1.1.2 第2课时 函数的瞬时变化率—导数课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 1.1.2 第2课时 函数的瞬时变化率—导数 2.函数的平均变化率的几何意义： 曲线的割线的斜率 x y O y=f(x) A B x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1 f(x2)-f(x1) 4.求瞬时速度的步骤: (1)求区间[t，t＋d]上的平均速度v(t，d)； (2)求v(t，d)在d趋于0时的极限值，即为t时刻物体的瞬时速度v(t)． d→0时的极限 瞬时速度v(t) 3.瞬时速度与平均速度的关系 想一想：平均速度当区间长d趋近于0时的极限值叫瞬时速度，那么函数的平均变化率的极限值应该叫什么呢？ d→0时的极限 瞬时速度v(t) d→0时 的极限 概念1：函数的瞬时变化率 d→0时 的极限 瞬时变化率l 一般地，若函数的平均变化率 在d趋近于0时，有确定的极限值，则称这个值为该函数在x=u处的瞬时变化率. 函数的瞬时变化率，数学上叫作函数的导数或微商. f ′(x0)(d→0) 这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在，或者说f(x)在点x0处可导或可微. 概念2：函数的导数 若函数y=f(x)在定义区间中任一点的导数都存在，则f ′(x) (或y′)也是x的函数，我们f ′(x) (或y′)把叫作y=f(x)的导函数或一阶导数. 既然导函数f ′(x) 也是函数，若f ′(x) 在定义区间中任一点处都可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f ′′(x) . 类似地，可以定义三阶导数f ′′′(x)等等. 例1 投石入水，水面会产生圆形波纹区，且圆的面积随着波纹的传播半径r的增大而增大(如图).计算： (1)半径r从a增大到a+d时，圆面积S相对于r的 平均变化率； 解：圆面积相对于半径r的平均变化率为 ==π(2a+d). 8 (2)半径r=a时，圆面积S相对于r的瞬时变化率. （2）在表达式π(2a+d)中，让d趋近于0，得到圆面积S相对于r的瞬时变化率为2πa，恰为此时圆的周长. ==π(2a+d). 9 例2 在初速度为零的匀加速直线运动中，路程s和时间t的关系为s=s(t)=at2. (1)求s关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义； 解：（1）s关于t的瞬时变化率就是函数s(t)=at2的导数s'(t). 按定义计算：= ==at+ad. 当d→0时，at+ad→at，因此s'(t)=at. 从物理学上看，s关于t的瞬时变化率at就是运动物体的瞬时速度. 10 (2)求运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义. （2）运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率，实际上就是函数s'(t)=at的导数s″(t).按定义计算： ===a. 当d→0时，a还是a，所以s″(t)=a. 从物理学上看，运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率就是运动物体的加速度. 11 1.函数f(x)在某一点处导数的实际意义： 当自变量在该点处的改变量趋近于零时,平均变化率所趋近的值. 2.解释导数的实际意义的思路： ①设自变量在x=x0处的改变量为d,求平均变化率. ②令d→0,得f'(x0). ③解释f'(x0)的实际意义. 1.一只昆虫的爬行路程s(单位：米)是关于时间t(单位：分)的函数： s= 计算该昆虫第1分,第4分的瞬时变化率,并解释它们的实际意义. 解：当0≤t<3时,s(t)=3t2, ==6+3d, 当d→0时,6+3d→6, ∴s'(1)=6. 当t≥3时,s(t)=15+3(t-1)2, ==18+3d, 当d→0时,18+3d→18,∴s'(4)=18. 13 解：当0≤t<3时,s(t)=3t2, ==6+3d, 当d→0时,6+3d→6, ∴s'(1)=6. s'(1)=6说明在第1分钟时,该昆虫爬行的瞬时速度为6米/分, s'(4)=18说明在第4分钟时,该昆虫爬行的瞬时速度为18米/分. 当t≥3时,s(t)=15+3(t-1)2, ==18+3d, 当d→0时,18+3d→18,∴s'(4)=18. 例3. 求函数y=x2在点x=3处的导数. 解：因为△y=(3+d)2-32=6d+d2. 所以 =6+d， 令d→0， →6 所以函数y=x2在点x=3处的导数为6. 2. (1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数 在x=2处的导数. 议一议：现在你能总结求函数导数的步骤吗? 简记：一差、二比、三极限. 求函数y=f(x)在x0处的导数的三个步骤 注意：函数f (x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值， 这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。 3.（变式）已知f(x)=,且f ' (m)=-,则m的值等于（ ） A.-4 B.2 C.-2 D.±2 D 解：因为平均变化率为==. 当d→0时,→-, 所以-=-,m2=4,解得m=±2. 1.知识清单： (1)瞬时变化率. (2)函数在某点处的导数. (3)导数的实际意义. 2.方法归纳：无限逼近的思想. 3.常见误区： (1)不能区分平均变化率、瞬时变化率致错. (2)忽视导数定义中自变量增量与函数值增量的对应关系致错. 本节课你学到了哪些知识与方法？ 1.已知物体做直线运动的方程为s=s(t)(位移单位：m,时间单位：s),则s'(4)=10 m/s表示的意义是（ ） A.经过4 s后物体向前走了10 m B.物体在前4 s内的平均速度为10 m/s C.物体在第4 s内向前走了10 m D.物体在第4 s末的瞬时速度为10 m/s D 2.如果质点按规律s=2t3运动,则该质点在t=3时的瞬时速度为（ ） A.6 B.18 C.54 D.81 C 解：∵==2d2+18d+54, ∴当d趋近于0时, 2d2+18d+54趋近于54. ∴该质点在t=3时的瞬时速度为54. 3.已知f(x)=x3,则f '(0)等于（ ） A.-1 B.1 C. D.0 D ==d2, 当d→0时,d2→0, ∴f'(0)=0. 解： 解：因为==2t+d, 所以当d趋近于0时,2t+d趋近于2t, 所以t=2时物体的加速度为4 m/s2. 4.一物体做加速直线运动,假设t s时的速度为v(t)=t2+3,则t=2时物体的加速度为（ ） A.4 m/s2 B.3 m/s2 C.2 m/s2 D.1 m/s2 A 1.函数的平均变化率： eq \f(△y,△x)＝ （或 eq \f(△f,△x)＝ ） kAB＝ eq \f(y2－y1,x2－x1)＝ eq \f(△y,△x) 即瞬时速度 v(t)＝ eq \o(lim,\s\do7(d→0))\f(f(t+d)－f(t),d) 平均速度 v(t，d)＝ eq \f(△S,△t)＝ eq \f(f(t+d)－f(t),d) 平均变化率 eq \f(f(u+d)－f(u),d) 平均速度 v(t，d)＝ eq \f(△S,△t)＝ eq \f(f(t+d)－f(t),d) 即瞬时变化率 l＝ eq \o(lim,\s\do7(d→0))\f(f(u+d)－f(u),d) 平均变化率 eq \f(f(u+d)－f(u),d) 即f ′(x0)＝ eq \o(lim,\s\do7(d→0))\f(f(x0+d)－f(x0),d) 定义 设函数y=f(x)在包含x0的某个区间上有定义，在d趋近于0时，如果比值 eq \f(f(x0+d)－f(x0),d)趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y=f(x)在x=x0处的导数或微商，记作f ′(x0)或y′|x=x0. eq \f(f(x0+d)－f(x0),d) $