精品解析：湖南张家界市桑植县2025年下学期九年级期末教学质量检测数学试卷

2025年下学期九年级期末教学质量检测 数学试卷 注意事项：本试卷共三道大题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．据此解答即可． 【详解】解：A、含有2个未知数，不符合题意； B、为分式方程，不符合题意； C、只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意； D、含有2个未知数，不符合题意； 故选：C． 2. 反比例函数y＝的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第一、二象限 D. 第二、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限． 【详解】解：∵k＝2＞0， ∴反比例函数图象位于第一、三象限， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟知比例系数的符号与函数图象的关系是解题的关键． 3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 故选：D． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点O为位似中心，相似比为3，将放大，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 【详解】解：∵，以点O为位似中心，相似比为3，将放大， ∴点的坐标为或， 故选：C． 5. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，连接，由轴可得，结合得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】解：A、，则方程没有实数根，所以该选项符合题意； B、方程整理得，，则方程有两个相等的实数根，所以该选项不符合题意； C、，则方程有两个相等的实数根，所以该选项不符合题意； D、整理整理为，，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（a≠0）的根与有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 7. 如图, 在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答． 【详解】解：A、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，正确； B、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，错误； C、由函数y=的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误； D、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 8. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽，若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．利用平移可把草坪把为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程． 【详解】解：利用平移，原图可转化为，如图所示，     设小路宽为x米， 根据题意得：， 故选：C． 9. 在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题意作出直角，然后根据，设一条直角边为，斜边为，根据勾股定理求出另一条直角边的长度，然后根据三角函数的定义可求出． 【详解】解：如图， ， 设，， 则， 故． 故选：． 10. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定选项B、C；根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定选项A、D． 【详解】解：A、由，，不能判定，因为相等的角不是成比例的两边的夹角，故本选项符合题意； B、因为，，所以，故本选项不符合题意； C、因为，，所以，故本选项不符合题意； D、由，可得，又因为，所以，故本选项不符合题意． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在反比例函数的图象每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是_____． 【答案】m＞2． 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得到m-2＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：∵在反比例函数y＝的图象每一条曲线上，y都随x的增大而减小， ∴m-2＞0， ∴m＞2． 故答案为m＞2． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了反比例函数的性质． 12. 为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘中捕捞了100条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞300条．若其中有标记的鱼有15条，则可估计池塘里有鱼______条． 【答案】2000 【解析】 【分析】本题考查了利用样本所占百分比估计总体，熟练掌握利用样本所占百分比估计总体的方法是解题关键．先求出样本中有标记的鱼所占百分比，再利用100除以这个百分比即可得． 【详解】解：由题意可知，样本中有标记的鱼所占百分比为， 则可估计池塘里鱼的总数为（条）， 故答案为：2000． 13. 已知、是的两个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数关系求出，，再把化为，再代入求值即可． 【详解】解：∵、是的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在九年级颁奖典礼上，舞台的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段上靠近点A的黄金分割点，则主持人与点A的距离为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用等知识点，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答 ，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】∵点C是线段上靠近点A的黄金分割点，，米， ∴米， ∴米， ∴主持人与点A的距离为米， 故答案为：米． 15. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为_______． 【答案】3＋ 【解析】 【详解】过C作CD⊥AB于D， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°． ∵∠B＝45°， ∴∠BCD＝∠B＝45°， ∴CD＝BD． ∵∠A＝30°，， ∴， ∴． 由勾股定理得：， ∴． 故答案是：3＋ 16. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形按这样的规律进行下去，则点到x轴的距离是________． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】根据勾股定理可得正方形的边长为，根据相似三角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的，依次得到第四个正方形和第五个正方形的边长，进一步得到点到轴的距离． 【详解】解：在中，，， 正方形的边长为， ，， ， ， ∴， ， 过作轴于， ∵， ∴， ∴， 依此可得，，， ， 同理可得：点到轴的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数的应用．掌握以上基础知识是解本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，第17、18小题每小题6分，第19小题8分，第20、21、22、23小题每小题10分，第24小题12分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、零次幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值以及实数的混合运算，熟练掌握各部分的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键．先分别对绝对值、零次幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行化简，再按照实数的运算法则进行加减运算，从而得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 19. 某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校2300名学生中，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能填写一项自己喜欢的活动项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）被调查的学生共有__________人，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，__________，__________，表示区域C的圆心角是__________度； （3）全校学生中喜欢篮球的人数大约有多少？ 【答案】（1）100， 补图如下： （2）30，10，144 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，掌握基础的统计知识是解本题的关键； （1）由B的人数除以其百分比即可得到总人数，再求解C的人数补全图形即可； （2）由A，D的人数分别除以总人数可得m，n的值，再由乘以C的百分比可得圆心角的大小； （3）由全校总人数乘以样本中喜欢篮球的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 本次抽样调查的样本容量是， 喜欢跳绳的人数为（人）， 【小问2详解】 喜欢踢毽子的人数为30人，故， 喜欢篮球的人数为10人，故， 喜欢跳绳所在扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 （名）， 答：全校约有230学生喜欢篮球． 20. 在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵长在斜坡上的杨树的高度．如图，已知斜坡的坡度为米，在距离点C4米处的点D测得杨树顶端A的仰角为． （1）______度； （2）求杨树的高度．（，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上，结果精确到米，参考数据：） 【答案】（1） （2）杨树的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度及仰角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据坡度得出，即可求解； （2）在中，求出，再在中，建立等式即可求解． 【小问1详解】 解：斜坡的坡度为， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点作的垂线，交于点，如下图： ，即， 解得：， ，即， 解得：， 在中， ，即， ， 解得：（米）， 答：杨树的高度为米． 21. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【小问1详解】 解：设头盔销售量的月增长率为， 根据题意得： ， 解得（舍去）， 答：头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设头盔每个涨价元， 根据题意得： ， 整理得， 解得， 要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 22. 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE． (1)求证：△ABE∽△ECD； (2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长． 【答案】 （1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°， ∵AE⊥DE， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB＋∠DEC＝90°， ∴∠BAE＝∠DEC， ∴△ABE∽△ECD. （2）CD＝． 【解析】 【分析】（1）先根据同角的余角相等可得：∠DEC＝∠BAE，再利用两角相等证明三角形相似； （2）先根据勾股定理得：BE＝3，根据△ABE∽△ECD，列比例式可得结论． 【详解】(1)略 (2)在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5， ∴BE＝3， ∴EC＝BC－BE＝5－3＝2， ∵△ABE∽△ECD， ∴， ∴， ∴CD＝. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 23. 一次函数与反比例函数，交于点和点，过点A作轴，垂足为C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． （3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围． 【答案】（1）， （2）12 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积的应用： （1）把B的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可； （2）求出，再根据三角形的面积公式求出即可； （3）直接观察图象，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入，得： ，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入，得：， ∴点， 把点，点代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点，轴， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：观察图象得：当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值， 即一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围为或． 24. 如图，在矩形中，，，点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 （1）当秒时，的值是多少？ （2）写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围； （3）若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】（1）24 （2） （3）为或，理由如下： 如图： ， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上所述，当为或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形综合应用，矩形的性质，函数关系式； （1）当秒时，，，，根据，，可得，，，，即可得； （2）分两种情况：①当在上，即时，；②当在上时，由解得，故此时，； （3）由，知以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或，当时，，得，当时，，得． 【小问1详解】 解：当秒时，，，， 矩形中，，， ，，，， ， ， ， ， 的值是24； 【小问2详解】 解：①当在上，即时，如图： ，，， ，，， ； ②当在上时，由解得， 追上所用时间是， 此时， 如图： ，， ， ， 综上所述，； 【小问3详解】 解：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期九年级期末教学质量检测 数学试卷 注意事项：本试卷共三道大题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数y＝的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第一、二象限 D. 第二、四象限 3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点O为位似中心，相似比为3，将放大，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则k的值为（ ） A. B. C. D. 6. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图, 在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽，若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在反比例函数的图象每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是_____． 12. 为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘中捕捞了100条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞300条．若其中有标记的鱼有15条，则可估计池塘里有鱼______条． 13. 已知、是的两个根，则的值为__________． 14. 如图，在九年级颁奖典礼上，舞台的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段上靠近点A的黄金分割点，则主持人与点A的距离为______米． 15. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为_______． 16. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形按这样的规律进行下去，则点到x轴的距离是________． 三、解答题（本大题共8小题，第17、18小题每小题6分，第19小题8分，第20、21、22、23小题每小题10分，第24小题12分，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程： 19. 某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校2300名学生中，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能填写一项自己喜欢的活动项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）被调查的学生共有__________人，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，__________，__________，表示区域C的圆心角是__________度； （3）全校学生中喜欢篮球的人数大约有多少？ 20. 在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵长在斜坡上的杨树的高度．如图，已知斜坡的坡度为米，在距离点C4米处的点D测得杨树顶端A的仰角为． （1）______度； （2）求杨树的高度．（，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上，结果精确到米，参考数据：） 21. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 22. 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE． (1)求证：△ABE∽△ECD； (2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长． 23. 一次函数与反比例函数，交于点和点，过点A作轴，垂足为C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． （3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围． 24. 如图，在矩形中，，，点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 （1）当秒时，的值是多少？ （2）写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围； （3）若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $