精品解析：山东枣庄市市中区2025-2026学年第一学期期末学业质量监测九年级数学试题

2025-2026学年度第一学期期末学业质量监测 九年级数学试题 温馨提示：请将试题的正确答案填涂或书写在答题纸上，在本试卷上答题无效 一、精心选一选，你一定能选对！（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上．） 1. 若，下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图是一种“月壤砖”的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（ ） A. 的长度 B. 六边形的周长 C. 六边形的面积 D. 5. 某停车场的平面示意图如图所示，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等，停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意列方程为（　　） A B. C. D. 6. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 7. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式是 B. 两个函数图象的另一交点坐标为 C. 当或时， D. 反比例函数随的增大而减小 8. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则线段EF的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则等于（ ） A. 29° B. 42° C. 58° D. 32° 10. 已知二次函数图象对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④点，，是抛物线上的点，则；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④⑤ D. ②③④ 二、认真填一填，相信你能填对！（每小题3分，共15分．） 11. 已知矩形，请添加一个条件：_____，使得矩形成正方形． 12. 如图，先将一张长方形的纸沿虚线对折，再对折，然后按图中虚线剪下，将剪下的纸①展开，就得到的图形是____________形． 13. 根据方程的根的情况可以知道二次函数与x轴有____________个交点． 14. 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是  __________________． 15. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过______秒钟，与相似． 三、解答题：（本题共8小题，满分75分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．） 16 （1）计算：； （2）解方程：． 17. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（简称乙款），在（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是________； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 18. 【知识技能】 材料：小明在学习一元二次方程解时，发现：若关于的一元二次方程的两个实数根为，和系数，，有如下关系： ，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，则． 数学理解】 （1）若一元二次方程的两个实数根为，，则___________，____________． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值． 19. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 20. 数学课题研究小组针对住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下： 【方案设计】 要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面表示窗户． 【数据收集】 如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． 【问题提出】 （1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长； （2）如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 21. 如图，在直角中，，是边上一点，连接为的中点，过作交延长线于，且平分，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）连接交于，，求的度数． 22. 如图，在中，，点E在斜边上，以为直径的与交于点D，平分． （1）求证：为的切线； （2）若，． ①求的值； ②求图中阴影部分的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交于点C，交x轴于点D． （1）若点A为该二次函数的顶点， ①求二次函数的表达式； ②求线段长度的最大值． （2）若该二次函数与x轴的一交点为，且，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末学业质量监测 九年级数学试题 温馨提示：请将试题的正确答案填涂或书写在答题纸上，在本试卷上答题无效 一、精心选一选，你一定能选对！（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上．） 1. 若，下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题的关键． 通过将各选项的比例式转化为等积式，与已知条件对比即可判断等式是否成立． 【详解】解：A、，转化为等积式得，与不符，故选项不符合题意； B、，转化为等积式得，即，与已知一致，故选项符合题意； C、，转化为等积式得，与不符，故选项不符合题意； D、，转化为等积式得，与无必然等价关系，故选项不符合题意． 故选：B． 2. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：D． 3. “月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图是一种“月壤砖”的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题关键是正确理解左视图．注意看不见的线用虚线表示. 根据左视图是从左边看得到的图形解答即可． 【详解】解：从左边看是矩形，两条看不见的线把矩形分成三个相邻的矩形． 故选：D． 4. 某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（ ） A. 的长度 B. 六边形的周长 C. 六边形的面积 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：∵所有六边形都是正六边形， ∴， 连接， ∴ 依题意，用放大镜观察该分子结构：原图形与放大后的图形是相似图形， ∴的长度变大，六边形的周长变大，面积变大， 故选：D 5. 某停车场的平面示意图如图所示，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等，停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 所有停车位合在一起，可得到一个矩形，用x表示出这个矩形的长与宽，即可根据停车位的面积列出方程． 【详解】解：设停车场内车道宽度为x米， ∵停车场的长为40米，宽为19米， ∴所有停车位合在一起，可得到一个矩形，这个矩形的长为米，宽为米， ∴可列方程为， 故选：A． 6. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值。根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为． 故选：A． 7. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式是 B. 两个函数图象的另一交点坐标为 C. 当或时， D. 反比例函数随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象与性质，掌握反比例函数图象的基本性质和中心对称性是解题关键． 根据点求出正比例函数和反比例函数的解析式，联立方程求另一交点，通过图象逐一判断选项即可． 【详解】解：设，， ∵点是和的交点， ∴， ∴，， ∴，，故选项A错误； 联立，得， 解得或， 代入，得， 故另一交点为，选项B错误； 根据解析式作出示意图如下， 由图可知，在与在第一象限的交点左侧到y轴部分，与在第三象限的交点左侧部分，的图象在的图象下方， 即当或时，，故选项C正确； 根据反比例函数的性质，函数分别在第一象限和第三象限，随x的增大而减小，而函数整体不具有该性质，故选项D错误， 故选：C． 8. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则线段EF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，根据勾股定理求出，再利用面积计算即可． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， ， ， ， ． 故选C． 9. 如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则等于（ ） A. 29° B. 42° C. 58° D. 32° 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，求出的度数，根据圆周角定理解答即可． 【详解】是的直径， ， ， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心，掌握圆周角定理是解题的关键． 10. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④点，，是抛物线上的点，则；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④⑤ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象性质，综合运用图象性质进行分析是解题的关键．①分析a，b，c的正负即可判断；②将二次函数与x轴的交点个数转化为相应一元二次方程的根的情况，即可判断；③利用a，b，c的正负以及a与b的等量关系，综合判断；④根据二次函数的对称性与增减性进行判断；⑤运用待定系数法求出a与c的等量关系，再根据a与b的等量关系，求出对应方程的根，再进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上， ∴， ∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴， 即， ∵二次函数图象交于y轴负半轴， ∴令，得到， 即； 对于①：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴该说法错误，不符合题意； 对于②：∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴， ∴该说法正确，符合题意； 对于③：∵， ∴二次函数， 即， 由图可知，当时，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴该说法正确，符合题意； 对于④：∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点为， ∵对于二次函数，当时，y随x的增大而减小， 又∵， ∴， ∴该说法正确，符合题意； 对于⑤：∵对于二次函数，图象经过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将，代入方程， 可得， ∵， ∴方程化为：， 即， ∵， ∴解得，， ∴， ∴该说法错误，不符合题意； 综上，正确的结论有：②③④． 故选：D． 二、认真填一填，相信你能填对！（每小题3分，共15分．） 11. 已知矩形，请添加一个条件：_____，使得矩形成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形，再根据正方形的判定方法分析即可． 【详解】解：根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”， 可添加： 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”， 可添加： 故答案为：或（任写一个即可） 【点睛】本题考查的是正方形的判定，特别是掌握在矩形的基础上判定正方形是解本题的关键． 12. 如图，先将一张长方形的纸沿虚线对折，再对折，然后按图中虚线剪下，将剪下的纸①展开，就得到的图形是____________形． 【答案】菱 【解析】 【分析】此题考查了利用对称设计图案以及菱形的判定．根据题意知，对折实际上就是对称，对折两次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，据此可得到四边形为菱形． 【详解】解：由题意知，对折实际上就是对称，对折2次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，只有菱形满足这一条件． 故答案为：菱． 13. 根据方程的根的情况可以知道二次函数与x轴有____________个交点． 【答案】两 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与相应的一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，准确地理解函数与方程的关系是解题的关键．通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况，从而确定二次函数与x轴的交点个数． 【详解】将方程化为标准形式：， ∵，，， ∴ 故方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数与轴有2个交点． 故答案为：两． 14. 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是  __________________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用锐角的正切定义求解． 连接，，由，得到，由，得到，推出A、C、D共线，由勾股定理的逆定理推出，由勾股定理求出，即可由求解． 【详解】解：连接，，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴A、C、D共线， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过______秒钟，与相似． 【答案】2或5##5或2 【解析】 【分析】分和两种情况解答即可． 【详解】解：设P、Q运动时间为秒， 根据题意，，，则， 当时，则，即， 解得：； 当时，则，即， 解得：， 综上，当经过2或5秒钟，与相似． 故答案为：2或5． 【点睛】本题考查相似三角形的动点问题，理解题意，掌握相似三角形的性质，分类讨论是解答的关键． 三、解答题：（本题共8小题，满分75分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解一元二次方程，准确地进行计算是解题的关键． （1）先化简各个特殊角的三角函数值，再进行混合运算即可； （2）运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） （2）原方程化为： ， 或， 解得，． 17. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（简称乙款），在（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是________； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 【答案】（1）抽到丙款的概率是 （2）两人选择的聊天机器人互不相同的概率是 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先用树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择的聊天机器人互不相同的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有甲、乙、丙三款聊天机器人， ∴随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图，如图， 共有6种等可能的结果数，其中两人选择的聊天机器人互不相同的有4种， ∴两人选择的聊天机器人互不相同的概率是． 18. 【知识技能】 材料：小明在学习一元二次方程解时，发现：若关于的一元二次方程的两个实数根为，和系数，，有如下关系： ，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，则． 【数学理解】 （1）若一元二次方程的两个实数根为，，则___________，____________． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值． 【答案】（），；（）． 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，通过完全平方公式进行变形求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （）利用根与系数的关系即可求解； （）利用根与系数的关系得，，然后根据即可求解． 【详解】（）解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， 故答案为：，； （）解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 19. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求出，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可； （3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； 小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， ∴反比例函数的图象经过，，， 画图如下： 【小问3详解】 解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上， ∴平移后点E对应点的纵坐标为4， 当时，， 解得， ∴平移距离为． 故答案为：． 20. 数学课题研究小组针对住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下： 【方案设计】 要求设计遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面表示窗户． 【数据收集】 如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． 【问题提出】 （1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长； （2）如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）解即可； （2）先解得到，再解得到，则，即可求解． 【小问1详解】 解：如图2，在中，， ， ， 的长为； 【小问2详解】 解：如图3，在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ∴遮阳篷的长为． 21. 如图，在直角中，，是边上一点，连接为的中点，过作交延长线于，且平分，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）连接交于，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）的度数为 【解析】 【分析】（1）证，则，再证四边形是平行四边形，然后证，得，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，则，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图，在中，，点E在斜边上，以为直径的与交于点D，平分． （1）求证：为的切线； （2）若，． ①求的值； ②求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）① ② 【解析】 【分析】本题考查了切线的定义及证明方法，运用相似三角形求线段长度，以及与圆相关的阴影面积计算，熟练掌握圆及相关图形的性质是解题的关键． （1）连接，由，可得，根据平分，得到，由于，， 得到，结合为的半径，证得为的切线； （2）①连接，由为直径，可得，由（1）可知，从而证得，故有，结合，，求得的值； ②先求出，再求及，最后由，求得图中阴影部分的面积． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：连接， ①∵为直径， ∴， 又由（1）知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交于点C，交x轴于点D． （1）若点A为该二次函数的顶点， ①求二次函数的表达式； ②求线段长度的最大值． （2）若该二次函数与x轴的一交点为，且，求a的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由为二次函数的顶点，运用待定系数法，求得a，b的值，从而得到二次函数表达式；②先根据正比例函数经过点，求出正比例函数表达式为，设，则，运用铅垂法求出，从而求得线段长度的最大值； （2）由二次函数经过点，求得，令，求得，最后结合，，求得． 【小问1详解】 解：（1）①∵为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； ②∵正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数表达式， 设，则， ∴， ∴当时，线段的长度取得最大值； 【小问2详解】 解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得，， ∵二次函数与轴的一个交点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴a的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数线段最值问题，二次函数与相应一元二次方程之间的关系，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $