切线长定理、切线的证明专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

切线长定理、切线的证明专项训练 切线长定理、切线的证明专项训练 考点目录 切线长定理 切线的证明 考点一 切线长定理 ⊙0 PA,PB. ⊙0 例1.(25-26九年级上浙江绍兴·期末)如图，P为外一点， ”分别与相切于点A,B,连接 OP,OA,OB,AB.若PA=6,∠APB=60°，则下列说法错误的是() B A.PB=6 B.△PAB是等边三角形 C.OP垂直平分AB D.04=3 例2.(25-26九年级上山东聊城期末)如图，P4,PB分别与⊙0相切于点A,B,连接PO并延长与⊙0交于点 C,D.若CD=6,PA=4,则cos∠ADB的值为() O B × A.3 B. c. D. 例3.(25-26九年级上山西运城月考)如图，AB,AC,BD是⊙0的切线，P,C,D为切点，如果AB=7, AC=4,则BD的长为() 0 B D 1 切线长定理、切线的证明专项训练 A.3 B.2 C.2.5 D.1.5 2 切线长定理、切线的证明专项训练 例4.(25-26九年级上江苏南通期末)如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若AB=9,CD=15,则四边 形ABCD的周长为 D PA,PB⊙O OA,AB 例5.(25-26九年级上河北秦皇岛·月考)如图， 是的两条切线，切点分别为A,B,连接 若∠OAB=35°，则∠ABP= 例6.(25-26九年级上北京期末)如图，PA,PC是o0的切线，A,C为切点.若∠APC=60°，MP=55,则 直径AB的长是一 变式1.(25-26九年级上湖北荆州期末)如图，PA,PB是⊙0的切线，A,B为切点，AC是⊙O的直径，若 ∠P=54°，则∠BAC的度数为() 切线长定理、切线的证明专项训练 B A.36° B.27° C.63° D.54° 变式2.(25-26九年级上云南曲靖期末)如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB,BC,AC相切于点D,EF, 且AD=3,BE=2,CF=4,则△ABC的周长为() B E C A.18 B.19 C.20 D.21 变式3，(25-26九年级上·重庆大足·期末)如图所示：小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三 角尺，他将直尺、光盘和三角尺放置于桌面上，并量出AB=3cm,则此光盘的直径是()cm. 60公 A B A.3V3 B.3V6 C.65 D.6 变式4.(25-26九年级上：江西新余月考)如图，△ABC与它的内切圆分别相切于点D,E,F.若△ABC周长为 20,BC=7,则AD的长为一 切线长定理、切线的证明专项训练 D 切线长定理、切线的证明专项训练 变式5.(25-26九年级上天津月考)如图所示，过半径为6cm的0外-一点P引圆的切线PA,PB,连接P0交 6cm.⊙0 PO ⊙0 ⊙0 于F,过F作 的切线，交PA,PB分别于D,E,如果P O=10cm∠APB=40° 则<D0 的度数一 A D 变式6，(25-26九年级上广东广州期肿)如图，△16C是一张三角形的纸片，O0是它的内切圆，点D是其中的 ⊙0 个切点，已知4D=12,用剪刀沿者与OO相切的任意一条直线MN剪下一块三角形aMW),则剪下的△1MN 的周长为一 B 6 切线长定理、切线的证明专项训练 考点二 切线的证明 例1.(2526九年级上山东滨州期术)如图，4B是0的直径，C为00上一点，尸为0外一点.OP∥1C 且∠OBP=90°，连接PC. A PC,⊙0 (1)求证： 与相切； (2)若A0=3,OP=5,求AC的长 例2.(25-26九年级上广东广州期末)如图，AB为⊙0的直径，弦CD L AB于点E,连接AC,过A作 AF⊥AC,交OO于点F,连接DF,过B作BG⊥DF交DF的延长线于点G. B G (1)求证：BG是⊙0的切线： (2)若∠DFA=30°，FG=3,求DF的长. > 切线长定理、切线的证明专项训练 例3.(25-26九年级上河北保定期末)如图，在△M8C中，B=1C,∠B1C=120 ,点0在边BC上，o0经过 点A,B,且与边BC相交于点E,连接OA,AE, (I)求证：AC是⊙0的切线. (2)若OE=2,求CE的长. 例4.(25-26九年级上江苏扬州期末)如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，且DC=DB,点O在AC边上， ⊙O经过点C且与AB边相切于点E, ED B (I)求证：BC是⊙O的切线： 2若BC=12,sinA=3, 5,求△AOD的面积. 8 切线长定理、切线的证明专项训练 变式1.(25-26九年级上江苏盐城期末)如图，在以BE为直径的⊙O中，点D为⊙O上一点，连接BD,DE, 延长BE至点A,使得∠ADE=∠DBE,过点B作BC⊥AD交AD的延长线于点C,交OO于点F. B y (1)求证：AD为⊙O的切线； (2)若anA=3 ,AC=8,求⊙0的半径. 变式2，(25-26九年级上：江苏无锡·期末)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O,点D为⊙0 上一点，且CD=CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E. E B D (1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由： BE=2,DE=2BE (2)若 ,尖C 的值. 9 切线长定理、切线的证明专项训练 变式3.(25-26九年级上云南昆明期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，且CD=BC, 以CD为直径作⊙O交BC于点G,E为AC上一点，连接DE,AE=DE. G O (1)求∠CGD的度数： (2)求证：DE是⊙O的切线： 3)若o0的半径r=2,BD=6,求DE的长. 变式4.(25-26九年级上江苏宿迁·期末)如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以点0为圆心，OA为半径的圆 交边AB于点C,点D在边OB上，且∠DBC=∠DCB. (1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； (②芳o0的半径为5，amM-子，求弦4C的长。 10切线长定理、切线的证明专项训练 切线长定理、切线的证明专项训练 考点目录 切线长定理 切线的证明 考点一 切线长定理 例1.(25-26九年级上·浙江绍兴期末)如图，P为⊙O外一点，PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,连接 OP,0A,OB,AB.若PA=6,∠APB=60°，则下列说法错误的是() B A.PB=6 B.△PAB是等边三角形 C.OP垂直平分AB D.04=3 【答案】D 【详解】解：PA,PB分别与⊙O相切于点A,B, ∴∠PA0=∠PB0=90°， 在RIAAOP,Rt△BOP中， OP=OP,OA=OB, ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL), ∴∠AP0=∠BP0,PA=PB=6,故A选项正确，不符合题意； ∠APB=60°， :∠4P0=∠BP0)∠APB=30°，△PAB是等边三角形，故B选项正确，不符合题意 在RIA AP0中，∠APO=30°，PA=6, 0P=20A, 0A2+PA2=OP2, ÷0A2+62=(20A)2, 解得，OA=25,故D选项错误，符合题意；， PA=PB,OA=OB, ∴点P,O在线段AB的垂直平分线上， 切线长定理、切线的证明专项训练 ∴OP垂直平分AB,故C选项正确，不符合题意； 故选：D. 例2.(25-26九年级上山东聊城期末)如图，P4,PB分别与00相切于点A,B,连接P0并延长与⊙0交于点C, D.若CD=6,PA=4,则coS∠ADB的值为() A D 夕 4 4 A. B. 3 3 5 c D. 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接OA, D ○ B ~PA、PB分别与O0相切于点A、B,连接PO并延长与O0交于点C、D, ∠0AP=90°，PA=PB,PD平分∠APB, ∠APD=∠BPD, PD=PD, ∴△ADP≌△BDP(SAS), AD=BD,∠ADP=∠BDP, .∠ADB=2LADC, ~∠AOC=2∠ADC, ∠AOC=∠ADB, 0A=2CD=3, 在Rt△A0P中，OP=V0A2+PA2=5, cos∠A0C=cos∠ADB=O4_3 OP 5 故选：D 例3.(25-26九年级上山西运城月考)如图，AB,AC,BD是⊙0的切线，P,C,D为切点，如果AB=7, 2 切线长定理、切线的证明专项训练 AC=4,则BD的长为() 0 B D A.3 B.2 C.2.5 D.1.5 【答案】A 由AB,AC,BD是⊙O的切线可知AC=AP,BP=BD,求出BP的长即可求出BD的长. 【详解】解：AC、AP为⊙0的切线， ·AC=AP, ~BP、BD为OO的切线， ..BP=BD, :BD=PB=AB-AP=7-4=3. 故选：A. 例4.(25-26九年级上江苏南通·期末)如图，四边形ABCD是⊙0的外切四边形，若AB=9,CD=15,则四边形 ABCD的周长为 0 【答案】48 【详解】解：如图，设⊙O与边AB,BC,CD,AD的切点分别为E,F,G,H, D H G ~四边形ABCD是OO的外切四边形， :.AE AH,BE BF,CF CG,DH DG, AH +DH +BF+CF=AE +DG BE +CG AD+BC=AB+CD=9+15=24, ·四边形ABCD的周长为 切线长定理、切线的证明专项训练 AD+BC+AB+CD=24+24=48. 故答案为：48， 例5.(25-26九年级上河北秦皇岛月考)如图，PA,PB是⊙0的两条切线，切点分别为A,B,连接OA,AB,若 ∠0AB=35°，则∠ABP= 【答案】55 【详解】解：~PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别为A,B, PA=PB,OA⊥PA, ∠0AP=90° ∠0AB=35°， ∠BAP=90°-∠0AB=55°， PA=PB, ∴.∠ABP=∠BAP=55o. 故答案为：55 例6.(25-26九年级上北京·期末)如图，PA,PC是⊙0的切线，A,C为切点.若∠APC=60°，AP=5√3，则直 径AB的长是 【答案】10 【详解】解：PA,PC是⊙O的切线，A,C为切点， ∠0AP=90,∠0PA=1∠APC=30°， 0A=Ap.tan30°=55x5 =5, 3 AB=20A=10; 故答案为：10. 变式1.(25-26九年级上湖北荆州期末)如图，PA,PB是00的切线，A,B为切点，AC是⊙0的直径，若 4 切线长定理、切线的证明专项训练 ∠P=54°，则∠BAC的度数为() A B A.36° B.27 C.63° D.54 【答案】B 【详解】解：~PA,PB是⊙0的切线，A,B为切点，AC是⊙O的直径， ∴PA=PB,∠PA0=90°，又∠P=54°， P1B=∠P81=I80P-∠P=63, ∠BAC=∠PA0-∠PAB=90°-63°=27°. 故选：B. 变式2.(25-26九年级上云南曲靖期末)如图，ABC的内切圆O0分别与AB,BC,AC相切于点D,E,F,且 AD=3,BE=2,CF=4,则ABC的周长为() A D B E A.18 B.19 C.20 D.21 【答案】A 【详解】解：△ABC的内切圆⊙O分别与AB,BC,AC相切于点D,E,F,且AD=3,BE=2,CF=4, .AF=AD=3,BD=BE=2,CE=CF=4, ·AB=AD+BD=3+2=5,AC=AF+FC=3+4=7,BC=BE+EC=2+4=6, △ABC的周长=AB+AC+BC=5+7+6=18, 故选：A. 变式3.(25-26九年级上·重庆大足·期末)如图所示：小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角 尺，他将直尺、光盘和三角尺放置于桌面上，并量出AB=3cm,则此光盘的直径是()cm. 切线长定理、切线的证明专项训练 60 B A.35 B.36 C.65 D.6 【答案】C 【详解】解：设圆心为点0，连接OA,OB 60入 D A ∠CAD=60°， ∴∠CAB=120°， ~AB和AC与OO相切， .∠0AB=∠OAC,∠0BA=90° ∠0AB=∠C4B=60°， 2 ∠A0B=90°-60°=30° AB =3cm ∴.OA=2AB=6cm, ∴由勾股定理得0B=3√3cm, ∴光盘的直径是6√3cm. 故选：C. 变式4.(25-26九年级上江西新余·月考)如图，ABC与它的内切圆分别相切于点D,E,F.若ABC周长为20， BC=7,则AD的长为 E 【答案】3 切线长定理、切线的证明专项训练 【详解】解：设AD=x, :△ABC与它的内切圆分别相切于点D、E、F, :AD=AF=x,CE =CF,BE=BD, 则BC=BE+CE=BD+CF=7. :aABC周长为20， :AD+AF+CF BC+BD=20, 即x+x+7+7=20, 解得x=3, 即AD=3. 故答案为：3. 变式5.(25-26九年级上天津·月考)如图所示，过半径为6cm的⊙O外一点P引圆的切线PA,PB,连接PO交 ⊙O于F,过F作⊙O的切线，交PA,PB分别于D,E,如果P0=10Cm,∠APB=40°，则∠D0E的度数 A E B 【答案】70° 【详解】解：连接OA、OB,如下图所示： D B PA、PB、DE为OO的切线， PA=PB、DA=DF、EF=BE、∠OAP=∠OBP=∠OFD=∠OFE=90°， DA=DF、∠OAD=∠OFD=90°，0D=OD, ∴a0AD≌a0FD(HL), ∠AOD=∠DOF, 同理可证∠BOE=∠EOF, ∠DOE=∠AOB, 2 > 切线长定理、切线的证明专项训练 在四边形APB0中，∠APB+∠0AP+L0BP+∠A0B=360°，∠APB=40°，∠0AP=∠0BP=90°， ∠A0B=360°-∠APB+∠0AP+∠0BP)=140°， ∠D0E=2∠A0B=70°， 故答案为：70°. 变式6.(25-26九年级上·广东广州期中)如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的 一个切点，已知AD=12,用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN),则剪下的△AMN的 周长为 B D M A 【答案】24 【详解】解：设⊙O与MN、AC分别相切于点E、F,则EN=FN, B >A:OO与AB相切于点D, F :EM DM,AF=AD, :AM MN AN AM EM EN AN AM DM FN+AN AD A F 2AD :AD=12, :AM MN AN =24, :剪下的△AMN的周长为24， 故答案为：24. 切线长定理、切线的证明专项训练 考点二 切线的证明 例1.(25-26九年级上山东滨州期末)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC, 且L0BP=90°，连接PC. B (1)求证：PC与⊙O相切： (2)若A0=3,0P=5,求AC的长. 【答案】（①）见解析 哈 【详解】(1)证明：如图，连接0C, P:0C=0A, :∠0AC=∠0CA, :OP∥AC, :∠0AC=∠BOP,∠0CA=∠C0P, :∠C0P=∠BOP, 在△COP和△BOP中， OC=OB ∠COP=∠BOP OP=OP :△C0P≌△BOP(SAS), :∠0CP=∠0BP=90°， :0C⊥PC, :PC与⊙0相切； (2)解：如图，连接BC交OP于点D, 0 切线长定理、切线的证明专项训练 D P:△COP≌aBOP, :PC=PB,OB=OC, :OP垂直平分BC, :A0=B0=3,0P=5,∠0BP=90°， :BP=V0P2-0B2=V52-32=4, F5amn-0B-Bp=op-8n, :BD=OB.BP_3x4 12 0p5=5, :BC-2BD- 24 :AB是O0的直径， :AB=20A=6,∠ACB=90°， 例2.(25-26九年级上广东广州期末)如图，AB为⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E,连接AC,过A作AF⊥AC ,交OO于点F,连接DF,过B作BG⊥DF交DF的延长线于点G. 分 (1)求证：BG是⊙0的切线； (2)若∠DFA=30°，FG=3,求DF的长， 【答案】（①）证明见解析； (2)6 【详解】(1)证明：连接CF,如图， 10