精品解析：江苏淮阴中学2025-2026学年度第一学期期末调研考试高一数学试题

淮阴中学2025—2026学年度第一学期期末调研考试 高一数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合P=，，则PQ=（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则 A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 4. 已知集合，则中元素个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 5. 关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ） A. B. C. 或1 D. 或4 6. 已知函数，若，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在平面直角坐标系中，动点P、Q从点A(1,,0)出发在单位圆上运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P、Q两点在第2019次相遇时,点P的坐标是 A. (0,0) B. (0,1) C. (-1,0) D. (0,-1) 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 对于函数下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为0 B. 当时，存在最小值 C. 当时，在上单调递增 D. 的零点个数为，则函数的值域为 10. 已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 定义在上的函数，对任意，当时，都有.若当时，，则（ ） A. 函数是周期函数 B 当时， C. 不等式的解为 D. 若，恒有，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是______. 13. 已知函数，若，则实数a的取值范围是__________． 14. 用表示非空集合A中的元素的个数，定义，若，，若，则a的所有可能取值构成集合M，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 16. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 17. 问题：已知、、均正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知、、均为正实数，且，求的最小值； （2）已知、、、均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 18. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 19. 若函数满足：对任意正数，，都有，则称函数为“函数”. （1）分别判断函数和函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数为“函数”，，且当时，，证明： （i），； （ii），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮阴中学2025—2026学年度第一学期期末调研考试 高一数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合P=，，则PQ=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集定义求解. 【详解】 故选：B 【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出集合B再求出交集. 【详解】， ∴，则， 故选A． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可得，由此可得出结论. 【详解】任取，则，其中，所以，，故， 因此，. 故选：C. 4. 已知集合，则中元素个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 【详解】 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个， 故选：A. 【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 5. 关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ） A. B. C. 或1 D. 或4 【答案】A 【解析】 【分析】，利用韦达定理可得答案. 【详解】关于x的方程有两个实数根， ， 解得：， 关于x的方程有两个实数根，， ，， ，即， 解得：或舍去 故选：A. 6. 已知函数，若，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数f(x)的图象，将不等式转化，令f(t)=a，则f (a)>-3，得a<3，即f(t)≤3，从而求得t的范围. 【详解】作出函数的图象如图， 由图可知，当,仅有一解，当时，仅有一解， 令，则，即， ， 即，则， 所以实数t的取值范围为， 故选：D 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题. 7. 已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得函数单调递增，进而可得的解集为，然后分类讨论结合二次函数的性质即得. 【详解】当时，在上单调递增且； 当时，在上单调递增且； 所以在上单调递增， 又由，则有， 由题，可知的解集为， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则有， 解不等式组，得； 综上可得，当时，的解集为. 故选：D. 8. 如图所示，在平面直角坐标系中，动点P、Q从点A(1,,0)出发在单位圆上运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P、Q两点在第2019次相遇时,点P的坐标是 A. (0,0) B. (0,1) C. (-1,0) D. (0,-1) 【答案】B 【解析】 【分析】由两点相遇2019次，可求出两点的总路程，由两点的速度即可求出两点相遇2019次时所用的时间，进而可求出点所转的弧度，即可确定点位置. 【详解】因为点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，两点相遇1次的路程是单位圆的周长即，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2019次时，共用了2019秒， 所以此时点所转过的弧度为， 由终边相同的角的概念可知，与终边相同，所以此时点位于y轴上，故点P的坐标为. 答案 【点睛】本题主要考查任意角，由终边相同的角的概念确定点位置，即可求解，属于基础题型. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 对于函数下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为0 B. 当时，存在最小值 C. 当时，在上单调递增 D. 的零点个数为，则函数的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】写出时的函数解析式，得到当时，取得最小值，最小值为0，可判断A；对于B，举出反例可判断B；两分段均单调递增，但端点处，左端点的函数值不一定小于右端点的函数值，可判断C；对于D，对分类讨论，结合零点存在性定理得到函数的值域可判断D. 【详解】对于A，当时，，当时，，当时，，综上，当时，取得最小值，最小值为，故A正确； 对于B，不妨设，此时， 当时，，当时，， 故，此时函数不存在最小值，故B错误； 对于C，在上单调递增，且， 当时，在上单调递增， 且，当时，， 故当时，在上不单调递增，故C错误； 对于D在上单调递增， 当时，设，显然单调递增， 又，故存在，使得， 当时，，即在时无零点， 此时，在时有两个零点0和，故此时， 当时，，即在时有1个零点， 此时在时有两个零点0和，故此时； 当时，，由A知，此时有1个零点，即； 当时，在时无零点，在时也无零点， 此时，则函数的值域为，故D正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：函数零点问题处理思路： （1）直接令函数值为0，代数法求出零点； （2）将函数零点问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度. 10. 已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】在同一直角坐标系内作出和的图象，结合图象，可判定A正确；再由图象得到且，，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象， 由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，所以A正确； 对于B中，因为， 且函数关于对称， 由图象得，且， 所以，可得，则， 所以，其中， 令，当且仅当时，取得最小值， 所以，所以B正确； 对于C中，是的两个根， 所以，即，所以， 由是的两个根，所以， 所以，所以C不正确； 对于D中，由，可得， 令，可得函数在上单调递增， 所以，即，，所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】知识方法点拨：求解复合函数的零点个数或方程解的个数与范围问题的策略： 1、先换元解“套”，令，则，再作出和的图象； 2、由函数的图象观察有几个的值满足条件，结合的值观察的图象，求出每一个被对应，将的个数汇总后，即为的根的个数，即“从外到内”. 3、由零点的个数结合与的图象特点，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围，即“从内到外”，此法成为双图象法（换元+数形结合）. 11. 定义在上的函数，对任意，当时，都有.若当时，，则（ ） A. 函数是周期函数 B. 当时， C. 不等式的解为 D. 若，恒有，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由周期性的定义可判断A；先求，再利用即可判断B，分类讨论解不等式可判断C；利用C选项的结论可判断D. 【详解】对于A，因为对任意，当时，都有， 所以，即， 所以不可能是周期函数，故A错误； 对于B，当，，所以，又因为，所以，故B正确； 对于C，当时，不等式，即，解得， 且； 当时，不等式，即，解得， 且， 当，， 又，所以当时，不等式无解， 由，所以当时，不等式无解， 综上：不等式的解为，故C正确； 对于D，由C选项可知，要想满足，恒有， 只需且，解得，所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式作出函数的图象，得到的范围，再由得到，从而得解. 【详解】对于， 当时，，则； 当时，，则，且当时，； 当时，，则， 且当时，，当时，，； 作出函数的图象，如图， 不妨设，因为，则， 由得，则， 由，得，即， 则. 故答案为：. 13. 已知函数，若，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设，分析可得为奇函数且在上为减函数，又由，则等价于，结合函数的奇偶性与单调性可得，由此解可得a的取值范围，即可得答案． 【详解】函数， 设， 则， 故在上为奇函数，即， 当时，， 易得在上单调递减，在上单调递减，故在上单调递减， 又因为在上为奇函数，则在上单调递减， 又， 则等价于， 则，由是奇函数可得， 即，解得：，故a的取值范围为， 故答案为：. 14. 用表示非空集合A中的元素的个数，定义，若，，若，则a的所有可能取值构成集合M，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】由新定义可知，或，根据集合的元素个数，讨论方程解的情况，即可求解． 【详解】因为， 又方程有两个不同的实数根，所以， 若，则或. 当时，方程只有实数根0， 所以且，得； 当时，方程有3个实数根， 时，方程有2个不等的实数根，分别为和， 0不是方程的实数根， 若是方程的实数根，则， 若，的实数根分别为0，和， 即，满足条件， 若，的实数根分别为0，和， 即，满足条件， 若不是方程的实数根， 所以方程有2个相等实数根，即，得， 当时，，满足条件， 当时，，满足条件， 所以， 故答案为：5 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】（1）7； （2）①36；②. 【解析】 【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案； （2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由题. 当且仅当，即时取等号； 【小问2详解】 ①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 16. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）求解二次不等式，得到集合，根据集合并集运算法则计算即可； （2）由题可知，列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 当时，或； ∵， ∴或； 【小问2详解】 ∵“”是“”的充分条件，∴， ∵，即， ∴或，∴或， 而，要使得， 需有或， ∴或． 17. 问题：已知、、均为正实数，且，求证：. 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知、、均为正实数，且，求的最小值； （2）已知、、、均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）当时，取最小值 【解析】 【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得所证不等式成立； （3）分析可得，利用（2）中的结论可得出，可求得的最小值，结合（2）中的结论可求得对应的的值. 【小问1详解】 解：因为、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. 【小问2详解】 证明：因为、、、均为正实数，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. 【小问3详解】 解：对于代数式，有，可得， 此时，，则， 所以，， 由（2）中的结论可得，可得， 当且仅当时，即当时，取最小值. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 18. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据列式求解； （2）根据单调性的定义证明函数的单调性即可； （3）通过换元法，根据基本不等式求出的最小值，结合恒成立通过最值得关于的不等式，解不等式即可求解参数范围. 【小问1详解】 因为，代入得：即， 解得：. 【小问2详解】 由（1）知，， 在上的单调递减， 证明如下：任取，设， ， 因为， 所以，故在上的单调递减. 【小问3详解】 对任意的，， 因为，令， ， 根据基本不等式性质，， 当且仅当即时，等号成立，所以， 所以， 可转化为即， 解得：. 所以的取值范围为. 19. 若函数满足：对任意的正数，，都有，则称函数为“函数”. （1）分别判断函数和函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数为“函数”，，且当时，，证明： （i），； （ii），. 【答案】（1）不是“函数”，是“函数” （2）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对举反例即可，利用作差法结合因式分解并利用指数函数性质即可判断； （2）（i）令，，不断迭代即可证明； （ii）根据并结合，再根据其定义性质即可证明. 【小问1详解】 对于，取， 则，. 因为，不满足， 故不是“函数”； 对于，对任意的正数，， 有 ， 因为，则，所以函数是“函数”. 【小问2详解】 （i）令，， ， . （ii）因当时，， 所以对任意，有， 又，则， 又， 所以， 由（i）知，则， 所以， 则， 故. 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是利用是令，，再通过不断迭代即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $