第11讲 菱形（3个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版八年级下册数学寒假衔接讲义

第11讲 菱形（3个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 添一个条件使四边形是菱形 题型二 利用菱形的性质证明 题型三 根据菱形的性质求角度 题型四 根据菱形的性质求线段长 题型五 根据菱形的性质求面积 题型六 根据菱形的性质与判定求角度 题型七 根据菱形的性质与判定求线段长 题型八 根据菱形的性质与判定求面积 知识点一：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，等宽的丝带重叠部分一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能 2．（24-25八年级下·吉林长春·期中）判断下列命题的真假（在横线上填“真”或“假”） （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 命题 （2）一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形． 命题 （3）对角互补的平行四边形是矩形． 命题 （4）三个角都相等的四边形是矩形． 命题 （5）一组邻边相等的四边形是菱形． 命题 （6）对角线互相平分且垂直的四边形是菱形． 命题 知识点二：菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点： （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，点A、C、E在同一直线上，根据实际需要可以调节A、E之间的距离，若，则的度数是 ． 知识点三：菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列说法不正确的是（   ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．矩形的对角线互相垂直且相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．菱形的中点四边形是矩形 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）四边形是对角线互相垂直的四边形，对角线相交于点O，且，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形． 【核心考点一 添一个条件使四边形是菱形】 【例1】（25-26九年级上·广东佛山·月考）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，的对角线，交于点O，要使成为菱形，则可添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·青海海西·期中） 的平行四边形是菱形．填一个合适的条件 【例4】（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加的一个条件是 ． 【核心考点二 利用菱形的性质证明】 【例1】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在四边形A中，对角线与相交于点．现有五组条件：①；②；③；④；⑤．以下选项能判定四边形是菱形的是（   ） A．①③ B．②④ C．③⑤ D．①② 【例2】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形．这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，将一张矩形纸片对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到，两部分，将展开后得到的平面图形是 ． 【例4】（2025·广西钦州·一模）如图，在平行四边形中，点分别在上，．若不添加辅助线，添加一个条件即可证明四边形是菱形，则这个条件可以是 ．（写出一个即可）． 【核心考点三 根据菱形的性质求角度】 【例1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，是菱形的对角线，点在边上，过点作交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·河北保定·月考）如图1，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形，得到图2，用三个图2刚好拼出一个如图3所示的平面图形，则图1中的度数为（  ） A． B． C． D． 【例3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，菱形中，连接，若，则的度数为 ． 【例4】（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为 °． 【核心考点四 根据菱形的性质求线段长】 【例1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C．12 D． 【例2】（25-26九年级上·甘肃白银·期中）小明准备利用周末时间去种花，如图，在菱形花坛中，，在其中两个正六边形部分种花，若种花部分图形的周长（不含图中虚线）为，则菱形花坛的边长为（    ） A． B． C． D． 【例3】 （25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，已知，则菱形的面积为 ． 【例4】（25-26九年级上·山西运城·期中）如图（1），中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个如图（2）的菱形中国结装饰，测得，，直线交两对边于点E，F，则的长为 ． 【核心考点五 根据菱形的性质求面积】 【例1】（25-26九年级上·广东佛山·期中）道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线长为，为，则该标志的占地面积为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·全国·期中）如图，在菱形中，、交于点O，于点E，若，，则等于（   ） A． B．5 C．6 D． 【例3】（24-25八年级下·江苏盐城·期末）如图，菱形的对角线相交于点，若，则菱形的面积 ． 【例4】（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，，，则菱形的面积为 ． 【核心考点六 根据菱形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，平面上有两个全等的正八边形，为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·江苏连云港·月考）如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【例3】（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则 ． 【例4】（24-25八年级下·广东肇庆·期末）如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则 ． 【核心考点七 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，两条笔直的公路相交于点两村的村民计划在点C处建一个小广场，若，小广场到公路的距离为，则小广场到公路的距离为（  ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若A，C两点间的距离是2，B，D两点间的距离是，则四边形的面积是 ． 【例4】 （24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，已知菱形的面积为24，对角线，相交于点O，且，则菱形的边长为 ． 【核心考点把 根据菱形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，菱形的边长为4， ，则菱形的面积为（　　） A．6 B． C． D．12 【例2】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在的两边、上分别截取、，使．分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C．连结、、、．若，，则四边形的面积是（    ） A． B．8 C．4 D． 【例3】（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，分别以点、为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，已知，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是 ．    【例4】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，、、、分别是四条边的中点，，，则四边形的面积为 ．    【变式训练1 添一个条件使四边形是菱形】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列四个条件中，能使如图所示的是菱形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川达州·月考）如图2，四边形的对角线相交于点O，且互相垂直，添加一个条件能判定四边形为菱形．你添加的条件是 ．    3．（2025·陕西咸阳·二模）如图，四边形是平行四边形，分别延长、至点F、E，使得，连接，．请再添加一个条件：___________，使得四边形是菱形，并说明理由．（不再添加任何线条、字母）    4．（2025·浙江舟山·模拟预测）小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，求证：四边形是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 【变式训练2 利用菱形的性质证明】 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，四边形是重叠部分，连接，交于点O．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川广安·模拟预测）如图在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知，则的度数为 ． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，点、分别是菱形的边与延长线上的点，且，连接、，求证：． 4．（25-26九年级上·福建三明·月考）如图，在菱形中，过点作于，于，求证：． 【变式训练3 根据菱形的性质求角度】 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角角为的菱形，剪口与折痕所成的角的度数为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，两张全等的菱形纸片叠放在一起，若重叠部分的形状是正八边形，则菱形的内角度数为 ． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）如图，已知线段，用直尺和圆规作菱形： ①以A为顶点，任意作一条射线； ②以A为圆心，长为半径画弧交射线于点D； ③分别以B，D为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点C，连接，． 根据作图步骤及痕迹回答下列问题： (1)能得到四边形是菱形的依据是（   ） A．一组邻边相等的四边形是菱形    B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形    D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 (2)连接，若，求的度数． 4．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式训练4 根据菱形的性质求线段长】 1．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）如图，菱形中，，，直线交两对边于点，，则的长为 3．（2025·湖南长沙·二模）在矩形中，连接，延长至E，使，过点E作交延长线于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求线段的长． 4．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【变式训练5 根据菱形的性质求面积】 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，连接．若，，则菱形的面积为（     ） A．30 B．40 C．50 D．60 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，直线EF经过菱形ABCD的对角线的交点O．若，四边形AEFB的面积为，则CF的长为 ，菱形ABCD的面积为 ． 3．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，把边长为的等边绕边的中点O旋转，得到． (1)四边形是什么样的四边形？试说明理由． (2)求四边形的面积． 4．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形是菱形，点为对角线的中点，点在的延长线上，，垂足为，点在的延长线上，，垂足为． (1)若，求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【变式训练6 根据菱形的性质与判定求角度】 1．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）在下列方案中，能够得到是的平分线的是（  ） 方案Ⅰ： 取，以A，B为顶点作平行四边形，连接． 方案Ⅱ： 取，以A，B为顶点作矩形，连接，交于点C，连接． A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 C．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 2．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为 ． 3．（24-25八年级下·吉林四平·期中）如图，在菱形中，E是的中点，的延长线交于点F，连接 (1)求证：； (2)连接，请判断与的位置关系，并说明理由； (3)当菱形满足________时，四边形是菱形． 4．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式训练7 根据菱形的性质与判定求线段长】 1．（2025·山西临汾·一模）如图，在中，，，和的平分线分别交BC于点E，F，与交于点，若，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 2．（2025·湖南岳阳·二模）如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是4和3，则重叠部分的四边形中的对角线的长是 ． 3．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，点，分别是，的中点．连接并延长至点；使得．连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 4．（24-25八年级下·吉林·期末）在等腰直角三角形纸片中，点D是斜边的中点，，点E为上一点，将纸片沿折叠，点B的对应点为点，与交于点 (1)如图，连接、，若，则： 求证：四边形为菱形； 的形状为______； (2)如图，若与不平行，则的周长为______． 【变式训练8 根据菱形的性质与判定求面积】 1．（24-25八年级下·广东湛江·期末）如图，在菱形中，与交于点O，，则菱形的面积为（   ）    A．48 B．96 C．120 D．192 2．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，将矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开并顺次连接折痕端点后得到四边形．若，，则四边形的面积为 ． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，矩形中，E为边上任意一点，连接，F为线段的中点，过点F作，与分别相交于点M,N，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，当时，求四边形的面积． 4．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，点E是矩形的边上一点，且． 【操作与验证】（1）尺规作图：在的延长线上找到一点F，连接，使得四边形是菱形，并给出相应证明； 【推理与计算】（2）在（1）的条件下，连接，若，且四边形的周长为32，求矩形的面积． 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级·全国·模拟预测）在正五边形中，连接对角线，其中相交于点，连接，交于点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南南阳·一模）如图，△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接AE、DF，要使AE、DF互相垂直平分，还需要添加一个条件，这个条件不可能是（    ） A． B． C． D．AE是△ABC的角平分线 4．（2025·广西南宁·二模）如图，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边上，点B的对应点为F，折痕为，点E在边上，连接，若，则四边形的面积为（   ）    A．64 B．48 C．32 D．16 5．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）如图所示，在四边形中，于点O，，，点H为线段上的一个动点，过点H分别作于点M，作于点N，连接，在点H运动的过程中，的最小值为（    ） A．6 B．7.8 C．8 D．9.8 6．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，在菱形中，若，则的度数为 ． 7．（24-25八年级下·北京朝阳·期中）如图，在中，点，分别是，边上的点，且，连接，．补充一个条件，可使四边形是菱形，这个条件是 ． 8．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，、分别是、上的动点，连接、，若，，则的最小值为 ．    9．（2025·辽宁大连·一模）如图，将矩形纸片对折，使边与与分别重合，展开后得到四边形． 若，则四边形的面积为 ． 10．（2025·安徽六安·一模）如图所示，在矩形纸片ABCD中，点 E、F分别是矩形的边AD、BC上的动点，将该纸片沿直线 EF折叠．使点B落在矩形边AD上，对应点记为点G，点A落在 M处，连接 EF、BG、BE，EF与BG交于点N．则： （1）四边形BEGF的形状是 ． （2）若AB=3，BC=6，当点G与点D重合时，线段EF的长为 ． 11．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，菱形中的两条对角线相交于点O，其中，延长至点E，使，连接． (1)求的长度； (2)求的度数． 12．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在平行四边形中，，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 13．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，中，是上任意一点，． (1)判断四边形的形状是_____； (2)连接，当满足什么条件时，四边形为菱形，并说明理由． 14．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，AC⊥BD交于点O． (1)求证：四边形ABCD为菱形； (2)如图2，过四边形的顶点A作于点，交于点，若，求四边形的面积； (3)如图3，过菱形的顶点A作，且，线段交于点，交BC于点，若、、三点共线，求证：． 15．（25-26九年级上·广东深圳·期末）【课本重现】 你能用折纸、作图等方法得到一个菱形吗？动手试一试！ 小颖、小明和小刚三位同学分别做了以下操作： 【操作1】小颖同学按以下方式进行操作： （1）请写出小颖这样操作的理论依据（提示：文字语言表述，说明理由即可）． 【操作2】小明同学按以下方式进行操作： 如图2，在矩形的纸片上，利用无刻度直尺和圆规作对角线的垂直平分线分别交于E、F两点，再连接． （2）请按照操作2用尺规画出图形（保留作图痕迹，标明字母，不用写作法），并证明四边形是菱形； 【操作3】小刚同学按以下方式进行操作： 将两张相同的矩形纸片叠放在一起，可以重叠出一个菱形，当按如图3的方式将两个矩形的两个对角顶点重合进行叠放，得到的菱形边长最大． （3）已知如图3的矩形卡片中，，，则此时菱形的边长为______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 菱形（3个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 添一个条件使四边形是菱形 题型二 利用菱形的性质证明 题型三 根据菱形的性质求角度 题型四 根据菱形的性质求线段长 题型五 根据菱形的性质求面积 题型六 根据菱形的性质与判定求角度 题型七 根据菱形的性质与判定求线段长 题型八 根据菱形的性质与判定求面积 知识点一：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，等宽的丝带重叠部分一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和菱形的判定，正确掌握平行四边形的判定和菱形的判定是解题的关键． 过点A作于点E，于点F，先证明四边形是平行四边形，再证明，然后根据菱形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F， 两条丝带宽度相同， ， 根据题意得：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 是菱形， 即等宽的丝带重叠部分一定是菱形． 故选：C． 2．（24-25八年级下·吉林长春·期中）判断下列命题的真假（在横线上填“真”或“假”） （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 命题 （2）一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形． 命题 （3）对角互补的平行四边形是矩形． 命题 （4）三个角都相等的四边形是矩形． 命题 （5）一组邻边相等的四边形是菱形． 命题 （6）对角线互相平分且垂直的四边形是菱形． 命题 【答案】 真 假 真 假 假 真 【分析】本题主要考查了命题真假的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判断定理，是解题的关键．根据平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，此命题是真命题； 故答案为：真； （2）一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题； 故答案为：假； （3）对角互补的平行四边形是矩形，此命题是真命题； 故答案为：真； （4）三个角都相等的四边形不一定是矩形，原命题是假命题； 故答案为：假； （5）一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题是假命题； 故答案为：假； （6）对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此命题是真命题． 故答案为：真． 知识点二：菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点： （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 根据菱形的性质证明是等边三角形，即可得到． 【详解】解：∵菱形 ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，点A、C、E在同一直线上，根据实际需要可以调节A、E之间的距离，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，连接，根据题意可求出的长，进而可证明是等边三角形，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点A、C、E在同一直线上，且图中三个菱形全等， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 知识点三：菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列说法不正确的是（   ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．矩形的对角线互相垂直且相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．菱形的中点四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形、菱形的定义与性质等知识点，掌握矩形和菱形的相关知识是解题的关键． 根据矩形、菱形的定义与性质逐项判断即可． 【详解】解：A．四条边相等的四边形是菱形，正确，不符合题意； B．由矩形的对角线相等但不一定互相垂直（仅正方形的对角线互相垂直），故B选项“矩形的对角线互相垂直且相等”不正确，符合题意． C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，不符合题意； D．菱形的中点四边形是矩形（因菱形的对角线互相垂直，中点四边形对边平行且邻边垂直），正确，不符合题意． 故选B． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）四边形是对角线互相垂直的四边形，对角线相交于点O，且，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质．先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论． 【详解】解：添加条件：，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 【核心考点一 添一个条件使四边形是菱形】 【例1】（25-26九年级上·广东佛山·月考）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题关键． 根据对角线互相垂直或邻边相等的平行四边形是菱形，逐项判断是否能使得对角线垂直或邻边相等即可． 【详解】解：A：由等角对等边，可知邻边相等，可以说明是菱形； B：，故由图中数据可知对角线垂直，可以说明是菱形； C：根据图中数据，只能说明对边平行，不能说明是菱形； D：通过平行四边形的性质，可以推出所给角的内错角也为，即由对角线分成的两个三角形为等边三角形，故邻边相等，可以说明是菱形， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，的对角线，交于点O，要使成为菱形，则可添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键；因此此题可根据菱形的判定定理进行排除选项． 【详解】解：A、是的性质，不能作为菱形的判定条件，故不符合题意； B、当时，则是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意； C、当时，则是菱形，故符合题意； D、当时，则是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意； 故选C． 【例3】（24-25八年级下·青海海西·期中） 的平行四边形是菱形．填一个合适的条件 【答案】对角线互相垂直或一组邻边相等 【分析】根据菱形的判定定理解答即可． 本题考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形或一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：对角线互相垂直或一组邻边相等 【例4】（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．先证四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论． 【详解】解：需添加的一个条件是，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 【核心考点二 利用菱形的性质证明】 【例1】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在四边形A中，对角线与相交于点．现有五组条件：①；②；③；④；⑤．以下选项能判定四边形是菱形的是（   ） A．①③ B．②④ C．③⑤ D．①② 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判定条件，逐一分析各选项组合即可求解． 【详解】解：菱形判定条件包括：① 平行四边形且邻边相等；② 平行四边形且对角线互相垂直；③ 四边均相等． 选项A（①③）： ① 给出两组对边平行，说明四边形为平行四边形． ③ 对角线互相垂直．根据判定条件，平行四边形的对角线垂直则为菱形．故选项A正确，符合题意． 选项B（②④）： ② 对角线相等，④ 一个角为直角．对角线相等的四边形可能是矩形，但无法确定四边相等，故不一定是菱形，不符合题意． 选项C（③⑤）： ⑤ 一组对边平行且另一组对边相等，可能为等腰梯形．即使对角线垂直，无法成为菱形．因此条件⑤无法确保平行四边形，选项C不成立，不符合题意． 选项D（①②）： ① 为平行四边形，② 对角线相等，此时四边形为矩形而非菱形，不符合题意． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形．这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平移的性质，由平移的性质得出，， 即可得出四边形是平行四边形，再加上即可判定平行四边形是菱形． 【详解】解：由平移的性质可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是菱形， 其他选项均无法得出平行四边形是菱形. 故选：C 【例3】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，将一张矩形纸片对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到，两部分，将展开后得到的平面图形是 ． 【答案】菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定和图形的展开与折叠，根据图中的折叠过程保证了剪得的四边形上、下及左、右四条边都相等，再由菱形的判定方法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图中的折叠过程保证了剪得的四边形上、下及左、右四条边都相等， ∴展开后得到的平面图形是菱形， 故答案为：菱形． 【例4】（2025·广西钦州·一模）如图，在平行四边形中，点分别在上，．若不添加辅助线，添加一个条件即可证明四边形是菱形，则这个条件可以是 ．（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质与判定，由平行四边形的性质得出，结合得出四边形是平行四边形，再结合，即可得出四边形是菱形，熟练掌握菱形的判定、平行四边形的性质与判定是解此题的关键． 【详解】解：这个条件可以是， 理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 【核心考点三 根据菱形的性质求角度】 【例1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，是菱形的对角线，点在边上，过点作交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质． 根据菱形的性质可得，利用等腰三角形的性质求得，最后通过平行的性质可得的度数． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·河北保定·月考）如图1，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形，得到图2，用三个图2刚好拼出一个如图3所示的平面图形，则图1中的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出的度数是解题的关键． 根据菱形的性质可得，再由，即可求解． 【详解】解：如图，四边形均为菱形， ∴， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴． 故选：D 【例3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，菱形中，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质可得，则，进而即可求解． 【详解】解：∵ 四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：． 【例4】（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为 °． 【答案】60 【分析】本题主要考查菱形的性质，由菱形性质得，再根据直角三角形两锐角互余可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∵， ∴, 故答案为：60． 【核心考点四 根据菱形的性质求线段长】 【例1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；由题意易得，则有是等边三角形，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴； 故选B． 【例2】（25-26九年级上·甘肃白银·期中）小明准备利用周末时间去种花，如图，在菱形花坛中，，在其中两个正六边形部分种花，若种花部分图形的周长（不含图中虚线）为，则菱形花坛的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质的运用． 根据已知可得到为正三角形，从而可求得正六边形的边长是边长的，根据种花部分图形共有 10 条边和其周长，即可求解． 【详解】解：∵为菱形， ∴， ∴为正三角形， 以的顶点所在的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是边长的， 则种花部分图形共有 10 条边， 所以菱形花坛的边长为， 故选：C． 【例3】 （25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，已知，则菱形的面积为 ． 【答案】120 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题关键． 利用勾股定理求出，可得的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 故答案为：120 【例4】（25-26九年级上·山西运城·期中）如图（1），中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个如图（2）的菱形中国结装饰，测得，，直线交两对边于点E，F，则的长为 ． 【答案】 【分析】由菱形的性质推出，，，由勾股定理求出，由菱形的面积，即可求出的长． 本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是掌握菱形的面积公式． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ， 菱形的面积， ， ； 故答案为：． 【核心考点五 根据菱形的性质求面积】 【例1】（25-26九年级上·广东佛山·期中）道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线长为，为，则该标志的占地面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的面积等于计算即可． 本题考查了菱形的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得菱形的面积等于， 故选：A． 【例2】（25-26九年级上·全国·期中）如图，在菱形中，、交于点O，于点E，若，，则等于（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键． 根据菱形的性质得出、、、，求出和，求出AD，根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：四边形是菱形， 、、、 、 、 由勾股定理得： 解得． 故选：A． 【例3】（24-25八年级下·江苏盐城·期末）如图，菱形的对角线相交于点，若，则菱形的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质的灵活运用，熟练运用菱形的性质来求其面积是解决此题的关键．根据菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直可计算出该菱形的面积．在中，利用勾股定理求得，得出，进而根据菱形的面积公式进行计算，即可求解． 【详解】解：因为四边形是菱形， 所以，，． 在中，． ，． 菱形面积为． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，，，则菱形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了菱形的面积，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，勾股定理解直角三角形，菱形面积计算公式是解题关键． 由题意先求出，根据勾股定理求得，再求出，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求出答案． 【详解】解：∵菱形的对角线与相交于点， ， ∴， ， 故答案为： 24 ． 【核心考点六 根据菱形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，平面上有两个全等的正八边形，为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是多边形内角和公式、全等性质、菱形的判定与性质，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式． 现根据多边形内角和公式求出，再根据全等性质、菱形的判定与性质即可求出． 【详解】解：如图， 正八边形的一个内角度数为， ， ∵平面中这两个正八边形全等， ， 四边形是菱形， ． 故选：． 【例2】（24-25八年级下·江苏连云港·月考）如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键； 根据作图可得四边形是菱形，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可知，， 四边形是菱形， ，． 故选：B． 【例3】（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，首先证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：63． 【例4】（24-25八年级下·广东肇庆·期末）如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形性质，熟练掌握菱形的对角相等是关键． 根据题意，可推导出为等边三角形，利用菱形性质得到即可． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， 故答案为：． 【核心考点七 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 由四边形为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，根据的长求出的长，即可确定出其周长． 【详解】解：四边形为矩形， ，，且， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ， 则四边形的周长为． 故选：B ． 【例2】（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，两条笔直的公路相交于点两村的村民计划在点C处建一个小广场，若，小广场到公路的距离为，则小广场到公路的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质．连接，过点C作，垂足分别为点D，E，则，根据题意可得四边形是菱形，从而得到，再由角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点C作，垂足分别为点D，E，则， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 即小广场到公路的距离为． 故选：A 【例3】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若A，C两点间的距离是2，B，D两点间的距离是，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是根据等高得到边相等从而得到菱形． 根据等宽可得四边形是平行四边形，结合四边形面积即可得到，即可得到四边形是菱形，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得：， ∴四边形是平行四边形， ∵两张等宽的纸条交叉叠放在一起， 可设两张等宽的纸条的宽为h，则， ∴， ∴四边形是菱形， ∴ 故答案为： 【例4】 （24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，已知菱形的面积为24，对角线，相交于点O，且，则菱形的边长为 ． 【答案】5 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求得菱形的边长． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ， 菱形的边长为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了勾股定理、菱形的性质以及菱形面积和周长的计算，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和勾股定理． 【核心考点把 根据菱形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，菱形的边长为4， ，则菱形的面积为（　　） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质定理应用，由于本题存在特殊角度，故而需根据其特殊形结合菱形的性质求解出菱形的面积．关键在于对菱形的性质定理的熟练掌握并对特殊角度准确利用． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵菱形的边长为4，即， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积是． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在的两边、上分别截取、，使．分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C．连结、、、．若，，则四边形的面积是（    ） A． B．8 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解． 【详解】解：根据作图，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴． 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，分别以点、为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，已知，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是 ．    【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理；首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】根据题意可得，， ∴四边形是菱形， ∴设和交于点O，    ∴，， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故答案为：24． 【例4】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，、、、分别是四条边的中点，，，则四边形的面积为 ．    【答案】4 【分析】由四边形是矩形与、、、分别是四条边的中点，根据，易证得，则可得，根据由四条边都相等的四边形是菱形，即可证得四边形是菱形，又由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得四边形的面积． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 、、、分别是四条边的中点， ，， ， ， 四边形是菱形， ，， 四边形的面积为：． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质与矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质．题目难度不大，注意四条边都相等的四边形是菱形与菱形的面积等于其对角线积的一半． 【变式训练1 添一个条件使四边形是菱形】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列四个条件中，能使如图所示的是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判断即可． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴当时，是菱形． 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川达州·月考）如图2，四边形的对角线相交于点O，且互相垂直，添加一个条件能判定四边形为菱形．你添加的条件是 ．    【答案】互相平分 【分析】根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形的判定方法进行解答即可． 【详解】解：当互相平分时，有 ∵ ∴ ∴, ∴ ∴四边形为菱形． 故添加的条件是互相平分 故答案为：互相平分. 【点评】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 3．（2025·陕西咸阳·二模）如图，四边形是平行四边形，分别延长、至点F、E，使得，连接，．请再添加一个条件：___________，使得四边形是菱形，并说明理由．（不再添加任何线条、字母）    【答案】（答案不唯一），见解析 【分析】由平行四边形性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出四边形是平行四边形，根据菱形的判定可得出结论． 【详解】解：． 理由：∵四边形是平行四边形， ∴即， ∵， ∴， ∴ ∵且 ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 4．（2025·浙江舟山·模拟预测）小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，求证：四边形是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 【答案】赞成小洁的说法，补充，见解析 【分析】赞成小洁的说法，补充：，由四边相等的四边形是菱形即可判断． 【详解】赞成小洁的说法，补充：． 证明：，， ，． 又∵． ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查菱形的判定以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 【变式训练2 利用菱形的性质证明】 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，四边形是重叠部分，连接，交于点O．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，先证四边形是平行四边形，然后证平行四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F， ∵两张纸条宽度相同， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， 而由四边形是菱形不能得出， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 2．（2025·四川广安·模拟预测）如图在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，根据菱形性质可知，，，根据折叠可知，，，求出，根据等腰三角形性质求出即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， 根据折叠可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，点、分别是菱形的边与延长线上的点，且，连接、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质．连接，证明，推出，再利用证明，即可证明． 【详解】证明：连接， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·福建三明·月考）如图，在菱形中，过点作于，于，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了菱形的性质，垂直定义，全等三角形的判定与性质，由四边形是菱形，得，，又，，所以，证明，根据全等三角形的性质即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式训练3 根据菱形的性质求角度】 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角角为的菱形，剪口与折痕所成的角的度数为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】此题主要考查菱形的性质以及折叠问题，关键是熟练掌握菱形的性质：菱形的对角线平分每一组对角． 折痕与，，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得，根据平行线的性质可得，从而可求得 ，所以剪口与折痕所成的角的度数应为或． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， 若， ∴， ∴， ∴． ∴剪口与折痕所成的角的度数应为或． 故选：A． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，两张全等的菱形纸片叠放在一起，若重叠部分的形状是正八边形，则菱形的内角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正八边形的性质、菱形的性质等知识点，熟练掌握正八边形的性质是解题关键．先根据正八边形的性质可得，再根据菱形的性质求出即可． 【详解】解：如图， ∵重叠部分是正八边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∴菱形的内角度数为或， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）如图，已知线段，用直尺和圆规作菱形： ①以A为顶点，任意作一条射线； ②以A为圆心，长为半径画弧交射线于点D； ③分别以B，D为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点C，连接，． 根据作图步骤及痕迹回答下列问题： (1)能得到四边形是菱形的依据是（   ） A．一组邻边相等的四边形是菱形    B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形    D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)B (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质； （1）根据尺规作图步骤可得，即可得到菱形； （2）根据菱形的性质可得，根据求解即可． 【详解】（1）解：根据作图步骤可得， ∴四边形是菱形，依据是四边相等的四边形是菱形， 故选：B； （2）解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)40° 【分析】（1）只需要证明四边形是平行四边形即可证明； （2）先根据平行线的性质得到，由菱形的性质得到，再根据直角三角形两锐角互余进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：由（1）可知 ∥， ∴ 又∵四边形是菱形   ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟知菱形的性质和平行四边形的性质与判定是解题的关键． 【变式训练4 根据菱形的性质求线段长】 1．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是证明．首先根据已知条件，通过等量代换证明，从而得到，进一步推出，得出，然后利用矩形周长求出和的长度，接着中运用勾股定理求出的长度，最后根据菱形性质计算出萎形的周长。 【详解】解：如图，由题意可知：三点共线， ，长宽 （宽）（长）（宽）， ， ， ， ， ， ， 矩形的周长为，， ， 菱形的周长为：， 故选：B． 2．（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）如图，菱形中，，，直线交两对边于点，，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再利用等面积法列式运算即可． 【详解】解：∵四边形为菱形，，， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（2025·湖南长沙·二模）在矩形中，连接，延长至E，使，过点E作交延长线于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了菱形的判定方法，矩形的性质以及勾股定理．熟练掌握菱形的判定方法，矩形的性质以及勾股定理是解题的关键． （1）由矩形的性质得到，结合，即可证明四边形是菱形； （2）在中，利用勾股定理求得，然后根据菱形的性质得到，再利用勾股定理在中，求得． 【详解】（1）证明：由矩形可得， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：在矩形中，，，， 在中，， 由（1）得四边形是菱形， ， ， 在中，． 4．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形、菱形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识． （1）通过角的等量关系证明边相等，进而判定四边形为菱形； （2）依据菱形性质、直角三角形性质和勾股定理求出相关线段长度，再根据菱形面积公式求解CE的长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）由（1）可知，四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的长为． 【变式训练5 根据菱形的性质求面积】 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，连接．若，，则菱形的面积为（     ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出，掌握菱形的面积公式． 由菱形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质推出，于是得到菱形ABCD的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 菱形的面积， 故选：A． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，直线EF经过菱形ABCD的对角线的交点O．若，四边形AEFB的面积为，则CF的长为 ，菱形ABCD的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形是中心对称图形的性质以及全等三角形的判定和性质，构造正确的辅助线是解题的关键． 根据菱形是中心对称图形可得，进而可证，故；根据菱形是中心对称图形可得，，故 【详解】解：如图，连接 是对角线的交点，且菱形是中心对称图形， 点和点关于点中心对称，点和点关于点中心对称， ． ， (SAS)． ． 菱形是中心对称图形，点是对称中心， 过对称中心的直线把菱形分为面积相等的两部分 ， 故答案为：①② 3．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，把边长为的等边绕边的中点O旋转，得到． (1)四边形是什么样的四边形？试说明理由． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)菱形，见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理． （1）由旋转知，，从而，从而可证明四边形ABCD是菱形； （2）先求出菱形对角线的长，再根据菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）四边形是菱形． 理由是：∵是等边三角形， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）∵O是边长为的等边的边的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形是菱形，点为对角线的中点，点在的延长线上，，垂足为，点在的延长线上，，垂足为． (1)若，求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，角直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先根据角直角三角形的性质得到，再由斜边中线得到，即可得到，即可证明为菱形； （2）连接，则、、在同一直线上，且由勾股定理得到，则，再由菱形面积公式求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形，， ． 又，， ． 点为菱形对角线的中点， ， ， 四边形是菱形． （2）解：连接， 则， 点为菱形对角线的中点， 、、在同一直线上，且，， ，，， ， ， 菱形的面积． 【变式训练6 根据菱形的性质与判定求角度】 1．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）在下列方案中，能够得到是的平分线的是（  ） 方案Ⅰ： 取，以A，B为顶点作平行四边形，连接． 方案Ⅱ： 取，以A，B为顶点作矩形，连接，交于点C，连接． A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 C．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质与判定、矩形的性质，解题的关键是正确推理． 根据菱形的性质与判定和矩形的性质证明即可． 【详解】解：方案Ⅰ： 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， （菱形的性质）， 是的平分线； 方案Ⅱ： 矩形， （矩形的性质）， ，， ， ， 是的平分线； 综上所述，方案Ⅰ、Ⅱ都可行． 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·吉林四平·期中）如图，在菱形中，E是的中点，的延长线交于点F，连接 (1)求证：； (2)连接，请判断与的位置关系，并说明理由； (3)当菱形满足________时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)垂直，见解析 (3) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （3）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求得，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明∶∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵是的中点， ∴， 在与中． ∴， ∴； （2）解：，理由：如图， ∵四边形是菱形 ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：当菱形满足时，四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是菱形 ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵．． ∴四边形是菱形 故答案为∶． 4．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分可证出结论； （）首先证明四边形是菱形，再用菱形的性质可得到，再根据两直线平行，同位角相等得到 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【变式训练7 根据菱形的性质与判定求线段长】 1．（2025·山西临汾·一模）如图，在中，，，和的平分线分别交BC于点E，F，与交于点，若，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质．在取点，使，连接，，交于点，证明四边形是菱形，利用勾股定理求得，再证明四边形是平行四边形，由此可以求出长． 【详解】解：在取点，使，连接，，交于点， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则； ∴四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：D． 2．（2025·湖南岳阳·二模）如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是4和3，则重叠部分的四边形中的对角线的长是 ． 【答案】 【分析】利用矩形的性质证明四边形为矩形，再证明，进而证明四边形为菱形，设，则，利用勾股定理建立等式求解得到，再利用等面积法即可求得对角线的长． 【详解】解：两个全等的纸片是矩形， ，， 四边形为平行四边形， 两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是4和3， 则如图，，， ， ， 四边形为菱形，， 设，则， ， ，解得， 连接， 有， 菱形的面积是， ，解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 3．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，点，分别是，的中点．连接并延长至点；使得．连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形与平行四边形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟记相关内容是解题关键． （1）根据，，先求证四边形是平行四边形；结合直角三角形斜边中线性质得到即可求证； （2）先根据菱形的性质得到，，，进而证明得到，在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 在中，∵，点D是的中点， ∴． ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·吉林·期末）在等腰直角三角形纸片中，点D是斜边的中点，，点E为上一点，将纸片沿折叠，点B的对应点为点，与交于点 (1)如图，连接、，若，则： 求证：四边形为菱形； 的形状为______； (2)如图，若与不平行，则的周长为______． 【答案】(1)详见解析；等腰三角形 (2) 【分析】（1）①由折叠得，，，由，得，得，所以，则，即可证明四边形为菱形； ②由，，点D是斜边的中点，得，，，而，，所以，，则，推导出，则是等腰三角形，于是得到问题的答案； （2）连接、，则，所以，而，则，所以，则，所以，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】（1）①证明：由折叠得，，， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． ②解：是等腰直角三角形，点D是斜边的中点， ，，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． （2）解：如图②，连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 【变式训练8 根据菱形的性质与判定求面积】 1．（24-25八年级下·广东湛江·期末）如图，在菱形中，与交于点O，，则菱形的面积为（   ）    A．48 B．96 C．120 D．192 【答案】B 【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得的长，从而得到的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，理解并运用勾股定理是解答本题的关键． 2．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，将矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开并顺次连接折痕端点后得到四边形．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查矩形与折叠，菱形的判定和性质，根据矩形和折叠的性质，推出四边形为菱形，根据菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵矩形对折， ∴垂直平分，垂直平分，， ∴四边形均为矩形， ∴，互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴四边形的面积为； 故答案为：6． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，矩形中，E为边上任意一点，连接，F为线段的中点，过点F作，与分别相交于点M,N，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10.2 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质证明，再证明其为平行四边形，再根据对角线垂直得到为菱形； （2）设，则，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∴． ∵F为的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为菱形． （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴ 设，则， 在中，由勾股定理， 得， ∴， 解得，即 ∴． 4．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，点E是矩形的边上一点，且． 【操作与验证】（1）尺规作图：在的延长线上找到一点F，连接，使得四边形是菱形，并给出相应证明； 【推理与计算】（2）在（1）的条件下，连接，若，且四边形的周长为32，求矩形的面积． 【答案】（1）作图见解析；证明见解析；（2） 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，尺规作图，熟练掌握矩形的性质，菱形的判定与性质及尺规作图是解题的关键． （1）在的延长线上截取点F，使得，先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质证明是等边三角形，再逐步求出，，，即可求得答案． 【详解】解：（1）如图所示，在的延长线上截取点F，使得，则点F即为所求； 证明：，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形； （2）菱形的周长为32， ． ， 是等边三角形， ． 在矩形中，， 在中，，， ， ， ． 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，所以在菱形中，，即，在中，因为，三角形内角和为，所以，因为菱形的对边平行，即，根据两直线平行，内错角相等，所以． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，即，， 在中，∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（2025九年级·全国·模拟预测）在正五边形中，连接对角线，其中相交于点，连接，交于点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正五边形的性质，菱形的判定与性质，首先由正五边形的性质可得，，，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得四边形为菱形，得，即，由菱形的性质和勾股定理得出，即可得到，可证明，即可得出，由正五边形内角和得到，结合菱形的性质得到，． 【详解】解：是正五边形， ，，， 四边形为菱形， ， ，故A选项正确； ， ，故B选项正确； ， ， ，故C选项正确； ， ，， ，故D选项不正确， 故选：D． 3．（2025·河南南阳·一模）如图，△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接AE、DF，要使AE、DF互相垂直平分，还需要添加一个条件，这个条件不可能是（    ） A． B． C． D．AE是△ABC的角平分线 【答案】C 【分析】由条件可先判定四边形ADEF为平行四边形，再利用等腰三角形的判定即可求得答案． 【详解】解：D、E、 F分别为AB、BC、AC的中点， DE、 EF分别为△ABC的中位线， DE//AF， EF//AB， 四边形ADEF为平行四边形， 若AB=AC即可求得四边形ADEF为菱形，故B选项可以， 当时，则可求得AB=AC，可得AD=AF，故A选项可以， 当AE是△ABC的角平分线时，可证得求得四边形ADEF为菱形，故D选项可以， 当AE=BC时，无法确定AB=AC，故C选项不可以， 要使四边形AEDF是菱形还需要添加一个条件，这个条件不可能是C， 故选．C． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 4．（2025·广西南宁·二模）如图，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边上，点B的对应点为F，折痕为，点E在边上，连接，若，则四边形的面积为（   ）    A．64 B．48 C．32 D．16 【答案】D 【分析】先证明四边形为菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边上，点B的对应点为F，折痕为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴四边形的面积为； 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，菱形的判定和性质．解题的关键是证明四边形为菱形． 5．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）如图所示，在四边形中，于点O，，，点H为线段上的一个动点，过点H分别作于点M，作于点N，连接，在点H运动的过程中，的最小值为（    ） A．6 B．7.8 C．8 D．9.8 【答案】B 【分析】证四边形是菱形，可得，连接，由三角形面积关系求出为定值，由垂线段最短可知，当时，最短，即可求解． 【详解】∵，， ∴，四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形， ∴ 连接，如图， ∵ ∴，即 ∴ ∴为定值 ∴当最短时，有最小值 由垂线段最短可知，当时，最短， 当点H与点O重合时，有最小值 最小值 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 6．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，在菱形中，若，则的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（24-25八年级下·北京朝阳·期中）如图，在中，点，分别是，边上的点，且，连接，．补充一个条件，可使四边形是菱形，这个条件是 ． 【答案】 【分析】证，得出，则，证出四边形是平行四边形，由，即可得出四边形是菱形． 【详解】解：添加，理由如下： 四边形是平行四边形， ，，，， 在和中， ， ， ， ， 即， 又∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 8．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，、分别是、上的动点，连接、，若，，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了轴对称路径最短问题，菱形的性质，勾股定理，作关于的对称点，则，当时，最小，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求出即可．能够确定的最小值是解决问题的关键． 【详解】解：如图，    作关于的对称点，则， ， 四边形是菱形， 在线段上， 当时，最小， 四边形是菱形，，，，，， ，， 在中， ， ， ， 故答案为：． 9．（2025·辽宁大连·一模）如图，将矩形纸片对折，使边与与分别重合，展开后得到四边形． 若，则四边形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定等知识点，根据矩形的性质，得出，．根据折叠可知，，，推出，则，推出四边形是菱形．由题意得，，则四边形的面积，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 由题意，得，， ∴四边形的面积． 故答案为：4． 10．（2025·安徽六安·一模）如图所示，在矩形纸片ABCD中，点 E、F分别是矩形的边AD、BC上的动点，将该纸片沿直线 EF折叠．使点B落在矩形边AD上，对应点记为点G，点A落在 M处，连接 EF、BG、BE，EF与BG交于点N．则： （1）四边形BEGF的形状是 ． （2）若AB=3，BC=6，当点G与点D重合时，线段EF的长为 ． 【答案】 菱形 【分析】（1）先证明得到，再由，即可证明四边形是菱形； （2）设，则，在Rt△BAE中，由勾股定理得，然后求出BD的长，再根据菱形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折可得，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故答案为：菱形； （2）∵四边形是菱形， ∴，当D，G重合时，如图，设，则， 在Rt△BAE中，由勾股定理得：, ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理与折叠，菱形的性质与判定等等，证明四边形是菱形是解题的关键． 11．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，菱形中的两条对角线相交于点O，其中，延长至点E，使，连接． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了利用平行四边形的判定与性质求解，利用菱形的性质求线段长，根据平行线的性质求角的度数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据菱形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求解； （2）先根据菱形的性质得出，即，从而可求得，再根据平行四边形的性质得出，从而可求得． 【详解】（1）解：由菱形性质可知：． ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∴的长度为8； （2）解：由菱形性质可知：，即． ∵， ∴． ∵， ∴． 12．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在平行四边形中，，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等边对等角，三角形的内角和，平行线的性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质得到，，再证明，得出四边形是平行四边形，再结合即可证明四边形是菱形． （2）利用四边形是菱形，得出，，推出，得出，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，中，是上任意一点，． (1)判断四边形的形状是_____； (2)连接，当满足什么条件时，四边形为菱形，并说明理由． 【答案】(1)平行四边形， (2)平分时，四边形为菱形，理由见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质与判定． （1）根据，可判断四边形为平行四边形； （2）根据为的平分线，得出，根据平行线的性质得出，即可得出，根据等边对等角可得，即可证明四边形为菱形． 【详解】（1）解：，， 四边形为平行四边形； （2）解：平分时，四边形为菱形，理由如下， 四边形为平行四边形， ∴， 当平分时 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形为菱形． 14．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，AC⊥BD交于点O． (1)求证：四边形ABCD为菱形； (2)如图2，过四边形的顶点A作于点，交于点，若，求四边形的面积； (3)如图3，过菱形的顶点A作，且，线段交于点，交BC于点，若、、三点共线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题意得出AC垂直平分BD，再由菱形的判定即可证明； （2）连接CH，根据菱形的性质及等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，再由其性质及勾股定理得出AE，结合图形得出求解即可； （3）连接CH，在OC上取一点Q，使得OH＝OQ，连接HQ．利用菱形的性质及全等三角形的判定得出△BEH≌△AEC，再由垂直平分线的性质及各角之间的关系得出QH＝QC＝OH，设OH＝m，则OQ＝m，结合图形中各线段间的数量关系即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵AD=AB，AC⊥BD， ∴AC垂直平分BD， ∴BC=CD， ∴BC=CD=AD=AB， ∴四边形ABCD为菱形； （2）如图，连接CH， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC， ∵AB＝AC＝6， ∴AB＝AC＝BC＝6， ∴△ABC是等边三角形， ∵AE⊥CB， ∴BE＝CE＝3， ∴AE＝， ∵AO＝OC，BE＝EC， ∴， ∴； （3）证明：如图中，连接CH，在OC上取一点Q，使得OH＝OQ，连接HQ． ∵AF⊥AD，AD＝AF， ∴∠ADF＝∠F＝45°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC＝∠ADC＝45°，ADCB， ∴AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∴∠BAE=∠ABC=45°， ∴BE=AE， ∵DA＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA＝67.5°， ∴∠EAC＝∠EBH＝22.5°， ∴△BEH≌△AEC（ASA）， ∴BH＝AC＝2OC， ∵BD垂直平分线段AC， ∴HA＝HC， ∴∠HCA＝∠HAC＝22.5°， ∵OQ＝OH， ∴∠OHQ＝∠OQH＝45°， ∵∠OQH＝∠QHC+∠QCH， ∴∠QHC＝∠HCQ＝22.5°， ∴QH＝QC＝OH， 设OH＝m，则OQ＝m，HQ＝CQ＝m， ∴OC＝m+m， ∴OH+OC＝m+m+m＝2m+m， ∵BH＝OC＝（m+m）＝m+2m， ∴OH+OC＝BH． 【点睛】题目主要考查菱形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 15．（25-26九年级上·广东深圳·期末）【课本重现】 你能用折纸、作图等方法得到一个菱形吗？动手试一试！ 小颖、小明和小刚三位同学分别做了以下操作： 【操作1】小颖同学按以下方式进行操作： （1）请写出小颖这样操作的理论依据（提示：文字语言表述，说明理由即可）． 【操作2】小明同学按以下方式进行操作： 如图2，在矩形的纸片上，利用无刻度直尺和圆规作对角线的垂直平分线分别交于E、F两点，再连接． （2）请按照操作2用尺规画出图形（保留作图痕迹，标明字母，不用写作法），并证明四边形是菱形； 【操作3】小刚同学按以下方式进行操作： 将两张相同的矩形纸片叠放在一起，可以重叠出一个菱形，当按如图3的方式将两个矩形的两个对角顶点重合进行叠放，得到的菱形边长最大． （3）已知如图3的矩形卡片中，，，则此时菱形的边长为______． 【答案】（1）见解析；（2）作图见解析，证明见解析；（3） 【分析】本题考查矩形的性质，折叠问题，三角形全等的判定与性质，菱形的判定，垂直平分线的作法及性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质及菱形的判定定理是解题的关键． （1）由题意可得两条折痕即为四边形的两条对角线，由折叠的性质可得所得四边形的对角线互相垂直且平分，根据菱形的判定定理，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； （2）根据题意，作线段的垂直平分线交于E、F两点，再连接即可；再证明，可得，即得四边形是平行四边形，再根据即可求证； （3）如图，利用矩形的性质可证，得到，同理易证，可得，再证明，得到，即可证明四边形是菱形，设，则，由菱形的性质可得，再根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图， 由题意可得为折痕，即为四边形的对角线， 由折叠的性质得垂直平分且垂直平分， 则四边形是菱形； （2）解：如图所示为所求； 由作图知，是的垂直平分线，则， 设交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （3）解：如图， ∵四边形，四边形是矩形，且两个矩形相同， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴此时菱形的边长为． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $