精品解析：山东烟台市蓬莱区2025-2026学年上学期期末八年级（五四学制）数学试题

蓬莱区2025-2026学年第一学期期末学业水平考试 初三数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列交通标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 3. 在一组数据2，3，3，4中加入数字3，组成一组新的数据，对比前后两组数据，发生变化的是（） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个多边形的内角和比四边形的内角和多，并且这个多边形的各内角相等，则这个多边形的一个外角是（ ） A. B. C. D. 6. 图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第秒时叶片尖点的坐标为（　　） A. B. C. D. 8. 《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．依题意，乐乐所列方程为，则表示（ ） A. 第一次分钱的人数 B. 第二次分钱的人数 C. 第二次每人分得的钱数 D. 两次分钱的总人数 9. 如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 10. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用如下图这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取的中点，连接；以点E为圆心，以的长为半径作弧，交的延长线于点M；作，交的延长线于点N，则下列矩形是黄金矩形的是（ ） A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若多项式加上一个单项式后可以分解因式．那么加上的单项式可以是_________________ ．（写出一个即可） 12. 已知4个数据，，，的平均数为3，方差是4；另外6个数据，，，，，的平均数也是3，方差是6．把这两组数据合在一起得到10个数据，，，，，，，，，，则这10个数据的方差为________． 13. 如图，在直角三角形的斜边上有五个小直角三角形，且小直角三角形的一边与平行，已知大直角三角形的周长为厘米，则这五个小直角三角形的周长为________． 14. 关于x的分式方程的解是非正数，那么a的取值范围为______． 15. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和4，则图中阴影部分的面积是______． 16. 如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为______． 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 计算： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 八年级 8 9 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：______，______． （2）求m的值． （3）综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）将绕点C顺时针旋转，点B的对应点的坐标为 ； （2）画关于原点成中心对称的； （3）若点D在第二象限，且以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D的坐标为 ． 22. 中国是世界文明古国之一，古代天文学有着卓越的成就．《开元占经》记载了众多天文现象和数据，《甘石星经》则是古代重要的天文学著作．某天文爱好者俱乐部的《开元占经》单价是《甘石星经》单价的，用800元购买《开元占经》比购买《甘石星经》多买4本． （1）求《开元占经》、《甘石星经》两种图书的单价分别为多少元？ （2）在世界航天日，该俱乐部计划到书店购买这两种图书共100本，且购买的《甘石星经》数量不少于《开元占经》数量的．由于购买量大；书店打折优惠，两种图书均按七五折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？ 23. 如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． （1）求证：； （2）若，，求矩形的面积． 24. 如图，已知四边形是矩形， （1）请用尺规作图法，分别在边上求作点，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请根据你的作法，证明四边形是菱形； （3）若，试求出（1）中所作菱形的面积． 25. 已知：如图，正方形中，点是对角线上的一个动点． （1）求证：； （2）如图2，点为边的中点，当点运动到线段上时，连接，相交于点． ①请你根据题意在图2中补全图形； ②猜想与的位置关系，并证明此猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓬莱区2025-2026学年第一学期期末学业水平考试 初三数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列交通标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，解题的关键是掌握两种图形的定义（轴对称图形：沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合；中心对称图形：绕某一点旋转后能与自身重合）． 依次分析每个选项的图形，判断是否同时满足轴对称和中心对称的条件． 【详解】A、图形沿中间竖直线折叠后两边能重合，是轴对称图形；绕中心旋转后与自身重合，是中心对称图形，同时满足两个特征； B、图形沿某条直线折叠后不能完全重合，不是轴对称图形；绕中心旋转后与自身不重合，不是中心对称图形； C、图形沿某条直线折叠后不能完全重合，不是轴对称图形；绕中心旋转后与自身不重合，不是中心对称图形； D、图形沿某条直线折叠后不能完全重合，不是轴对称图形；绕中心旋转后与自身不重合，不是中心对称图形． 故选：A． 2. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟记因式分解的定义及方法是解决问题的关键． 根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，判断各选项是否符合即可得到答案． 【详解】解：A：右边出现分式，不是整式，不符合因式分解定义，不符合题意； B：右边是，为和的形式，不是积，不符合因式分解定义，不符合题意； C：右边是，为整式的积，符合因式分解定义，符合题意； D：右边是，为多项式，不是积的形式，是整式乘法，不符合因式分解定义，不符合题意； 故选：C． 3. 在一组数据2，3，3，4中加入数字3，组成一组新的数据，对比前后两组数据，发生变化的是（） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数和方差的定义及计算，方差是衡量数据离散程度的指标，加入相同数字后方差减小． 通过计算原始数据和新数据的平均数、中位数、众数和方差，比较它们的变化情况． 【详解】解：∵原始数据：2，3，3，4；新数据：2，3，3，4，3， 平均数：原始数据平均数， 新数据平均数， ∴平均数未变化． 中位数：原始数据排序后为2，3，3，4，中位数， 新数据排序后为2，3，3，3，4，中位数为3， ∴中位数未变化． 众数：原始数据中3出现次数最多，众数为3， 新数据中3出现次数最多，众数为3， ∴众数未变化． 方差：原始数据方差为， 新数据方差， ∴方差发生变化． 故选D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、约分及负整数指数幂的运算规则，逐一分析选项的运算正确性． 【详解】A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确． 故选D． 5. 一个多边形的内角和比四边形的内角和多，并且这个多边形的各内角相等，则这个多边形的一个外角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据题意列出方程从而解决问题． 设多边形边数为n，利用多边形内角和公式列出方程，可求出边数，再根据外角和定理即可求外角． 【详解】解：设多边形边数为n， ∵ 四边形内角和为，多边形的内角和比四边形的内角和多， ∴ 多边形内角和为， ∴， 解得： ∴外角为． 故选：B 6. 图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、平行线的性质等知识点，理解题意、准确识图、求出的度数是解题的关键． 如图：先确定的度数，再利用菱形的对边平行以及平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 7. 如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第秒时叶片尖点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，探索规律，掌握相关知识是解决问题的关键．根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， 第1、2、3、秒的坐标为：，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第秒时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：D． 8. 《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．依题意，乐乐所列方程为，则表示（ ） A. 第一次分钱的人数 B. 第二次分钱的人数 C. 第二次每人分得的钱数 D. 两次分钱的总人数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据题意，方程 表示两次每人分得的钱数相等．通过比较标准设未知数方式，推导出x的含义． 【详解】解：设第一次分钱的人数为 ，则第二次分钱的人数为． 第一次每人分得，第二次每人分得，且两次每人分得的钱数相等， ． 对比乐乐所列方程 ， 可得 ，即 ， 表示第二次分钱的人数． 故选：B． 9. 如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，由垂直平分，垂直平分，得，，则，，由平行四边形的性质得，，则，所以，则，而，可证明四边形是菱形，则，所以，则，由，且，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵是点B关于的对称点，是点D关于的对称点， 垂直平分，垂直平分， ，， ∵，都在对角线上， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ，且，， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 10. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用如下图这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取的中点，连接；以点E为圆心，以的长为半径作弧，交的延长线于点M；作，交的延长线于点N，则下列矩形是黄金矩形的是（ ） A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识点，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 设正方形的边长为，根据勾股定理得，易得，即矩形是黄金矩形，据此即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵正方形，、的中点E、F， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，即四边形是黄金矩形． 故选：D． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若多项式加上一个单项式后可以分解因式．那么加上的单项式可以是_________________ ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题是一道开放性题，考查因式分解，熟悉因式分解法是解题的关键． 【详解】∵， ∴加上的单项式可以是（答案不唯一）． 12. 已知4个数据，，，的平均数为3，方差是4；另外6个数据，，，，，的平均数也是3，方差是6．把这两组数据合在一起得到10个数据，，，，，，，，，，则这10个数据的方差为________． 【答案】5.2 【解析】 【分析】本题考查求方差，两组数据的平均数相同，合并后平均数为3，方差计算只需将两组数据的平方和相加后除以总数据个数即可． 【详解】解：第一组数据的平方和：，第二组数据的平方和：， 总平方和：， 故总方差：． 故答案为：5.2． 13. 如图，在直角三角形的斜边上有五个小直角三角形，且小直角三角形的一边与平行，已知大直角三角形的周长为厘米，则这五个小直角三角形的周长为________． 【答案】60厘米 【解析】 【分析】本题查了平移的性质，小直角三角形与平行的边的和等于，与平行的边的和等于，则小直角三角形的周长等于直角的周长，据此即可求解． 【详解】解：如图，过小直角三角形的直角顶点作，的平行线，则四边形是长方形． 则，． 同理可得小直角三角形与平行的边的和等于，与平行的边的和等于． 小直角三角形的周长的和等于直角三角形的周长． 这五个小直角三角形的周长为． 故答案为：60厘米． 14. 关于x的分式方程的解是非正数，那么a的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的解求参数，通过解分式方程得到的表达式，根据解为非正数且分母不为零的条件，列出不等式求解． 【详解】解：解分式方程， 两边同乘（需保证），得， 所以， 由于分母，即， 代入，得，即， 又因为解为非正数，即， 所以，即， 因此，且， 故答案为：且． 15. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和4，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称，正方形的性质，连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接， ∵正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和4， ∴正方形的面积分别为25和16， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 16. 如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，取中点，连接，则，由平行四边形性质可得，，通过中位线定理可得，，，从而可证明四边形是平行四边形，所以，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点，为的中点， ∴是中位线，是中位线，是中位线， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用十字相乘法进行分解因式即可； （）先由，然后通过完全平方公式、平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，正确计算是解题的关键． （1）利用除法法则变形，约分即可得到结果； （2）利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把除号前面的小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，接着计算多项式乘以多项式和合并同类项化简，求出x的值，并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式 20. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 八年级 8 9 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：______，______． （2）求m的值． （3）综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 【答案】（1），； （2）； （3）七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，众数，平均数，方差的意义，用样本估算总体，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据八年级平均数即可求解； （3）根据方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：七年级打分排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：八年级打分的平均分为8分， 则， 即， ∴； 【小问3详解】 解：七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由如下： ∵， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于八年级的学生对“校园餐”的满意度的打分， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）将绕点C顺时针旋转，点B的对应点的坐标为 ； （2）画关于原点成中心对称的； （3）若点D在第二象限，且以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D的坐标为 ． 【答案】（1） （2） 则依次描点并连接即可，如下图： （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标系中的平移和旋转作图，熟练掌握平移或旋转前后点的坐标的变化关系是解题的关键． （1）将绕点C顺时针旋转画出来，进而求解即可； （2）根据题意依次描出点、点和点，并连接即可； （3）分三种情况：①是平行四边形；②是平行四边形；③是平行四边形，根据平移的性质分别求出的坐标，再判断D点是否在第二象限即可． 【小问1详解】 解：将绕点C顺时针旋转，如下图： 由图可得，点B的对应点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵关于原点成中心对称的， ∴点为，点为，点为． 【小问3详解】 解：①四边形是平行四边形时，，． 根据平移的性质把向左移3个单位，再向上移1个单位，就可得到． ∴将向左移3个单位，再向上移1个单位，即可得到； ②四边形是平行四边形时，，． 根据平移的性质把向左移2个单位，再向上移3个单位，就可得到 ∴将向左移2个单位，再向上移3个单位，就可得到； ③四边形是平行四边形时，，． 根据平移的性质把向右移2个单位，再向下移3个单位，就可得到． ∴将向右移2个单位，再向下移3个单位，即可得到，此时在轴上，不符合题意，舍去． 综上，满足条件的点的坐标为或． 故答案为：或． 22. 中国是世界文明古国之一，古代天文学有着卓越的成就．《开元占经》记载了众多天文现象和数据，《甘石星经》则是古代重要的天文学著作．某天文爱好者俱乐部的《开元占经》单价是《甘石星经》单价的，用800元购买《开元占经》比购买《甘石星经》多买4本． （1）求《开元占经》、《甘石星经》两种图书的单价分别为多少元？ （2）在世界航天日，该俱乐部计划到书店购买这两种图书共100本，且购买的《甘石星经》数量不少于《开元占经》数量的．由于购买量大；书店打折优惠，两种图书均按七五折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？ 【答案】（1）《开元占经》单价为50元，《甘石星经》单价为元 （2）购买《开元占经》75本，购买《甘石星经》25本 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程和函数解析式是解题的关键： （1）设《甘石星经》单价为x元，则《开元占经》单价为元，根据用800元购买《开元占经》比购买《甘石星经》多买4本，列出方程进行求解即可； （2）设购买《开元占经》m本，则购买《甘石星经》本，根据购买的《甘石星经》数量不少于《开元占经》数量的，求出的范围，设总费用为w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设《甘石星经》单价为x元，则《开元占经》单价为元． 由题意可得： 解得， 经检验，是原方程的解． ∴（元） 答：《开元占经》单价为50元，《甘石星经》单价为元． 【小问2详解】 设购买《开元占经》m本，则购买《甘石星经》本 ，解得 设总费用为w元， 因为，所以w随m的增大而减小 所以当时，w最小，此时（本）． 答：购买《开元占经》75本，购买《甘石星经》25本时费用最少． 23. 如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． （1）求证：； （2）若，，求矩形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，，，再证明是的中位线，所以，，通过角平分线定义可得，所以，最后通过等角对等边即可求证； （）由中位线定理可得，从而有，然后通过勾股定理求出，最后由面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴为斜边的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积=． 24. 如图，已知四边形是矩形， （1）请用尺规作图法，分别在边上求作点，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请根据你的作法，证明四边形是菱形； （3）若，试求出（1）中所作菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）20 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交，于点E，F，则四边形为菱形； （2）由是的垂直平分线得，，，再证和全等得，进而得，据此可判定四边形为菱形； （3）设菱形的边长为x，在中由勾股定理求出x即可．再根据． 【小问1详解】 解：点，为所求．如图， 【小问2详解】 证明：设与交于点O， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问3详解】 解：设菱形的边长为， 在中，，，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴菱形的的边长为5， ∴． 25. 已知：如图，正方形中，点是对角线上的一个动点． （1）求证：； （2）如图2，点为边的中点，当点运动到线段上时，连接，相交于点． ①请你根据题意在图2中补全图形； ②猜想与的位置关系，并证明此猜想． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的应用；熟练掌握正方形的性质并准确找出全等三角形是解决本题的关键． （1）由正方形的性质得出，，由证明； （2）①根据题意补全图形即可；②由（1）得：，得出，由证明，得出，再由直角三角形的性质得出，得出，证出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：①补全图形，如图2所示： ②， 理由如下：如图3所示： 由（1）得：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $