， 根据题意，得， 当时，四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点C返回向点B运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第二次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得，大于，舍去， 故答案为：或或． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． （1）去分母转化成一元一次方程解答即可； （2）去分母转化成一元一次方程解答即可． 【小问1详解】 解：方程两边都乘，得 整理，得 解方程，得 检验：当时，， 所以原方程的解是； 【小问2详解】 解：方程两边都乘，得 整理，得 解方程，得 检验：当时，， 所以原方程的解是． 17. 解下列不等式或不等式组： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，求不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键： （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行求解即可； （2）求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【小问1详解】 解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； 【小问2详解】 解：解不等式①，得 解不等式②，得 所以该不等式组的解集是． 18. 如图，方格纸上每个小正方形的边长都为1，点，，都在网格线的交点上，点的坐标为，点的坐标为． （1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系； （2）写出点的坐标；写出点关于轴的对称点的坐标； （3）连接，求出的面积． 【答案】（1） 建立平面直角坐标系如下： ． （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标系的建立，平移，轴对称，图形的面积，熟练掌握坐标系的建立，轴对称的特点是解题的关键． （1）把点的坐标为向左平移2个单位得到原点，建立平面直角坐标系解答即可． （2）根据坐标系，确定点的坐标；再根据轴对称纵坐标不变，横坐标变为相反数，求对称点的坐标即可； （3）利用分割法计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，得；又点的坐标为，故其对称点． 【小问3详解】 解：根据题意，得 ． 19. 如图，在等边三角形中，，垂足分别为点，相交于点．求证：． 【答案】 证明：∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ， ， ∴， ∴在中，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．根据等边三角形的性质，结合三角形的全等判定和性质证明即可． 【详解】略 20. 手工课上，小莹用一个面积为的长方形宣纸进行镂空雕刻，宣纸的长与宽之比为，她准备了一个面积为的正方形衬纸进行后期制作． （1）请问这个宣纸的长和宽分别是多少厘米？（结果保留根号） （2）若雕刻后的作品轮廓仍然是原来的长方形，小莹能否将该作品按如图所示的样式（雕刻作品完全粘贴在衬纸上且各边分别平行于衬纸的各边）粘贴在正方形衬纸上？请说明理由． 【答案】（1）宣纸的长为厘米，宽为厘米 （2）解：不能，理由： 设正方形衬纸的边长为厘米 根据题意，得， 解得（舍去）， ∴正方形衬纸的边长为30厘米， ∵， ∴， ∴， ∴小莹不能将该作品粘贴在正方形衬纸上． 【解析】 【分析】（1）设宣纸的长为厘米，宽为厘米.根据题意，得，解答即可． （2）设正方形衬纸的边长为厘米，根据题意，得，比较大小即可． 本题考查了解方程，无理数的大小比较，熟练掌握解方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设宣纸的长为厘米，宽为厘米. 根据题意，得， 解得（舍去）， ∴， ∴，宣纸的长为厘米，宽为厘米． 【小问2详解】 略 21. 如图，在菱形中，点，分别是的中点，点，在对角线上，且． （1）判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 解：平行四边形； 证明：在菱形中，， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定解答即可； （2）根据菱形的性质，勾股定理，平行四边形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，交于点， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴，即为中点， 同理可得， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 22. 为了响应国家的“乡村振兴”战略，某高校大学生创业团队与当地果农合作，帮助销售优质农产品．他们从果园采购了一批樱桃，这批樱桃中，中果的进价比大果每千克少2元，他们花了5000元购买中果，3000元购买大果，且购进的中果数量是大果数量的2倍． （1）这批樱桃中，中果和大果的进价分别是每千克多少元？ （2）大学生创业团队将购进的樱桃进行销售．其中果的售价比进价高，大果在进价的基础上每千克加价元进行销售，一周后，中果还剩，大果还剩没有售出．为了增加销量，减少库存和损耗，他们准备在现销售价格的基础上降价促销：中果每千克降价5元，大果每千克降价元进行销售．预计除了40千克中果和20千克大果损坏不能售出外，其余全部售出． ①请你根据以上信息将下表补充完整；（不写计算过程，直接填表，大果的销售价格用含的代数式表示） 销售情况 时间 中果 大果 销售价格（元/千克） 销售量（千克） 销售价格（元/千克） 销售量（千克） 第一周 一周后 ②大学生创业团队希望总利润不少于2880元，求a的最小值． 【答案】（1）中果的进价为10元/千克，大果的进价为12元/千克 （2）①填表如下； 销售情况 时间 中果 大果 销售价格（元／千克） 销售量（千克） 销售价格（元／千克） 销售量（千克） 第一周 15 400 150 一周后 10 60 80 ②的最小值是4 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键； （1）设中果的进价为元/千克，则大果的进价是元/千克，根据花了5000元购买中果，3000元购买大果，且购进的中果数量是大果数量的2倍，列出分式方程，求解即可； （2）①根据题意列表即可；②以总利润不少于2880元为不等关系，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设中果的进价为元/千克，则大果的进价是元/千克， 根据题意，得， 解方程，得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：中果的进价为10元/千克，大果的进价为12元/千克； 【小问2详解】 （2）①略 ②根据题意，得， 解不等式，得， ∴的最小值是4． 23. 【问题呈现】 如图1，正方形的对角线相交于点，在上任取一点，连接，过点作垂直于，交于点，连接． 【问题发现】 （1）如图1，求证：； （2）猜想线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【迁移应用】 如图2，有一个矩形菜园边上的点处和边上的点处各有一个门口．点是矩形两条对角线的交点，连接．已知，．请求出点处门口到点处门口的最短距离．（结果保留根号） 【答案】 （1）证明：在正方形中，， ， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以， 即， 在和中， ， 所以， 所以； （2），见解析； 解：，证明如下： 因为四边形是正方形， 所以， 由（1）知， 所以， 所以， 即， 因为， 所以在中，， 所以； （3）处的门口到点处的门口的最短距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据正方形的性质得出相等的边和角，证明，即可得出结论； （2）由（1）得结论得出相等的线段，然后利用勾股定理进行求解即可； （3）延长交于点，连接，证明，根据相等的线段，得出垂直平分，得出，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长交于点，连接， 在矩形中，， 所以， 在和中 ， 所以， 所以， 因为， 所以垂直平分， 所以， 因为在中，， 所以， 因为， 所以， 处的门口到点处的门口的最短距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $