精品解析：浙江省绍兴市新昌县2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题

2025学年第一学期期末试卷九年级数学 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选，均不得分．） 1. 盼盼在公园散步时看到了如图所示石凳，则该石凳的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在同一平面内，已知的半径为5，若，则点P与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，则值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，P为外一点，分别与相切于点A，B，连接．若，则下列说法错误的是（ ） A. B. 是等边三角形 C. 垂直平分 D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为( ) A. B. C. 或 D. 或 8. 在第十五届全运会女子米跳台比赛中，一运动员完成某一跳后，其运动轨迹呈抛物线，重心相对于水面的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）之间的关系如下表所示：下列结论正确的是（ ） A. 运动员的重心相对于水面的最大高度是 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时，运动员的重心相对于水面的高度持续升高 D. 运动员的重心相对于水面的高度是时，水平距离仅为 9. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，其中点恰好在上，与交于点E，若，则的长为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 10. 已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆的内接正多边形的两条边，则这个正多边形的边数为（ ） A. 3或8 B. 6或8 C. 3或6 D. 5或6 非选择题部分 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知线段，线段c是a，b的比例中项，那么c的值为___． 12. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得新抛物线的函数表达式是___ 13. 在同样条件下对一批新进草莓进行甜度检测，统计甜度达标的草莓数，获得如下频数表： 检测草莓数量n（颗） 100 200 300 500 800 1000 甜度达标频数m 92 188 279 455 728 910 甜度达标频率 0.92 0.94 093 0.91 0.91 0.91 根据表中数据，估计2000颗该种草莓中，甜度达标的草莓约为___颗． 14. 如图，已知为的直径，为上一点，平分．若，则的度数为______． 15. 已知点都在二次函数的图象上，则___（填，，） 16. 如图，、是的直径，在上取点E使，过点B作的切线交的延长线于点G．连接交于点F，若， ，则的半径为___． 三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. （1）已知求代数式的值． （2）计算：． 18. 如图，在的网格上小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上，将绕点A顺时针旋转后得到． （1）画出． （2）求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 19. 在不透明的袋子里装有2个红球，3个蓝球（除颜色外其余都相同）． （1）从袋子中任意摸出一个球，求摸到红球的概率． （2）从袋子中任意摸出两个球，求摸到一个红球一个蓝球的概率． 20. 如图，四边形内接于，连结，且，延长至点E．求证：平分． 21. 如图，在中，在延长线上取一点P，连接交于点E，且 （1）求的值． （2）若的面积为9，求的面积． 22. 如图，某校数学实践小组计划测量一座古塔的高度．他们采用了如下步骤： ①在古塔正前方水平地面上的点处，用测角仪测得塔顶的仰角为； ②沿直线后退米到达点处（点，，在同一直线上），再次用测角仪测得塔顶的仰角为． 测角仪的高度忽略不计．根据以上信息解决下列问题： （1）在图中标注出角，用关于，，的代数式表示角的正弦、正切． （2）计算古塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 23. 对于一个函数，当时，函数有最大值与最小值，且最大值与最小值的和为0，则称这个函数为平衡函数．请结合上述定义，探究下列关于函数．的问题． （1）当时， ①求该函数最值． ②判断该函数是不是平衡函数，并说明理由． （2）若函数是平衡函数，求a的取值范围． 24. 图1是一个扫地机器人的俯视图，抽象为几何图形如图2（忽略刷子），传感器P在的弦上，．机器人扫地刷的安装线段关于所在的直线对称，且均与平行，扫地刷的固定端分别在线段上．当机器人停留在原地时，一个刷头旋转一周扫过的圆的半径为，且点P到所在直线的距离为． （1）求传感器P到圆心O的距离． （2）机器人沿射线方向清扫时，传感器P感应到在它南偏西方向处有一个障碍物M，若，试问机器人需不需要改变前进方向避开障碍物M，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末试卷九年级数学 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选，均不得分．） 1. 盼盼在公园散步时看到了如图所示的石凳，则该石凳的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图中的俯视图，解题的关键是明确俯视图是从物体正上方观察得到的视图，能看到的轮廓用实线，看不到的轮廓用虚线． 从上方观察该石凳，能看到凳面的长方形轮廓，以及下方两个支撑腿的长方形轮廓，且支撑腿的轮廓不可见，应用虚线表示． 【详解】解：A选项是从正面观察得到的主视图，不符合题意； B选项是从侧面观察得到的左视图，不符合题意； C选项中支撑腿的轮廓用实线表示，不符合俯视图的绘制规则，不符合题意； D选项中凳面为长方形，支撑腿的不可见轮廓用虚线表示，符合俯视图的要求，此选项符合题意． 故选：D． 2. 在同一平面内，已知的半径为5，若，则点P与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆半径的大小关系，即可判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为5，， ∴， ∴点P在内， 故选：A． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，可直接根据顶点式的坐标特点确定顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数顶点式为，其顶点坐标为， ∴在抛物线中，顶点坐标为， 故选：A． 4. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了余弦的定义，理解其定义是解题的关键． 根据余弦的定义计算即可． 【详解】解：由题意知，．   故选：C ． 5. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆锥侧面积计算公式计算即可：； 【详解】 ， 故选B． 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算公式，比较简单，直接代入公式计算即可． 6. 如图，P为外一点，分别与相切于点A，B，连接．若，则下列说法错误的是（ ） A. B. 是等边三角形 C. 垂直平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质． 根据题意得到，结合含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于点A，B， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴，，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴，是等边三角形，故B选项正确，不符合题意； 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得，，故D选项错误，符合题意；， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，故C选项正确，不符合题意； 故选：D ． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的性质，解题的关键是明确位似中心为原点时，对应点坐标的变化规律． 已知点，以原点为位似中心，将缩小为原来的，则位似比为或当位似比为时,的坐标为；当位似比为时,的坐标为 【详解】解：∵以原点为位似中心，将缩小为原来的， ∴位似比或． ∵点的坐标为， ∴当位似比为时,的坐标为； 当位似比为时,的坐标为． ∴点的对应点的坐标为或． 故选：． 8. 在第十五届全运会女子米跳台比赛中，一运动员完成某一跳后，其运动轨迹呈抛物线，重心相对于水面的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）之间的关系如下表所示：下列结论正确的是（ ） A. 运动员的重心相对于水面的最大高度是 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时，运动员的重心相对于水面的高度持续升高 D. 运动员的重心相对于水面的高度是时，水平距离仅为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是从表格获取对称点信息，利用二次函数的对称性、增减性等性质判断选项． 【详解】解：∵由表格可知，当与时，值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，故B正确， ∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时值大于， ∴最大高度大于，故A错误， ∵对称轴为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴时高度不是持续升高，故C错误， ∵由表格可知，和时，， ∴高度为时，水平距离为或，故D错误， 故选：B． 9. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，其中点恰好在上，与交于点E，若，则的长为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，，，可得，证明，再进一步求解即可． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质． 10. 已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆的内接正多边形的两条边，则这个正多边形的边数为（ ） A. 3或8 B. 6或8 C. 3或6 D. 5或6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，设该圆内接正多边形的边数为，则每条边对应的圆心角为，通过分析弦对应的圆心角与已知角的关系，分情况计算正多边形的边数． 【详解】解：设该圆内接正多边形的边数为，则每条边对应的圆心角为， 当角的顶点在圆上时，如图， ∵， ∴圆的内接正多边形每个内角的度数为， ∴， ∴； 当角的顶点在圆外时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，正多边形的边数为或． 故选：C． 非选择题部分 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知线段，线段c是a，b的比例中项，那么c的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键．根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项． 【详解】解：线段c是a、b的比例中项， ， 解得：， 又线段的长度是正数， ． 故答案为：． 12. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得新抛物线的函数表达式是___ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，关键是熟练应用规律解题；根据二次函数图象平移的规律解答即可． 【详解】解：∵将抛物线 向左平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后得到：， 故答案为：． 13. 在同样条件下对一批新进草莓进行甜度检测，统计甜度达标的草莓数，获得如下频数表： 检测草莓数量n（颗） 100 200 300 500 800 1000 甜度达标频数m 92 188 279 455 728 910 甜度达标频率 0.92 0.94 0.93 0.91 0.91 0.91 根据表中数据，估计2000颗该种草莓中，甜度达标的草莓约为___颗． 【答案】1820 【解析】 【分析】本题主要考查频率估算概率，根据频率的稳定性，当试验次数足够大时，频率趋于概率，表中数据显示频率稳定在附近，因此用作为概率估计值． 【详解】解：从频数表可知，当检测草莓数量较大时，甜度达标的频率均稳定在附近， 因此概率估计值为， ∴对于2000颗草莓，甜度达标的数量约为颗． 故答案为：1820． 14. 如图，已知为的直径，为上一点，平分．若，则的度数为______． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，得到，，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 为的直径，， ， ， 平分， ， 故答案为： ． 15. 已知点都在二次函数的图象上，则___（填，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，函数值大小的比较． 通过将点代入二次函数解析式，得到，然后计算与的差值，得到，代入均大于0，故． 【详解】解：由点在二次函数图象上， 代入得， 化简得，即， ∵ ∴ 当时，； 当时，， 故，即 故答案为：． 16. 如图，、是的直径，在上取点E使，过点B作的切线交的延长线于点G．连接交于点F，若， ，则的半径为___． 【答案】## 【解析】 【分析】连接、，设的半径为r，则，，，求出，证明，得出，求出，证明，得出，求出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，求出r的值，即可得出答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设的半径为r，则，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. （1）已知求代数式的值． （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的计算，特殊角的三角函数值的计算， （1）根据分式的性质将所求代数式变形为，代入计算即可求解； （2）根据特殊角的三角函数值计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：． 18. 如图，在的网格上小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点上，将绕点A顺时针旋转后得到． （1）画出． （2）求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，扇形面积的计算，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点B、C对应点的位置，再与点A顺次连接即可； （2）利用网格求出的长度，再根据扇形的面积公式列式计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：由题意得，， 边扫过的图形面积=． 19. 在不透明的袋子里装有2个红球，3个蓝球（除颜色外其余都相同）． （1）从袋子中任意摸出一个球，求摸到红球的概率． （2）从袋子中任意摸出两个球，求摸到一个红球一个蓝球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了运用列表法或画树状图法求随机事件的概率． （1）根据概率公式计算即可； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵不透明袋子里装有2个红球，3个蓝球， ∴摸到红球的概率为． 【小问2详解】 解：从袋子中任意摸出两个球，所有可能的结果如下图，且各种结果的可能性相同． 红1 红2 蓝1 蓝2 蓝3 红1 红1，红2 红1，蓝1 红1，蓝2 红1，蓝3 红2 红2，红1 红2，蓝1 红2，蓝2 红2，蓝3 蓝1 蓝1，红1 蓝1，红2 蓝1，蓝2 蓝1，蓝3 蓝2 蓝2，红1 蓝2，红2 蓝2，蓝1 蓝2，蓝3 蓝3 蓝3，红1 蓝3，红2 蓝3，蓝1 蓝3，蓝2 所有可能的结果数为20，其中一个红球一个蓝球的结果数有12， ∴摸到一个红球一个蓝球的概率为． 20. 如图，四边形内接于，连结，且，延长至点E．求证：平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质得出，再根据，圆周角定理证明，即可得出结论． 【详解】证明：四边形内接于， ． 又， ． ， ， ， ， ，即平分． 21. 如图，在中，在延长线上取一点P，连接交于点E，且 （1）求的值． （2）若的面积为9，求的面积． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质证明，由此即可求解； （2）根据题意得到，证明，由相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：在平行四边形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴，即的面积为16． 22. 如图，某校数学实践小组计划测量一座古塔的高度．他们采用了如下步骤： ①在古塔正前方水平地面上的点处，用测角仪测得塔顶的仰角为； ②沿直线后退米到达点处（点，，在同一直线上），再次用测角仪测得塔顶的仰角为． 测角仪的高度忽略不计．根据以上信息解决下列问题： （1）在图中标注出角，用关于，，的代数式表示角的正弦、正切． （2）计算古塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 【答案】（1）图见解析， （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义、解直角三角形的应用（仰角问题）以及一元一次方程的应用，熟练掌握利用正切函数表示直角三角形的边长，并根据线段差建立方程求解是解题的关键． （1）根据直角三角形中锐角三角函数的定义，在中，，因此可以直接用对边、斜边和邻边的比值来表示角的正弦和正切． （2）在两个直角三角形和中，分别利用和正切值，将和用古塔高度表示出来，再根据米的条件列出方程，求解方程即可得到的长度． 【小问1详解】 解：如图． 由题意可知，，即． 在中， 【小问2详解】 解：在中，∵， 在中，∵， 设米，则 解得≈． ∴古塔的高度为米． 23. 对于一个函数，当时，函数有最大值与最小值，且最大值与最小值的和为0，则称这个函数为平衡函数．请结合上述定义，探究下列关于函数．的问题． （1）当时， ①求该函数的最值． ②判断该函数是不是平衡函数，并说明理由． （2）若函数是平衡函数，求a取值范围． 【答案】（1）①该函数的最大值为2，最小值为；②是，理由见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、最值求解及新定义“平衡函数”的应用，解题的关键是根据对称轴位置分类讨论二次函数在给定区间上的最大值与最小值． （1）①将代入函数解析式，配方后求出区间内的最大值与最小值；②求出区间内的最大值与最小值，验证其和是否为0，判断是否为平衡函数； （2）将函数配方得对称轴为，按、、、分类讨论最值，结合最大值与最小值和为0求出的取值范围． 【小问1详解】 解：①当时， 当时，函数y有最小值． 当时，函数y有最大值． ②由①可知函数图象的对称轴是直线，开口向上． 当时，y随着x的增大而减小， ∴当时，，当时，． ∴该函数是平衡函数． 【小问2详解】 解：， ∴函数图象的对称轴是直线，开口向上． ∵， ∴就a的范围可以分下列几种情况： 当时，y随着x的增大而增大． ∴y在处取最小，即在处取最大，即．． ∵， ∴满足题意． 当且，即当时， y在处取最小，即y在处取最大． ∵该函数是平衡函数， 解得（不合题意，舍去）． 当且，即当时， y在处取最小，即．y在处取最大，． ∵该函数是平衡函数， 解得（不合题意，舍去） 当时，y随着x的增大而减小． y在处取最大，即在处取最小，． ∴满足题意． 综上所述，或． 24. 图1是一个扫地机器人的俯视图，抽象为几何图形如图2（忽略刷子），传感器P在的弦上，．机器人扫地刷的安装线段关于所在的直线对称，且均与平行，扫地刷的固定端分别在线段上．当机器人停留在原地时，一个刷头旋转一周扫过的圆的半径为，且点P到所在直线的距离为． （1）求传感器P到圆心O的距离． （2）机器人沿射线方向清扫时，传感器P感应到在它的南偏西方向处有一个障碍物M，若，试问机器人需不需要改变前进方向避开障碍物M，请说明理由． 【答案】（1） （2）机器人需要改变前进方向避开障碍物M，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值的计算． （1）连接，运用垂径定理和勾股定理即可求解； （2）根据题意证明，得到，结合题意得到一个刷头旋转一周扫过的区域中的点到直线的最远距离为，在中，由含角的直角三角形得到，由此即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴，即， 在中，， ∴传感器P到圆心O的距离为． 【小问2详解】 解：机器人需要改变前进方向避开障碍物M，理由如下： 如图，延长交直线于点G， ∵关于所在的直线对称， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵一个刷头旋转一周扫过的圆的半径为， ∴一个刷头旋转一周扫过的区域中的点到直线的最远距离为：， 根据题意作出点，连接，过作于点，则， 在中，， ∴， ∵， ∴机器人需要改变前进方向避开障碍物M． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $