21.3三角形的中位线、矩形寒假预习讲义-2025-2026学年人教版八年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+过关测试）

21.3三角形的中位线、矩形寒假预习讲义(人教版) ☛ 预习内容速览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.强化巩固★过关测试 ✅ 课前预习★目标 ●理解三角形中位线的定义，能准确区分三角形的“中位线”与“中线”； ●初步运用中位线定理解决基础计算问题，掌握简单的应用思路； ●能准确说出矩形的定义，明确矩形是特殊的平行四边形，掌握矩形核心判定特征； ●能区分矩形与一般平行四边形的联系，知道矩形继承平行四边形的所有性质，为后续学习特有性质做铺垫。 💦重点知识★梳理归纳 【知识点1】三角形中位线的定义 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 【知识点2】三角形中位线的定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 【重点提示】 （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系． （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形．因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的． （3）三角形的中位线不同于三角形的中线． 【知识点3】矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 【要点说明】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角．即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件． 【知识点4】矩形的性质 1．矩形具有平行四边形的所有性质：即对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分；中心对称； 2．矩形的对角线相等； 3．矩形的四个角都是直角； 4．矩形是轴对称图形，它有两条对称轴． 性质 数学语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 四边形ABCD是矩形， ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 对角线 矩形的对角线相等 四边形ABCD是矩形，AC=BD 对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 【重点提示】 （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过中心的任意直线可将矩 （2）形分成完全全等的两部分． （3）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）．对称轴的 交点就是对角线的交点（即对称中心）． （4）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质 可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等． 【知识点5】矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1．定义法：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．对角线相等的平行四边形是矩形． 3．有三个角是直角的四边形是矩形． 【重点提示】在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形． 【知识点6】直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【重点提示】（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论．性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用． （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半． （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题． ✏ 核心考点★精讲精练 题型1与三角形中位线有关的求解问题 例1．如图，在中，，，，E，F分别是和的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查中位线的性质．根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 变式1．如图，在中，于点，点M是上一动点，连接，取的中点E，连接．若的半径为4，则长的最大值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． 连接，根据勾股定理求出，根据三线合一得出中点，判定为的中位线，得出，当最大时，取最大值，根据圆的性质求出的最大值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴点为线段的中点，， 又∵点为线段的中点， ∴为的中位线， ∴， 当最大时，取最大值， 当点在同一条直线上时，的值最大， 此时，， ∴， 即长的最大值为7， 故答案为：7． 变式2．如图，中，，，，，，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），与三角形中位线有关的求解问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴． 题型2与三角形中位线有关的证明 例2．如图，四边形是直角梯形，，，，分别是，，，的中点，连接，，，，，，则图中的平行四边形共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，中点四边形，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定定理．利用三角形中位线定理得到，，最后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，识别出图中的所有平行四边形． 【详解】解：如图，设与、的交点为、，与、的交点为、， ，，，分别是，，，的中点， ，， 图中的平行四边形有：四边形，四边形、四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，共个． 故选：D． 变式1．如图，已知中，，分别是，的中点，连接并延长至．使，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 由条件可证得四边形为平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴，且． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 变式2．如下图，在中，，中线，相交于点，点，分别为，的中点．求证：，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由三角形中位线定理进一步证明平行四边形是解决问题的关键． 根据三角形中位线定理可得，，，，可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，． 【详解】证明：，是的中线， ，分别是，的中点， ，． ∵点，分别为，的中点， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， ，． 题型3三角形中位线的实际应用 例3．如图所示，某数学小组为测量池塘两侧、两点之间的距离，在空地上另取一点，并找到，的中点，，通过测量得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，准确计算是解题的关键． 利用三角形中位线定理计算即可； 【详解】解：、为，的中点， 是的中位线， ， ， ． 故选． 变式1．如图，为测量池塘岸边A，B两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点O，测得的中点D，E之间的距离是9米，则A，B两点之间的距离是 ． 【答案】18米 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，掌握“三角形的中位线平行且等于第三边的一半”是解题的关键．根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， 米， 故答案为：18米． 变式2．如图，已知等边三角形和，，，，三点在同一直线上．请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作一条与平行的直线； (2)在图②中，作一条与平行的直线． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图①，直线即为所求． （2）如图②，直线即为所求． 题型4矩形性质理解 例4．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角互补 C．对边相等 D．对角线互相平分 【答案】B 【分析】本题考查矩形和平行四边形的性质：矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的性质外，还具有对角线相等、四个角均为直角等特有性质．根据矩形和平行四边形的性质，逐一分析选项． 【详解】解：选项A：对角相等 平行四边形的对角相等，矩形作为平行四边形的一种，同样满足此性质．因此A是两者共有的性质，排除． 选项B：对角互补 矩形对角互补，但平行四边形对角不一定互补，故B符合题意． 选项C：对边相等 平行四边形和矩形的对边均相等，因此C是两者共有的性质，排除． 选项D：对角线互相平分 平行四边形的对角线互相平分，矩形作为平行四边形，同样满足此性质．因此D是两者共有的性质，排除． 故选：B． 变式1．如图，在矩形中，与交于点，．以点为圆心，的长为半径作弧，交于点．连接，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是能够熟练运用以上知识点． 先利用矩形性质证明是等边三角形，得到，，再根据作图得到是等腰直角三角形，从而得到，，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径作弧，交于点， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．如图是由小正方形组成的网格，矩形的顶点都是格点．先画的高，再过点C画的平行线． 【答案】见解析 【分析】此题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识．根据网格的特点和相关判定和性质进行作图即可． 【详解】解：如图，即为所求， 证明：设正方形网格的边长为1个单位长度， 由网格特征可知，，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为的高； ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴ 题型5利用矩形的性质求角度 例5．两个矩形的位置如图所示，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，直角三角形两锐角互余．先根据平角的定义得到，再由矩形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示：    ∵， ∴， 由矩形的性质可得， ∴， ∴． 故选：A． 变式1．如图，矩形中，、相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、角的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由矩形的性质得出，再由已知条件得出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，最后再根据矩形的对角线互相平分且相等可得，进而可得，由此即可得出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ∵， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ∴的度数为． 故答案为：． 变式2．如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，恰好经过点，连接、． (1)由作法可知　　，　　； (2)求和的度数． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，， （2）根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质分别算出和，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵以点为圆心，长为半径画弧，交于点， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，恰好经过点， ∴， 故答案为：；； （2）四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ． 题型6利用矩形的性质求线段长 例6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，解题的关键是利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合勾股定理求出对角线长度，进而得到线段的长． 先在中，由勾股定理求出对角线的长度；再根据矩形对角线互相平分的性质，得到，从而计算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． 在中，， ∴． 故选：B． 变式1．如图，矩形的对角线相交于点，为上的一点，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握相关知识并运用转化思想是关键． 矩形的对角线互相平分且相等，因此，的周长等同于． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 的周长为． 故答案为：． 变式2．（1）尺规作图：以线段为对角线作矩形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）设和交于点，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）5 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，尺规作图等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先作线段的垂直平分线，令和交于点，易知；取平面上不在直线上的一点，作直线，以点为圆心，以的长度为半径作弧，交直线于点，则有，进而可得，根据“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，即可证明四边形为矩形； （2）根据矩形的性质即可获得答案． 【详解】解：（1）如图，四边形即为所求； （2）连接，如图， ∵四边形为矩形，且， ∴，， ∴． 题型7根据矩形的性质求面积 例7．如图，已知矩形面积为，，，，，则阴影部分的面积（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质和割补法求不规则图形面积．通过割补法将阴影面积转化为四个直角三角形的面积和是解题的关键． 根据四个直角三角形的面积和即可求得阴影部分面积． 【详解】解：设矩形的长，宽， 矩形面积， ，，，，如图， ， 阴影部分的面积 ， 故选B． 变式1．直径为的圆，平移到圆，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质得到半圆的面积等于半圆的面积，再根据矩形的面积公式计算即可得到答案．解题的关键是掌握：平移不改变图形的形状和大小． 【详解】解：如图， ∵直径为的圆，平移到圆， ∴， ∴， 即图中阴影部分面积为． 故答案为：． 变式2．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键． （1）由在平行四边形中，得到由可得根据矩形的判定即可求证． （2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得由勾股定理可求出即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分 ∴矩形的面积是： 题型8利用矩形的性质证明 例8．如图，矩形的对角线，相交于点，以下说法不一定正确的是（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的性质逐一判断即可，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是矩形， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵四边形是矩形， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴与不一定相等，原选项说法错误，符合题意； 故选：． 变式1．如图，在矩形中，过点作于点，则的度数为 ． 【答案】/32度 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质证明，进而可以解决问题． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变式2．如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别为的中点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据矩形的性质得，又点，分别为，的中点，可证，通过“”证明，然后利用全等三角形对应边相等即可证得结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， 点分别为的中点， ， 在和中，， ， ． 题型9求矩形坐标系中的坐标 例9．如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质可得轴，则，据此可得，，再求出，得到，根据的面积等于长方形面积的，得到，可得，则． 【详解】解：∵四边形为长方形，轴，轴， ∴轴， ∵点A，C的坐标分别为， ∴， ∴，， ∵轴交y轴于点M， ∴， ∴， ∵的面积等于长方形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 变式2．如图，在矩形中，，，，求点B到原点O的距离．      【答案】点B到原点O的距离为 【分析】该题考查了矩形的性质，勾股定理，先根据已知条件求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，，， ∴， ∴点B到原点O的距离为． 题型10矩形与折叠问题 例10．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据折叠的性质得出，从而可得，再利用勾股定理列出关于的方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 在中， ∴ 解得：， 故选：B． 变式1．如图，在长方形纸片ABCD中，将沿对角线BD折叠得，FB和AD相交于点E，将沿BE折叠得．若，则的度数为 ． 【答案】/22度 【分析】本题考查了折叠的性质、一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解题的关键． 设，根据折叠可得，，依据， 进而求解． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， ∴解得， ∴． 故答案为： ． 变式2．如图，长方形中，，．将此长方形折叠使点与点 重合，折痕为 (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据折叠的性质找边之间的关系． (1)设，由折叠的性质可知，利用勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度； (2)根据矩形的性质和折叠的性质可知，利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：设，由折叠的性质可知， 长方形中，，． ，， ， ， 解得：， ； （2）解：如下图所示， 四边形是矩形， ，， ，， 由折叠可知， ， ， 题型11斜边的中线等于斜边的一半 例11．如图，在中，，，是的中点，连接，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据勾股定理求得，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：B． 变式1．如图，已知，是斜边上的中线，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质与判定．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得，根据得出，则是等边三角形，即可得出，即可求解． 【详解】解：∵是斜边上的中线， ∴ ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 故答案为：． 变式2．如图，在中，是边上的高线，． (1若，，求的长． (2)若是边上的中线，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质． （1）根据已知条件分别求得，进而根据勾股定理求得，即可； （2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据已知可得，即可得出，进而根据等腰三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵是边上的高线， ∴， 在中，； （2）证明：∵是边上的高线， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 又∵． ∴， ∵， ∴． 题型12矩形的判定定理理解 例12．要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟记矩形的判定定理，并会灵活运用． 根据矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：选项A：对角线互相平分得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A错误，不符合题意； 选项B：两组对边分别相等得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故B错误，不符合题意； 选项C：对角线是否互相垂直不能判定四边形为矩形，故C错误，不符合题意； 选项D：根据四边形内角和定理，三个角是直角，则另一个角也是直角，即四个角均为直角，可判定四边形为矩形，故D正确，符合题意； 故选D． 变式1．如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，由矩形的判定可得出，则可得出答案．确定是解题的关键． 【详解】解：∵点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，设运动时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．已知：中，是上一点，求作：矩形，使在边上，在边上． 【答案】见详解 【分析】本题考查作图--复杂作图，矩形的判定，尺规作垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据要求作出图形即可． 【详解】解：如图，矩形即为所求， 题型13添一条件使四边形是矩形 例13．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和矩形的判定知识点，解题关键是熟练掌握矩形的判定定理，并结合平行四边形的基本性质对每个选项进行逻辑推导． 需要结合平行四边形的性质，对每个选项进行分析，判断能否推出平行四边形是矩形． 【详解】解：A、在平行四边形中，，根据平行线性质，是恒成立的，这只是平行四边形的基本性质，不能判定它是矩形，不符合题意； B、在平行四边形中，，根据平行线性质，也是恒成立的，不能判定它是矩形，不符合题意； C、在平行四边形中，，∴．若，则可推出．根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定平行四边形是矩形，符合题意； D、在平行四边形中，本身就有对角相等的性质，即，这不能判定它是矩形，不符合题意． 故选：C． 变式1．如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和，且使，连接，，，． (1)求证： (2)添加一个条件，使四边形为矩形．直接写出添加的这个条件，不需要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识； （1）根据题意得到，推出，再结合判定即可求出； （2）连接，与交于点O，根据题意证出四边形是平行四边形，即可求出． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在与中， ， （）； （2）添加条件为：．理由如下， 连接，与交于点O．如图所示∶ ∵四边形是平行四边形，     ∴， 又∵， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴平行四边形为矩形． 变式2．在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件： ，则可判定四边形是矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形的判定定理是解题的关键． 根据矩形的判定定理回答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 若添加条件，则对角线相等，根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得四边形是矩形． 故答案为：． 题型14证明四边形是矩形 例14．下列命题是假命题的是（    ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．矩形的对角线相等 C．平行四边形的两组对边分别相等 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据平行四边形和矩形的性质与判定定理，判断各选项的真假． 本题考查了命题与定理的知识，了解平行四边形的判定、矩形的性质及矩形的判定方法是解题关键． 【详解】解： A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，是真命题； B、矩形的对角线相等，这是矩形的性质，正确，是真命题； C、平行四边形的两组对边分别相等，这是平行四边形的性质，正确，是真命题； D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线相等，但等腰梯形不是矩形，，是假命题. 故选：D． 变式1．如图，在中，，，，，分别是，，的中点，连接，，，．若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形与矩形的判定，勾股定理，掌握利用中位线定理判定平行四边形，结合对角线相等判定矩形，再用勾股定理计算边长是解题的关键． 利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，结合判定它为矩形，再在直角三角形中用勾股定理求的长． 【详解】解：，，分别是，，的中点， ，，，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形， ， ． 故答案为：5． 变式2．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2.4 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形， （1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形，又， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积， ∴， ∴． 题型15根据矩形的性质与判定求角度 例15．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 变式1．如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线，矩形的判定及性质，勾股定理；由三角形的中位线得，，，由矩形的判定方法得边形是矩形，由勾股定理得，即可求解；掌握三角形的中位线，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：点D，E，F分别是的中点， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ； 故答案：． 变式2．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 题型16根据矩形的性质与判定求线段长 例16．如图，点P是中斜边（不与A，C重合）上一动点，分别作于点M，作于点N，点O是的中点，若，当点P在上运动时，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理的运用，掌握矩形的判定和性质，得到时线段最短是解题的关键． 根据题意得到四边形是矩形，的最小值即可得到的最小值，且，由垂线段最短，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 如图所示，连接， ∴，则，，即点三点共线， ∴的最小值即可得到的最小值，且， 当时，的值最小，则的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 变式1．如图，当太阳光与地面上的树影成角时，树影投射在墙上的影高等于米，若树根到墙的距离等于米，则树高等于 米． 【答案】 【分析】本题考查了等角对等边，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，作于点，则，所以四边形是矩形，得，，然后求得，所以，然后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．如图，矩形中，点E，F分别在，上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由矩形性质可知，，因为，可证，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明； （2）过点作，垂足为，则，可证四边形是矩形，则，，再利用勾股定理即可求出长． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：过点作，垂足为， ，， ， ， 四边形是矩形，， ， 四边形是矩形， ，， ， ∵， ． 题型17根据矩形的性质与判定求面积 例17．如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，过点作于点H，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，则， ，，再根据 平分和平分线得到，则，即可由，得到，根据中点得到，则，即可得到矩形的边长，最后根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点 F 为 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积是， 故选：A． 变式1．某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了矩形的判定和性质．先证明四边形是矩形，根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形的对角线相等，且相互平分， ∴四边形为矩形， ∵相邻两边的边长分别为，即矩形的长、宽分别为， ∴四边形的面积为 故答案为：6 变式2．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于点E、F，连接．若，，则图中的面积为 ，阴影部分的面积为 ． 【答案】 21 【分析】本题考查矩形的判定和性质、三角形的面积.由矩形的判定和性质得到，，，，，即可得到，计算即可. 【详解】解：作于M，交于N，如图，    则四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴， ∴，，，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：；21． ✍ 强化巩固★过关测试 一、单选题 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形与平行四边形的性质与区别，熟练区分它们的性质是解题关键． 根据矩形和平行四边形的性质，矩形是特殊的平行四边形，具有所有平行四边形的性质，但对角线相等是矩形特有的性质，而平行四边形不一定具有. 【详解】解：A、对边平行且相等，矩形和平行四边形都具有，不符合题意； B、对角相等，矩形和平行四边形都具有，不符合题意； C、对角线相等，矩形具有，而平行四边形不具有； D、对角线互相垂直，是菱形的性质，矩形不一定具有该性质，不符合题意 故选：C． 2．测量一个桌面是否为矩形，其中正确的是（    ） A．测量其中三个角是否为直角 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否互相平分 D．测量对角线是否相等 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定方法，根据矩形判定定理逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、根据三个角是直角的四边形是矩形，可以判定为矩形，原选项符合题意； 、测量两组对边是否相等不可以判定为矩形，原选项不符合题意； 、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，不可以判定为矩形，原选项不符合题意； 、测量对角线是否相等不可以判定为矩形，原选项不符合题意； 故选：． 3．如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点．根据矩形的性质及平分分别判定及为等边三角形，然后求得，则可在中求得的度数． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵平分， ， ， ∴， ． ， ，又， 为等边三角形， ， ∴， ∵， ∴， ． 故选：C． 4．如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质，得到轴，轴，进而得到点坐标，求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，轴，轴， ∵点B的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∴， ∴矩形的面积是； 故选B． 5．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，已知，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质． 根据矩形的性质可得，进而得出，然后利用三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∴． 故选C． 6．如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，由勾股定理得出，从而可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 7．如图，在中，是斜边上的中线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，理解“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得，从而在等腰中利用三角形内角和求出． 【详解】解：是直角三角形，是斜边上的中线， ， ， ． 故选：． 8．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理. 由矩形性质得点为中点，从而可得为的中位线，进而求解． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， 即点F是边的中点， 点是边的中点， 为的中位线， ． 故选：B． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，涉及矩形性质、中点坐标公式等知识，熟练掌握矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键．由矩形的对角线交于一点，且对角线相互平分，从而由中点坐标公式求出对角线交点的坐标，列方程求解即可得到的值，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由中点坐标公式可知中点的坐标为，即； 中点的坐标为，即； ， 解得， ， 故选：D． 2、 填空题 10．已知三角形的三条中位线的长分别为，，，则这个三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】根据三角形的中位线定理，三角形的边长等于对应中位线长的两倍． 本题考查了三角形的中位线定理，熟知三角形的中位线定理是解决问题的关键． 【详解】解：∵三角形的三条中位线的长分别为、、， ∴三角形的三条边长分别为、、， ∴这个三角形的周长． 故答案为：． 11．如图，在矩形中，，相交于点O，于E，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理和三角形的中位线的性质，先根据矩形的性质得，点O是的中点，，，再由勾股定理求出，然后由点O是的中点得出是的中位线，所以． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，点O是的中点，，，， ∴， ∵，， ∴是中点， ∵， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：4． 12．如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】利用矩形的性质和面积转化思想，通过证明三角形面积相等，将分散的阴影部分面积整合为一个规则图形的面积来计算． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，则四边形、四边形、四边形和四边形都是矩形． ∴，，，，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质和面积转化思想，解题关键是通过三角形面积相等的关系，将分散的阴影面积整合为可直接计算的矩形面积． 13．如图，已知矩形，，平分交于点E，点F、G分别为、的中点，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理．正确连接辅助线是解题关键． 连接．由矩形的性质可间接证明得出，从而可求出，再由勾股定理可求出，最后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F、G分别为、的中点， ∴， 故答案为：． 14．直角三角形斜边上的中线与高线长分别是和，这个三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．利用直角三角形斜边上的中线性质求出斜边长，再根据三角形面积公式计算面积，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边的一半， 已知中线长为，所以斜边长为． 又已知斜边上的高线长为，因此三角形的面积为． 故答案为：． 三、解答题 15．（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2），；详见解析；（3）18米 【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可； （2）过点作，与的延长线交于点，证明，再证四边形是平行四边形，即可证明结论； （3）直接利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半； （2）求证：，． 证明：∵点分别是的中点， ∴，， 过点作，与的延长线交于点． ∴， 在和中， ． ，． ，． 四边形是平行四边形， ，， 又， ，． 故答案为：，； （3）∵点分别是的中点，米， ∴，即：米 故答案为：18米． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题． 16．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形，以及所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，结合已知即可证明； （2）先利用四边形是平行四边形，得到，进而得到，证得矩形，有，且，利用的直角三角形求出，，再利用面积公式进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ，即， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得四边形是平行四边形，则， ， ， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ， ，且， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 17．如图，在矩形中，，，，点，分别在，边上，将四边形沿直线翻折，点恰好落在点处，点的对应点为点． (1)如图，请作出点，并且连接，保留作图痕迹； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—作一个角等于已知角，翻折的性质，平行线的性质等，解题的关键是掌握以上性质． （1）作，在射线上截取即可； （2）根据平行线得出内错角相等，根据翻折的性质得出对应角相等，然后根据等角对等边即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， 作， 在射线上截取； （2）解：如图所示，用数字表示相关角， ∵， ∴， 由翻折的性质得，， ∴， ∴． 18．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和矩形的性质是解题的关键， （1）根据平行四边形的性质得到，从而得，再利用全等三角形的判定定理即可证得； （2）根据矩形的性质得到，即可推出，再根据平行四边形的性质即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 19．如图，点在的边上，，请从以下四个选项中，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． ①；②为的中点；③；④平分；平分． (1)你选择的条件是___________；（填序号，填写一种即可） (2)添加条件后，求证：为矩形． 【答案】(1)③或② (2)见详解 【分析】本题考查了三线合一，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，选择的条件是③，为矩形． （2）先运用平行四边形的性质，证明，则，根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形，即可作答．如果选②为的中点，则先证明，再根据三线合一性质，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，选择的条件是③，为矩形．或选择的条件是②，为矩形． （2）解：由（1）得选择的条件是③， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为矩形． 当选择②为的中点，过程如下： ∵为的中点； ∴延长至点，， 连接， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴三线合一得， ∴为矩形． 20．如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，，，再证明是的中位线，所以，，通过角平分线定义可得，所以，最后通过等角对等边即可求证； （）由中位线定理可得，从而有，然后通过勾股定理求出，最后由面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴为斜边的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积=． 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3三角形的中位线、矩形寒假预习讲义(人教版) ☛ 预习内容速览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.强化巩固★过关测试 ✅ 课前预习★目标 ●理解三角形中位线的定义，能准确区分三角形的“中位线”与“中线”； ●初步运用中位线定理解决基础计算问题，掌握简单的应用思路； ●能准确说出矩形的定义，明确矩形是特殊的平行四边形，掌握矩形核心判定特征； ●能区分矩形与一般平行四边形的联系，知道矩形继承平行四边形的所有性质，为后续学习特有性质做铺垫。 💦重点知识★梳理归纳 【知识点1】三角形中位线的定义 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 【知识点2】三角形中位线的定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 【重点提示】 （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系． （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形．因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的． （3）三角形的中位线不同于三角形的中线． 【知识点3】矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 【重点提示】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角．即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件． 【知识点4】矩形的性质 1.矩形具有平行四边形的所有性质：即对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分；中心对称； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴． 性质 数学语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 四边形ABCD是矩形， ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 对角线 矩形的对角线相等 四边形ABCD是矩形，AC=BD 对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 【重点提示】 （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分； （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）．对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）． （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等． 【知识点5】矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1．定义法：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．对角线相等的平行四边形是矩形． 3．有三个角是直角的四边形是矩形． 【重点提示】在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形． 【知识点6】直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【重点提示】（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论．性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用． （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半． （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题． ✏ 核心考点★精讲精练 题型1与三角形中位线有关的求解问题 例1．如图，在中，，，，E，F分别是和的中点，则（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在中，于点，点M是上一动点，连接，取的中点E，连接．若的半径为4，则长的最大值为 ． 变式2．如图，中，，，，，，求的值． 题型2与三角形中位线有关的证明 例2．如图，四边形是直角梯形，，，，分别是，，，的中点，连接，，，，，，则图中的平行四边形共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 变式1．如图，已知中，，分别是，的中点，连接并延长至．使，连接．若，则的度数为 ． 变式2．如下图，在中，，中线，相交于点，点，分别为，的中点．求证：，． 题型3三角形中位线的实际应用 例3．如图所示，某数学小组为测量池塘两侧、两点之间的距离，在空地上另取一点，并找到，的中点，，通过测量得，则（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，为测量池塘岸边A，B两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点O，测得的中点D，E之间的距离是9米，则A，B两点之间的距离是 ． 变式2．如图，已知等边三角形和，，，，三点在同一直线上．请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作一条与平行的直线； (2)在图②中，作一条与平行的直线． 题型4矩形性质理解 例4．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角互补 C．对边相等 D．对角线互相平分 变式1．如图，在矩形中，与交于点，．以点为圆心，的长为半径作弧，交于点．连接，，则的度数为 ． 变式2．如图是由小正方形组成的网格，矩形的顶点都是格点．先画的高，再过点C画的平行线． 题型5利用矩形的性质求角度 例5．两个矩形的位置如图所示，若，则（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，矩形中，、相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，则的度数为 ． 变式2．如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，恰好经过点，连接、． (1)由作法可知　　，　　； (2)求和的度数． 题型6利用矩形的性质求线段长 例6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．5 变式1．如图，矩形的对角线相交于点，为上的一点，，，则的周长为 ． 变式2．（1）尺规作图：以线段为对角线作矩形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）设和交于点，连接，若，求的长． 题型7根据矩形的性质求面积 例7．如图，已知矩形面积为，，，，，则阴影部分的面积（　　） A． B． C． D． 变式1．直径为的圆，平移到圆，则图中阴影部分面积为 ． 变式2．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 题型8利用矩形的性质证明 例8．如图，矩形的对角线，相交于点，以下说法不一定正确的是（      ）． A． B． C． D． 变式1．如图，在矩形中，过点作于点，则的度数为 ． 变式2．如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别为的中点，连接，求证：． 题型9求矩形坐标系中的坐标 例9．如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 变式2．如图，在矩形中，，，，求点B到原点O的距离．      题型10矩形与折叠问题 例10．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 变式1．如图，在长方形纸片ABCD中，将沿对角线BD折叠得，FB和AD相交于点E，将沿BE折叠得．若，则的度数为 ． 变式2．如图，长方形中，，．将此长方形折叠使点与点 重合，折痕为 (1)求的长； (2)求的面积． 题型11斜边的中线等于斜边的一半 例11．如图，在中，，，是的中点，连接，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式1．如图，已知，是斜边上的中线，，若，则 ． 变式2．如图，在中，是边上的高线，． (1若，，求的长． (2)若是边上的中线，，求证：． 题型12矩形的判定定理理解 例12．要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角 变式1．如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 变式2．已知：中，是上一点，求作：矩形，使在边上，在边上． 题型13添一条件使四边形是矩形 例13．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形的是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和，且使，连接，，，． (1)求证： (2)添加一个条件，使四边形为矩形．直接写出添加的这个条件，不需要说明理由． 变式2．在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件： ，则可判定四边形是矩形． 题型14证明四边形是矩形 例14．下列命题是假命题的是（    ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．矩形的对角线相等 C．平行四边形的两组对边分别相等 D．对角线相等的四边形是矩形 变式1．如图，在中，，，，，分别是，，的中点，连接，，，．若，则的长为 ． 变式2．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 题型15根据矩形的性质与判定求角度 例15．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为 ． 变式2．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 题型16根据矩形的性质与判定求线段长 例16．如图，点P是中斜边（不与A，C重合）上一动点，分别作于点M，作于点N，点O是的中点，若，当点P在上运动时，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 变式1．如图，当太阳光与地面上的树影成角时，树影投射在墙上的影高等于米，若树根到墙的距离等于米，则树高等于 米． 变式2．如图，矩形中，点E，F分别在，上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求的长． 题型17根据矩形的性质与判定求面积 例17．如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（   ） A．28 B．30 C．32 D．34． 变式1．某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为 ． 变式2．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于点E、F，连接．若，，则图中的面积为 ，阴影部分的面积为 ． ✍ 强化巩固★过关测试 一、单选题 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 2．测量一个桌面是否为矩形，其中正确的是（    ） A．测量其中三个角是否为直角 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否互相平分 D．测量对角线是否相等 3．如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为(    )    A． B． C． D． 4．如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 5．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，已知，则的大小是（   ） A． B． C． D． 6．如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 7．如图，在中，是斜边上的中线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 2、 填空题 10．已知三角形的三条中位线的长分别为，，，则这个三角形的周长是 ． 11．如图，在矩形中，，相交于点O，于E，若，，则的长为 ． 12．如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 13．如图，已知矩形，，平分交于点E，点F、G分别为、的中点，则的长为 ．    14．直角三角形斜边上的中线与高线长分别是和，这个三角形的面积是 ． 三、解答题 15．（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    16．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 17．如图，在矩形中，，，，点，分别在，边上，将四边形沿直线翻折，点恰好落在点处，点的对应点为点． (1)如图，请作出点，并且连接，保留作图痕迹； (2)求证：． 18．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 19．如图，点在的边上，，请从以下四个选项中，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． ①；②为的中点；③；④平分；平分． (1)你选择的条件是___________；（填序号，填写一种即可） (2)添加条件后，求证：为矩形． 20．如图，在矩形中，连接，交于点，为线段上一点，连接，，取的中点，平分． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $