圆：垂径定理、切线长定理、切线的证明专项训练-2025-2026学年 北师大版九年级数学下册

圆：垂径定理、切线长定理、切线的证明专项训练 圆：垂径定理、切线长定理、切线的证明专项训练 考点目录 垂径定理 切线长定理 切线的证明 考点一 垂径定理 例1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，直径为的圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽，若油面下降后，截面上有油部分的宽度是（      ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·浙江温州·月考）某圆形干果盘示意图如图所示，四条隔板，，，长度均为，横纵隔板互相垂直，交于隔板的三等分点，则该干果盘的直径为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，，连接，，．若，的周长为21，则的长为 ． 例4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点，则该桨轮船的轮子直径为 m． 例5．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 变式1．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（   ） A． B． C．6 D．10 变式2．（25-26九年级上·山东青岛·月考）图2是从正面看到的一个“老碗”（图1）的形状示意图是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接，．已知，碗深，则的半径为（ ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·江西赣州·月考）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图（1），其数学模型如图（2）所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，为圆上一点，于点，且米，则门洞的半径为 米． 变式4．（25-26九年级上·北京·月考）如图，圆形拱门的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，连接并延长交于点，并且，，则的半径为 ． 变式5．（25-26九年级上·江西新余·期中）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若弦的长为，求的直径． 考点二 切线长定理 例1．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，是四边形的内切圆．四边形的周长为48，且，则的长为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 例2．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，已知为的直径，切于点，切于点，交的延长线于点，，，则半径的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．3.5 例3．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为 ． 例4．（25-26九年级上·河南商丘·月考）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为 ． 变式1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，，与相切于点与交于点．若，则的长为（   ） A．0.5 B．1 C． D．2 变式2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，，分别与相切于点，，点为上的点，过点的切线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，且，则 ． 变式4．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为 ． 考点三 切线的证明 例1．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，是⊙O的直径，C为上一点，P为外一点，，且°，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 例2．（25-26九年级上·河南焦作·期中）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，，连接，P在延长线上，且． (1)求证：是半圆O的切线． (2)若，，求的长． 例3．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，内接于，是的直径，过点作的切线，与延长线交于点，是的中点，连接并延长，交延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 例4．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，以的边上一点为圆心的圆经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于点，． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径，，求的长． 变式1．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，是的直径，C是上除外的一点，点D是弧的中点，于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求长． 变式2．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连接、、，． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的长． 变式3．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图所示，在中，，以为直径的交于点，过点作，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径是5，求的长． 变式4．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)连接．若，，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆：垂径定理、切线长定理、切线的证明专项训练 圆：垂径定理、切线长定理、切线的证明专项训练 考点目录 垂径定理 切线长定理 切线的证明 考点一 垂径定理 例1.(25-26九年级上·湖北武汉·月考)如图，直径为260mm的圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽 AB=240mm,若油面下降70mm后，截面上有油部分的宽度是() ←-240mm A.50mm B.100mm C.120mm D.130mm 【答案】B 【详解】解：如图所示，过圆心O作OC1AB于点C, ~圆柱形油槽截面圆的直径为260mm, 半径0A=260 130mm, 2 油面宽AB=240mm, ÷4c=4B=240=120mm, 2=2 在Ra0AC中，由勾股定理0C=VO4?-4C=V1302-1202=50mm, 若油面下降70mm后，设下降后油面为AB,过圆心O作OD⊥A'B于点D, 新的油面到圆心的距离变为0D=0C+70=50+70=120mm, 在Rta0A'D中，由勾股定理AD=√A02-0D2=V1302-1202=50mm, A'B'=2A'D=2×50=100mm. 圆：垂径定理、切线长定理、切线的证明专项训练 故选：B. 例2.(25-26九年级上·浙江温州月考)某圆形干果盘示意图如图所示，四条隔板AB,CD,EF,GH长度均为 24cm，横纵隔板互相垂直，交于隔板的三等分点，则该干果盘的直径为() E G F H A.6cm B.8v10cm C.16√2cm D.12√5cm 【答案】B 【详解】解：如图，过点O作OK⊥AB于点K,连接OA, E G M K B F H 则AK=BK=;AB=2(cm, M=MN=BN=3AB=8(cm), .0cm). 在Rt△AOK中，由勾股定理得： 0A=√AK2+0K2=V122+42=4V10(cm, 则该千果盘的直径为8V10cm. 故选：B. 例3.(25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔月考)如图，⊙0是锐角三角形ABC的外接圆， OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分别为D,E,F,连接DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,ABC的周长 为21，则EF的长为」 圆：垂径定理、切线长定理、切线的证明专项训练 【答案】4 【详解】解：O0是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC, ∴点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点， ·DE,DF,EF都是三角形ABC的中位线， 1 DF-BC.DE-AC.EF-24A ABC的周长为21， :CB+CA+AB=21,2DF+2DE+2EF=21, DE+DF=6.5, ∴2DE+2DF=13 .EF=4, 故答案为：4. 例4.(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考)如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2， 某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦AB长为8m,轮子的吃水深度CD为2m,半径0C⊥AB于点D,则该桨 轮船的轮子直径为. m. 水面小 B ----- ----------C 图1 图2 【答案】10 【详解】解：如图，连接OA,设半径为rm,则OA=OC=rm, CD=2m 水面 D B ∴.OD=OC-CD=(r-2m, 圆：垂径定理、切线长定理、切线的证明专项训练 AB=8m,OC⊥AB, AD=AB三2×8=4my 在RIAODA中，有OA2=OD2+AD2, 即r2=(口-2)2+42， 解得r=5, 则该桨轮船的轮子直径为2x5=10m, 故答案为：10 例5.(25-26九年级上江西上饶期中)如图，圆内接四边形ABDC，AB是O0的直径，OD⊥BC交BC于点E. E O (I)求证：BD=CD; (2)若BE=3,AC=8,求0D的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【详解】(1)证明：OD为⊙0的半径，且0D⊥BC, ·由垂径定理可知，BE=EC,且BD=CD :BD=CD (2)解：由1)可知，BE=EC=BC, :BC=2BE=6, AC⊥BC, :△ABC为直角三角形， 在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2=62+82=36+64=100, AB=10, :0D为00半径， 0m-48x0=5 故0D的长为5. 圆：垂径定理、切线长定理、切线的证明专项训练 变式1.(2025·辽宁鞍山一模)如图，AB是O0的直径，点D是AC的中点，过点D作DF⊥AB于点E,交O0于 另一点F.若AC=12,AE=3,则⊙0的半径是() C Q B F 15 A. 13 2 B. C.6 D.10 【答案】A 【详解】解：：点D是AC的中点， AD=CD, :DF⊥AB, .AD =AF, AD=AF=CD, DF=AC, :DF=AC=12, :DF⊥AB, EF-DF-6, 如图，连接0F,设⊙0的半径为r,设0E=OA-AE=r-3, D 4 B 在Rt△OEF中，由勾股定理得OE2+EF2=OF2, （r-3)2+62=r2, 解得=15 故选：A. 5 圆：垂径定理、切线长定理、切线的证明专项训练 变式2.(25-26九年级上山东青岛·月考)图2是从正面看到的一个“老碗”（图1）的形状示意图AB是⊙0的一部 分，D是AB的中点，连接OD,与弦AB交于点C,连接OA,OB.已知AB=24cm,碗深CD=8cm,则O0的 半径OA为() O B 图1 图2 A.13cm B.16cm C.17cm D.26cm 【答案】A 【详解】解：：AB是O0的一部分，D是AB的中点，AB=24cm, 1 :OD L AB AC=BC=AB=12cm. 2 设o0的半径OA为R(cm),则OC=OD-CD=(R-8)cm. 在RtAOAC中， :∠0CA=90°， ..0A2=AC2+0C2, R2=122+(R-8)2, .R=13, 即00的半径OA为13cm, 故选：A. 变式3.(25-26九年级上江西赣州·月考)“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例 如古典园林中的门洞.如图(1)，其数学模型如图(2)所示.园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径AB=1米，D为 圆上一点，DC⊥AB于点C,且CD=BC=0.7米，则门洞的半径为 米 B C (1) (2) 【答案】1.3 【详解】解：如图所示，过O作ON⊥AB于N,过D作DM⊥ON于M, 6 圆：垂径定理、切线长定理、切线的证明专项训练 D Yh.」 A B C 则4N=BN=AB=0.5(米)，ONC=∠DMN=90°， 2 :DC⊥AB, :LDCN=90°， :四边形DCNM是矩形， .MN=CD=0.7(米)，OM=ON-MW=(ON-0.7)米，DM=CN=BC+BN=0.7+0.5=1.2(米)， 设该圆的半径长为”米， 在Rta0BN中，ON2=OB2-BN2=r2-0.52, 在R1a0MD中，OM2=0D2-DM2,即(ON-0.7)2=r2-1.22, .r2=(0N-0.72+1.22, 则有0W2=(0W-0.7)2+1.22-0.52, 整理得1.40N=1.68,解得0N=1.2, ∴r2=（1.2-0.72+1.22=1.69, r=13（负值己舍去)， 即门洞的半径为1.3米。 故答案为：1.3. 变式4.(25-26九年级上·北京·月考)如图，圆形拱门的形状是以点0为圆心的圆的一部分，如果D是⊙0中弦AB 的中点，连接D0并延长交O0于点C,并且AB=2m,CD=3m,则O0的半径为一 的 A D B 圆：垂径定理、切线长定理、切线的证明专项训练 【答案】3m小写m 【详解】解：连接OA,OB,如图所示： ~D是弦AB的中点，AB=2m,0A=OB, .AD=BD=1m,∠ODA=90, 设00的半径为r,则0A=0C=r, CD=3m, 0D=CD-0C=3-r, 在Rt△0DA中，OA2=OD2+AD2, ∴r2=(3-r2+12, 解得r=3 5 则o0的半径为。m. 3 放答案为m 变式5.(25-26九年级上江西新余·期中)如图，在⊙0中，弦AB垂直平分半径0C. B (1)求∠C的度数； (2)若弦AB的长为10√5，求⊙0的直径. 【答案】(1)∠C=60° (2)20 【详解】(1)解：弦AB垂直平分半径OC· 圆：垂径定理、切线长定理、切线的证明专项训练 ∴∠B0D=90°，OD=10C=0B, 2 2 .∠OBD=30°， ∠B0C=60°， 0B=0C, △OBC是等边三角形， ∠C=60°； (2)设⊙0的半径为r, ~AB垂直平分半径OC,AB=10V3, 六BD=AB=55, 在RtAB0D中，OA2=OD2+BD2, 可r=65+, 解得：r=10, 所以圆的直径为20. 0 圆：垂径定理、切线长定理、切线的证明专项训练 考点二 切线长定理 例1.(25-26九年级上·浙江·月考)如图，⊙0是四边形ABCD的内切圆.四边形ABCD的周长为48，且 AB:BC:CD=3:4:5,则AD的长为() B A.9 B.12 C.15 D.18 【答案】B 【详解】解：如图，设四边形ABCD的内切圆切点分别为E,F,G,H, E G .AE=AH,BE BF,CF=CG,DG=DH, :.BE+BF+CF+CG=2BC,AE+AH+DG+DH=2AD, ~四边形ABCD的周长为48， ..AB+BC+CD+AD=2(BC+AD)=48, .AD+BC=24, AB+CD=24, AB:BC:CD=3:4:5, 设AB=3x,BC=4x,CD=5x,则AD=24-4x, AB+CD=24,即3x+5x=24, 解得x=3, AD=24-4x=12. 故选：B. 例2.(25-26九年级上·河北石家庄·月考)如图，已知AB为⊙0的直径，CB切⊙0于点B,CD切⊙0于点D,交 BA的延长线于点E,DE=4,CB=6,则⊙0半径的长为() 10