9.2二次根式的乘法与除法第1课时二次根式的乘法课件2025-2026学年青岛版数学八年级下册

第9章 二次根式 整式 实数 ………… 青岛版 八年级下册 二次根式 数与式 内容提要 ◆ 二次根式的概念 ◆ 二次根式的性质 ◆ 二次根式的运算 1.二次根式的定义： 温故而知新 一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式。 2.二次根式有意义的条件： 有意义 a≥0. 无意义 a＜0 （2）算术平方根的平方： （3）平方的算术平方根： （1）二次根式的双重非负性：： 3.二次根式的性质： a (a≥0) - a (a＜0) 温故而知新 4.化简下列各式. 温故而知新 创设情境 导入新课 这是两个二次根式相乘，如何计算呢? 在二次根式的性质： 中 其实（）2 = · ，这是二次根式平方运算, 若改变其中一个其中一个被开方数换成b， 即： · 青岛版数学 八年级下册 第9章 二次根式 9.2 二次根式的乘法与除法 第1课时 二次根式的乘法 如图,小莹在每个小正方形边长为1的方格纸中画出了一个矩形ABCD,怎样求矩形ABCD 的面积呢? 观察与发现 探究一 二次根式的乘法法则 所以矩形ABCD的面积为×. 方法一： 可由勾股定理得 AB==AD==. 结果是多少呢？ 方法二： 可用20个小方格的面积减去4个直角三角形的面积， 得到矩形ABCD的面积为10. 探究一 二次根式的乘法法则 观察与发现 探究一 二次根式的乘法法则 通过同一个矩形ABCD两种面积的计算结果，你有什么发现？ 10 = 思考与交流 探究一 二次根式的乘法法则 (1)计算 = 。 由此你发现了什么? = =10 =10 ∴= 这个等式换成其他数还成立吗？ (1) ___×___=____; =_________; (2) ___×___=____; (3) ___×___=____; =_________; =_________. 2 3 6 4 5 20 7 6 42 观察两者有什么关系？ 思考与交流 (2)计算下面每组算式的值,比较计算结果。你有什么猜想? 探究一 二次根式的乘法法则 11 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： (1) (2) (3) 思考：你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？ 猜测： 你能证明这个猜测吗？ 探究一 二次根式的乘法法则 12 求证： 证明：根据积的乘方法则，有 ∴ 就是ab的算术平方根. 又∵ 表示ab的算术平方根， ∴ . ∴·和 都是ab的算术平方根。 探究一 二次根式的乘法法则 两个二次根式相乘，________不变，________ 相乘. 根指数 被开方数 一般地， 注意：a,b都必须是非负数. 概括与表达 二次根式的乘法法则： 探究一 二次根式的乘法法则 即：两个二次根式相乘，等于把先被开方式相乘， 再求积的算术平方根。 例1、计算: 解: （2）× ； （3）2×3 . （2）× = = = （3）3×4 =3×4× =12 （1）×； （1）× = 练习1、计算: 解: （1）× ； （2）2×3 . （2）2×3 =2×3× =6 （1）× = = （3） . 想一想： 可先用乘法结合律， 再运用二次根式的乘法法则. 解： 二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即： 思考与交流 探究一 二次根式的乘法法则 探究二 二次根式乘法法则的逆用 思考与交流 将等式=(a≥0,b≥0)两边互换,等式还成立吗？ 当a≥0,b≥0两边互换得=仍然成立 = × = = √ 例如: = =× =2 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. 我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简. 二次根式的乘法法则逆用： 归纳与总结 探究二 二次根式乘法法则的逆用 拓展： = (a0，b0，c0). 例3、化简: （1） ； （2）； （4）. 解：（1） 8×7=56 （3） ； （2） = 3 将被开方数分解为 完全平方数与非 完全平方数的积 将被开方数分解为 完全平方数与非 完全平方数的积 （3） = 25 =10 （4）. 5 = 先去掉负号， 再化简 =10 练习2.化简： (1)；(2)； (3)；. 解：(1)＝＝×＝3； ＝ ＝＝ ×＝2； (2) ＝×＝7； 利用平方差公式 分解因式 (3) ＝ ＝ 方法总结 化简二次根式的一些策略： (1)当被开方数是几个因数(或因式)的积的形式时，把数(或 因式)中能写成平方形式的写成平方形式，再开平方； (2)若积中的因数(或因式)不是非负数，应先将其化为 非负数，再运用公式化简。 (3)当被开方数是多项式时，要先把被开方数因式分解， 再化简. 探究三 最简二次根式 观察与发现 观察上面各式经过计算或化简后的结果有什么特征？ 12； 2； 3； ①被开方式中不含分母； ②被开方式中不含一个数或式的平方因式。 若一个算式的运算结果中含有二次根式, 通常将其化为最简二次根式。 一般地，二次根式的被开方式中不含分母,且不含一个数或式的平方因式,这样的二次根式就叫作最简二次根式。 最简二次根式的定义： 探究三 最简二次根式 例4、下列二次根式中哪些是最简二次根式?哪些 不是?若不是，请说明理由 （1）； （2）； （3）； （5）3； （4）； （6）(a＞0）； （7）。 解：(4)(5)是最简二次根式； (1)(2)(3)(6)(7)不是最简二次根式。 （2） ； × （3）原式 = × = （4）原式 = = 3 课堂训练 （1） × （2）2 × 例5、化简 （3） × = 解：（1） × = × = （2）2 × = 2× = = = × × = 3 （3） × = × = ×× = 7×3×2 =42 二次根式 二次根式的乘法 乘法法则：二次根式相乘,被开方数相乘，根指数不变 · = (a0，b0). 二次根式乘法法则的逆用 =· (a0，b0). 课堂小结 1.下列计算正确的有( ) ① ； ② ； ③ ； ④ ． A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 当堂检测 36 2.计算： (1)×； (2)·； (3)6×(－2)； (4)××. 解：(1)×＝＝＝14. (2)·＝＝. (3)6×(－2)＝6×(－2)× ＝－12＝－12×9＝－108. (4)××＝＝. 根号外的因数，不要遗漏负号 被开方数有带分数时，要先把带分数化 成假分数，再运用法则计算 $