精品解析：山东省烟台市牟平区（五四制）2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期末质量检测 初四数学试题 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（共10个小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，某人从山脚下的点走了到达山顶的点，已知点到山脚的垂直高度为．若用课本上的科学计算器求坡角的度数，则下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C D. 3. 如图，半径为3经过原点O和点，B是y轴左侧优弧上的一点，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6 5. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在等腰中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（ ） A. 10°，1 B. 10°， C. 15°，1 D. 15°， 8. 如图1，菱形的边在轴正半轴上，点在直线上，点从点开始向点运动，至点停止，过点作轴的垂线与菱形另一边交点为，记，的面积为，与的函数关系如图2，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 下表是李军同学填写的综合实践活动报告的部分内容： 题目 测量铁塔顶端到地面的高度 测量对象示意图 相关数据 ，， 设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是________． 12. 如图，点是的外心，点是的内心，连接，．若，则的度数为________． 13. 如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，则tan∠ABO的值为______． 14. 如图，已知点，点为直线上一动点，点，，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为________． 15. 如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________． 16. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是____________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 画出如图所示组合体的三种视图． 18. 2024年“十一”期间，昆嵛山旅游景点，人头攒动，热闹非凡．烟台市文旅局对本次“十一”假期选择无染寺、九龙池、石门里、烟霞洞风景区（以下分别用、、、表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图． 请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的游客有多少人？ （2）将两幅不完整统计图补充完整； （3）若某游客随机选择、、、四个景区中的两个． ①用列表或画树状图方法，求该游客第一个景区恰好选择的概率； ②恰好选择、的概率是________． 19. 如图，已知坐标轴上两点，，连接，过点作，交反比例函数在第一象限的图象于点． （1）求反比例函数和直线：的表达式； （2）请结合函数图象，求出关于的不等式的解集． 20. 如图，在单位长度为1的网格中，点，，均在格点上，，．以为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题： ①过点作切线，且（点在的上方），②连接，交于点，③连接，与交于点． （1）求证：为的切线； （2）求的长度； （3）射线是否是的角平分线．________．（填写“是”与“否”） 21. 为了测量一高出地面1米的平台上旗杆的高度，李明同学从旗杆底部出发，沿平台前进3米至处，然后沿坡度为的斜坡走到地面处，再沿水平地面继续前行6米到达一建筑物底部处，在建筑物的走廊窗户处测得处的俯角为，旗杆顶部的仰角为，点、、、、、在同一平面内，求旗杆的高度．（结果精确到米，参考数据：，，，） 22. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 23. 如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）求证：平分； （2）为上一点，连接交于点，若，求的长． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点为第一象限抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求的最大值； （3）如图2，点是抛物线上一动点且位于对称轴左侧，交对称轴于点，将线段绕点旋转得到点的对应点．是否存在的位置，使点落在轴上？若存在，请求出满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由； （4）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末质量检测 初四数学试题 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（共10个小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图的意义判断即可． 【详解】根据题意，该几何体的左视图为： ， 故选B． 【点睛】本题考查了三视图的画法，熟练掌握三视图的空间意义是解题的关键． 2. 如图，某人从山脚下的点走了到达山顶的点，已知点到山脚的垂直高度为．若用课本上的科学计算器求坡角的度数，则下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及计算器．先求出，再求出，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ∴，故A、B选项错误，不符合题意； ，故D选项错误，不符合题意；C选项正确，符合题意； 故选：C 3. 如图，半径为3的经过原点O和点，B是y轴左侧优弧上的一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，设与x轴的另一个交点为D，连接，根据圆周角定理可将证，通过计算可知． 【详解】 解：如图所示，设与x轴的另一个交点为D，连接， ∵， ∴是的直径，在中，，， ∴， ∴， 由圆周角定理可知，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角函数，勾股定理，能够熟练应用圆周角定理是解决本题关键． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，得出的横坐标为，的纵坐标为，设，，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点， 依题意，的横坐标为，的纵坐标为，设， ∴， 则， 又∵，， ∴ ∴（负值已舍去） 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 5. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．先求出二次函数对称轴，求出当时，函数取得最小值，当时，函数值与时相同，再根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：二次函数对称轴为：直线， 即当时，函数取得最小值，当时，函数值与时相同． ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴ 解得：， 故选：B． 6. 如图，在等腰中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，几何概率的计算；熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先利用扇形的面积公式求出扇形和扇形的面积，再减去的面积即可得阴影部分的面积，再进一步利用概率公式计算即可． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， ， ∴， ∴图中阴影部分的面积是 ， ∴一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是： ， 故选：D． 7. 如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（ ） A. 10°，1 B. 10°， C. 15°，1 D. 15°， 【答案】C 【解析】 【分析】过点O作于点E，由题意易得，然后可得，，，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：过点O作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三角函数是解题的关键． 8. 如图1，菱形的边在轴正半轴上，点在直线上，点从点开始向点运动，至点停止，过点作轴的垂线与菱形另一边交点为，记，的面积为，与的函数关系如图2，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点C作轴于D，过点A作于N，设，，观察图象列方程可得，，即得、的长，由菱形性质可得，勾股定理即可求得，利用三角函数定义即可求得答案． 【详解】解：过点C作轴于D，过点A作于N，如图， 设，， 则，， ∵四边形是菱形， ∴． ∵点在直线上， ∴， 由图可知：，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、三角形面积、勾股定理、三角函数值和动点问题，数形结合是解答本题的关键． 9. 下表是李军同学填写的综合实践活动报告的部分内容： 题目 测量铁塔顶端到地面的高度 测量对象示意图 相关数据 ，， 设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用． 由得，故在中使用=即可列出方程． 【详解】解：∵， ∴， 则， 设为，， 在，== 即， 故选A． 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】开口方向，对称轴，与y轴的交点位置判断①，特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可． 【详解】∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴，和的函数值相同， 由图可知，当时的函数值小于0， ∴， ∴， 故①正确； 由图象可知，，根据对称轴，得， ∴ ∴， 故②正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线的最大值为， 当时，其函数值为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③错误； 如图所示，和点满足， ∴和点关于对称轴对称， ∴, ∵, ∴, 解得， 故④正确； 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】画树状图可得，共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子有8种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：设蛋黄粽为A，鲜肉粽为B，画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子有8种等可能的结果， ∴爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查用列表法或树状图求概率、概率公式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12. 如图，点是的外心，点是的内心，连接，．若，则的度数为________． 【答案】##26度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 点是的内心， 平分， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，则tan∠ABO的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，根据A、B在函数图象上求出S△BDO＝，S△AOC＝，根据相似三角形的判定得出△BDO∽△ACO，根据相似三角形的性质得出＝（）2＝5，解直角三角形求出即可． 【详解】解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D， 则∠BDO＝∠ACO＝90°， ∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上， ∴S△BDO＝，S△AOC＝， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°， ∴∠DBO＝∠AOC， ∴△BDO∽△OCA， ∴＝（）2＝＝5， ∴＝， ∴tan∠BAO＝＝＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法． 14. 如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线y＝﹣2与y轴交于G，过A作AH⊥直线y＝﹣2于H，AF⊥y轴于F，根据平行线的性质得到∠ABH＝α，由三角函数的定义得到，根据相似三角形的性质得到比例式，于是得到GB（n+2）（3﹣n）（n）2，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，设直线y＝﹣2与y轴交于G，过A作AH⊥直线y＝﹣2于H，AF⊥y轴于F， ∵BH∥x轴， ∴∠ABH＝α， 在Rt△ABH中， ,， 即= ∵sinα随BA的减小而增大， ∴当BA最小时sinα有最大值；即BH最小时，sinα有最大值，即BG最大时，sinα有最大值， ∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°， ∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°， ∴∠GBC＝∠ACF， ∴△ACF∽△CBG， ∴， ∵， 即， ∴BG（n+2）（3﹣n）（n）2， ∵ ∴当n时，BG最大值 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得△ACF∽△CBG是解题的关键． 15. 如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为，则扇形中未组成圆锥底面的弧长，根据圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积可得圆锥上粘贴部分的面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为， ∴扇形中未组成圆锥底面的弧长， ∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积， ∴圆锥上粘贴部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的弧长、面积公式．解题的关键在于熟练掌握，，其中为扇形的圆心角，为扇形的半径． 16. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是____________． 【答案】和 【解析】 【分析】先根据题意画出图形，先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标． 【详解】解：在中，当时，，则有， 令，则有， 解得：， ∴， 根据点坐标，有 所以点坐标 设所在直线解析式为，其过点、 有， 解得 ∴所在直线的解析式为： 当点在线段上时，设 而 ∴ ∴ 因为：，， 有 解得：， 所以点的坐标为: 当在的延长线上时， 在中，，, ∴ ∴ 如图延长至，取， 则有为等腰三角形，， ∴ 又∵ ∴ 则为符合题意的点， ∵ ∴ 的横坐标：，纵坐标为； 综上E点的坐标为：或， 故答案为：或 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况找到点的位置，是求解此题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 画出如图所示组合体的三种视图． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了画三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉． 根据三视图定义，画出图形即可． 【详解】解：该组合体三视图如图所示： 18. 2024年“十一”期间，昆嵛山旅游景点，人头攒动，热闹非凡．烟台市文旅局对本次“十一”假期选择无染寺、九龙池、石门里、烟霞洞风景区（以下分别用、、、表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图． 请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的游客有多少人？ （2）将两幅不完整的统计图补充完整； （3）若某游客随机选择、、、四个景区中的两个． ①用列表或画树状图的方法，求该游客第一个景区恰好选择的概率； ②恰好选择、的概率是________． 【答案】（1）600 （2）见解析 （3）① ② 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，画树状图求概率， 对于（1），根据选择B类型的人数和其所占的百分比，可得答案； 对于（2），先求出C类型的人数，再求出A，C类型所占的百分比，然后补全统计图即可； 对于（3），画树状图得出所有可能出现的结果，再根据要求结合概率公式解答即可． 【小问1详解】 解：， 所以本次参加抽样调查的游客有600人； 【小问2详解】 解：， 所以C类型的人数为120人； ， C类型所占； ， A类型所占． 补全统计图，如图所示． 【小问3详解】 解：画树形图如下： 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，第一个景区选择A有3种，所以游客第一个景区恰好选择A的概率是； 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，选择A，B两个景区的有2种，所以游客第一个景区恰好选择A的概率是． 故答案为：． 19. 如图，已知坐标轴上两点，，连接，过点作，交反比例函数在第一象限的图象于点． （1）求反比例函数和直线：的表达式； （2）请结合函数图象，求出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数与一次函数的综合等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的应用是解题关键． （1）过点作轴于点，先证出，根据相似三角形的性质求出的长，从而可得点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出一次函数与反比例函数的两个交点坐标，再根据关于的不等式表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方（含交点），结合函数图象求解即可得． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 将点代入反比例函数得：， 所以反比例函数的表达式为； 将点代入直线：得：，解得， 所以直线：的表达式为． 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， 联立，解得或， ∵如图，关于的不等式表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方（含交点）， ∴结合函数图象，关于的不等式的解集为或． 20. 如图，在单位长度为1的网格中，点，，均在格点上，，．以为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题： ①过点作切线，且（点在上方），②连接，交于点，③连接，与交于点． （1）求证：为的切线； （2）求的长度； （3）射线是否是的角平分线．________．（填写“是”与“否”） 【答案】（1）见解析 （2）； （3）是 【解析】 【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，即可证明出为的切线； （2）首先根据全等三角形的性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可； （3）证明，推出，利用角平分线的判定定理即可证明． 【小问1详解】 证明：如图所示， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点D在上， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴解得； 【小问3详解】 解：由题意得， ∵和为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的角平分线． 故答案为：是． 【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，角平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 21. 为了测量一高出地面1米的平台上旗杆的高度，李明同学从旗杆底部出发，沿平台前进3米至处，然后沿坡度为的斜坡走到地面处，再沿水平地面继续前行6米到达一建筑物底部处，在建筑物的走廊窗户处测得处的俯角为，旗杆顶部的仰角为，点、、、、、在同一平面内，求旗杆的高度．（结果精确到米，参考数据：，，，） 【答案】路灯的高度约为6.9米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过作于，延长、交于点，过点作于，构造矩形，根据斜坡的坡度比求出，再利用三角函数解和，分别求出和，即可求解． 【详解】解：过作于，延长、交于点，过点作于， 则，，，，，，，， ∵斜坡的坡度为，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴． 即路灯的高度约为米． 22. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解； （2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可； （3）分和两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴与y轴重合， 设抛物线的解析式为， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 小问2详解】 解： 抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1， 当时，， ， 作点B关于y轴的对称点， 则，， ， 当，，A共线时，拉杆长度之和最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为，位置如下图所示： 【小问3详解】 解：中， 抛物线开口向下， 当时， 在范围内，当时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 当时， 在范围内，当时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 综上可知，或， 的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3问注意分情况讨论． 23. 如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）求证：平分； （2）为上一点，连接交于点，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用圆周角定理得到，利用垂径定理推出，据此可证明，即可证明平分； （2）连接，，作于点M，利用垂径定理求得，证明，求得，设，则，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的直径，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：连接，，过点G作于点M， ∵是的直径，且， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， 在中，，即， 解得(负值已舍去)， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理定理，相似三角形的判定及性质，勾股定理，切线的性质是解题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点为第一象限抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求的最大值； （3）如图2，点是抛物线上一动点且位于对称轴左侧，交对称轴于点，将线段绕点旋转得到点的对应点．是否存在的位置，使点落在轴上？若存在，请求出满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由； （4）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最大值是 （3）或 （4）或或或或． 【解析】 【分析】（1）根据，，得，，，再由待定系数法即可求出解析式； （2）作轴于点F，交于点E，用含m的式子表示出D、E的坐标，进而表示出，根据，列出S关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）由题意知，，设对称轴与轴交点为点，过点作对称轴的垂线交于点，可证明，得到，再根据线段顺时针或逆时针旋转，分情况讨论，分别求出点坐标，再求出直线解析式，与抛物线联立求交点即可； （4）分为边和为对角线两种情况，根据菱形的邻边相等以及对角线中点坐标相同讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，，， ∴可设抛物线的表达式为， 把代入得，，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，且点D在抛物线上， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值是； 【小问3详解】 解：由题意知，， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设对称轴与轴交于点， 如图，过点作交直线于Q， ①当线段顺时针旋转得到线段时， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点P的坐标为； ②当线段逆时针旋转得到线段时， 同理可证， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或； 【小问4详解】 解：设， 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，旋转的性质，两点距离公式，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，中点坐标，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $