1.3 弧度制 课件-2025-2026学年高一下学期北师大版必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 三角函数 互动设计 第3课时 弧度制 互动设计课程 1 学 习 目 标 理解弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算关系。。。 返回主页 1 理解弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算关系 能够熟练进行角度与弧度的互化 掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 2 通过类比角度制，经历弧度制的产生过程，体会数学概念的建构过程 通过单位圆中圆心角与弧长关系的探究，培养数学抽象能力 情 境 引 入 【情境一】历史溯源 返回主页 【情境二】生活实例 【情境一】历史溯源 古巴比伦人把圆周分为360等份，每份为1度。这种60进制的角度制沿用至今。但在高等数学中，角度制运算极为不便。1748年，欧拉在《无穷小分析引论》中明确提出使用弧度制，使三角函数成为真正的函数。 【情境二】生活实例 自行车轮转动：轮缘上一点转过的弧长与转过的角度有什么关系？ 地球自转：地球表面某点随地球自转经过的弧长如何计算？ 互 动 设 计 【探究活动1】圆心角与弧长的关系 返回主页 【探究活动2】弧度制的本质 【探究活动3】换算公式推导 【互动探究4】终边相同的角 【探究活动1】圆心角与弧长的关系 实验操作： 在半径分别为 r=1,2,3 的圆中，作出圆心角 α=30° 所对的弧。 半径 圆心角 弧长 比值 1 2 3 发现 的值与半径无关，仅与圆心角大小有关！ 定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，记作 1 rad 。 【探究活动2】弧度制的本质 小组讨论： 角度制以”度”为单位，周角 = 360° 2. 弧度制以”弧度”为单位，周角 = =2π (rad) 关键认识：弧度制实质上是 “弧长与半径的比值”，是一个纯数（无量纲）！ 【探究活动3】换算公式推导 师生互动推导： 换算公式： 角度化弧度： 弧度化角度： 记忆口诀：“π 弧度等于一百八，换算不用怕” 探 求 新 知 1. 弧度制定义 返回主页 2. 核心公式 3. 特殊角对照表 4. 弧度制的优势 1. 弧度制定义 把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用符号 rad 表示，读作弧度。 2. 核心公式 公式 表达式 说明 角度→弧度 为角度数 弧度→角度 为弧度数 弧长公式 为圆心角弧度数 扇形面积 3. 特殊角对照表 角度 弧度 4. 弧度制的优势 弧长简洁：（对比角度制：） 与实数对应：角的集合 ↔ 实数集 典 例 铺 路 题型一：角度与弧度的互化 题型二：弧长与扇形面积 题型三：综合应用 角度与弧度的互化 例1 将下列角度化为弧度： (1) 75° (2) -210° (3) 1200° 解： (1) （即 周又 ） 例2 将下列弧度化为角度： (1) (2) (3) 解： (1) 弧长与扇形面积 例3 已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，求弧长和扇形面积。 解： 弧长 (cm) 面积 (cm²) 或 (cm²) 例4 已知扇形周长为 8cm,面积为 3cm2，求圆心角的弧度数。 解：设半径为 ，圆心角为 （） 由题意： 由①得： 代入②： 当 时，（rad） 当 时，（rad） 经检验，均满足 答：圆心角为 弧度或 弧度。 综合应用 例5 用弧度制表示终边在下列位置的角的集合： (1) x 轴正半轴 (2) y 轴 (3) 直线 y=x 解： (1) 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 1. 将 化为弧度是（　） A. B. C. D. 解析： 【基础训练】 2. 若 α=2，则 α 的终边在（　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：2 rad≈2×57.3°=114.6°，在第二象限。 【基础训练】 3. 半径为 2，圆心角为 的扇形面积为______。 解析： 4. 已知扇形的弧长为 4，面积为 2，则该扇形的圆心角的弧度数为 解析：由 得 ，所以 由 得 ，所以 【能力提升】 5. 已知两角的和是 弧度，两角的差是 ，则这两个角的弧度数分别为______。 解析：设两角为 （弧度），则 解得：， 6. 一个扇形的周长为 20cm ，当扇形的圆心角 α 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解：设扇形半径为 ，弧长为 ，则 ，即 （） 面积 当 时， 此时 ，（rad） 答：当 弧度时，扇形面积最大，最大面积为 。 随 堂 检 测 返回主页 【选择题】 1. 下列转化结果错误的是（　） A. 化成弧度是 B. 化成角度是 C. 化成弧度是 D. 化成角度是 C（） 2. 若角 α 满足 α=+（k∈Z），则 α 的终边一定在（　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第一或第二象限 D. 以上都不对 解析： 时，（第一象限）； 时，（第二象限）； 时，（ 轴负半轴）。故选 D。 3. 已知扇形的圆心角为 ，弧长为 ，则该扇形的面积为（　） A. B. C. D. 解析：由 得 ，所以 【填空题】（每题5分） 4. 若 α=-3，则 α 是第______象限角。 解析：-3 rad≈-171.9°，相当于 188.1°，在第三象限。 4. 若角α满足180°<α<360°，且5α与α的始边和终边均相同，则α=______。 5α = α + k·360° ⇒ 4α = k·360° ⇒ α = k·90° 由180°<α<360°，k=3时α=270° 【解答题】（10分） 5.已知 α=1690°。 (1) 把 α 表示成 2kπ+β（k∈Z，β∈[0,2π)）的形式； (2) 求 θ，使 θ 与 α 终边相同，且 θ∈(-4π,-2π)。 解： (1) 即 ，其中 与 终边相同的角为 （） 令 ， 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 3. 课后思考 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 弧度制 ├── 定义：弧长等于半径的圆心角为1弧度 ├── 换算：180° = π rad │ ├── 角度→弧度：乘以 π/180 │ └── 弧度→角度：乘以 180/π ├── 公式 │ ├── 弧长：l = |α|r │ └── 扇形面积：S = ½lr = ½αr² └── 优势：与实数对应，简化微积分运算 55 2. 方法小结 互化技巧：熟记特殊角对应关系，避免每次都计算 方程思想：扇形问题常设半径和圆心角，列方程求解 最值问题：扇形面积最值常用配方法或基本不等式 角度制与弧度制不可混用（如不能写成 ） 弧度单位”rad”通常省略，但角度单位”°“不可省 扇形面积公式 中， 必须是弧度 3. 课后思考 为什么弧度制能使三角函数成为真正的函数？（提示：从定义域与实数集的对应关系思考） $