精品解析：海南省定安县2025-2026学年度第一学期期末考试 九年级数学科试题(常规卷)

定安县2025-2026学年度第一学期期末考试 九年级数学科试题（常规卷） （考试时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分） 1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入100元记为元，那么支出60元记为（ ） A. 元 B. 60元 C. 元 D. 40元 2. 当x=﹣1时，代数式3x+1的值是（　　） A. ﹣1 B. ﹣2 C. 4 D. ﹣4 3. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据149600000表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下面四个几何体中，主视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 分式方程的解是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 某小组8名学生的中考体育分数单位（分）如下：39，40，40，42，42，42，43，44，则该组数据的众数、中位数分别为（ ） A. 40，42 B. 42，43 C. 42，42 D. 42，41 8. 在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度到处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 若点与在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且．按以下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交，于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交于点F．则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题：（本大题满分12分，每小题3分） 13. 满足的整数可以是______（写出一个符合题意的数即可）． 14. 因式分解：a2﹣6a+9=_____． 15. 如图，是的直径，是的弦，连接．若，则________． 16. 如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则_____，的最大值是_____． 三、解答题：（本大题满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算和解不等式组． （1）计算：； （2）解不等式组：． 18. 每年的月日为国际数学日，在国际数学日到来之际，某校计划到文具店购买数学益智玩具七巧板和数独棋，已知购买副七巧板和副数独棋需要元，购买副七巧板和副数独棋需要元．求副七巧板和副数独棋的单价各是多少元． 19. 我县某校八年级学生报名参加某研学基地的五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）本次调查活动采用的调查方式是_____（填写“普查”或“抽样调查”）； （2）抽取的学生人数是_____，扇形统计图中类所对应扇形的圆心角的度数是_____； （3）估计该校400名八年级学生中填报类研学项目的学生有_____人； （4）甲、乙两名学生分别从三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 20. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，米，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． （1）填空：_____，_____； （2）求点离水平地面的高度； （3）求电线塔的高度（结果保留根号）． 21. 如图1，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点重合），点在上，满足，延长交于点． （1）若，求证：； （2）求证：； （3）如图2，连接，当时，求的值． 22. 如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）求四边形的面积； （3）如图2，是抛物线上的一动点且在第二象限内．连接交于点，当时，求点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定安县2025-2026学年度第一学期期末考试 九年级数学科试题（常规卷） （考试时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分） 1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入100元记为元，那么支出60元记为（ ） A. 元 B. 60元 C. 元 D. 40元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际应用，明确正负数表示相反意义的量是关键．根据题意，收入记为正，则支出应记为负，直接对应数值即可． 【详解】解：∵若收入100元记为元，则支出60元应记为与其相反的符号，即元， 故选：A． 2. 当x=﹣1时，代数式3x+1的值是（　　） A. ﹣1 B. ﹣2 C. 4 D. ﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】把x的值代入进行计算即可． 【详解】把x=﹣1代入3x+1， 3x+1=﹣3+1=﹣2， 故选B． 【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据149600000表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 4. 下面四个几何体中，主视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度得出正确视图是解题的关键．利用从正面看到的图叫做主视图判断即可． 【详解】解：A、主视图为圆，故本选项不符合题意； B、主视图为三角形，故本选项符合题意； C、主视图为矩形，故本选项不符合题意； D、主视图为正方形，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的运算及合并同类项法则，掌握好相关的运算法则是关键． 根据幂运算和合并同类项的法则逐一验证即可． 【详解】解：对于选项A：合并同类项时，系数相加，字母和指数不变，因此，而不是，故A错误； 对于选项B：同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此 ，而不是，故B错误； 对于选项C：幂的乘方，底数不变，指数相乘，因此 ，而不是，故C错误； 对于选项D：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此 ，故D正确． 故选：D． 6. 分式方程的解是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．先去分母化分式方程为整式方程，求出方程的解后再检验即可． 【详解】解：， 去分母，得， 解得， 当时，， ∴是原方程的解． 故选D 7. 某小组8名学生的中考体育分数单位（分）如下：39，40，40，42，42，42，43，44，则该组数据的众数、中位数分别为（ ） A. 40，42 B. 42，43 C. 42，42 D. 42，41 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 先将数据按照从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解可得． 【详解】解：将这组数据排列为，，，，，，，， 所以这组数据的众数为，中位数为， 故选：． 8. 在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度到处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查点的平移，掌握平移规律是关键． 根据平面直角坐标系中点的平移规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，即可解题． 【详解】解：点向右平移3个单位长度，横坐标需加3，即，纵坐标2保持不变， ∴平移后的点坐标为， 故选：B． 9. 若点与在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据，反比例函数图象分布在一、三象限，当时，当时，进行判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在一、三象限，当时，当时， ∵， ∴， 即， 故选：． 10. 将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和三角板的相关计算，熟练掌握平行线的性质是关键．根据平行线的性质得到，，进一步即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C 11. 如图，为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且．按以下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交，于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交于点F．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用直径所对的角是直角求得，再利用直角三角形两个锐角互余，求得，然后利用角平分线的意义求得，再利用外角性质求得． 【详解】解：∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∵又平分， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了直径所对的角是直角，利用直角三角形两个锐角互余，角平分线的意义，三角形外角性质，解题关键是熟悉上述知识，并能运用这些知识点求解． 12. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键． 二、填空题：（本大题满分12分，每小题3分） 13. 满足的整数可以是______（写出一个符合题意的数即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，先整理得，结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴整数可以是， 故答案为：3（答案不唯一） 14. 因式分解：a2﹣6a+9=_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：直接运用完全平方公式分解即可.a2-6a+9=（a-3）2. 考点：因式分解. 15. 如图，是的直径，是的弦，连接．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则_____，的最大值是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，中位线的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识是关键． 连接、，在直角中，使用勾股定理求出．容易判断出是的中位线，则，结合，求出的最大值． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是矩形， ∴，， 在直角中，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴当点与点重合时，取得最大值，此时， ∴的最大值为． 故答案为：；． 三、解答题：（本大题满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算和解不等式组． （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂与负指数幂，解一元一次不等式组，掌握好相关知识是关键． （1）先将零指数幂与负指数幂化简，再按照实数的混合运算的法则进行计算即可； （2）先求出每个不等式的解集，再选取公共部分作为不等式组的解集． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为． 18. 每年的月日为国际数学日，在国际数学日到来之际，某校计划到文具店购买数学益智玩具七巧板和数独棋，已知购买副七巧板和副数独棋需要元，购买副七巧板和副数独棋需要元．求副七巧板和副数独棋的单价各是多少元． 【答案】副七巧板的单价为元，副数独棋的单价为元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并找到等量关系是解题关键． 设副七巧板的单价为元，副数独棋的单价为元，根据题意列出方程组并求解即可． 【详解】解：设副七巧板的单价为元，副数独棋的单价为元， 根据题意，可列方程组： 由①变形，得， 将③代入②，得， 解得， 将代入③，得， ， ∴方程组的解为． 答：副七巧板的单价为20元，副数独棋的单价为35元． 19. 我县某校八年级学生报名参加某研学基地的五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）本次调查活动采用的调查方式是_____（填写“普查”或“抽样调查”）； （2）抽取的学生人数是_____，扇形统计图中类所对应扇形的圆心角的度数是_____； （3）估计该校400名八年级学生中填报类研学项目的学生有_____人； （4）甲、乙两名学生分别从三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 【答案】（1）抽样调查 （2）50人； （3）80人 （4）；列表法见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体以及用列表法或树状图法求随机事件的概率，解题的关键是从统计图中提取有效信息（如部分数量及对应百分比）计算总人数和各项目人数，再通过样本比例估计总体数量，同时准确列举所有可能结果计算概率． （1）根据题意可得本次调查活动采用的调查方式是抽样调查； （2）由B类人数人）及占比求抽取学生总数即可；计算D类人数占比，再用360度乘以占比即可求得圆心角； （3）先求得样本中C类人数占比，再用总体人数乘以该占比即可； （4）列表列举甲、乙从A、B、C三类中选择的所有可能结果数，再找出两人选同一项目的结果数，然后用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：本次调查活动采用的调查方式是抽样调查； 故答案为：抽样调查． 【小问2详解】 解：∵B类有人，且占抽取学生总数的， ∴抽取的学生人数为（人）． ∵D类有人， ∴D类人数占总人数的比例为， 则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为． 故答案为：50人；． 【小问3详解】 解：∵总人数为人，A类8人，B类人，D类人，E类6人， ∴C类人数为（人）， ∵样本中C类人数为人，占抽取总人数的比例为， ∴估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为（人）． 答：估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生有人． 【小问4详解】 解：设A、B、C三类项目分别用字母A、B、C表示，列表如下： 甲 乙 A B C A B C 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人填报同一项目的结果有3种：、、． ∴他们两人填报同一项目的概率为． 答：他们两人填报同一项目的概率是． 20. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，米，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． （1）填空：_____，_____； （2）求点离水平地面的高度； （3）求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）； （2）点离水平地面的高度为米 （3）电线塔的高度为米． 【解析】 【分析】（1）根据仰角和俯角的定义以及三角形的内角和定理进行计算即可； （2）由坡度的定义可得，，使用勾股定理构造方程并求解即可； （3）设米，利用正切函数的定义表示出和，容易证明四边形是矩形，则米，米．在直角中，由正切函数的定义构造方程并求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作，垂足为， 由题意可知，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由题意可得，， ∵斜坡的坡度， ∴，即， 在直角中，， ∴， 解得米． 答：点离水平地面的高度为米． 【小问3详解】 解：如图，设米， 由（2）可得，米，米， 在直角中，， ∴米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴米， 在直角中，， ∴， ∴， 解得， ∴米． 答：电线塔的高度为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，坡度、仰角和俯角的概念，特殊角的三角函数值，矩形的判定与性质，添加垂线构造直角三角形是解题关键． 21. 如图1，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点重合），点在上，满足，延长交于点． （1）若，求证：； （2）求证：； （3）如图2，连接，当时，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，再根据边角边的判定定理证明全等即可； （2）设，由可得，．结合正方形的性质可得，，，从而求得，将和相加即可； （3）作，垂足为，过点作的平行线，交的延长线于点，根据等腰三角形的性质可得．容易证明，则．由（2）可得，，从而得到，结合平行线的性质可得，则．根据平行可判定，则． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴； 【小问2详解】 证明：设， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，作，垂足为，过点作的平行线，交的延长线于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，添加平行线构造相似三角形是解题关键． 22. 如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）求四边形的面积； （3）如图2，是抛物线上的一动点且在第二象限内．连接交于点，当时，求点的横坐标． 【答案】（1）；顶点的坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定． （1）待定系数法求解析式，进而将解析式化为顶点式求得顶点坐标，即可求解； （2）先求得点，过点作轴于点，根据四边形的面积，即可求解； （3）先求得直线的解析式，过点作轴的平行线，交于点，证明，根据相似三角形的性质结合已知可得，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入得 解得： ∴ ∵ ∴顶点的坐标为 【小问2详解】 解：当时， 解得： ∴ 如图所示，过点作轴于点， ∴， 又∵，的坐标为， ∴，，，， ∴四边形的面积 ； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 如图，过点作轴的平行线，交于点， 设，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， 解得：或． 即点的横坐标为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $