第02讲 空间向量的坐标表示（9大题型）（寒假预习讲义）高二数学苏教版

第02讲 空间向量的坐标表示 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得．其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底．此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式． 知识点2 ：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示． 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点3 ：空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面． 2、右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3、空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组（x，y，z）来表示，有序数组（x，y，z）叫做点A的坐标，记作A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 知识点4 ：空间直角坐标系中点的坐标 1、空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标． 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为． 2、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴（x轴）的对称点是； 点关于纵轴（y轴）的对称点是； 点关于竖轴（z轴）的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是． 知识点5 ：空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②， 或． 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出． （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为． （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①； ②； ③； （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和． （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 （1）． （2）． 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②． ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）． （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直． 题型一：空间向量基本定理及其推论 【例1】（25-26高二上·上海青浦·月考）在平行六面体中，设．下列选项中，可以作为空间中的一组基的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·云南楚雄·期中）若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做向量在基底下的斜坐标.已知空间向量在基底下的斜坐标为，则在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·安徽池州·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 题型二：用基底表示向量 【例2】在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（22-23高二上·山东日照·期中）如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·山东临沂·期中）在四面体中，点G是的重心，设，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（10-11高二下·浙江宁波·期中）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（25-26高二上·广东佛山·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　） A． B． C． D． 题型三：空间向量基本定理的应用 【例3】（25-26高二上·安徽·期中）已知边长为2的正方体中，向量，若，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．2 【变式3-1】（25-26高二上·湖北·期中）在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·安徽池州·期中）在四面体中，点满足，为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 题型四：空间直角坐标系及空间中点的坐标表示 【例4】（25-26高二上·安徽亳州·期中）若点是点在平面内的射影，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·北京·期中）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【变式4-2】在以为原点，为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点，若，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二下·广东茂名·月考）设点，，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型五：空间向量的坐标表示及运算 【例5】（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知向量，向量，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·广东·期中）在空间直角坐标系中，已知，，若点与点关于平面对称，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D． 题型六：空间向量平行的坐标表示及应用 【例6】（25-26高二上·天津·期中）设x，，向量，向量，，且，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【变式6-1】（25-26高二上·四川眉山·月考）设，向量，，，且，，则（　　） A． B． C．3 D．4 【变式6-2】（25-26高二上·全国·期末）已知向量，且，那么（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【变式6-3】（25-26高二上·浙江·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 题型七：空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示 【例7】（多选题）（25-26高二上·海南儋州·月考）已知空间向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与同向的单位向量是 【变式7-1】（多选题）（25-26高二上·陕西榆林·月考）已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选题）（25-26高二上·福建厦门·月考）已知空间向量，，则（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D．向量是与平行的一个单位向量 【变式7-3】（多选题）（24-25高二上·江西萍乡·期中）已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 题型八：空间两点间的距离公式及线段的中点坐标 【例8】（25-26高二上·广东江门·月考）在空间直角坐标系中，已知，则 ． 【变式8-1】（25-26高二上·四川广安·期中）已知三角形的三个顶点分别为，，，则的中点坐标为 . 【变式8-2】（25-26高二上·福建福州·期中）已知点，，则AB的中点坐标为 . 【变式8-3】（24-25高二上·青海西宁·月考）平行四边形的两个顶点的的坐标为，对角线的交点为，则线段的中点为 ，顶点的坐标为 ， 的大小为 . 题型九：利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 【例9】（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)在方向上的投影数量. 【变式9-1】（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知向量，． (1)求与的夹角； (2)若与互相垂直，求实数t的值． 【变式9-2】（25-26高二上·吉林长春·月考）已知空间三点，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 【变式9-3】（25-26高二上·广东惠州·月考）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 1．（25-26高二上·湖北·月考）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则（    ） A．2 B． C． D． 2．（25-26高二上·四川眉山·月考）设，向量，，，且，，则（　　） A． B． C．3 D．4 3．（25-26高二上·云南丽江·期中）已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东佛山·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·安徽·月考）已知空间向量，若，则（　　） A．-2 B．-3 C．2 D．3 6．（25-26高二上·安徽·月考）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东·月考）在四面体中，点，满足，，记，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（24-25高一下·吉林松原·期末）在平行六面体中，，，为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C．异面直线与所成角为 D．平行六面体的体积为 9．（多选题）（25-26高二上·海南儋州·月考）已知空间向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与同向的单位向量是 10．（多选题）（25-26高二上·河北石家庄·月考）在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·月考）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 12．（25-26高二上·四川泸州·期中）已知向量，则在方向上的投影向量坐标为 . 13．（25-26高二上·山东潍坊·月考）已知、、、四点共面，则对于空间中任意一点，若，则的值为 . 14．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知在棱长为的正四面体中，动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为 . 15．（25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）在平行六面体中，，且交平面于点，则 . 16．（25-26高二上·贵州遵义·月考）在空间直角坐标系中，向量在平面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为 . 17．（25-26高二上·陕西渭南·月考）设，，向量，，，且，，则等于 . 18．（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)在方向上的投影数量. 19．（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知向量.求： (1) (2) 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 空间向量的坐标表示 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得．其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底．此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式． 知识点2 ：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示． 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点3 ：空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面． 2、右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3、空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组（x，y，z）来表示，有序数组（x，y，z）叫做点A的坐标，记作A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 知识点4 ：空间直角坐标系中点的坐标 1、空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标． 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为． 2、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴（x轴）的对称点是； 点关于纵轴（y轴）的对称点是； 点关于竖轴（z轴）的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是． 知识点5 ：空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②， 或． 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出． （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为． （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①； ②； ③； （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和． （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 （1）． （2）． 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②． ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）． （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直． 题型一：空间向量基本定理及其推论 【例1】（25-26高二上·上海青浦·月考）在平行六面体中，设．下列选项中，可以作为空间中的一组基的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在平行六面体中，为不共面向量. A，因中的可以表示为的和，即三个向量共面，不能作为基底，不合题意； B，对于，因，即为共面向量，不合题意； C，对于，因，即为共面向量，不合题意； D，假设为共面向量， 则存在唯一的，满足， 则，该方程显然无解，故假设不成立，即可以作为空间中的一组基，符合题意. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量在基底下的斜坐标为， 所以， 所以向量在基底下的斜坐标为. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·云南楚雄·期中）若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做向量在基底下的斜坐标.已知空间向量在基底下的斜坐标为，则在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由空间向量在基底下的斜坐标为，得， 设在基底下的斜坐标为， 则， 所以，解得， 所以空间向量在基底下的斜坐标为. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高二上·安徽池州·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，向量共面，A错误； 对于B，，故向量共面，故B错误， 对于C，假定向量共面，则存在实数对，使得，故， 而不共面，则，矛盾，故假设不成立，因此向量不共面，C正确； 对于D，，向量共面，D错误； 故选：C 题型二：用基底表示向量 【例2】在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A. 【变式2-1】（22-23高二上·山东日照·期中）如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，则，由为的中点，则. 所以 . 故选：A. 【变式2-2】（25-26高二上·山东临沂·期中）在四面体中，点G是的重心，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示： 取AC的中点H，则， 又， 所以， 故选：C 【变式2-3】（10-11高二下·浙江宁波·期中）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由. 故选：B 【变式2-4】（25-26高二上·广东佛山·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，连接， 则． 因为，即，故， 因为、、、四点共面，且、不共线，存在、，使得， 所以， 由空间向量的基本定理可得，解得，所以. 故选：A. 题型三：空间向量基本定理的应用 【例3】（25-26高二上·安徽·期中）已知边长为2的正方体中，向量，若，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【解析】如图： 取中点，则，因为， 所以点在平面内，的最小值就是三棱锥的高， 因为， 所以的面积， 设三棱锥的高为，则，所以. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高二上·湖北·期中）在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的重心，所以 ， 又，，，， 所以， 因为点在平面内， 所以，得，且. 所以 当且仅当时等号成立. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高二上·安徽池州·期中）在四面体中，点满足，为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在四面体中，点满足，为中点， 连接，则， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 题型四：空间直角坐标系及空间中点的坐标表示 【例4】（25-26高二上·安徽亳州·期中）若点是点在平面内的射影，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点是点在平面内的射影， 所以,所以. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高二上·北京·期中）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量，，其中O为坐标原点， 所以，， 所以的中点的坐标为， 故选：D 【变式4-2】在以为原点，为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点，若，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得， 故. 又， 则， 故点坐标为． 故选:A. 【变式4-3】（23-24高二下·广东茂名·月考）设点，，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，且， 因为，可得，解得，即点. 故选：B. 题型五：空间向量的坐标表示及运算 【例5】（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 故选：C 【变式5-1】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知向量，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则，所以. 故选：D 【变式5-2】（25-26高二上·广东·期中）在空间直角坐标系中，已知，，若点与点关于平面对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由点与点关于平面对称，得，所以. 故选：A. 【变式5-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】因为，，，， 所以，，， 因为四点共面，所以与共面， 而、不共线，则存在唯一实数对，使得， 所以， 所以，解得． 故选：D. 题型六：空间向量平行的坐标表示及应用 【例6】（25-26高二上·天津·期中）设x，，向量，向量，，且，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【解析】由题意得，解得， ，解得，则，， ， 则. 故选：D. 【变式6-1】（25-26高二上·四川眉山·月考）设，向量，，，且，，则（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为向量，，， 若，则，解得，所以； 且，则，解得，所以； 可得，所以. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·全国·期末）已知向量，且，那么（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】B 【解析】因为，所以，解得， 所以. 故选：B. 【变式6-3】（25-26高二上·浙江·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，解得. 故选：B. 题型七：空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示 【例7】（多选题）（25-26高二上·海南儋州·月考）已知空间向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与同向的单位向量是 【答案】AD 【解析】对于A，由向量，可得，故A正确； 对于B，由向量， 可得，故B错误； 对于C，由向量的夹角公式，可得， 而，则，故C错误； 对于D，由题意得与同向的单位向量，故D正确. 故选：AD. 【变式7-1】（多选题）（25-26高二上·陕西榆林·月考）已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，所以A正确； 因为，所以不存在使，所以B不正确； 因为，所以，所以C正确； 因为，所以，所以D不正确． 故选：AC． 【变式7-2】（多选题）（25-26高二上·福建厦门·月考）已知空间向量，，则（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D．向量是与平行的一个单位向量 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，，所以，A正确； 对于B，， 故，B正确； 对于C，，在上的投影向量即为，C错误； 对于D，因为，所以，且， 故向量是与平行的一个单位向量，D正确. 故选：ABD. 【变式7-3】（多选题）（24-25高二上·江西萍乡·期中）已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】AD 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，，所以，故B错误； 对于C，假设，则存在实数使得，则，无解，所以假设错误，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量为，故D正确. 故选：AD. 题型八：空间两点间的距离公式及线段的中点坐标 【例8】（25-26高二上·广东江门·月考）在空间直角坐标系中，已知，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以. 故答案为： 【变式8-1】（25-26高二上·四川广安·期中）已知三角形的三个顶点分别为，，，则的中点坐标为 . 【答案】 【解析】由点，点，可知的中点坐标为，即. 故答案为： 【变式8-2】（25-26高二上·福建福州·期中）已知点，，则AB的中点坐标为 . 【答案】 【解析】因为， 所以由中点公式可得的中点坐标为. 故答案为：. 【变式8-3】（24-25高二上·青海西宁·月考）平行四边形的两个顶点的的坐标为，对角线的交点为，则线段的中点为 ，顶点的坐标为 ， 的大小为 . 【答案】 【解析】由题设的中点坐标为即， 由可得的坐标为即， 故， 故答案为：，，. 题型九：利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 【例9】（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)在方向上的投影数量. 【解析】（1）由题意得，，， 所以，， 可得，，， 所以. （2）由题意得，， 因为，所以， 即，解得或. （3）可知，， 所以，， 所以在方向上的投影数量为. 【变式9-1】（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知向量，． (1)求与的夹角； (2)若与互相垂直，求实数t的值． 【解析】（1）由，得， 则，，， 因此，而， 则，所以与的夹角为. （2）依题意，，，由与互相垂直， 得，即， 所以. 【变式9-2】（25-26高二上·吉林长春·月考）已知空间三点，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 【解析】（1）由题意知， 所以． 又， 所以， 解得． （2）因为， 又， 设， 又，所以，解得， 当时，； 当时，， 所以向量的坐标为或． 【变式9-3】（25-26高二上·广东惠州·月考）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 【解析】（1）因为，， ，， 所以，， 则. （2）因为，， 所以，. 又与垂直， 所以， 解得或. （3）由题可知，， 由，知存在实数，使得，即. 因为，所以，解得， 所以或. 1．（25-26高二上·湖北·月考）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】， 所以， 因为三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是， 所以， 所以. 故选：C. 2．（25-26高二上·四川眉山·月考）设，向量，，，且，，则（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为向量，，， 若，则，解得，所以； 且，则，解得，所以； 可得，所以. 故选：C. 3．（25-26高二上·云南丽江·期中）已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设向量在基底下坐标为， 则. 已知在基底下坐标为， 即. 所以， 即， 则：， 所以向量在基底下的坐标是， 故选：B. 4．（25-26高二上·广东佛山·月考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，连接， 则． 因为，即，故， 因为、、、四点共面，且、不共线，存在、，使得， 所以， 由空间向量的基本定理可得，解得，所以. 故选：A. 5．（25-26高二上·安徽·月考）已知空间向量，若，则（　　） A．-2 B．-3 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由，有，则，解得． 故选：D． 6．（25-26高二上·安徽·月考）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，设， 所以， 解得，则， 则以为基底时的坐标是． 故选：D． 7．（25-26高二上·广东·月考）在四面体中，点，满足，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 故. 故选：D. 8．（多选题）（24-25高一下·吉林松原·期末）在平行六面体中，，，为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C．异面直线与所成角为 D．平行六面体的体积为 【答案】BCD 【解析】选项A：，故A错误； 选项B：， ， 所以 ， 所以，即，故B正确； 选项C：因为平行六面体， 所以，则与所成角即为与所成角，即为所求. 因为，， 所以为等边三角形，则， 所以异面直线与所成角为，故C正确； 选项D：， 由可知，在平面的射影在上. 设与成角为，到平面ABCD的距离为d， 则， 所以， 所以到平面ABCD的距离， 又底面菱形ABCD的面积， 所以平行六面体的体积，故D正确. 故选：BCD 9．（多选题）（25-26高二上·海南儋州·月考）已知空间向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与同向的单位向量是 【答案】AD 【解析】对于A，由向量，可得，故A正确； 对于B，由向量， 可得，故B错误； 对于C，由向量的夹角公式，可得， 而，则，故C错误； 对于D，由题意得与同向的单位向量，故D正确. 故选：AD. 10．（多选题）（25-26高二上·河北石家庄·月考）在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】在平行六面体中，是的中点， 对于AB，， 而，不共面，因此，A正确，B错误； ，则 ， 于是 ，由为平面内一点， 得共面，由共面向量定理得，因此，C正确，D错误. 故选：AC 11．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·月考）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【解析】选项A：由题意，解得，故A正确； 选项B：若，则，解得，故B正确； 选项C：在上的投影向量为， 所以，即， 判别式，方程无实数根，故C错误； 选项D：若与夹角为锐角，则，且与不共线， 所以，解得，由与不共线，得 所以，故D正确. 故选：ABD 12．（25-26高二上·四川泸州·期中）已知向量，则在方向上的投影向量坐标为 . 【答案】 【解析】根据投影向量的公式，在方向上的投影向量为. 故答案为： 13．（25-26高二上·山东潍坊·月考）已知、、、四点共面，则对于空间中任意一点，若，则的值为 . 【答案】 【解析】因为、、、四点共面，根据共面向量定理的推论， 对于空间中任意一点，存在实数使得，且满足， 将题设条件与该定理对比，可知系数之和必须为，即， 解得， 故答案为：. 14．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知在棱长为的正四面体中，动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为 . 【答案】 【解析】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正四面体的棱长为，设为的中心， 可得平面，且， 则， 设，因为， 可得， 整理得， 即点的轨迹为以为球心，半径为的球面， 则球心到平面的距离为，即球心到平面的距离为， 又由截面圆的性质，可得截面圆的半径为， 所以截面圆的周长为. 故答案为：. 15．（25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）在平行六面体中，，且交平面于点，则 . 【答案】/ 【解析】根据题意，连接交于点，连接与交于点， 在平行六面体中，∽，则，故， 根据平面的基本性质可知点与点重合，故，其中， 故 ， 所以，所以. 故答案为： 16．（25-26高二上·贵州遵义·月考）在空间直角坐标系中，向量在平面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为 . 【答案】 【解析】向量在平面上的投影向量为， 向量在向量上的投影向量为， 则，因，则. 故答案为：. 17．（25-26高二上·陕西渭南·月考）设，，向量，，，且，，则等于 . 【答案】3 【解析】因为，，，所以， 因为，所以，得， 故，故. 故答案为： 18．（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)在方向上的投影数量. 【解析】（1）由题意得，，， 所以，， 可得，，， 所以. （2）由题意得，， 因为，所以， 即，解得或. （3）可知，， 所以，， 所以在方向上的投影数量为. 19．（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知向量.求： (1) (2) 【解析】（1），， ， 故. （2）， ， ， ， 因为向量夹角范围是，所以 . 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $