精品解析：山东临沂市蒙阴县2025-2026学年上学期八年级数学期末试题

2025-2026学年度上学期期末教学质量调研 八年级数学试题 说明： 1．本试卷分试题和答题卡两部分，考生必须将答案全部填涂或书写在答题卡的相应位置上，写在试题上一律无效． 2．总分120分，考试时间120分钟． 3．答卷前请正确填涂答题卡前端的考生信息并仔细阅读注意事项． 4．考试结束，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将唯一正确答案的代号涂在答题卡上） 1. 下列交通标志中，轴对称图形的个数为（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可． 【详解】解：第1个是轴对称图形，符合题意； 第2个是轴对称图形，符合题意； 第3个不是轴对称图形，不合题意； 第4个是轴对称图形，符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合． 2. 下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（ ） A. 5，5，5 B. 3，4，5 C. 3，4，8 D. 2，4，5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解决本题的关键． 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴能构成三角形，不符合题意； C、∵， ∴不能构成三角形，符合题意； D、∵， ∴能构成三角形，不符合题意； 故选C． 3. 芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为原数中第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的0）．据此解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简分式的判断，核心是掌握最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．对每个选项的分子、分母进行因式分解(若能分解)，判断是否存在公因式，从而确定是否为最简分式． 【详解】解：选项A，分式的分母无法分解为整式的乘积形式，分子与分母没有公因式，因此该分式是最简分式； 选项B，分母，分子为，分子分母有公因式，可约分为，因此该分式不是最简分式； 选项C，，分子为，分子分母有公因式，可约分为，因此该分式不是最简分式； 选项D，分子和分母的系数的最大公因数为2，该分式可约分为，因此该分式不是最简分式； 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方，分别根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方的运算法则，逐一判断即可． 【详解】解：A、和不能合并，故本选项不合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：B． 6. 已知，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方逆用和同底数幂的乘法法则，关键是将转化为以为底的幂，再利用同底数幂乘法的逆运算求出的值，进而计算目标式子 【详解】解：∵，，， ∴， 即， ∴， 则； 故选：D． 7. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．先确定分式的最简公分母为，再把等式的左右两侧同时乘以即可． 【详解】解：等式两边同时乘以得，， 故选：C． 8. 化简的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则． 9. 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因，为传承优秀传统文化，某校为各班购进《西游记》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《西游记》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵元，用元购买《水浒传》连环画的套数是用元购买《西游记》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格，设每套《水浒传》连环画的价格为元，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是准确找出题目中的等量关系：用元购买《水浒传》连环画的套数等于用元购买《西游记》连环画套数的2倍．首先根据每套《西游记》比《水浒传》贵元，得出《西游记》的单价，再分别表示出两种连环画的购买套数，最后根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：∵每套《西游记》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵元， ∴每套《西游记》连环画的价格为元． 用元购买《水浒传》连环画的套数为，用元购买《西游记》连环画的套数为． 根据“用元购买《水浒传》连环画的套数是用元购买《西游记》连环画套数的2倍”，可列方程：． 故选：A． 10. 如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，连接．若，下面结论正确的个数是（ ） ①；②；③；④． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据，得出，即可判断①；结合①即可证明，故②正确；得，得，得，可得，得出，即可判断③；根据得，即可判断④； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴，故②正确； ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， 故④正确； 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，把答案填在答题卡上） 11. 当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为______． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， ∴， ∴满足题意的x的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 12. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 13. 如图，第一、第三象限的角平分线记为，则点关于对称的点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—对称，正比例函数的图象．由关于直线的对称点的横坐标与纵坐标互相交换，进行解答即可． 【详解】解：∵关于直线的对称点的横坐标与纵坐标互相交换， ∴点关于对称的点的坐标为， 故答案为：． 14. 2025全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会5月在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输和配送带来了巨大便利．某快递公司的仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣快递200件，且A型机器人分拣10000件快递所用时间与B型机器人分拣9000件所用时间相等．则A，B型机器人每小时各分拣快递多少件．设B型机器人每小时分拣快递件，则列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先表示出A型机器人每小时分拣快递件，再根据两型机器人分拣快递所用时间相等列出方程即可．本题主要考查了列分式方程，根据题意找等量关系是解题的关键. 【详解】解：设B型机器人每小时分拣快递件，则A型机器人每小时分拣快递件， 根据题意，得． 故答案为：． 15. 数学活动 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ． ， ． …… 请你写出一般的规律__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数字变化规律的探究以及完全平方公式，关键是通过观察已知等式，提取共性特征，再用字母表示数推导一般规律．观察给出的等式可知，左边均为个位数字是5的两位数的平方，右边的结果可拆分为“”的形式．设该两位数的十位数字为(为正整数)，将这个两位数表示为，通过整式的乘方运算展开验证，即可得到通用的规律表达式． 【详解】解：设个位为5的两位数的十位数字为(为正整数)，则该两位数可表示为， ∵， ∴一般规律为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算及解分式方程，熟知运算法则及解分式方程的步骤是正确解答此题的关键． （1）先计算负整数指数幂、0次幂及化简绝对值，再计算即可； （2）先去分母，化成整式方程，再解整式方程，最后要检验． 【详解】（1）解：原式； （2）解： 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， 因此不是原分式方程的解， ∴原方程无解． 17. （1）化简： （2）计算： 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算与分式的混合运算，涉及的知识点有完全平方公式、平方差公式、分式的通分与约分．关键是严格按照运算顺序计算，灵活运用公式和因式分解简化运算． （1）先利用完全平方公式和平方差公式展开括号内的整式，合并同类项后，再进行多项式除以单项式的运算； （2）先将括号内的整数1化为同分母分式，计算减法后，将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简分式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18. 如图，在的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形． 【答案】 解：如图所示： 【解析】 【分析】本题主要掌握轴对称图形的性质及其对称轴的画法，根据轴对称图形的概念作图即可；掌握把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴成为解题的关键． 【详解】略 19. （1）观察、归纳：请填上正确答案 __________； __________； __________； __________； …… （2）总结：根据以上等式你能发现什么规律，请写出来并证明； （3）运用：利用你发现的规律计算： 【答案】（1）；；；； （2）发现的规律为（为正整数）， 证明：∵左边 右边， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）通过多项式乘法法则，计算前几个具体的多项式乘积，得到对应结果，为规律探究提供基础。 （2）根据前几步的计算结果，归纳出一般规律，再通过多项式展开的方法对规律进行证明，验证其正确性。 （3）将所求的等比数列求和式进行变形，构造出符合所发现规律的形式，代入规律公式进行简便计算。 【详解】（1）解：； ； ； ； …… 故答案为：；；； （2）略 （3）解： 20. 如图，已知直线和外一点，请利用尺规作的平行线，使它经过点． （1）善思小组的作法如图： ①在直线上取点两点，②作射线，③作的角平分线，④以为圆心，长为半径画弧，交于点，⑤作直线．则直线即为所求． 任务一：善思小组的做法合理吗，请写出证明过程． （2）任务二：用不同于善思小组的方法过点作直线的平行线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） 解：合理． 证明：由作图可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即； （2） 直线即为所作： 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图----作角平分线、作一个角等于已知角和平行线的判定，正确作图是解答本题的关键． （1）由角平分线的定义得，由得，得到，从而可判断出； （2）如图，作即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 【答案】（1）； （2）； （3）， 如图 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键； 任务一：（1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由题意得一次项系数为：2，二次项系数是1，常数项，一次项系数，再利用十字相乘法分解因式即可； 任务二：（3）根据提示方法求解即可． 【详解】解：任务一：（1） ； （2） ； 任务二：（3） ，二次项系数是1，常数项，一次项系数， ∴， 故答案为：． 22. “欢庆元旦，暖心传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在元旦期间采购彩纸和竹条制作灯笼模型送给幼儿园的小朋友． 信息1 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下： 每包彩纸比每捆竹条贵4元，600元能买到的彩纸包数是200元能买到的竹条捆数的2倍． 任务1 （1）嘉嘉设__________．依题意，得方程． 淇淇设彩纸每包元．依题意，得方程__________．并写出解答过程． 信息2 制作时，嘉嘉发现自己一天制作小灯笼的数量和制作大灯笼的数量加起来正好是12个；如果每天只能选择制作一种灯笼，那么制作48个小灯笼的天数和制作16个大灯笼的天数一样． 任务2 （2）求嘉嘉每天可以制作小灯笼的个数． （1）方案中“”处的内容为__________，“”处的内容为__________．并写出解答过程． （2）完成任务2中的问题． 【答案】（1） 解：方案中“”处的内容是：买到的竹条捆数为x， “”处的内容是： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴彩纸每包12元，竹条每捆8元； （2）嘉嘉每天可以制作小灯笼9个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． （1）根据题意解答即可；利用淇淇的方法求出方程的解即可求解； （2）根据题意列出方程解答即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设嘉嘉每天可以制作小灯笼n个 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴嘉嘉每天可以制作小灯笼9个． 23. （1）思考：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明_______________________________________________． （2）【应用发现】 探究一：小明通过以上思考得到启发，展开了以下探究： 如图1．如果和中，． 则可证． 证明：在上取一点，使， ∵，∴__________①． 又∵， 而，∴②__________， ∵，∴③__________， 又∵，∴，∴． 探究二：小红认真思考也得出一种解决问题的方法 小红提出：如图2，若在的延长线上取一点．使，也可证得结论． 请补全小明证明中①②③所缺的内容． （3）【拓展探究】 为等腰三角形，，点在的延长线上，点在线段上，连接交于点． ①如图3，若点为的中点，求证：； ②若为等边三角形，点为的中点，点在的延长线上，点在的延长线上，且满足，请画出图形，判断和的数量关系并说明理由． 【答案】（1）有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等； （2）①；②；③； （3）①证明：如图，在上取一点G，使得，则， 点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在与中， ∴， ∴． ②，理由如下： 如图，取的中点P，连接， ∵为等边三角形，∴，，， ∵点P、E分别是和的中点， ∴，， ∴ ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在与中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）由图可得与中，，，，两个三角形不全等，即可得结论； （2）在上取一点，使，证明，即可判定，进而求解； （3）在上取一点，使得，可证，进而求解； 根据是等边三角形可得，，，取的中点P，连接，进而判定是等边三角形，进而判定，即可求解． 【详解】解：（1）由图可得与中，，，，两个三角形不全等， ∴有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． （2）证明：在上取一点，使， ∵， ∴①． 又∵， 而， ∴②， ∵， ∴③， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：①；②；③． （3） 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末教学质量调研 八年级数学试题 说明： 1．本试卷分试题和答题卡两部分，考生必须将答案全部填涂或书写在答题卡的相应位置上，写在试题上一律无效． 2．总分120分，考试时间120分钟． 3．答卷前请正确填涂答题卡前端的考生信息并仔细阅读注意事项． 4．考试结束，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将唯一正确答案的代号涂在答题卡上） 1. 下列交通标志中，轴对称图形的个数为（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（ ） A. 5，5，5 B. 3，4，5 C. 3，4，8 D. 2，4，5 3. 芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 化简的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 9. 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因，为传承优秀传统文化，某校为各班购进《西游记》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《西游记》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵元，用元购买《水浒传》连环画的套数是用元购买《西游记》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格，设每套《水浒传》连环画的价格为元，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，连接．若，下面结论正确的个数是（ ） ①；②；③；④． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，把答案填在答题卡上） 11. 当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为______． 12. 因式分解：_____． 13. 如图，第一、第三象限的角平分线记为，则点关于对称的点的坐标为__________． 14. 2025全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会5月在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输和配送带来了巨大便利．某快递公司的仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣快递200件，且A型机器人分拣10000件快递所用时间与B型机器人分拣9000件所用时间相等．则A，B型机器人每小时各分拣快递多少件．设B型机器人每小时分拣快递件，则列方程为__________． 15. 数学活动 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ． ， ． …… 请你写出一般的规律__________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. （1）化简： （2）计算： 18. 如图，在的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形． 19. （1）观察、归纳：请填上正确答案 __________； __________； __________； __________； …… （2）总结：根据以上等式你能发现什么规律，请写出来并证明； （3）运用：利用你发现的规律计算： 20. 如图，已知直线和外一点，请利用尺规作的平行线，使它经过点． （1）善思小组的作法如图： ①在直线上取点两点，②作射线，③作的角平分线，④以为圆心，长为半径画弧，交于点，⑤作直线．则直线即为所求． 任务一：善思小组的做法合理吗，请写出证明过程． （2）任务二：用不同于善思小组的方法过点作直线的平行线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 21. 阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 22. “欢庆元旦，暖心传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在元旦期间采购彩纸和竹条制作灯笼模型送给幼儿园的小朋友． 信息1 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下： 每包彩纸比每捆竹条贵4元，600元能买到的彩纸包数是200元能买到的竹条捆数的2倍． 任务1 （1）嘉嘉设__________．依题意，得方程． 淇淇设彩纸每包元．依题意，得方程__________．并写出解答过程． 信息2 制作时，嘉嘉发现自己一天制作小灯笼的数量和制作大灯笼的数量加起来正好是12个；如果每天只能选择制作一种灯笼，那么制作48个小灯笼的天数和制作16个大灯笼的天数一样． 任务2 （2）求嘉嘉每天可以制作小灯笼的个数． （1）方案中“”处的内容为__________，“”处的内容为__________．并写出解答过程． （2）完成任务2中的问题． 23. （1）思考：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明_______________________________________________． （2）【应用发现】 探究一：小明通过以上思考得到启发，展开了以下探究： 如图1．如果和中，． 则可证． 证明：在上取一点，使， ∵，∴__________①． 又∵， 而，∴②__________， ∵，∴③__________， 又∵，∴，∴． 探究二：小红认真思考也得出一种解决问题的方法 小红提出：如图2，若在的延长线上取一点．使，也可证得结论． 请补全小明证明中①②③所缺的内容． （3）【拓展探究】 为等腰三角形，，点在的延长线上，点在线段上，连接交于点． ①如图3，若点为的中点，求证：； ②若为等边三角形，点为的中点，点在的延长线上，点在的延长线上，且满足，请画出图形，判断和的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $