精品解析：湖南娄底市娄星区2025-2026学年上学期期末文化素质检测九年级数学试卷

2025年下学期期末文化素质检测试卷 九年级数学 （时量120分钟 满分：120分） 一、单选题．（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，函数（是常数，）叫做反比例函数．根据反比例函数的定义即可判断． 【详解】解：A. 是正比例函数，故A不符合题意； B. 是二次函数，故B不符合题意； C. ，y是x的反比例函数，故C符合题意； D. ，y不是x的反比例函数，故D不符合题意． 故选：C． 2. 用配方法解，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于明确将一元二次方程配成的形式． 移项得到，方程两边同时加上一次项系数一半的平方得到，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解： ∴ ∴ 故选：B． 3. 在和中，，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐一分析即可判断． 【详解】解：A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似可知：，故A不符合题意； B、根据两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似可知：，故B不符合题意； C、根据有一组直角边和一组斜边对应成比例的两个直角三角形相似可知：， 故C不符合题意； D、给的四条线段不是对应边，故此不能证明和相似，故D符合题意． 故选：D． 4. 4月23日是世界读书日．某校举办了“名著阅读月”活动，为了解学生的阅读情况，该校随机抽取了100名学生进行调查，发现该月阅读两本以上名著的学生有20名，估计该校700名学生中该月阅读两本以上名著的有（ ） A. 100名 B. 120名 C. 130名 D. 140名 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体，掌握用样本估计总体的方法是解题的关键；利用样本百分比乘以总人数计算即可． 【详解】解：(名)． 故选：D． 5. 如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．熟练掌握直角三角形中得边角关系是解题得关键，在中，由三角函数关系即可得解． 【详解】解：在中， ∵， ∴米， 故选：D． 6. 如图，在⊙中，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理．首先连接，根据垂径定理可知，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ． 故选：B． 7. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据即可求出的取值范围，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴ 解得：． 故选：C． 8. 如图所示，过反比例函数在第一象限内的图象上任意两点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，连接，，设与的面积为，，那么它们的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即． 【详解】解：依题意有：和的面积是个定值． ∴， 故选：B． 9. 如图①是一个花架，图②是其侧面示意图，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ， 即， 解得：， ∴． 故选：D． 10. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点为；直线AB的解析式为，下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是；⑤当时，则，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③⑤ C. ①④ D. ①④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线对称轴为，则，即可判①；先根据抛物线的开口方向、对称轴位置以及抛物线与y轴交点的位置，确定a、b、c的正负，进而判定abc的正负；运用函数确定方程的根的情况，即可判定③；先确定B点的横坐标，然后根据二次函数图像的对称性求得与x轴的另一个交点的横坐标即可判定④；先由函数图象解不等式的解集判定⑤即可． 【详解】解：①因为抛物线对称轴是直线，则，，故①正确； ②抛物线开口向下，故， 对称轴在y轴右侧，故， 抛物线与y轴交于正半轴，故， ， 故②错误，不符合题意； ③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，③正确，符合题意； ④因为抛物线对称轴是：，， 所以抛物线与x轴的另一个交点是， 故④错误，不符合题意； ⑤由图象得：当时，有，故⑤正确，符合题意． 故正确的有：①③⑤． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识， 灵活利用函数图象的性质成为解答本题的关键． 二、填空题．（共6小题，每题3分，满分18分） 11. 已知关于x的方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算． 【详解】解：对于方程，其中，，， 由根与系数的关系，得，， 所以， 故答案为：． 12. 如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，且可以发出“”的音符，则水面高度为______．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的实际应用，熟练掌握根据已知比例关系进行计算是解题的关键．根据题目中给出的黄金比关系（水面高度与瓶高的比约为），结合已知的长度，通过乘法计算得出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则 等于________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【详解】解：过点C作 由题意可得， 故答案为：． 14. 图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地2025年5月27日至31日每天的最高气温，设两组数据的方差分别为和，则__________．（填“”，“”，“”） 【答案】 【解析】 【分析】结合图形，根据数据波动较大的方差较大即可求解． 【详解】解：由图象可知，乙地的气温波动大，更不稳定，甲地的气温波动小，比较稳定， ∴． 15. 如图，抛物线的一部分经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点坐标，抛物线与一元二次方程．根据抛物线经过点，且其对称轴是直线，求出抛物线与轴的另一个交点坐标为，故一元二次方程的根是，，即可作答． 【详解】解：∵抛物线的一部分经过点，且其对称轴是直线， ∴， 即抛物线与轴的交点坐标为， ∴一元二次方程的根是，， 故答案为：，， 16. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为______m． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；过点O作，交于点C，交于点H，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点O作，交于点C，交于点H，如图所示： ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 三、解答题．（共72分，第17、18题各6分；第19、20题各8分；第21、22题各10分；第23、24题各12分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键．先代入特殊角的三角函数值，再利用乘方、绝对值、负整数指数幂的性质化简，再合并即可． 【详解】解： ． 18. 国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．杨家坪中学教育集团响应号召，计划组织全集团学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取各个校区的部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______； （2）被调查学生中最喜欢打篮球的人数是______； （3）若集团内总共有大约9000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 【答案】（1）24 （2）16 （3）估计该校最喜欢篮球运动的学生约有2880人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，解题的关键是正确理解题意，读懂统计图． （1）先由喜欢排球的人数除以占比求出样本容量，再由总数乘以喜欢足球人数的占比即可求解； （2）由总数减去喜欢其余运动项目的人数即可求解喜欢打篮球的人数； （3）由总数乘以喜爱篮球运动人数的占比即可求解． 【小问1详解】 解：样本容量为：，故． 故答案为：24． 【小问2详解】 解：篮球人数为：． 故答案为：16． 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校最喜欢篮球运动的学生约有2880人． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合，根据函数图象求不等式的解集，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据函数图象的交点坐标，求不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴， 故反比例函数的表达式为； 把点代入反比例函数得，， 解得， ∴点A的坐标为， ∵一次函数的图象经过、两点， ∴ 解得 故一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可得，关于x的不等式的解集为． 20. 某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．要测量学校一幢教学楼的高度如图所示，他们先在点测得教学楼的顶部的仰角为，然后向教学楼前进10米到达点，又测得点的仰角为．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度（结果保留一位小数，备注：，） 【答案】这幢教学楼的高度是13.7米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； 首先根据题意分析图形，涉及到两个直角三角形，利用其及，构造方程关系式，进而即可求出答案． 【详解】解：由已知可得：，， 在中，， 又在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴米， 答：这幢教学楼的高度是13.7米． 21. 国庆期间，全国各影院上映多部爱国影片，某影院每天运营成本为600元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），若该影院每天的利润为（单位：元），（利润票房收入运营成本）． （1）求与之间的函数关系式； （2）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当定价为40元时，每天获得利润最大，最大利润为2600元 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求二次函数的最大值， （1）根据销售利润等于票房收入减去成本列出关系式，即可解题； （2）将二次函数关系式配方得出顶点式，再根据二次函数图象的性质讨论最大值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，即当时，（元）， 所以当定价为40元时，每天获得利润最大，最大利润为2600元． 22. 如图，在中，，以为直径的交于点，交线段的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，设参法解直角三角形是解答的关键． （1）先根据圆周角定理得到，再由等腰直角三角形的性质可得结论； （2）根据圆周角定理得到，由正切定义得到，设，则，根据勾股定理求解x即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是直径， 在中，， 设，则， ∵ ，， ， ， ． 23. 如图8，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，点A的坐标为． （1）求抛物线的解析式及B点坐标； （2）求的面积； （3）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为， （2）10 （3）线段的最大值是4，此时点P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）由A、B、C的坐标得，再根据三角形面积公式求解即可； （3）利用待定系数法即可求得直线的解析式为，设，则，即可得出，根据二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：把，，代入得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为， 令，则或4， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， 直线的解析式为， 设， ∵轴， ， ， 当时，，此时， 线段的最大值是4，此时点P的坐标为． 24. 综合与实践 问题情境：如图1，在数学活动课上，老师让同学们画了等腰和等腰，并连接． 操作发现：（1）当等腰绕点A旋转，如图2，勤奋小组发现了： ①线段与线段之间的数量关系是______． ②直线与直线之间的位置关系是______． 类比思考：（2）智慧小组在此基础上进行了深入思考，如图3，若与都为直角三角形，，且，，请你写出与的数量关系和位置关系，并加以证明． 拓展应用：（3）创新小组在（2）的基础上，又作了进一步拓展研究，如图4，当点E在直线上方时，若，且，，其他条件不变，试求出线段的长． 【答案】（1）①；② （2），，证明见解析 （3）4 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． （1）①延长交于点，交于点，根据等腰直角三角形的性质得出相等的边和直角，证明，即可得出结论； ②结合①的，利用直角三角形的性质以及角的和差即可得出结论； （2）延长交于点O，交于点H，证明，得出相似比以及相等的角，即可得出结论； （3）根据角的和差以及平行线的性质得出，然后利用勾股定理以及等面积法进行求解即可． 【详解】（1）①如图，延长交于点，交于点， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由①得， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴； （2）结论：，． 理由：如图3中，延长交于点O，交于点H． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）如图4， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得， 由等面积得，即， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期末文化素质检测试卷 九年级数学 （时量120分钟 满分：120分） 一、单选题．（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在和中，，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 4月23日是世界读书日．某校举办了“名著阅读月”活动，为了解学生的阅读情况，该校随机抽取了100名学生进行调查，发现该月阅读两本以上名著的学生有20名，估计该校700名学生中该月阅读两本以上名著的有（ ） A. 100名 B. 120名 C. 130名 D. 140名 5. 如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，在⊙中，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 如图所示，过反比例函数在第一象限内的图象上任意两点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，连接，，设与的面积为，，那么它们的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 9. 如图①是一个花架，图②是其侧面示意图，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点为；直线AB的解析式为，下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是；⑤当时，则，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③⑤ C. ①④ D. ①④⑤ 二、填空题．（共6小题，每题3分，满分18分） 11. 已知关于x的方程，则______． 12. 如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，且可以发出“”的音符，则水面高度为______．（精确到） 13. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则 等于________ ． 14. 图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地2025年5月27日至31日每天的最高气温，设两组数据的方差分别为和，则__________．（填“”，“”，“”） 15. 如图，抛物线的一部分经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是___________． 16. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为______m． 三、解答题．（共72分，第17、18题各6分；第19、20题各8分；第21、22题各10分；第23、24题各12分） 17. 计算： 18. 国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．杨家坪中学教育集团响应号召，计划组织全集团学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取各个校区的部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______； （2）被调查学生中最喜欢打篮球的人数是______； （3）若集团内总共有大约9000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集． 20. 某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．要测量学校一幢教学楼的高度如图所示，他们先在点测得教学楼的顶部的仰角为，然后向教学楼前进10米到达点，又测得点的仰角为．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度（结果保留一位小数，备注：，） 21. 国庆期间，全国各影院上映多部爱国影片，某影院每天运营成本为600元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），若该影院每天的利润为（单位：元），（利润票房收入运营成本）． （1）求与之间的函数关系式； （2）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 22. 如图，在中，，以为直径的交于点，交线段的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 如图8，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，点A的坐标为． （1）求抛物线的解析式及B点坐标； （2）求的面积； （3）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 24. 综合与实践 问题情境：如图1，在数学活动课上，老师让同学们画了等腰和等腰，并连接． 操作发现：（1）当等腰绕点A旋转，如图2，勤奋小组发现了： ①线段与线段之间的数量关系是______． ②直线与直线之间的位置关系是______． 类比思考：（2）智慧小组在此基础上进行了深入思考，如图3，若与都为直角三角形，，且，，请你写出与的数量关系和位置关系，并加以证明． 拓展应用：（3）创新小组在（2）的基础上，又作了进一步拓展研究，如图4，当点E在直线上方时，若，且，，其他条件不变，试求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $