精品解析：湖北武汉市江汉区2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试卷

九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷总分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 有两个事件，事件（1）在十字交叉路口，遇到红灯亮起；（2）掷一枚硬币，国徽面朝上．下列判断正确的是（ ） A. （1）是随机事件，（2）是确定性事件 B. （1）（2）都是确定性事件 C. （1）是确定性事件，（2）是随机事件 D. （1）（2）都是随机事件 2. 公元2026年是我国农历丙午年，属马年，春节期间，大小媒体会呈现大量以马为主题的文案，金马贺岁、马到成功！下列文字图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面中，已知的半径为，点在内，则的长（ ） A. 等于或大于 B. 大于 C. 小于 D. 等于 6. 某商品的价格为元，经过连续两次降价后的价格是元，则为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，绕点逆时针旋转得到．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 盒子中有四个除颜色外一模一样的小球，其中两个红球，两个黄球．从中随机一次摸出2个球，刚好是“一个红球、一个黄球”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等腰直角内接于半圆是上一点，沿弦翻折后与弦相交于点．若是的中点，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 小强同学用描点法画二次函数（为常数）的图象．先取了自变量的8个值，满足，且相邻两数的差相等，然后计算出对应的函数值并列表如下．其中有一个函数值算错了．错误的是（ ） 11.9 36.7 77.5 134.3 205.1 295.9 400.7 521.5 A. 295.9 B. 205.1 C. 134.3 D. 77.5 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定的位置． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 “射中环以上”的次数 “射中环以上”的频率(结果保留小数点后两位) 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是_______(结果保留小数点后一位)． 13. 报纸上刊登广告每平方厘米版面收取相同的广告费．李华要刊登广告，一块的长方形版面要付180元的广告费，如果他要把版面的长宽都扩大为原来的3倍，则要付___________元广告费． 14. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是___． 15. 如图，等边的顶点分别在等边的三边上，若和的边长分别是6和4，则的周长是___________，的内切圆的半径是___________． 16. 抛物线（为常数，）经过三点，其中．下列结论：①；②若抛物线与轴的交点在正半轴，则；③若关于的不等式的解集是，则；④若抛物线的顶点坐标为，则或；⑤抛物线上有两点，满足当时，恒有成立，则．其中正确的是___________（填写序号）． 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 17. 关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 18. 如图，是正方形中边上一点，以点为中心，把顺时针旋转，得到，连接与相交于点． （1）小强同学猜想是的中点，他过点作交于点，然后发现了证明这个结论的方法．请帮小强同学完成证明过程； （2）若正方形的边长为，直接写出的长． 19. 如图，线段的长为1，点在线段上，满足关系式． （1）求线段的长度； （2）点在线段上，且．直接写出线段与的数量关系． 20. 如图，四边形内接于，对角线，相交于点，． （1）求证：； （2）已知，． ①直接写出的半径的长； ②若，直接写出劣弧的中点到弦的距离． 21. 如图是由小正方形组成的的网格，正方形的顶点称为格点，图中均为格点．点在网格线上，是的外接圆．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条． （1）在图（1）中，画的中线； （2）在图（1）中，画线段关于点对称的线段； （3）在图（2）中，在边上画点，使； （4）在图（2）中，过点画的切线． 22. 某商品的进价为每件40元，市场调查反映：商品现在的售价为每件60元，每星期可以卖出300件，如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件．商场决定在不亏本的前提下降价销售． （1）若每件商品降价元销售，直接写出该商品每星期的销售利润（单位：元）与之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围； （2）若每星期的销售利润为5720元，求该商品的实际售价； （3）如何定价才能使销售利润最大？ 23. 问题背景 如图，在四边形中，，M是边上一点，N是四边形边上一点，． （1）探究：如图（1），若N是边上一点，求证：； （2）变式：如图（2），若N是边的中点，，求的值； 问题迁移 如图（3），在四边形中，．点M在边上，．若，，直接写出的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与坐标轴分别交于，，三点．直线与抛物线交于，两点． （1）直接写出的值和，两点的坐标； （2）如图（1），直线与直线相交于点，与抛物线相交于点，若，以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求的值； （3）如图（2），点在抛物线上，，直线，分别交轴于点，，当变化时，是否为定值，若是，求其值，若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷总分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 有两个事件，事件（1）在十字交叉路口，遇到红灯亮起；（2）掷一枚硬币，国徽面朝上．下列判断正确的是（ ） A. （1）是随机事件，（2）是确定性事件 B. （1）（2）都是确定性事件 C. （1）是确定性事件，（2）是随机事件 D. （1）（2）都是随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．熟练掌握其概念并能正确判断是解决此题的关键． 确定性事件指在一定条件下，一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：事件（1）在十字交叉路口，遇到红灯亮起是随机事件； （2）掷一枚硬币，国徽面朝上是随机事件； 故选：D 2. 公元2026年是我国农历丙午年，属马年，春节期间，大小媒体会呈现大量以马为主题的文案，金马贺岁、马到成功！下列文字图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程的根的判别式，判断根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 4. 函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，利用顶点式（）的顶点坐标为即可求解. 【详解】解：∵ ∴该函数的顶点坐标是， 故选A. 5. 在平面中，已知的半径为，点在内，则的长（ ） A. 等于或大于 B. 大于 C. 小于 D. 等于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内时，点到圆心的距离与半径的大小关系即可求解． 【详解】解：∵点在内，的半径为 ∴的长小于， 故选：C 6. 某商品的价格为元，经过连续两次降价后的价格是元，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平均每次降价的百分率为，那么第一次降价后的单价是原来的（1−），那么第二次降价后的单价是原来的（1−）2，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得： 100×（1−）2＝81， 解得x1＝10，x2＝190（不符合题意，舍去）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍，难度一般． 7. 如图，在中，，绕点逆时针旋转得到．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得，，则，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，进而求出，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：如图， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 盒子中有四个除颜色外一模一样的小球，其中两个红球，两个黄球．从中随机一次摸出2个球，刚好是“一个红球、一个黄球”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题通过列举法求概率，通过列举法列出所有摸球的等可能结果，再找出“一个红球、一个黄球”的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：设两个红球分别为红1、红2，两个黄球分别为黄1、黄2． ∵从四个球中随机摸出2个球的所有等可能结果为：(红1，红2)、(红1，黄1)、(红1，黄2)、(红2，黄1)、(红2，黄2)、(黄1，黄2)，共6种． 其中“一个红球、一个黄球”的结果有：(红1，黄1)、(红1，黄2)、(红2，黄1)、(红2，黄2)，共4种． ∴刚好是“一个红球、一个黄球”的概率为． 故选：D． 9. 如图，等腰直角内接于半圆是上一点，沿弦翻折后与弦相交于点．若是的中点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆中的折叠问题，含30度角的直角三角形的性质，连接，作，根据等弧对等弦，圆周角定理，推出，进而得到为的三等分点，进而得到，推出，即，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，点为的三等分点， ∵等腰直角内接于半圆， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴； 故选：A． 10. 小强同学用描点法画二次函数（为常数）的图象．先取了自变量的8个值，满足，且相邻两数的差相等，然后计算出对应的函数值并列表如下．其中有一个函数值算错了．错误的是（ ） 11.9 36.7 77.5 134.3 205.1 295.9 400.7 521.5 A. 295.9 B. 205.1 C. 134.3 D. 77.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，理解自变量取值为等差数列时，函数值的二阶差为常数是解题关键．设，对应的函数值为，令，分别计算出，为常数，再列表格找出不符合该性质的函数值即可． 【详解】解：设，对应的函数值为，令， ， ， 由给出的数据可得下表： 由表格可知，异常值由和导致，且均与有关，则的数值计算错误， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定的位置． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的性质，直接利用关于原点对称的点的性质：横纵坐标都互为相反数得出答案，熟练掌握关于原点对称的点的性质是解此题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 “射中环以上”的次数 “射中环以上”的频率(结果保留小数点后两位) 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是_______(结果保留小数点后一位)． 【答案】0.8 【解析】 【分析】根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论． 【详解】∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近， ∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8． 故答案为：0.8． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 13. 报纸上刊登广告每平方厘米版面收取相同的广告费．李华要刊登广告，一块的长方形版面要付180元的广告费，如果他要把版面的长宽都扩大为原来的3倍，则要付___________元广告费． 【答案】1620 【解析】 【分析】计算扩大后版面面积，再根据每平方厘米广告费相同，计算总广告费， 本题考查了相似图形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得两个长方形的四个角都是直角，且对应边成比例， 故两个长方形是相似四边形，且相似比为， 故面积比为， 因此广告费也扩大为原来的9倍，即（元）， 故答案为：1620． 14. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是___． 【答案】180° 【解析】 【详解】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度． 由题意得S底面面积=πr2， l底面周长=2πr， S扇形=2S底面面积=2πr2， l扇形弧长=l底面周长=2πr． 由S扇形=l扇形弧长×R得2πr2=×2πr×R， 故R=2r． 由l扇形弧长=得： 2πr= 解得n=180°． 故答案为：180° 【点睛】本题考查扇形面积和弧长公式以及圆锥侧面积的计算，掌握相关公式正确计算是解题关键． 15. 如图，等边的顶点分别在等边的三边上，若和的边长分别是6和4，则的周长是___________，的内切圆的半径是___________． 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】证明，得到，进而得到的周长为，设的内切圆为，切点分别为，连接，根据切线长定理，结合线段的和差关系求出的长，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵为等边三角形，边长为6， ∴，， ∵为等边三角形，边长为4， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长； 设的内切圆为，切点分别为，连接，则，，， ∴ ； ∴， ∴， 在中，， ∴ ， ∴，即的内切圆的半径是； 故答案为：10，． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的内切圆，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 16. 抛物线（为常数，）经过三点，其中．下列结论：①；②若抛物线与轴的交点在正半轴，则；③若关于的不等式的解集是，则；④若抛物线的顶点坐标为，则或；⑤抛物线上有两点，满足当时，恒有成立，则．其中正确的是___________（填写序号）． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．把代入解析式求出的值，判断①，把代入，推出，求出的范围，判断②，根据函数与不等式的关系，推出，判断③，求出顶点坐标，分两种情况判断④，求出，推出的范围，判断⑤． 【详解】解：把代入，得： ， ，得，解得；故①正确； 由①可知：且，则，， ∵抛物线与轴的交点在正半轴，则：， ∴，解得， 把代入，得，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵，即的解集为， ∴抛物线的开口向下， ∴；故③错误； ∵抛物线 ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵当时， ∴， ∴； 当时，， ∴， 当时，，抛物线与轴只有一个交点，不符合题意； 故；综上：若抛物线的顶点坐标为，则或；故④正确； ∵， ∵抛物线上有两点，满足当时，恒有成立， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴；故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 17. 关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】m的值为，方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，设方程的另一个根为，由根与系数的关系得到，进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 由题意，得：， 解得，； 故m的值为，方程的另一个根为． 18. 如图，是正方形中边上一点，以点为中心，把顺时针旋转，得到，连接与相交于点． （1）小强同学猜想是的中点，他过点作交于点，然后发现了证明这个结论的方法．请帮小强同学完成证明过程； （2）若正方形的边长为，直接写出的长． 【答案】（1） 解：∵正方形， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的中点； （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据旋转的性质，得到，正方形的性质，推出为等腰直角三角形，得到，证明，得到，即可得证； （2）根据勾股定理求出的长，进而求出的长，斜边上的中线求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵正方形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 由（1）知：是的中点， ∴． 19. 如图，线段的长为1，点在线段上，满足关系式． （1）求线段的长度； （2）点在线段上，且．直接写出线段与的数量关系． 【答案】（1） （2）线段与的数量关系 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程，解题的关键是根据题中线段之间的关系列方程． （1）设线段的长度为，则，根据列方程进行解答即可得； （2）设线段的长度为，则线段，根据列方程求解，即可得到线段与的数量关系． 【小问1详解】 解：设线段的长度为，则， ∵， ∴， ， ， 解得， （舍）， ∴； 【小问2详解】 解：设线段的长度为，则线段， ∵， ∴， ， 解得，（舍）， ∴； ∴， ∴线段与的数量关系． 20. 如图，四边形内接于，对角线，相交于点，． （1）求证：； （2）已知，． ①直接写出的半径的长； ②若，直接写出劣弧的中点到弦的距离． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）①5；② 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系，垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质和圆周角定理即可证明； （2）①延长交于点，连接，根据平角的定义得，结合（1）中的结论可得，则，由是的直径，可得，利用勾股定理求出的长，即可求解；②取劣弧的中点，连接交于点，根据勾股定理求出，根据垂径定理可得，进而利用勾股定理求出的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，延长交于点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 即的半径的长为5； ②如图，取劣弧的中点，连接交于点， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，即， ∵点是的中点， ∴， ∴，， 由①得，， ∴， ∴， 即劣弧的中点到弦的距离为． 21. 如图是由小正方形组成的的网格，正方形的顶点称为格点，图中均为格点．点在网格线上，是的外接圆．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条． （1）在图（1）中，画的中线； （2）在图（1）中，画线段关于点对称的线段； （3）在图（2）中，在边上画点，使； （4）在图（2）中，过点画的切线． 【答案】（1）如图（1），即为所求； （2）如图（1），即为所求； （3）如图（2），点即为所求； （4） 如图（2）即为所求； AI 【解析】 【分析】本题考查无刻度直尺作图，中心对称，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）取的中点，连接即可； （2）连接并延长交点右侧第一条格线于点，同法确定点即可； （3）先构造等腰三角形，延长交于点，连接交于点即可； （4）在（3）的基础上，构造平行四边形，则即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图（2），点即为所求； 由作图可知：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故点即为所求； 【小问4详解】 连接，，， 由（3）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图可知：四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线． 22. 某商品的进价为每件40元，市场调查反映：商品现在的售价为每件60元，每星期可以卖出300件，如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件．商场决定在不亏本的前提下降价销售． （1）若每件商品降价元销售，直接写出该商品每星期的销售利润（单位：元）与之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围； （2）若每星期的销售利润为5720元，求该商品的实际售价； （3）如何定价才能使销售利润最大？ 【答案】（1） （2）53元 （3）定价为每件57.5元时销售利润最大 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量列出函数关系式即可； （2）令，进行求解即可； （3）根据二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，， 由题意，，即； 【小问2详解】 解：当时， 解得或（舍去）， （元）， 答：该商品的实际售价为元； 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当，即实际售价为元时，利润最大． 答：定价为每件57.5元时销售利润最大． 23. 问题背景 如图，在四边形中，，M是边上一点，N是四边形边上一点，． （1）探究：如图（1），若N是边上一点，求证：； （2）变式：如图（2），若N是边的中点，，求的值； 问题迁移 如图（3），在四边形中，．点M在边上，．若，，直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用相似三角形的判定得出，从而通过相似三角形的性质得出结论； （2）过点D作，延长交于点G，先证明出，得到，由相似三角形的性质及对顶角相等得出，由等角对等边得到，继续证明，得到M为中点，，利用相似三角形对应边成比例得到其比值，最终通过线段间的和差关系即可求得结果； （3）过点D作，过点C作，过点D作，由已知条件通过解含的直角三角形求得相关线段的长度，再证出四边形是矩形，求得相关线段的长度，利用相似三角形的判定证得，设，则，通过相似三角形对应边成比例得出含a的方程，求解a的值即的值，最后利用勾股定理即求得最终结果． 【详解】（1） 略 （2）解：如图，过点D作，延长交于点G， 则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵N为中点， ∴M为中点， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点D作，过点C作，过点D作， 在中，，， ∴，，， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理及矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与坐标轴分别交于，，三点．直线与抛物线交于，两点． （1）直接写出的值和，两点的坐标； （2）如图（1），直线与直线相交于点，与抛物线相交于点，若，以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求的值； （3）如图（2），点在抛物线上，，直线，分别交轴于点，，当变化时，是否为定值，若是，求其值，若不是，请说明理由． 【答案】（1），， （2）或或 （3）为定值 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式求出的值，然后令，解方程求出点和点的坐标； （2）先求出点的坐标和点的坐标，从而得到．根据平行四边形的性质，，即，分别解方程并舍去不符合题意的情况，得到答案； （3）设点的坐标为，点的坐标为，由对称性可以表示出点的坐标，联立直线和抛物线的方程，得到关于的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，表示出，．利用待定系数法求出直线和的解析式，进而得到点、的坐标．结合，将点、的坐标化简为只包含字母的形式，最后判断是否为定值即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得或， ∴点的坐标为，点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴直线的解析式为， 由题意可知，点的坐标为，点的坐标为， ∴ 将代入，得， ∴点的坐标为，， ∵以，，，为顶点的四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴，即， ①当时， 化简，得， 解得或， 当时，与重合，与题意不符，故舍去， ∴； ②当时， 化简，得， 解得或； 综上所述，的值为或或； 【小问3详解】 解：设点的坐标为，点的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 当直线与抛物线相交时， ， 化简，得， 由一元二次方程根与系数的关系可得，，， ∵， ∴点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，，代入，得， ， 解得， ∵，， ∴， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴为定值． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，一元二次方程根与系数的关系，代数式的变形求值，熟练掌握函数与方程的关系并具有扎实的代数计算功底是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $