21.3.2菱形寒假预习讲义-2025-2026学年人教版八年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

21.3.2菱形寒假预习讲义（人教版） ☛ 预习内容速览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.强化巩固★过关测试 ✅ 课前预习★目标 ◆ 理解菱形的定义，能准确说出菱形与平行四边形的联系与区别； ◆ 熟记并理解菱形的性质，能运用菱形性质进行简单的计算（边长、角度、对角线、面积）； ◆ 掌握解菱形的判定方法（定义+对角线垂直的平行四边形）； ◆ 感受菱形在生活中的应用（如地砖窗花伸缩门等），体会几何图形的美观与实用性。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1菱形的定义】 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 【重点提示】 菱形的定义的两个要素：①是平行四边形．②有一组邻边相等．即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件． 【知识点2菱形的性质】 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心。 性质 数学语言 图示 边 菱形的四条边都相等 四边形ABCD,AB=BC=CD=AD 对角线 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 四边形ABCD是菱形BD⊥AC ∠ABD=∠CBD,∠ACB=∠ACD,∠BAC=CAD,∠ADB=∠CDB,∠ 对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴 【重点提示】 （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分．              （2）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题． 【知识点3菱形的判定】 菱形的判定方法有三种： 1.定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3.四条边相等的四边形是菱形． 【知识点4菱形面积计算】 1. 通用公式：S=底×高（与平行四边形相同） 2.菱形特有公式：若两条对角线长分别为d1、d2 则 S=d1·d2 推导：菱形可分割为四个全等的直角三角形，或两个全等的等腰三角形。 【知识点5常见辅助线与解题技巧】 1. 连接对角线：利用对角线互相垂直构造直角三角形，便于用勾股定理求边长或对角线； 2. 利用对称性：折叠问题中，菱形的对称轴常作为折痕。 3. 构造全等三角形：利用对角线平分对角的性质，证明角相等或边相等。 【知识点6菱形的应用与生活实例】 1. 伸缩门：利用菱形的不稳定性（易变形）实现伸缩； 2. 图案设计：菱形对称美观，常用于地砖、窗花等服饰； 3. 几何证明题：常结合全等三角形勾股定理平行线性质综合考查。 ✏ 核心考点★精讲精练 题型1利用菱形的性质求角度 例1．如图，在菱形中，点为对角线上一点，．若．则（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在菱形中，，点E在对角线上，且，那么的度数是 ． 变式2．如图，在菱形中，，．求的度数． 题型2利用菱形的性质求线段长 例2．如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．5 B．8 C．6 D．5.5 变式1．菱形的边长为5，对角线长为6，则另一条对角线长为 ． 变式2． 如图，点O是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，则的长为 ． 题型3利用菱形的性质求面积 例3．若菱形的边长为5，一条对角线长为6，则菱形的面积为（    ） A．8 B．12 C．20 D．24 变式1．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若，则菱形的面积为 ． 变式2．如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，且．若，求菱形ABCD的面积． 题型4利用菱形的性质证明 例4．如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 变式1．如图，菱形中，，交于点O，E为的中点，连接，若，则 ． 变式2．如图，在菱形中，点、点在对角线上，连接、，．求证：． 题型5添一个条件使四边形是菱形 例5．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件可以使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是 ．（填一个正确条件即可） 变式2．如图，在中，已知为边上的中线，以，为邻边作，与交于点，连接．请你从方框中选择一个补充条件，使得四边形是菱形． ①  ②平分  ③ (1)你选择的补充条件是____________（填序号）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 质以及菱形的判定定理即可得到结论． 题型6证明四边形是菱形 例6．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（   ） A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直且平分 D．一组对边平行且相等 变式1．如图，在中，，，是 ．其判定依据是 ． 变式2．如图，是平行四边形的对角线，，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为，求的长． 题型7根据菱形的性质与判定求角度 例7．如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为 ； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为 ． 变式2．已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：①在射线上取点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点； ②分别以点，点为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点（不与点重合）， ③作射线． 射线就是所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． = ， 四边形是 （填“矩形”“菱形”或“正方形”） （ ）（填推理的依据） 平分（ ）（填推理的依据）． 即平分． 题型8根据菱形的性质与判定求线段长 例8．如图，剪两张等宽且对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为 ． 变式2．如图，四边形中，，，于点． (1)尺规作图：在上求作一点E（不写作法，保留作图痕迹），连接，使四边形为菱形，并说明理由； (2)与相交于点O，连接，若，求长． 题型9根据菱形的性质与判定求面积 例9．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为 ． 变式2.如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，连接，，．已知，，． (1)求的长； (2)过点作，交于点，求四边形的面积． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，菱形的对角线与相交于点，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（   ） A． B．30 C． D．60 4．下列说法正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．平行四边形的对角线互相垂直 5．如图，在中，，．要判定四边形是菱形，还需要添加的条件可以是（    ） A． B． C．平分 D． 6．如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（   ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 7．两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积（   ） A．5 B． C． D． 8．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，且，则四边形的面积为（   ） A．8 B．16 C． D． 二、填空题 9．如图，在中，对角线，交于点O，，则的面积等于 ． 10．如图，菱形的边长为10，对角线的长为16，点，分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则的长为 ． 11．在菱形中，，，M为对角线的中点，N为边上一个动点，若为等腰三角形，则的长为 ． 12．如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形． 13．如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，且，．连接与相交于F．则图中四边形的面积为 ． 14．如图，矩形的对角线与相交于点，，，则四边形的面积为 ． 三、解答题 15．如图，平行四边形中，是对角线上一点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 16．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 17．如图，四边形是矩形（）． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接、，求证：四边形是菱形． 18．如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． (1)求证：； (2)若，则的度数为__________． 19．如图，在菱形中，过点B作于点E，作于点F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3.2菱形寒假预习讲义（人教版） ☛ 预习内容速览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.强化巩固★过关测试 ✅ 课前预习★目标 ◆ 理解菱形的定义，能准确说出菱形与平行四边形的联系与区别； ◆ 熟记并理解菱形的性质，能运用菱形性质进行简单的计算（边长、角度、对角线、面积）； ◆ 掌握菱形的判定方法（定义+对角线垂直的平行四边形）； ◆ 感受菱形在生活中的应用（如地砖窗花伸缩门等），体会几何图形的美观与实用性。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1菱形的定义】 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 【重点提示】 菱形的定义的两个要素：①是平行四边形．②有一组邻边相等．即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件． 【知识点2菱形的性质】 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心． 性质 数学语言 图示 边 菱形的四条边都相等 四边形ABCD,AB=BC=CD=AD 对角线 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 四边形ABCD是菱形BD⊥AC ∠ABD=∠CBD,∠ACB=∠ACD,∠BAC=CAD,∠ADB=∠CDB,∠ 对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴 【重点提示】 （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分．              （2）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题． 【知识点3菱形的判定】 菱形的判定方法有三种： 1.定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3.四条边相等的四边形是菱形． 【知识点4菱形面积计算】 1. 通用公式：S=底×高（与平行四边形相同） 2.菱形特有公式：若两条对角线长分别为d1、d2 则 S=d1·d2 推导：菱形可分割为四个全等的直角三角形，或两个全等的等腰三角形。 【知识点5常见辅助线与解题技巧】 1. 连接对角线：利用对角线互相垂直构造直角三角形，便于用勾股定理求边长或对角线； 2. 利用对称性：折叠问题中，菱形的对称轴常作为折痕。 3. 构造全等三角形：利用对角线平分对角的性质，证明角相等或边相等。 【知识点6菱形的应用与生活实例】 1. 伸缩门：利用菱形的不稳定性（易变形）实现伸缩； 2. 图案设计：菱形对称美观，常用于地砖、窗花等服饰； 3. 几何证明题：常结合全等三角形勾股定理平行线性质综合考查。 ✏ 核心考点★精讲精练 题型1利用菱形的性质求角度 例1．如图，在菱形中，点为对角线上一点，．若．则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角和三角形内角和定理，根据菱形的性质可得，则可证明，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 变式1．如图，在菱形中，，点E在对角线上，且，那么的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边对等角，先根据菱形的性质得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，点在对角线上，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 变式2．如图，在菱形中，，．求的度数． 【答案】 【分析】先根据菱形性质求出的度数，再利用菱形对角线性质得出的度数，最后结合直角三角形两锐角互余求出的度数．本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对边平行、对角线平分内角是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，平分， ∴， ∴． ∵四边形是菱形，平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 题型2利用菱形的性质求线段长 例2．如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．5 B．8 C．6 D．5.5 【答案】A 【分析】本题考查的是菱形的性质，含角的直角三角形的性质． 根据菱形的性质可得， ，根据含角的直角三角形的性质即可求得的长，从而得到结果． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 变式1．菱形的边长为5，对角线长为6，则另一条对角线长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理；根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，在菱形中，，， 菱形， ，， ， ， 故菱形的边长为5，对角线长为6，则另一条对角线长为； 故答案为：． 变式2． 如图，点O是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了矩形、菱形的判定与性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证的四边形是平行四边形，再由菱形的性质求得，则可证得四边形是矩形． （2）首先推知是等边三角形，所以，再由菱形的对角线互相平分求得的长，再结合（1）中结论即可求出答案． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， 即， 四边形是矩形． （2）四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：2． 题型3利用菱形的性质求面积 例3．若菱形的边长为5，一条对角线长为6，则菱形的面积为（    ） A．8 B．12 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理求出另一条对角线的长度，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】解：如图所示，在菱形中，对角线交于点O，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 变式1．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若，则菱形的面积为 ． 【答案】64 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握相关性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，即可求得菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：． 变式2．如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，且．若，求菱形ABCD的面积． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握方程思想与数形结合思想的应用． 首先设，由可得，根据菱形的性质得到，，，在中，根据勾股定理可得到关于的方程，求得的值，继而可求得与的长，则可求得菱形的面积． 【详解】解：设，则． ∵四边形是菱形， ，，． 在中，由勾股定理得， 解得（负值已舍去）， ，， ． 题型4利用菱形的性质证明 例4．如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质，掌握“菱形的对角线互相垂直平分但不一定相等”是解题的关键．根据菱形的性质依次判断即可． 【详解】A．∵菱形的对角线互相垂直，又∵四边形是菱形，对角线与交于点，∴，该选项正确； B．∵菱形的四条边相等，又∵四边形是菱形，、是菱形的邻边，∴，该选项正确； C．∵菱形的对角线仅满足互相垂直且平分，不一定相等，又∵题目中仅说明四边形是菱形，未说明是正方形，∴无法推出，该选项错误； D．∵菱形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，又∵四边形是菱形，对角线与交于点，∴是的中点，即，该选项正确． 故选：C． 变式1．如图，菱形中，，交于点O，E为的中点，连接，若，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，根据菱形的性质得，，，再根据等腰对等角得，由直角三角形的性质得，最后由等腰对等角求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．如图，在菱形中，点、点在对角线上，连接、，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用菱形的性质证明，全等的性质和（）综合（或者）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用菱形的性质得出，再证明，从而可利用线段差求得． 【详解】证明：四边形是菱形， ， ， 又， ， ， ， 即． 题型5添一个条件使四边形是菱形 例5．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件可以使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，根据菱形的判定逐个进行证明，再进行判断即可． 【详解】解：A、中，不是邻边，不能判定是菱形，故本选项错误； B、中，对角线，可判断平行四边形成为菱形，故本选项正确； C、中，，判定是矩形，故本选项错误； D、中，，可判断平行四边形成为矩形，故本选项错误． 故选：B． 变式1．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是 ．（填一个正确条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形为菱形，涉及平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟记平行四边形的判定与性质、菱形的判定是解决问题的关键． 根据题意，由平行四边形的性质及已知条件得到，再由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，结合邻边相等平行四边形是菱形、对角线相互垂直的平行四边形是菱形添加条件即可得到答案． 【详解】解：在中，对角线相交于点，则， ， ， 在四边形中，，则四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 此外，还有对角线垂直也可以判定四边形是菱形； 综上所述，选取其中一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．如图，在中，已知为边上的中线，以，为邻边作，与交于点，连接．请你从方框中选择一个补充条件，使得四边形是菱形． ①  ②平分  ③ (1)你选择的补充条件是____________（填序号）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】 本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．（1）根据题意选择条件即可； （2）根据为边上的中线，得到，根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：（答案不唯一）①． （2）证明：为边上的中线， ． 在中，，， ，， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形． 题型6证明四边形是菱形 例6．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（   ） A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直且平分 D．一组对边平行且相等 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定定理逐一分析即可．掌握菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，∴A选项不符合题意； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴B选项不符合题意； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，C选项符合题意； ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴D选项不符合题意； 故选：C． 变式1．如图，在中，，，是 ．其判定依据是 ． 【答案】 菱形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 【分析】此题重点考查等腰三角形的判定、菱形的判定等知识，正确理解和应用菱形的定义是解题的关键． 由，得，即可根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”证明是菱形，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 故答案为：菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 变式2．如图，是平行四边形的对角线，，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关性质定理． （1）先证明，，得到四边形是平行四边形，再结合直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半得到，从而得证； （2）先根据四边形的面积求得的长，再由勾股定理求得的长，从而得到的长，最后根据菱形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点，分别是，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， 平行四边形是菱形． （2）解：的面积是，，， ，即， ， ， ， 由（1）知，四边形是菱形， ． 题型7根据菱形的性质与判定求角度 例7．如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，可证明四边形是菱形，由等边对等角可得，由菱形的对角相等可得，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解；由作图方法可得， ∴四边形是菱形，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 变式1．把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为 ； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为 ． 【答案】 /度 或 【分析】本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案． 翻折变换的性质及正方形的判定进行可得四边形是是菱形，据此分析从而得到最后答案． 【详解】解：（1）一张矩形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形． （2）有一个内角为的菱形，出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 故，a的值等于， 或是， 故答案为：（1）；（2）或. 变式2．已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：①在射线上取点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点； ②分别以点，点为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点（不与点重合）， ③作射线． 射线就是所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． = ， 四边形是 （填“矩形”“菱形”或“正方形”） （ ）（填推理的依据） 平分（ ）（填推理的依据）． 即平分． 【答案】(1)见解析 (2)；菱形；四条边相等的四边形是菱形；菱形的每一条对角线平分一组对角 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，菱形的判定与性质，角平分线的定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）连接由，可得四边形是菱形（四条边相等的四边形是菱形），则平分，（菱形的每一条对角线平分一组对角） 即可解答． 【详解】（1）解：作图如图所示． （2）证明：连接，如图 ， 四边形是菱形． （四条边相等的四边形是菱形）． 平分 （菱形的每一条对角线平分一组对角） 即平分． 故答案为：；菱形；四条边相等的四边形是菱形；菱形的每一条对角线平分一组对角 题型8根据菱形的性质与判定求线段长 例8．如图，剪两张等宽且对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定和性质．解题的关键是证明四边形是菱形．设两张等宽的纸条的宽为，根据题意可得，从而得到四边形是平行四边形，再由，可得，进而得到四边形是菱形，再进行判断即可． 【详解】解：∵两张等宽且对边平行的纸条， ∴设两张等宽的纸条的宽为，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴和互相垂直平分，但不一定相等； 故选C． 变式1．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边形的性质，是解题的关键．连接，由作图知，平分，得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由作图知：，，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．如图，四边形中，，，于点． (1)尺规作图：在上求作一点E（不写作法，保留作图痕迹），连接，使四边形为菱形，并说明理由； (2)与相交于点O，连接，若，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，菱形的判定及性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）作的平分线，交于点E，则点E为所求．根据角平分线和平行线的性质得到，得到，从而得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，，，从而根据勾股定理求出，进而得到的长，最后根据直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，点E为所求． 理由如下：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． （2）解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴ ∵， ∴． 题型9根据菱形的性质与判定求面积 例9．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 过点D分别作，垂足分别为点M，N，连接，则，证明四边形是菱形，再根据为等腰直角三角形，可得，然后根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，过点D分别作，垂足分别为点M，N，连接，则，    根据题意得：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 即重叠部分图形的面积是． 故选：C． 变式1．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、菱形的面积公式、三角形的中位线定理，根据中位线定理可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形，根据菱形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】解：、、、分别是边、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 变式2.如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，连接，，．已知，，． (1)求的长； (2)过点作，交于点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理的逆定理，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理推导出是直角三角形，且，再由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，即可解答； （2）连接，交于点，推导出四边形是平行四边形，得到，证明四边形是菱形，在中，由勾股定理，得，则，继而求出菱形的面积即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵是边的中点， （2）解：如图，连接，交于点． ∵四边形是矩形， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 由（1）知， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，． 在中，由勾股定理，得， ∴菱形的面积为． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由菱形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，由三角形内角和定理得出，最后由平角的定义即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 2．如图，菱形的对角线与相交于点，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式的综合运用，利用“等面积法”将边长与高建立联系是解题的关键，先根据菱形对角线的性质结合勾股定理求出边长，再通过面积相等列出等式，进而求出的长． 【详解】解：在菱形中， ，，， ， ， ， ． 故选：． 3．如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（   ） A． B．30 C． D．60 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，与交于点O，根据菱形对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理求出，进而得到，最后根据菱形的面积等于，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接，与交于点O， 四边形是菱形， 、， 在中，由勾股定理得， ， ， 菱形的面积为， 故选：C． 4．下列说法正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．平行四边形的对角线互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，根据平行四边形、菱形的判定与性质，逐一判断各选项，即可作答． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故该选项错误； B、菱形的对角线互相垂直平分，并不相等，故该选项错误； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形判定定理，故该选项正确； D、普通平行四边形的对角线仅互相平分，不互相垂直，故该选项错误； 故选：C 5．如图，在中，，．要判定四边形是菱形，还需要添加的条件可以是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，证得四边形是平行四边形是解题的关键． 当平分时，四边形是菱形，可先证明四边形是平行四边形，再证明即可解决问题． 【详解】解：当平分时，四边形是菱形， 理由：， ， 平分， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 其余选项均无法判断四边形是菱形， 故选：C． 6．如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（   ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行四边形及邻边相等的条件判定图形为菱形，再利用菱形性质、等腰三角形性质等，逐一分析与相等的角． 【详解】解：四边形是平行四边形，且 四边形是菱形 ，，，， ， ， ，故①符合题意， ， ，故②符合题意， ， ， 又，， ， ， ∴， ，故③符合题意， 故选：D． 7．两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 设相交于点G，相交于点H，易证四边形是平行四边形，再证明可得，则平行四边形是菱形可得，设，则，再根据勾股定理列方程求得x，进而求得，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：设相交于点G，相交于点H， ∵两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起， ∴， ∴四边形是平行四边形，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得： ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故选：D． 8．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，且，则四边形的面积为（   ） A．8 B．16 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角 三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先判定四边形是菱形，根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出是等边三角形，可求出的长，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出的长，从而求面积． 【详解】解：∵在四边形ABCD中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形是菱形， 在菱形中，对角线与相交于点，，， 又∵， ， 则是等边三角形， ，， ∴，， ∴四边形ABCD的面积为． 故选：C． 二、填空题 9．如图，在中，对角线，交于点O，，则的面积等于 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据题意判定是菱形；在直角中，利用勾股定理求得的长度，继而利用菱形的面积公式作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵在中，对角线，交于点O，， ∴是菱形， ∵， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积为：． 故答案为：24． 10．如图，菱形的边长为10，对角线的长为16，点，分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识；连接，交于点O，先证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，得，然后由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：连接，交于点O，如图所示： ∵菱形的边长为10， ∴，， ∵点E、F分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是菱形的对角线，， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12． 11．在菱形中，，，M为对角线的中点，N为边上一个动点，若为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，由菱形的性质可求，，可证是等边三角形，可得，，由勾股定理可求的长，分，两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，， 与互相垂直平分，，， 是等边三角形， ，， ， 当时，则， ， ∴， ， ， ， ， ， 当时，， 故答案为：或1． 12．如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形的性质得到，即，推出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：这个条件可以是， 理由：四边形是矩形， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，且，．连接与相交于F．则图中四边形的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由题意可证四边形是菱形，由菱形的性质首先求得的面积，然后证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ∴， 连接交于点M， ∴四边形是平行四边形，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：18． 14．如图，矩形的对角线与相交于点，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键． 连接，与交于点，由四边形为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形的面积即可． 【详解】解：连接，与交于点， 四边形为矩形， ，，且，即， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ，，， ，且， 四边形为平行四边形， ，， ，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 则． 故答案是：． 三、解答题 15．如图，平行四边形中，是对角线上一点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的面积，勾股定理； （1）连接与交于点，证明，得到，即，则平行四边形是菱形； （2）先求出，再勾股定理求出，则，再根据菱形的面积是代入求值即可． 【详解】（1）解：连接与交于点， ∵平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵，平行四边形是菱形， ∴， ∴，即， ∴菱形的面积是． 16．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质． （1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴． 17．如图，四边形是矩形（）． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接、，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用基本作图，作出线段的垂直平分线即可； （2）设交于点O，如图，先证明得到，再证明四边形为菱形即可． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）证明：如图，设交于点O， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查了作图——基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 18．如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． (1)求证：； (2)若，则的度数为__________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是关键． （1）由菱形的性质可得，，结合，，可证明，则； （2）由三角形内角和定理可得，结合，则．根据菱形的邻角互补的性质可得，作差求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 19．如图，在菱形中，过点B作于点E，作于点F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由菱形的性质可得，为对角线，即是的角平分线，再由角平分线的性质定理可得，最后证明即可得证； （2）由菱形的性质可得，再由平行线的性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，为对角线， 是的角平分线． ，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ． ，即， ． 同理可得， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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