精品解析：湖北孝感市孝南区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年度九年级上学期期末学业水平监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列成语所描述的事件属于必然事件的是（ ） A. 画饼充饥 B. 缘木求鱼 C. 水滴石穿 D. 水中捞月 4. 将抛物线平移后得到抛物线，则平移的方式是（ ） A. 向上平移个单位 B. 向下平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 点在半径为的外，则的长度可能是（ ） A. B. C. D. 6. 乌鲁木齐市林业局考察一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转°后能与原来的图案互相重合，则的最小值为（ ） A. 45 B. 60 C. 72 D. 144 8. 如图，点C是中优弧上的一点，过点P的两条切线夹角，A、B为切点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知蓄电池的电压为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 这个反比例函数解析式是 B. 蓄电池的电压是 C. 当时， D. 当时， 10. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数） 12. 已知是一元二次方程的两个实数根，则___________． 13. 如图，中，是直径，是弦，若，则直径的长为___________． 14. 某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度为长，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点P＇之间的距离为___________米． 15. 如图1，中，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则__________，的面积为___________． 三、解答题（本大题共9个题，满分75分） 16. 计算：． 17. 如图，在中，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线分别交于点，交、于点、，求证：． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当取满足条件的最大整数值时，求方程的根． 19. 综合与实践 如图，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境(杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即如图)，受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． （1）若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为____； （2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物为，的长度为． ①关于的函数解析式是___________； ②完成表格： … … … 8 2 … 则___________ ③在直角坐标系中画出该函数的图象； （3）在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请根据图象直接写出的取值范围为___________． 20. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》分别记作、、、． （1）若小军从这四部著作中随机抽取一本书，则小军抽到《论语》的概率是＿； （2）若小军一次从这四部著作中随机抽取两本书，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的书为《论语》和《孟子》的概率． 21. 如图，是的内接三角形，点是直径延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 小林是一名羽毛球运动爱好者，喜欢运用数学知识对羽毛球线路进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网高，球网与y轴的水平距离，球场的边界C点距离O点，击球点在y轴上．进行羽毛球训练时，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）当羽毛球的飞行的最大高度时； ①求y与x的关系式； ②羽毛球能否越过球网？请说明理由； （2）若羽毛球一定能越过球网，又不出边界（不含边界），求a的取值范围． 23. 【操作】（1）如图1，是等边三角形，是外一点，且，如果将绕点顺时针旋转，得到，直接写出线段，，之间的数量关系为______； 【探究】（2）如图2，是等腰直角三角形，，是外一点，且试写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，在四边形中，，，若，，求四边形的面积． 24. 如图1，(，是常数)交轴于点、，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线对称轴上一点，若绕点逆时针旋转后得到对应点，判断点是否在抛物线上，并说明理由； （3）如图2，是轴正半轴上一动点(不与点重合)，过点作轴的平行线交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为． ①求关于的函数解析式； ②若当时，有最大值为2，请直接写出实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级上学期期末学业水平监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误； 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，理解基本定义是解题关键． 2. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义，关键是理解方程的根的含义——能使方程左右两边相等的未知数的值． 将已知根代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，解此方程就能求出的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得， 解得； 故选：C． 3. 下列成语所描述的事件属于必然事件的是（ ） A. 画饼充饥 B. 缘木求鱼 C. 水滴石穿 D. 水中捞月 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可判断． 【详解】解：A、画饼充饥，是不可能事件，故A不符合题意； B、缘木求鱼，是不可能事件，故D不符合题意； C、水滴石穿，是必然事件，故C符合题意； D、水中捞月，是不可能事件，故B不符合题意； 故选：C． 4. 将抛物线平移后得到抛物线，则平移的方式是（ ） A. 向上平移个单位 B. 向下平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，关键掌握“左加右减，上加下减”的平移法则，对于顶点式的抛物线，平移时观察顶点的变化即可判断平移方式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵从到是横坐标增加，纵坐标保持不变， ∴平移方式是向右平移个单位； 故选：D． 5. 点在半径为的外，则的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，核心知识点是点到圆心的距离与圆半径的大小关系对应点的位置：当点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外；等于半径时，点在圆上；小于半径时，点在圆内． 【详解】解：∵的半径为，点在外， ∴， 选项中只有，只有D选项符合题意。 故选：D． 6. 乌鲁木齐市林业局考察一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，折线统计图．大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此根据统计图找到频率的稳定值即可得到答案． 【详解】解：由统计图可知，随着移植数量的增加，成活的频率逐步稳定在附近， ∴可估计这种树苗移植成活的概率约是， 故选：B． 7. 如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转°后能与原来的图案互相重合，则的最小值为（ ） A. 45 B. 60 C. 72 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】该图形被平分成五部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为． 故选：C 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 8. 如图，点C是中优弧上的一点，过点P的两条切线夹角，A、B为切点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和得到，根据圆周角定理可计算出． 【详解】解：∵和为的两条切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9. 已知蓄电池的电压为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 这个反比例函数解析式是 B. 蓄电池的电压是 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，从而解决问题． 【详解】解：设， ∵图象过， ∴，故选项B正确，不符合题意， ∴，故选项A正确，不符合题意； 当时，，选项C错误，符合题意； 根据函数图象可得当时，，选项D正确，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【详解】①当时， ∵正方形的边长为， ∴； ②当时， ， 所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合， 故选A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数） 【答案】-5（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知k＜0，进而问题可求解． 【详解】解：由反比例函数的图象分别位于第二、第四象限可知k＜0， ∴实数k的值可以是-5； 故答案为-5（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 12. 已知是一元二次方程的两个实数根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，对于一元二次方程，若方程的两个实数根为，则，．据此计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程， 根据韦达定理，得，， 则； 故答案为：． 13. 如图，中，是直径，是弦，若，则直径的长为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，连接，证明是等边三角形，得到，即可得到的长． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴直径的长为， 故答案为： 14. 某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度为长，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点P＇之间的距离为___________米． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据主桥拱所在抛物线的顶点为，根据顶点坐标，对称的性质，两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：主桥拱所在抛物线可以表示为， ∴主桥拱所在抛物线的顶点为， ∴倒影点的坐标为， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为， 故答案为：． 15. 如图1，中，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则__________，的面积为___________． 【答案】 ①. 22 ②. 【解析】 【分析】此题主要考查点的移动距离及函数图象的关系，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键． 作，垂足为E，在下图中标注点M、N，且，结合运动轨迹及运动图象得出，然后利用等腰三角形的性质得出，结合勾股定理求出平行四边形的高，即可求解面积． 【详解】解：如图所示，作，垂足为E， 在下图中标注点M、N，且， 当点P从点A运动到点B时，对应于线段， ∴， 当点P从点B运动到点D时，对应于曲线， ∴， ∴， 当点P到点D时，对应于图中的点N， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴平行四边形的面积为：， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共9个题，满分75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及有理数乘法、绝对值运算、零指数幂的性质以及算术平方根的计算．先根据各运算的基本法则分别计算出每一项的结果，再按照从左到右的顺序进行加减运算． 【详解】解： ． 17. 如图，在中，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线分别交于点，交、于点、，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 由尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴； 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质．首先根据平行四边形对边平行的性质得到内错角相等；再由尺规作图的步骤可知直线垂直平分线段，得到；最后结合对顶角相等，利用“角边角”证明，根据全等三角形对应边相等的性质即可证得． 【详解】略 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当取满足条件的最大整数值时，求方程的根． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用以及解一元二次方程．对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得出判别式大于，列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围； （2）先根据（1）的结果找出满足条件的最大整数，再将其代入原方程，利用因式分解法求解方程的根． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，得； 【小问2详解】 解：由（1）知，则满足条件的最大整数值为， 此时原方程为， 因式分解得， ∴或， 解得，． 19. 综合与实践 如图，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境(杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即如图)，受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． （1）若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为____； （2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物为，的长度为． ①关于的函数解析式是___________； ②完成表格： … … … 8 2 … 则___________ ③在直角坐标系中画出该函数的图象； （3）在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请根据图象直接写出的取值范围为___________． 【答案】（1）； （2）①；②4； （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，核心是利用杠杆平衡公式建立等量关系，结合函数与几何知识求解． （1）直接利用杠杆平衡条件代入已知数值求解重物的拉力； （2）①根据杠杆平衡条件列出等式，变形得到关于的反比例函数解析式； ②将代入解析式计算的值； ③根据反比例函数的性质描点画图； （3）先计算的长度，再根据三角形面积公式列出不等式，结合函数图象确定的取值范围． 【小问1详解】 解：根据杠杆平衡条件，得， 解得； 故答案为：． 【小问2详解】 ①解：根据杠杆平衡条件，得， 整理得； 故答案为：． ②解：当时，将其代入，得，即； 故答案为：4． ③解：函数是第一象限内的反比例函数图象，选取点、、、、，在给定的直角坐标系中依次描出这些点，再用平滑的曲线连接各点，即可得到该函数的图象： 【小问3详解】 解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵点在函数的图象上且， ∴的面积， 根据题意，即，解得， 又∵， ∴的取值范围为； 故答案为：． 20. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》分别记作、、、． （1）若小军从这四部著作中随机抽取一本书，则小军抽到《论语》的概率是＿； （2）若小军一次从这四部著作中随机抽取两本书，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的书为《论语》和《孟子》的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，核心是利用概率公式求解． （1）确定从本著作中抽本的总等可能结果数为，抽到《论语》的结果数为，直接代入概率公式计算； （2）通过列表法列出抽取两本书的所有等可能组合，统计总组合数和符合“《论语》和《孟子》”的组合数，再代入概率公式计算概率． 【小问1详解】 解：从四部著作中随机抽取一本书，共有种等可能的结果，其中抽到《论语》的结果仅种，可得抽到《论语》的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：列举抽取两本书的所有等可能结果如下： 总共有种等可能的结果，其中符合“抽取的书为《论语》和《孟子》”的结果只有和两种， ∴小军抽取的书为《论语》和《孟子》的概率为． 21. 如图，是的内接三角形，点是直径延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∴，即， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形性质及扇形面积计算，关键是熟练运用圆的相关定理推导线段和角的关系，结合几何图形的性质求出相关边长，再利用面积公式计算阴影部分面积． （1）要证明是的切线，根据切线的判定定理，需证明半径与垂直，因此连接，利用等腰三角形的性质结合已知角相等的条件，再根据直径所对的圆周角为直角，推导出即可． （2）先根据圆周角定理得到，结合证出是等边三角形，进而得到；再通过作辅助线，利用直角三角形的性质求出圆的半径；然后在中求出相关边长，计算出的面积和扇形的面积，最后用的面积减去扇形的面积，得到阴影部分的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 过作于， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 在中，，， 设，则，由勾股定理得， 即，解得(舍去负根)， ∴， ∵，， ∴在中，，， ∴，， ∴． 22. 小林是一名羽毛球运动爱好者，喜欢运用数学知识对羽毛球线路进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网高，球网与y轴的水平距离，球场的边界C点距离O点，击球点在y轴上．进行羽毛球训练时，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）当羽毛球的飞行的最大高度时； ①求y与x的关系式； ②羽毛球能否越过球网？请说明理由； （2）若羽毛球一定能越过球网，又不出边界（不含边界），求a的取值范围． 【答案】（1）①； ②不能过网，理由： 当时，， 不能过网； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．理解题意，正确求得二次函数解析式是解决问题的关键． （1）①根据题意得到，然后将代入求解即可； ②将代入求解比较即可； （2）把代入求出，得到，然后分别将和求解即可． 【小问1详解】 解：①当羽毛球的飞行的最大高度时，， 代入点得：， 解得， ； ②略 【小问2详解】 解：把代入中得，， ， ， 当时， ， 当时， ， ． 23. 【操作】（1）如图1，是等边三角形，是外一点，且，如果将绕点顺时针旋转，得到，直接写出线段，，之间的数量关系为______； 【探究】（2）如图2，是等腰直角三角形，，是外一点，且试写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，在四边形中，，，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）； （2）解：，理由如下： 将绕点顺时针旋转，得到，由旋转性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴点、、共线， ∴， 在中，，由勾股定理得， ∴； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的边角关系以及图形面积的计算，关键是通过旋转变换将分散的线段和角集中，构造特殊三角形来解决线段数量关系和面积问题． （1）通过将绕点顺时针旋转得到，利用旋转性质和已知角的条件证得、、共线，结合旋转后形成的等边三角形得到线段关系； （2）将绕点顺时针旋转得到，证得、、共线后构造等腰直角三角形，利用勾股定理推导线段关系； （3）将绕点逆时针旋转至，把四边形面积转化为等腰三角形的面积，结合已知角证得、、共线，利用直角三角形边角关系求出高，再根据三角形面积公式计算四边形面积． 【详解】（1）解：将绕点顺时针旋转得到，由旋转性质得，，，， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点、、共线， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴； （2）略 （3）解：连接，将绕点逆时针旋转至，过作于，由旋转性质得：，，，， ∵， ∴， ∴点、、共线， ∵，， ∴，在中，，， ∴， ∴，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即四边形的面积为． 24. 如图1，(，是常数)交轴于点、，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线对称轴上一点，若绕点逆时针旋转后得到对应点，判断点是否在抛物线上，并说明理由； （3）如图2，是轴正半轴上一动点(不与点重合)，过点作轴的平行线交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为． ①求关于的函数解析式； ②若当时，有最大值为2，请直接写出实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）解：在抛物线上，理由： 抛物线的对称轴为，点在对称轴上， ，即； 令，则，解得或， ∴，； 设抛物线对称轴与轴交于点，则，过点作对称轴的垂线，垂足为． ∵点绕点逆时针旋转得到， ∴，． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，， ∴，， ∴的横坐标为，纵坐标为，即． 将代入抛物线解析式，得， ∴点在抛物线上； （3）①；②． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质、三角形面积的分段函数及最值问题，关键是熟练掌握二次函数的性质及利用全等求出点旋转后的坐标． （1）已知抛物线经过、两点，将两点坐标代入抛物线解析式，解二元一次方程组即可求得、的值，进而得到解析式； （2）先根据抛物线对称轴公式求出对称轴，确定点坐标，再求出点坐标，利用全等三角形求出的坐标，代入抛物线解析式验证是否满足即可； （3）①先求出直线的解析式，得到点坐标，根据点位置分和两种情况，利用三角形面积公式计算的表达式； ②分别分析两段函数的最值情况，结合的最大值为2，确定的取值范围． 【小问1详解】 解：将点、代入中， 得，解得 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①解：设直线的解析式为， 将、代入得，解得， 直线的解析式为； 点，过作轴平行线交于， ； ， ； 当时，，点在轴上方， ； 当时，，点在轴下方， ； 综上，关于的函数解析式为； ②解：当时，， 这是开口向下的抛物线，对称轴为， 当时，， 这是开口向上的抛物线，当时，随的增大而增大， 即当时，随的增大而增大，当时，取得最大值，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 令，则，解得， (舍去)； 当时，的最大值为2， 当时，能取到时的最大值2； 当时，时，不符合最大值为2的条件； 当时，在上随增大而增大，最大值小于2，不符合条件； 实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $