精品解析：山东烟台市牟平区2025-2026学年上学期期末八年级（五四制）数学试题

2025-2026学年度第一学期期末质量检测 初三数学试题 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（共12个小题，每小题3分，满分36分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 以下各式不论为何实数，一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 围棋最早起源于中国，古代称为“弈”，是中国文化与文明的体现，深受国人青睐．以下由黑白棋子组成的图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 3. 若的对角线，交于点，以下结论错误的是（ ） A. B. 一定是中心对称图形 C. 若，则 D. 不可能是轴对称图形 4. 期末学校组织体育测试，现任意抽出60名同学的体育测试分数，并对其进行统计，如图所示．关于这60名同学的分数，下列说法正确的是（ ） A. 中位数21 B. 平均数是80 C. 极差是15 D. 众数是85 5. 如图，的对角线交点在原点，若，则点的坐标是（ ）； A. B. C. D. 6. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某选手在蹦床比赛中，七位评委的打分是：7.5，7.5，8.8，9.0，9.3，9.4，9.8．工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 8. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ） A. 且 B. C. 或 D. 11. 在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ） A. 四边形周长 B. 的大小 C. 四边形的面积 D. 线段的长 12. 如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与，重合），连接，作交于，连接，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是________（填一个即可）． 14. 计算的结果是______． 15. 实验中学举行演讲比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项综合评分所占百分比如下图所示．则平均分最高的选手是________． 选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分 甲 7 7 9 乙 8 7 8 丙 7 8 8 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上，．若将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为________． 17. 如图，在菱形中，，分别为，的中点，且，，则菱形的面积为________． 18. 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是______． 三、解答题（满分66分） 19. （1）因式分解： （2）解分式方程： 20. 如图，五边形各顶点的坐标分别为，，，，，将五边形先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新五边形，点、、、、分别对应点、、、、． （1）画出平移后的新五边形并标明字母； （2）如果将新五边形看成是由原五边形经过一次平移得到，请直接写出这次平移的平移方向和平移距离． 21. 2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 22. 先化简，再求值：，其中a是使不等式成立的正整数． 23. 如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，试判断四边形的形状，并证明． 24. 1984年7月29日，许海峰在第23届洛杉矶奥运会上以566环的成绩获得自选手枪慢射金牌，成为中国第一个获得奥运会金牌的运动员，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．教练组想了解青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲队员成绩的众数为________环，乙队员成绩的中位数为________环； （2）①从平均数和方差角度分析，你认为甲、乙两名队员哪一位射击整体水平高一些？；②如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是________；（填“平均数”或“众数”或“中位数”） （3）若丙队员10次成绩众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩，并分析说明．（画出一种情况即可） 25. 在中，，点D在射线上，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段（点E不在直线上），过点E作，交直线于点F． （1）如图1，，点D与点C重合，求证：； （2）如图2，点D，F都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 26. 四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． （1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量检测 初三数学试题 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（共12个小题，每小题3分，满分36分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 以下各式不论为何实数，一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件；根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0的条件，逐一分析各选项是否存在使式子无意义的实数，进而确定正确选项． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为0 对于选项A：当即时，分母，分式无意义，故A不符合题意． 对于选项B：当时，分母，分式无意义，故B不符合题意． 对于选项C：当时，被开方数，二次根式无意义；且当时，分母，分式无意义，故C不符合题意． 对于选项D：∵不论为何实数，， ∴，二次根式有意义； 又∵， ∴，分母不为，分式有意义，故D符合题意． 故选：D． 2. 围棋最早起源于中国，古代称为“弈”，是中国文化与文明的体现，深受国人青睐．以下由黑白棋子组成的图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心，理解中心对称图形的概念是关键；根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：由四个图案知，只有选项C中的图案能够找到一点，图案绕此点旋转后能够与原图案重合，其他图案则都不是中心对称图形； 故选：C． 3. 若的对角线，交于点，以下结论错误的是（ ） A. B. 一定是中心对称图形 C. 若，则 D. 不可能是轴对称图形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、中心对称图形与轴对称图形的判定、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的相关性质是解题关键．根据平行四边形的性质、中心对称图形与轴对称图形的判定、菱形的判定与性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴（平行四边形对角相等），故A正确，不符合题意； ∵平行四边形都是中心对称图形，对称中心为对角线交点，故B正确，不符合题意； ∵，且平行四边形对角线互相平分，即， ∴ ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）， ∴（菱形的邻边相等），故C正确，不符合题意； ∵当平行四边形是菱形或矩形时，它是轴对称图形，故D错误，符合题意； 故选：D． 4. 期末学校组织体育测试，现任意抽出60名同学的体育测试分数，并对其进行统计，如图所示．关于这60名同学的分数，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是21 B. 平均数是80 C. 极差是15 D. 众数是85 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数与中位数，极差与平均数，一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，最大数与最小数的差叫做极差；按照中位数、平均数、极差及众数的求法进行求解即可． 【详解】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，而，故中位数为， 由图知，分数为90分与95分的人数相等且为，则平均数为 ，极差为，故只有选项D正确； 故选：D． 5. 如图，的对角线交点在原点，若，则点的坐标是（ ）； A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，关于原点对称的点的坐标特征；由平行四边形是中心对称图形即可求解． 【详解】解：在中，A、C关于原点成中心对称， ∵， ∴． 故选：A． 6. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义及平方差公式、十字相乘法的应用，需逐一验证每个选项是否符合因式分解的要求及运算规则． 【详解】解：对于选项A：，而选项中右边为，与左边不相等，故A错误． 对于选项B：，而选项中右边，与左边不相等，故B错误． 对于选项C： ∵ 又∵ ∴，与选项一致，故C正确． 对于选项D：因式分解需将多项式化为几个整式乘积的形式，而选项右边仍含加法运算，不符合因式分解的定义，故D错误． 故选：C． 7. 某选手在蹦床比赛中，七位评委的打分是：7.5，7.5，8.8，9.0，9.3，9.4，9.8．工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查统计量的变化情况，需根据平均数、中位数、众数、方差的定义，分别分析去掉一个最高分和一个最低分后各统计量是否发生变化，关键是掌握中位数的定义及性质． 【详解】解：∵原数据排序为，共7个数据， ∴原中位数为第4个数据，即， ∵去掉一个最高分和一个最低分后，剩余数据为，共5个数据， ∴剩余数据的中位数为第3个数据，即，中位数未发生变化， ∵原数据平均数为，去掉后平均数为，平均数发生变化， ∵原众数为（出现2次），去掉后仅出现1次，众数发生变化， ∵方差与数据和平均数有关，平均数改变且数据调整，方差发生变化， ∴一定不发生变化的是中位数， 故选B． 8. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵正六边形与正方形的两邻边相交， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质及四边形内角和；由折叠的性质及平行四边形的性质，，，由四边形内角和即可求解． 【详解】解：由折叠知，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ） A. 且 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解的情况，分式方程无解分两种：变形后的整式方程无解，或整式方程的解是原分式方程的增根，需分别讨论这两种情况求的值． 【详解】解：∵原方程 ∴将方程变形为 方程两边同乘（），得 整理得 ∵原分式方程无解 ∴分两种情况讨论： ①当整式方程无解时，，解得 ②当整式方程的解为增根时，增根为，将代入，得，解得 综上，或， 故选：C． 11. 在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ） A. 四边形的周长 B. 的大小 C. 四边形的面积 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， ， 同理，且． ∴四边形是平行四边形， 则与的面积分别为与面积的一半， 四边形面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误． 选项B：随位置改变，错误． 选项D：长度随、移动改变，错误． 综上，四边形的面积是定值， 故选：． 12. 如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与，重合），连接，作交于，连接，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判断与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先根据正方形的性质和已知条件可证可得可判断①；由可得，进而证明可得，再结合可得，即可判断②；根据线段的和差可得，然后分别在和中运用勾股定理可判断③．当点接近点时，点接近点，接近，此时，即④错误． 【详解】解：∵正方形， ∴, ∴, ∵交于， ∴， ∴, ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴, ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即②正确； ∵， ∴，即， ∵中，， ∴， ∵中，， ∴， ∴，即③正确； 当点接近点时，点接近点，接近，此时，故④错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式加上一个单项式后可以变为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可． 【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为，理由如下： ， ∴符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的加减运算，先通分，再计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 15. 实验中学举行演讲比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项综合评分所占百分比如下图所示．则平均分最高的选手是________． 选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分 甲 7 7 9 乙 8 7 8 丙 7 8 8 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算；计算出甲、乙、丙三位选手的平均数，比较平均数的大小即可． 【详解】解：甲选手的平均分：， 乙选手的平均分：， 丙选手的平均分：， 而， 故乙选手平均分最高； 故答案为：乙． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上，．若将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，图形的旋转变换及其性质，依题意得，根据点得，由旋转的性质得，且点在x轴的负半轴上，正方形的边长为5，由此即可得出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为5， ∴， ∵点， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，且点在x轴的负半轴上，正方形的边长为5， ∴点的坐标为． 故答案为：． 17. 如图，在菱形中，，分别为，的中点，且，，则菱形的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理；由菱形的性质及直角三角形的性质得，由三角形中位线定理求得，由勾股定理求得，即可求得菱形的面积． 【详解】解：在菱形中，， ∵为的中点， ∴， ∵，分别为，的中点，且， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 菱形的面积为． 故答案为：24． 18. 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，通过三角形中位线定理进行转化是解题的关键．连接，先由勾股定理求得，则，再由三角形中位线定理得到，即可求解的最大值． 【详解】解：连接， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵点G为的中点，点H为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当点重合时，取得最大值为5， 故答案为：5． 三、解答题（满分66分） 19. （1）因式分解： （2）解分式方程： 【答案】 （1） （2）分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解分式方程． （1）先提取公因式，再依次用完全平方公式、平方差公式进行因式分解； （2）先确定最简公分母，去分母将分式方程化为整式方程，求解后检验判断是否为增根． 【详解】解：（1）    ； （2）   两边同乘得，  展开得  整理得  解得  当时，． ∴是增根，原分式方程无解． 20. 如图，五边形各顶点的坐标分别为，，，，，将五边形先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新五边形，点、、、、分别对应点、、、、． （1）画出平移后的新五边形并标明字母； （2）如果将新五边形看成是由原五边形经过一次平移得到的，请直接写出这次平移的平移方向和平移距离． 【答案】（1）见解析 （2）由到的方向，平移距离是个单位长度 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移与作图，勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键． （1）根据平移的性质作出图形即可； （2）利用勾股定理求出对应点的连线的长度，即可判断出图形沿着平移的距离． 【小问1详解】 解：如图所示，五边形即为所求作图形． 【小问2详解】 解：连接， 则， ∴这一平移的平移方向是：由到的方向，平移距离是个单位长度． 21. 2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【答案】（1）每个A种挂件的价格为25元 （2）该游客最多购买11个A种挂件 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为，根据题意列分式方程求解即可； （2）设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元． 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，且符合题意， 答：每个A种挂件的价格为25元； 【小问2详解】 解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件， 由（1）得每个B种挂件的价格为（元）， 根据题意，得， 解得， 由于y为正整数， 故该游客最多购买11个A种挂件． 22. 先化简，再求值：，其中a是使不等式成立的正整数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数的值，再代入数据计算即可． 【详解】解：原式 ． ，解得． 是使不等式成立的正整数，且，， ， 原式． 23. 如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，可得，结合可得结论； （2）由，点是边上的中点，可得即，结合由（1）得四边形是平行四边形，从而可得结论. 【小问1详解】 证明：∵点为的中点 ∴， ∵ ∴，， 在和中 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：当时，四边形是矩形， 理由如下： ∵ ，点是边上的中点， ∴ 即， ∵ 由（1）得四边形是平行四边形， ∴ 四边形是矩形. 24. 1984年7月29日，许海峰在第23届洛杉矶奥运会上以566环的成绩获得自选手枪慢射金牌，成为中国第一个获得奥运会金牌的运动员，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．教练组想了解青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲队员成绩的众数为________环，乙队员成绩的中位数为________环； （2）①从平均数和方差角度分析，你认为甲、乙两名队员哪一位射击的整体水平高一些？；②如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是________；（填“平均数”或“众数”或“中位数”） （3）若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩，并分析说明．（画出一种情况即可） 【答案】（1）8；7 （2）①甲射击的整体水平高一些；②平均数 （3）图见解析；分析见解析 【解析】 【分析】本题考查了众数、平均数、中位数、方差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由统计图结合众数的概念即可求解；把乙队员成绩按大小排列，中间第5、6两个数的平均数即为中位数； （2）①分别计算甲乙两队员的平均数与方差，进行比较即可； ②分析平均数、众数及中位数即可作出判断； （3）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图知，甲队员成绩8环出现的次数为4次，是最多的，故众数是8环； 乙队员成绩的中位数为第5、6两个数据的平均数，由统计图知，成绩为6环的有4次，成绩为7环的有2次，则中位数为（环）； 故答案为：8；7； 【小问2详解】 解：①，， ， ， 由于，则甲的射击成绩的整体水平较好； ②显然乙的众数与中位数不变，只有平均数变化； ； 故答案为：平均数； 【小问3详解】 解： 由（1）知甲队员的中位数是8环，众数为8环，由（2）知其平均数为8环； 由于丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员， 则补全丙队员的成绩如下： 此时丙队员10次成绩的众数为9环，中位数为（环），平均数为： （环），显然它们均大于甲队员对应的统计量． 25. 在中，，点D在射线上，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段（点E不在直线上），过点E作，交直线于点F． （1）如图1，，点D与点C重合，求证：； （2）如图2，点D，F都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析； （2），见解析． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据，得出，根据旋转可得，进而证明四边形是平行四边形，得出，即可得证； （2）在上取一点，使得，证明，得出，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证． 【小问1详解】 证明∶∵， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点D与点C重合， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，在上取一点，使得， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． （1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （2）根据正方形性质，证明，即可得出结论； （3）作，得到，平行线分线段成比例得到，进而得到为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，勾股定理得到，再根据，即可得出结论． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵正方形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， 当点E与点A重合时，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵正方形， ∴， ∵点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 ，理由如下： 由（2）可知：， ∴，， 作于点，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $