精品解析：江苏南通市海安市2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题

江苏南通市海安市2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符． 4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 古代粮仓等必备的粮食量器——米斗，因陶渊明“不为五斗米折腰”的典故而广为人知．如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 3. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．与是以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是半圆的直径，点是弧的中点，若，则等于（    ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，．在边上取两点D，E，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点都在反比例函数（k为常数，）的图像上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中给出四个点：，，，，经过四个点中的三个点画二次函数的图象，对于画出的所有二次函数的图象，甲认为它们一定经过点；乙认为恒成立，两人的说法（ ） A. 两人都对 B. 甲对，乙错 C. 甲错，乙对 D. 两人都错 10. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞完全撑开时，两条伞骨所成的角，伞圈在伞柄上，；如图2，伞完全收拢时，伞圈滑动到的位置，在伞完全撑开到完全收拢的过程中，伞圈移动的长度可表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，第题每小题3分，第题每小题4分，第16题每空2分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 12. 抛物线向下平移个单位长度，所得拋物线的解析式是__________． 13. 如图，在矩形纸片上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥．如果圆的半径为，那么圆锥的高为__________． 14. 关于的方程的一个根是，则的值是________． 15. 如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．点A，B为格点，以点为圆心，为半径画弧，交网格线于点，记，则__________． 16. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作，交双曲线另一支于点，且，则__________，连接，，若，则__________． 三、解答题（本大题共8小题、共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点的坐标为． （1）以原点为对称中心，画出关于原点对称的； （2）以点为旋转中心，画出把顺时针旋转得到的； （3）若绕某点顺时针旋转一定角度得到，请确定旋转中心的坐标以及旋转角度． 19. 小明参加某个竞答节目，答对两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项．这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一道题的1个错误选项）： （1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率为________； （2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表的方法来求小明顺利通关的概率； （3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”？ 20. 如图，一次函数的图象与轴交于点，将点向右平移1个单位后所得点在反比例函数的图象上． （1）求的值； （2）若一次函数与反比例函数图象在第二象限交于点，连接，求的面积． 21. 命题：对某条路线的长度进行次测量，得到个结果．如果用作为这条路线长度的近似值，当时，最小． 请判断该命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． 22. 如图1，在等腰中，，以为直径的与相交于点，过点作交延长线于点，垂足为点． （1）若，，求由、线段和线段所围成图形（阴影部分）的面积； （2）如图2，若的半径，，求线段的长． 23. 一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． （1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？ （2）小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 24. 已知二次函数，其中a，b为两个不相等的实数，与轴交点坐标为． （1）当时，求的值； （2）当时，点在该函数图象上，且，求整数的值； （3）若，对于该函数图象的顶点坐标，满足，求的取值范围． 25. 在中，，，是射线上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，点与点重合，求证：平分； （2）如图2，点在的延长线上，连接，若，求证：； （3）如图3，点在线段上，过点作，交直线于点，用等式表示与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏南通市海安市2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符． 4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 古代粮仓等必备的粮食量器——米斗，因陶渊明“不为五斗米折腰”的典故而广为人知．如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体三视图，正确识别几何体的三视图是解题的关键. 根据米斗的示意图，即可得到米斗的俯视图. 【详解】解：米斗的示意图如图所示， 米斗的俯视图为 故选：A. 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意． 3. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用概率公式求概率，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．直接由概率公式求解即可． 【详解】解：小红从三个主题中随机选择其中一个主题，则她恰好选中“豆包”的概率是， 故选B， 4. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．与是以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的性质，根据以原点为位似中心的位似图形的性质，即位似图形对应点的坐标比等于位似比，由此即可得出，熟练掌握位似变换的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的顶点坐标分别为，．与是以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为， ∴位似比为， ∴点的坐标为，即， 故选：B． 5. 如图，是半圆的直径，点是弧的中点，若，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用圆内接四边形对角互补可得，再根据已知可得，进而可得，最后利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， 四边形是半的内接四边形， ， 点是弧的中点， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 6. 如图，在中，．在边上取两点D，E，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，旋转的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，由旋转的性质得到，再由平行线的性质得到的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为m，宽为m的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解答本题的关键． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为m，则停车位（图中阴影部分）可合成长为m，宽为m的矩形， 根据题意得： 故选：B． 8. 已知点都在反比例函数（k为常数，）的图像上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，熟记反比例函数的增减性是解题的关键． 先判断出反比例函数图象在第二、四象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，随的增大而增大判断． 【详解】解：， 反比例函数为常数，的图象在第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大． ，， ，在第二象限． ， ． 在第四象限， ． 综上，． 故选：B． 9. 在平面直角坐标系中给出四个点：，，，，经过四个点中的三个点画二次函数的图象，对于画出的所有二次函数的图象，甲认为它们一定经过点；乙认为恒成立，两人的说法（ ） A. 两人都对 B. 甲对，乙错 C. 甲错，乙对 D. 两人都错 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式．先判断能确定二次函数的三点组合，再分析这些组合对应的二次函数是否过点C，以及判别式的符号，进而判断甲、乙说法的正误． 【详解】解：∵，，三点纵坐标相同，在直线上，三点共线，无法确定二次函数， ∴能确定二次函数的三点组合为：A、B、C；A、C、D；B、C、D，所有组合均包含点C， ∴所有画出的二次函数一定经过点C，甲的说法正确； 取三点A、B、C，设二次函数解析式为，代入三点坐标得： ， 解得， 得解析式， 此时， ∴存在二次函数满足，乙的说法错误； 综上，甲对，乙错． 故选：B． 10. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞完全撑开时，两条伞骨所成的角，伞圈在伞柄上，；如图2，伞完全收拢时，伞圈滑动到的位置，在伞完全撑开到完全收拢的过程中，伞圈移动的长度可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形．连接交于点，根据，得到四边形是菱形，根据菱形的性质可知是直角三角形且，根据余弦的定义可得，根据菱形的定义可知，再根据，即可得出结果． 【详解】解：如下图所示，连接交于点， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 由题意：， ∴；   故选： D． 二、填空题（本大题共6小题，第题每小题3分，第题每小题4分，第16题每空2分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称性，根据关于原点对称的两个点的横坐标及纵坐标均互为相反数的特征直接求解即可得到答案，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 抛物线向下平移个单位长度，所得拋物线的解析式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数图象的平移，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，向下平移时，直接调整函数解析式中的常数项． 【详解】解：将抛物线 向下平移个单位长度， 所得抛物线的解析式为 ，即 ． 故答案为：． 13. 如图，在矩形纸片上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥．如果圆的半径为，那么圆锥的高为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形的弧长，求圆锥的高，勾股定理， 先根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长求出母线，再根据勾股定理求出答案． 【详解】解：以半径为的圆形是圆锥的底面， ∴圆锥的底面周长为， 即扇形纸片的弧长， 解得， 即圆锥的母线长为． 根据勾股定理，得圆锥的高为． 故答案为：． 14. 关于的方程的一个根是，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，把代入得，， 解得，， 故答案为： ． 15. 如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．点A，B为格点，以点为圆心，为半径画弧，交网格线于点，记，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据网格可知，，根据勾股定理可知,，再根据全等三角形以及角平分线可知，根据三角形等面积法可知的长度，进而根据正切值可求解． 本题考查了全等三角形，网格格点，锐角三角函数，勾股定理，掌握基本几何知识是解题关键． 【详解】解：连接，过点C作交于点H,作的角平分线交于点K, 网格图中每个小正方形的边长都为1 则,, 根据勾股定理得：, , 根据勾股定理得：, ∵平分， , 在和中， , , , , , 则， , ∵， , , 故答案为：． 16. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作，交双曲线另一支于点，且，则__________，连接，，若，则__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设与轴交于点，过点作轴的平行线，分别过点、作的垂线，垂足为、，设点的坐标为，点的坐标为，联立一次函数与反比例函数的解析式，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得，，．容易证明，则，从而表示出点．由点在反比例函数的图象上，构造方程并求出，则，，进而求出与的关系．用待定系数法求出的解析式，再计算出点的坐标，利用割补法表示出的面积，从而求出与． 【详解】解：如图，设与轴交于点，过点作轴的平行线，分别过点、作的垂线，垂足为、，设点的坐标为，点的坐标为， 当一次函数与反比例函数相交时， ， 化简，得， 由韦达定理可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 化简，得， 因式分解，得， ∵， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，一次函数与反比例函数的交点问题，直线围成的三角形面积，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是关键． 三、解答题（本大题共8小题、共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ，； （2） ，． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解一元二次方程，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ，． 18. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点的坐标为． （1）以原点为对称中心，画出关于原点对称的； （2）以点为旋转中心，画出把顺时针旋转得到的； （3）若绕某点顺时针旋转一定角度得到，请确定旋转中心的坐标以及旋转角度． 【答案】（1） 如图所示：即为所求 （2） 如图所示：即为所求 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了利用格点作图，中心对称的性质及旋转的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据中心对称的性质确定各对应点，顺次连线即可得到图形； （2）根据旋转的性质确定各对应点，顺次连线即可得到图形； （3）连接对应点并做对应的垂直平分线即可求得旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：旋转中心为，旋转角度是，理由如下： 连接，，利用格点，画出和的中垂线，找到这两条中垂线的交点，即旋转中心，由题意可知，即旋转角度为 19. 小明参加某个竞答节目，答对两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项．这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一道题的1个错误选项）： （1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率为________； （2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表的方法来求小明顺利通关的概率； （3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”？ 【答案】（1） （2） （3）建议小明在第一题使用“求助” 【解析】 【分析】（1）由第一道单选题有个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先分别用表示第一道单选题的个选项，表示剩下的第二道单选题的个选项，然后根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案； （3）分别计算出来第一题使用“求助”和第二题使用“求助”的概率，比较大小，即可得出结果. 【小问1详解】 解：∵第一道单选题有3个选项， ∴小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：； 故答案为：. 【小问2详解】 解：分别用表示第一道单选题的个选项，表示剩下的第二道单选题的个选项，画树状图得： ∵共有种等可能的结果，小明顺利通关的只有种情况， ∴小明顺利通关的概率为：． 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为， 如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：， ∵ ∴建议小明在第一题使用“求助”． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 20. 如图，一次函数的图象与轴交于点，将点向右平移1个单位后所得点在反比例函数的图象上． （1）求的值； （2）若一次函数与反比例函数图象在第二象限交于点，连接，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，求反比例函数的解析式，坐标与图形变化—平移，求一次函数与y轴的交点坐标，熟知相关知识是解题的关键． （1）求出点A的坐标，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当，， ∴， ∵将点向右平移1个单位后得点， ∴， 把点B的坐标代入得，解得； 【小问2详解】 解：由（1）得反比例函数的解析式为，， ∴， 联立，解得或， ∴， ∴． 21. 命题：对某条路线的长度进行次测量，得到个结果．如果用作为这条路线长度的近似值，当时，最小． 请判断该命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． 【答案】该命题是真命题，证明见详解 【解析】 【分析】根据题意，设，运用完全平方公式展开，二次函数图象的性质进行判定即可． 【详解】解：该命题是真命题，证明如下， 证明：设， ∴， 整理得，， ∵， ∴关于的函数，当时，取到最小值， ∴当时，最小， ∴该命题是真命题． 【点睛】本题主要考查命题的判定，平均数的计算，完全平方公式的运用，二次函数图象的性质，掌握以上知识是关键． 22. 如图1，在等腰中，，以为直径的与相交于点，过点作交延长线于点，垂足为点． （1）若，，求由、线段和线段所围成图形（阴影部分）的面积； （2）如图2，若的半径，，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，易证，再证，再根据含的直角三角形，易求圆半径，最后再由可求解； （2）先证明，，根据对应边成比例，易求，，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，， 是的直径， ， ，即是等腰三角形， ， ， ， ， ， 设的半径为，则，， 在中，， ，即， 解得：，则， ， ，， ， 则阴影部分的面积为：； 【小问2详解】 解：半径，， 在中，， ，， ， 又， ， ，即，则， ， ， ，即，解得， 在中， ． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、中位线定理、三角函数的应用及相似三角形的判定与性质等知识点． 23. 一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． （1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？ （2）小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】（1）小球的滚动速度平均每秒减少； （2）小球滚动到用了秒． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【小问1详解】 解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少； 【小问2详解】 解：设小球滚动到用了， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． 24. 已知二次函数，其中a，b为两个不相等的实数，与轴交点坐标为． （1）当时，求的值； （2）当时，点在该函数图象上，且，求整数的值； （3）若，对于该函数图象的顶点坐标，满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2）整数的值为，，， （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题． （1）将，代入解析式，即可求解； （2）分别表示出，根据得出，根据得出，则，根据抛物线与轴交点坐标为，得出，进而求得的取值范围； （3）根据题意可得，根据函数图象的顶点坐标，得出，根据得出，进而求得的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，二次函数． ∵函数与y轴交于点， ∴， 【小问2详解】 解：当时，二次函数， 已知点在该函数图像上，则， ∵， ∴， 解得． ∵， ∴， 即． ∵函数与y轴交点坐标为， 当时，． ∵， ∴， 则， 即， 所以整数的值为，，，； 【小问3详解】 解：∵函数与y轴交点坐标为， 将代入，得． 当时，， 该函数图象的顶点坐标， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴， ∴，即 25. 在中，，，是射线上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，点与点重合，求证：平分； （2）如图2，点在的延长线上，连接，若，求证：； （3）如图3，点在线段上，过点作，交直线于点，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质和直角三角形的性质，证明即可； （2）在上取点，使得，容易证明，则，，．结合旋转的性质可证明，则，．由结合等量代换可证明，则，从而证明； （3）延长至点，使得，连接，，同理（2）可证明和，则，由等量代换可证明． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质可知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 证明：如图，在上取点，使得， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $