8.1 基本立体图形 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.1基本立体图形 教学案例设计 课程基本信息 学科 高中数学 年级 高一 学期 春季 课题 8.1基本立体图形 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第二册教材 出版社：人民教育出版社 教学目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知柱、锥、台、球的结构特征，提升数学抽象能力. 2.能运用柱、锥、台、球的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构和有关计算. 3.了解简单组合体的概念及结构特征. 教学内容 教学重点：归纳柱、锥、台、球的结构特征. 教学难点： 1. 概括柱、锥、台、球的结构特征及联系； 2. 有关多面体和旋转体的计算. 教学过程 【环节一】情景导入 在现实生活中，有许多的建筑物或物品具有一定的几何特征，如金字塔、粉笔盒、水桶、笔筒、篮球、漏斗、铅垂等。 问题1：你还能举出一些吗？ 追问1：你能按结构特征将它们分类吗？ 问题2：观察下列图形,说出他们的形状 追问2：观察上述几何体，组成这些空间几何体的每个面有什么特点？你能将它分成两类吗？ 师生活动： 1.教师引导学生观察图片，抽象出空间图形，并进行分类，同时对多面体和旋转体进行讲解,即一般地,把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多边形的面，相邻两面的公共边叫做棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴. 2.学生认真观察图片，一方面对所给几何体进行分类，另一方面借助多面体和旋转体的概念进行分类. 设计意图：从实际问题出发，使学生对几何体从感性上有所认识。 【环节二】棱柱、棱锥、棱台的结构特征 问题1：回顾初中所学的简单几何体，然后阅读教材P97-100并完成下表. 表1　棱柱的结构特征 名称 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 表2　棱锥的结构特征 名称 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… 表3　棱台的结构特征 名称 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台 如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′ 上底面：平行于棱锥底面的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 追问1：棱柱的侧面一定是平行四边形吗？ 追问2：棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？ 追问3：棱柱、棱锥、棱台之间有何关系？ 师生活动： 1.学生通过回顾以前所学，然后借助教材内容完成表格的填写，同时对教师提出的追问进行思考回答. 2.教师检查或提问学生所填表格是否正确，并对重点概念及结构特征进行讲解，如提到的追问：棱柱的侧面一定是平行四边形；棱台的各侧棱延长线一定相交于一点. 3.预计困难：学生对棱台的结构特征理解可能较为困难，尤其是各侧棱延长线交于一点. 设计意图：通过联系旧知识与自主学习让学生认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，然后借助追问加强学生对棱柱、棱锥、棱台的理解。 问题2：判断下列说法是否正确. 1.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.: 2.棱柱的两个底面是全等的多边形. 3.棱柱最多有两个面不是四边形. 4.棱锥的所有面都可以是三角形. 师生活动： 1. 教师提出问题让学生思考，同时对较为复杂的问题进行讲解. 2. 学生对所提的问题进行思考回答，同时对持有疑问的问题进行提问。 3. 预计困难：在对一些说法进行判断时需进行空间想象或画图，这对于部分学生来讲会有些困难 设计意图：加强学生对棱柱、棱锥、棱台结构特征的理解。 【环节三】棱柱、棱锥、棱台的判断与应用 问题1：下列关于棱柱的说法： ①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确的说法的序号是________. 问题2：如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点. ①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ ②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 问题3：有下列三种叙述： ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 问题4：下列说法中，正确的是(　　) ①棱锥的各个侧面都是三角形；②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；③棱锥的侧棱平行. A.① B.①② C.② D.③ 问题5：如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？ 师生活动： 1.此环节主要由学生自主完成，教师对问题较大的内容进行点评. 2.问题的处理应是解决1道进行下一道 3.预计困难：由于上述问题都与棱柱、棱锥、棱台的结构特征有关，因此需要学生对相关概念的理解，同时要结合图形进行解决，这对于学生而言会有些困难. 设计意图：一方面巩固学生对棱柱、棱锥、棱台结构特征的理解，另一方面检测学生对棱柱、棱锥、棱台结构特征的掌握程度，同时借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题是直观想象的核心素养. 【环节四】课时小结 问题1：回忆本节课的学习内容，回答下面的问题： 1.这节课你学会了哪些知识，能解决什么问题？你是怎么得到这些知识的？ 2.这节课的学习过程中我们运用了哪些思想方法？ 师生活动： 1．教师用PPT展示上述问题． 2．针对学生回答的情况，教师寻找学生适当补充，组织学生完善问题答案． 设计意图：引导学生回顾和小结学习内容，提升对棱柱、棱锥、棱台的认识．通过梳理，学生对立体几何的认识过程有一个清晰的思路与方法，为下一步认识圆柱、圆柱、圆台及球的结构特征奠定基础. 【课后作业】 教材101页1、2、3题 【目标检测设计】 1.下面多面体中，是棱柱的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下面图形中，为棱锥的是(　　) A.①③ B.①③④ C.①②④ D.①② 3.有一个多面体，由四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为(　　) A.四棱柱 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥 4.如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是(　　) A.①③ B.②④ C.③④ D.①② 5.下列说法中正确的是(　　) A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高 D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 6.如果一个四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，其中四条侧棱称为它的腰，以下说法中，错误的是(　　) A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥都是正四棱锥 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 第2课时 8.1.2圆柱、圆锥、圆台、球的结构及简单组合体 （一）课时教学内容 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及简单组合体的结构特征 （二）课时教学目标 1.能说出圆柱、圆锥、圆台、球的定义及其结构特征，并能结合它们的结构特征解决相关问题. 2.能说出简单组合体的概念及结构特征，会判断一个组合体是由哪几个基本立体图形构成的，并能结合这些基本立体图形解决相关问题. （三）教学重点与难点 1．教学重点 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征. 2．教学难点 借助圆柱、圆柱、圆台、球的结构特征进行相关的计算. （四）教学过程设计 【环节一】知识回顾 问题1：什么是旋转体？ 问题2：棱柱、棱锥、棱台之间有什么联系？ 师生活动：由学生自主回答，教师进行点评. 设计意图：回顾旋转体的概念以帮助理解圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；类比棱柱、棱锥、棱台的联系帮助学生去认识理解圆柱、圆锥、圆台的结构特征与联系. 【环节二】圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征 问题1：回顾初中所学的简单几何体，然后阅读教材P101-103并完成下表. 表1　圆柱的结构特征 圆柱 图形及表示 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱表示为 圆柱O′O 相关概念： 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 表2　圆锥的结构特征 圆锥 图形及表示 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 图中圆锥表示 为圆锥SO 相关概念： 圆锥的轴：旋转轴 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边 表3　圆台的结构特征 圆台 图形及表示 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 旋转法定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转体叫做圆台 图中圆台表示为：圆台O′O 相关概念： 圆台的轴：旋转轴 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 表4　球的结构特征 球 图形及表示 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球表示为球O 相关概念： 球心：半圆的圆心 半径：半圆的半径 直径：半圆的直径 追问1：圆柱的轴截面有无穷多个，它们全等(填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有无穷多条，它们与圆柱的高相等. 追问2：圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗？ 追问3：圆柱、圆锥、圆台之间有什么联系？ 师生活动： 1.学生通过回顾以前所学，然后借助教材内容完成表格的填写，同时对教师提出的追问进行思考回答. 2.教师检查或提问学生所填表格是否正确，并对重点概念及结构特征进行讲解. 3.预计困难：学生对圆台的结构特征理解可能较为困难，尤其是母线延长线交于一点. 设计意图：通过联系旧知识与自主学习让学生认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，然后借助追问加强学生对圆柱、圆锥、圆台、球的理解。 问题2：判断下列说法是否正确 1.直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥. 2.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台. 3.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱. 4.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球. 师生活动： 1.教师提出问题让学生思考，同时对较为复杂的问题进行讲解. 2.学生对所提的问题进行思考回答，同时对持有疑问的问题进行提问。 3.预计困难：在对一些说法进行判断时需进行空间想象或画图，这对于部分学生来讲会有些困难 设计意图：加强学生对圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的理解。 【环节三】简单组合体的结构特征 问题1：阅读教材P103-104回答下列问题 (1)概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成的. (2)简单几何体的基本形式有哪几种？ 一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. 师生活动：学生通过阅读教材来了解简单组合体，并回答提出的问题；教师对学生给出的答案进行评价，并对一些鲜明的特征进行强调. 设计意图：通过学生自主学习来了解简单组合体的相关概念. 问题2：请描述如图所示的几何体是如何形成的. 问题3：如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征. 师生活动：学生结合对简单组合体的理解独立完成，教师进行点评. 设计意图：巩固学生对旋转体及简单组合体的理解. 【环节四】旋转体及简单组合体的判定与应用 问题1：下列说法正确的是________.(填序号) ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥； ④半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球； ⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面. 问题2：将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括(　　) A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥 C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥 问题3：一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高； (2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长. 问题4：如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 师生活动： 1. 对于问题1和问题2直接由学生独立完成，然后由教师进行提问评价. 2. 对于问题3和问题4先由教师引导，然后让学生尝试性趣完成，同时在书写过程中，注意关注学生的解题格式. 3. 预计困难：在问题3中，需要熟知圆台的结构特征及与圆锥的关系，因此会有一定的难度；在问题4中，最短距离的形成原因及圆柱的展开是学生的一个困难点. 设计意图：一方面巩固学生对旋转体及简单组合体结构特征的理解，另一方面检测学生对旋转体及简单组合体结构特征的掌握程度，同时在一些立体几何问题的解决过程中需要将空间图形转化为平面图形，因此提升学生的转化思想，同时借助空间形式认识事物的位置关系、形态、变化提升学生直观想象与数学运算的核心数学素养. 【环节五】课时小结 问题1：回忆本节课的学习内容，回答下面的问题： 1.这节课你学会了哪些知识，能解决什么问题？你是怎么得到这些知识的？ 2.这节课的学习过程中我们运用了哪些思想方法？ 师生活动： 1．教师用PPT展示上述问题． 2．针对学生回答的情况，教师寻找学生适当补充，组织学生完善问题答案． 设计意图：引导学生回顾和小结学习内容，提升对旋转体及简单组合体的认识．通过梳理，学生对立体几何又有一个更深的认识，为下一步探究几何体内部点线面之间的关系奠定基础. 【课后作业】 教材104页1、2、3题 【目标检测设计】 1.下列几何体是台体的是(　　) 2.下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到下图中的几何体的是(　) 3.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是（） A.圆柱 B.圆台 C.球体 D.棱台 4.如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________. 5.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________. 学科网（北京）股份有限公司 $