精品解析：山东烟台市牟平区2025-2026学年上学期期末初四（五四学制）数学试题

2025-2026学年度第一学期期末质量检测初四数学试题 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（共10个小题，每小题3分，摘分30分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案：其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 的值等于（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ） A B. C. D. 3. 如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为（ ） A. ①③②④ B. ④②①③ C. ④②③① D. ②④①③ 4. 如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 8. 如图，港口B位于岛A的北偏西方向，灯塔C在岛A的正东方向，，一艘货轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，，则的值是（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形内接于，对角线经过圆心，，，，则的半径长度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，若，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 12. 如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则___．（结果保留根号） 13. 如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________． 14. 把二次函数的关于x轴的对称图象向上平移3个单位，得到一个新的二次函数图象，则新图象对应的二次函数表达式为____． 15. 如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______． 16. 如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，其中则下列结论： ①；②方程没有实数根；③；④； ⑤若两点都在抛物线的图像上，则． 其中正确的有____．（填写序号） 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 为打造活力校园，某校在大课间开展丰富多彩的文体活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．健美操，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“健美操”的概率是___________； （2）用画树状图或列表的方法，求小明和小聪恰好选择同一种体育活动的概率． 18. 某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 19. 如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，． （1）求证：直线是的切线； （2）已知，求的长（结果保留）． 20. 某校开展“共享阅读、向上人生”的读书活动，为了解学生对四类书籍（A．体育类，B．科技类，C．文学类，D．艺术类）的喜爱情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行了问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四类书籍中选择一类），并将数据进行统计和整理，绘制了两幅不完整的统计图，根据图中信息，请回答下列问题： （1）本次抽取调查的学生共有___________人，估计该校2000名学生喜爱“B．科技类”书籍的人数约为___________人； （2）求样本中喜爱“C．文学类”书籍的人数为___________人，并将条形统计图补充完整； （3）在活动中，甲、乙、丙三名学生表现优秀，决定从这三名学生中随机选取两名学生参加演讲比赛，请用列表或画树状图方法，求恰好选中甲和乙的概率． 21. 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 22. 综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，． 【观察感知】 （1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号） 【探索发现】 （2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）． ①求线段长；（结果保留根号） ②判断与的位置关系，并说明理由． 23. 如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． （1）点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； （2）过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． （1）求二次函数关系式； （2）连接、，在直线的下方抛物线上是否存在点P，使；若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由； （3）在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线，使，点M是线段上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量检测初四数学试题 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（共10个小题，每小题3分，摘分30分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案：其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 的值等于（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入的三角函数值，再进行二次根式的混合运算． 【详解】解： ， 故选：B． 2. 下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、根据函数的图象可知y随x的增大而增大，故本选项不符合题意； B、根据函数的图象可知在第二象限内y随x的增大而减增大，故本选项不符合题意； C、根据函数的图象可知，当x＜0时，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，故本选项不符合题意； D、根据函数的图象可知，当x＜0时，y随x的增大而减小；故本选项符合题意． 故选 D． 【点睛】本题考查了函数的图象，函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键. 3. 如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为（ ） A. ①③②④ B. ④②①③ C. ④②③① D. ②④①③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了在太阳光下的平行投影，解答本题的关键是要抓住太阳一天中运动的方位特点来确定物体影子所处的方位．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例． 【详解】解：太阳从东边升起最后从西边落下，树的影子应该在西面开始，随着时间的变化影子逐渐向北偏西，北偏东，正东方向的顺序移动， ∴按时间先后顺序排列序号应为④②①③． 故选：B． 4. 如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 5. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和俯视图，从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，据此即可求解． 【详解】解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形， 故选：A． 7. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 8. 如图，港口B位于岛A的北偏西方向，灯塔C在岛A的正东方向，，一艘货轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，，则的值是（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 过点作，垂足为，证明，得出，结合，，求出，再在中利用三角函数求出，在中，利用三角函数求出，利用，得出，则可求出，再在中利用三角函数即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 得：， 在中，由， 得． 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 9. 如图，四边形内接于，对角线经过圆心，，，，则的半径长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． 连接，过点作于点，由圆周角定理以及圆的内接四边形的性质得到，，然后解求出，然后对运用勾股定理求解，再解等腰即可求解半径． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 10. 如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，若，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、动点的函数图象，从函数图象获取必要的信息是解题的关键． 根据矩形的性质证明，得到，由图象得，当时，，再代入数据即可求出的长． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由图象得，当时，， 此时， ∴， 解得， 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 列表如下： 1 2 1 2 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为， 故答案为：． 12. 如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则___．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， 即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案：． 13. 如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接，证明四边形为菱形，易得为等边三角形，，得到，根据阴影部分的面积等于弓形的面积加上的面积，即为扇形的面积，进行求解即可． 【详解】解：连接，交于点，则：， ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 14. 把二次函数的关于x轴的对称图象向上平移3个单位，得到一个新的二次函数图象，则新图象对应的二次函数表达式为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的对称及平移变换，准确地掌握以上知识是解题的关键．先求原二次函数关于x轴的对称函数，再将该对称函数向上平移3个单位． 【详解】解：关于x轴的对称函数为 ， 再向上平移3个单位，得到新函数 ． 故答案为：． 15. 如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得． 【详解】解：如图，延长，交直线于点， 由题意得：， 设，则， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，其中则下列结论： ①；②方程没有实数根；③；④； ⑤若两点都在抛物线的图像上，则． 其中正确的有____．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；根据函数二次函数的对称性，增减性可判定⑤． 【详解】解：二次函数与x轴交于点、，，图象开口向上， ∴对称轴直线为，． ， 当时，． ，即． ． ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值在x轴下方． ∴抛物线与直线有两个不同的交点． ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与y轴交于点，其中， ∴当，． ． ，， ， 解得，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ． ，故④正确； ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 若两点都在抛物线的图象上， ∵， ∴，故⑤正确；； 综上所述，正确的有； 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 为打造活力校园，某校在大课间开展丰富多彩的文体活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．健美操，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“健美操”的概率是___________； （2）用画树状图或列表的方法，求小明和小聪恰好选择同一种体育活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．健美操，D．踢毽子， ∴选中“健美操”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种， ∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动概率是． 18. 某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 【答案】任务一：，任务二：该活动中心移动了2米； 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用； 任务一：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，可得，，求解，进一步可得答案； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，可得，四边形为矩形，，求解，进一步可得答案. 【详解】解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∴该活动中心移动了2米. 19. 如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，． （1）求证：直线是的切线； （2）已知，求的长（结果保留）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质． （1）先由三角形内角和定理得出，再根据得，进而可得，再根据切线的判定可得出结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得，设，则，求出，再得，然后根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 且是的半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 设， ∴， 解得， ∵， ∴的长为：． 20. 某校开展“共享阅读、向上人生”的读书活动，为了解学生对四类书籍（A．体育类，B．科技类，C．文学类，D．艺术类）的喜爱情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行了问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四类书籍中选择一类），并将数据进行统计和整理，绘制了两幅不完整的统计图，根据图中信息，请回答下列问题： （1）本次抽取调查的学生共有___________人，估计该校2000名学生喜爱“B．科技类”书籍的人数约为___________人； （2）求样本中喜爱“C．文学类”书籍的人数为___________人，并将条形统计图补充完整； （3）在活动中，甲、乙、丙三名学生表现优秀，决定从这三名学生中随机选取两名学生参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）200，800 （2）60，补全条形统计图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求解概率，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键． （1）由D．艺术类的人数除以占比即可求解本次抽取调查的学生，用2000乘以喜爱“B科技类”的占比即可求解该校2000名学生喜爱“B．科技类”书籍的人数； （2）先用总人数减去类人数求出C．文学类的人数，即可补全条形统计图； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次抽取调查的学生共有（人）， 该校2000名学生喜爱“B．科技类”书籍的人数约为：（人）， 故答案为：200，800； 【小问2详解】 解：C．文学类的人数为：（人）， 则补全条形统计图为： 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种. （恰好选中甲和乙）． 21. 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】（1）A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 （2）本次研学活动学校最少租车费用为27 000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． 【小问2详解】 解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 22. 综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，． 【观察感知】 （1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号） 【探索发现】 （2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）． ①求线段的长；（结果保留根号） ②判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，再求出，然后根据三角形的外角性质即可得；最后根据解直角三角形可得的长，根据线段的和差即可得； （2）①过点作，垂足为，先解直角三角形可得的长，再利用勾股定理可得的长，然后根据线段的和差即可得； ②根据等腰三角形的性质可得，则可得，由此即可得． 【详解】解：（1）∵中，， ∴， ∵中，， ∴， ∴； 在中，， 在中，， ∴． （2）①如图，过点作，垂足为， 中，， ． 中，． ∴， ． ②，理由如下： ∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 23. 如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． （1）点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； （2）过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 【答案】（1）在线段上；； （2）补图见解析，为等腰三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理与弧，弦，圆心角定理可得答案； （2）补图如下， 连接，证明，，结合，可得，进一步可得结论； （3）如图，过作于，求解，，，，可得，从而可得答案. 【小问1详解】 解：∵是直角， ∴为直径， ∵为圆心， ∴在线段上； ∵为的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：补图如下，为等腰三角形，理由如下： 连接， ∵为的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问3详解】 解：如图，过作于， ∵的半径为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弦，弧，圆心角之间的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． （1）求二次函数关系式； （2）连接、，在直线的下方抛物线上是否存在点P，使；若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由； （3）在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线，使，点M是线段上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2）存在，点P的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图像过点，对称轴为直线，列出关于的方程组，即可求解； （2）根据点的坐标可得，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设点关于直线的对称点为，则，结合可得点与点重合，得出，即可求解； （3）在上取一点，使得，得出，在上取一点，使得轴，垂足为，则，作关于的对称点，连接交于点，根据轴对称的性质可得当在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法求得，则，进而得出，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴二次函数关系式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得或， ∴，， ∴， 当时，，则 ∴，， ∴， 如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形， ∴，， 设点关于直线的对称点为，则， ∴， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴点与点重合， ∴； 综上所述，存在点，使，点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，在上取一点，使得 ∴， 设，则 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 在上取一点，使得轴，垂足为， ∴， ∴，则； 如图，作关于的对称点，连接交于点， ∴， ∴当在上时取得最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，运用数形结合思想是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决压轴题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $