1.1周期变化 课件-2025-2026学年高一下学期北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦“周期现象”，通过自然界（昼夜交替、四季更替）、日常生活（钟表转动、星期循环）及科学现象（单摆摆动）的情境引入，引导学生观察重复规律，为后续三角函数周期性学习搭建从具体到抽象的认知支架。 其亮点在于以“互动设计”为核心，通过小组观察提炼特征、辨析案例明确关键、实例建模描述规律，培养学生用数学眼光观察现实世界、用数学思维分析周期本质、用数学语言表达变化规律的核心素养。典例分层且联系生活，帮助学生深化理解，教师使用可提升课堂互动与教学效率。

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 三角函数 互动设计 第1课时 周期现象 互动设计课程 1 学 习 目 标 能准确判断生活中和数学中的周期现象 返回主页 1 1.掌握周期变化的核心特征，能结合简单实例描述周期、最小正周期的意义；为后续学习三角函数的周期性奠定基础。 2 2.通过情境观察、小组互动、实例分析，经历从具体到抽象、从现象到本质的探究过程，提升观察分析能力、抽象概括能力和归纳推理能力；学会用数学语言描述周期变化，体会数形结合、转化与化归的数学思想。 情 境 引 入 同学们，我们的生活中存在着许多重复出现的现象，大家仔细观察以下场景： 返回主页 1. 自然界 太阳每天东升西落，昼夜交替循环； 月亮的圆缺变化，每29.5天左右完成一次完整的圆缺周期；四季更替，每12个月完成一次春、夏、秋、冬的循环。 2. 日常生活 钟表的指针（时针、分针、秒针）围绕表盘匀速转动，秒针每60秒转一圈，分针每60分钟转一圈，时针每12小时转一圈，重复循环； 每周的星期数，从周一到周日，循环往复，每7天重复一次。 3. 科学现象 单摆的摆动，在不受空气阻力的情况下，会围绕平衡位置来回摆动，每次摆动的轨迹、幅度和时间基本相同，重复出现； 声波的传播、电磁波的振动，也存在规律的重复变化。 【问题引导】 同学们，这些现象有什么共同的特点？ 它们不是杂乱无章的，而是按照一定的规律重复出现的。 像这样，按照一定规律重复出现的变化，在数学中我们称之为“周期变化”。 今天，我们就一起来学习第一章三角函数的第一节——《周期变化》，揭开周期现象的数学本质，学会用数学语言描述和研究这些重复变化的规律。 互 动 设 计 互动一：小组观察，提炼周期现象的共同特征 返回主页 互动二：辨析探究，明确周期变化的关键 互动三：实例建模，尝试描述周期变化 互动一：小组观察，提炼周期现象的共同特征 1. 分组：全班分成4-5组，每组5-6人，每组分配1-2个上述情境案例（或补充其他典型周期案例）。 2. 任务：每组合作观察分配的案例，讨论并完成两个问题：① 该现象的变化是否存在“重复”？② 若存在重复，重复出现的“间隔”是固定的吗？尝试用简洁的语言描述该现象的重复规律。 3. 展示与提炼：每组派1名代表发言，分享本组观察的案例及讨论结论，教师引导全班补充、修正，最终提炼出周期现象的核心共同特征 存在固定的间隔，按照一定规律重复出现。 互动二：辨析探究，明确周期变化的关键 1. 呈现两组对比案例： 案例1：每年的节气变化（立春、雨水、惊蛰……大寒），每12个月重复一次； 案例2：随机抛出硬币，正面、反面出现的顺序（无固定重复间隔）； 案例3：正弦曲线的图像（后续将学习），沿x轴正方向每隔一定距离重复出现； 案例4（非周期）：小明每天的零花钱（有时5元、有时10元，无固定重复规律） 2. 小组任务：每组辨析1-2组案例，讨论：“为什么该案例是（或不是）周期变化？”，重点分析“是否存在固定的重复间隔”“变化规律是否一致”两个关键点。 3. 互动点评：教师随机提问小组代表，分享辨析思路，引导全班明确：周期变化的关键是“固定间隔”和“规律重复”缺一不可，缺少任意一个，都不是周期变化。 互动三：实例建模，尝试描述周期变化 1. 任务：全班同步，以“钟表分针的转动”为共同案例，小组合作尝试用数学语言（文字或简单符号）描述其周期变化：① 分针转动的“重复间隔”（周期）是多少？② 从任意时刻开始，经过一个周期后，分针的位置有什么特点？ 2. 小组展示：每组派代表分享本组的描述方式，教师引导全班优化，逐步过渡到规范的数学描述，为后续学习周期的严格定义铺垫，同时引出“最小正周期”的初步概念（如分针转动的周期可以是60分钟、120分钟等，其中60分钟是最小的正周期）。 探 求 新 知 （一）周期现象与周期变化的定义 返回主页 （二）核心概念解读 （三）常见周期变化实例及周期 （四）周期变化的核心特征总结 （一）周期现象与周期变化的定义 周期现象：在自然界、日常生活和科学技术中，许多现象都会按照一定的规律重复出现，这种按照固定规律重复出现的现象，叫做周期现象。 周期变化：当变量y随变量x的变化而变化时，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x)，那么就称变量y随变量x的变化为周期变化，简称周期函数（后续将严格定义），其中常数T叫做这个周期变化的一个周期。 （二）核心概念解读 周期T的要求： T必须是非零常数（不能为0，若T=0，x+T=x，无法体现“变化”与“重复”）； T的取值需满足“对定义域内的每一个x都成立”，不能只对部分x成立（如钟表分针转动，每60分钟对任意时刻的位置都重复，60分钟才是周期）； 一个周期变化的周期有无数个（如分针转动，60分钟、120分钟、180分钟等都是周期），其中最小的正周期（通常记为T_0）是我们最常用、最核心的周期（如分针转动的最小正周期是60分钟）。 最小正周期：对于一个周期变化，如果在所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做该周期变化的最小正周期（若没有特别说明，后续提到的“周期”均指最小正周期）。 非周期变化的判断：若不存在满足条件的非零常数T，使得f(x+T)=f(x)对定义域内所有x成立，则该变化不是周期变化（如随机现象、无规律波动的变化）。 （三）常见周期变化实例及周期 日常生活中的周期变化： 钟表：秒针转动，周期60秒（最小正周期）；分针转动，周期60分钟；时针转动，周期12小时； 星期：每7天重复一次，最小正周期7天； 昼夜交替：每24小时重复一次，最小正周期24小时。 自然界中的周期变化： 四季更替：每12个月重复一次，最小正周期12个月； 月亮圆缺：每29.5天左右重复一次，最小正周期约29.5天； 科学领域 单摆摆动：在理想状态下，每完成一次全振动的时间固定，最小正周期为摆动周期（与摆长相关）。 数学中的周期变化（铺垫后续三角函数）： 正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx，最小正周期均为2π； （四）周期变化的核心特征总结 1. 重复性：变化过程按照固定规律重复出现，不会出现无规律的波动； 2. 周期性：存在固定的非零常数T（周期），使得经过T后，变化状态与初始状态完全一致； 3. 普遍性：周期变化广泛存在于自然界、日常生活和科学技术中，是三角函数的核心背景。 典 例 铺 路 例题1：判断下列变化是否为周期变化 例题2：结合周期变化的定义，描述钟表时针转动的周期变化 例题3：周期变化的简单应用（提升题，衔接后续三角函数） 例题1：判断下列变化是否为周期变化，若是，指出其最小正周期（基础题） （1）每年的春节（农历正月初一）； （2）小明每天的起床时间（固定为早上6:30）； （3）随机掷骰子，朝上的点数； （4）声波的振动（规律振动，无衰减）。 解析：判断核心是“是否存在固定重复间隔，且规律重复”。 （1）是周期变化；春节每年农历正月初一，每12个月（或365天左右）重复一次，最小正周期为1年（或12个月）； （2）不是周期变化；虽然每天6:30起床，但“每天”是时间的流逝，不存在“x+T”的变量关系（变量未体现重复的周期性，只是固定时间点，而非变化的重复）；3）不是周期变化；掷骰子的点数是随机的，不存在固定的重复间隔和规律，无法满足f(x+T)=f(x)； （4）是周期变化；声波规律振动时，每完成一次全振动的时间固定，存在固定的周期T，最小正周期为其振动周期（如每秒振动n次，周期为秒）。 例题2：结合周期变化的定义，描述钟表时针转动的周期变化（中档题） 已知钟表时针围绕表盘匀速转动，时针的位置随时间t（单位：小时）的变化而变化，记时针的位置为f(t)。 （1）判断时针的转动是否为周期变化； （2）若为周期变化，指出它的一个周期和最小正周期； （3）用数学语言描述其周期变化的特征（结合f(t+T)=f(t)）。 解析：结合周期变化的定义，紧扣“固定间隔”和“规律重复”两个核心。 （1）是周期变化；时针围绕表盘转动，每经过固定时间，位置会重复出现，符合周期变化的特征； （2）一个周期可以是12小时、24小时、36小时等；最小正周期为12小时（时针转动12小时，回到初始位置，且12小时是最小的正数周期）； （3）设最小正周期T=12小时，对于任意时刻t（单位：小时），都有f(t+12)=f(t)，即经过12小时后，时针的位置与t时刻的位置完全相同，且该关系对所有时刻t都成立。 答案：（1）是周期变化；（2）一个周期为12小时（答案不唯一），最小正周期为12小时；（3）存在最小正周期T=12，对任意时刻t，均有f(t+12)=f(t)，时针位置重复出现。 例题3：周期变化的简单应用（提升题，衔接后续三角函数）已知某周期变化的最小正周期为6，且当x=1时，y=5，根据周期变化的特征，求x=1+6k（k为正整数）时，y的值，并说明理由。 解析：根据周期变化的定义，若T是周期，则对于定义域内所有x，都有f(x+T)=f(x)，推广可得f(x+kT)=f(x)（k为整数）。 因为该周期变化的最小正周期为6，所以6是它的一个周期，对于任意整数k，6k也都是它的周期； 因此，当x=1+6k时，f(1+6k)=f(1)； 又因为当x=1时，y=5，即f(1)=5，所以f(1+6k)=5。 答案：y=5；理由：6是该变化的周期，对于任意正整数k，6k也是周期，根据周期变化的定义，f(1+6k)=f(1)=5。 随 堂 演 练 返回主页 随堂练 1.（基础）判断下列现象是否为周期变化，若是，指出其最小正周期： （1）地球绕太阳公转； （2）校园里的铃声（每天固定时间响起，但无“重复间隔”的变量关系）； （3）正余弦曲线的图像变化（后续学习）； （4）人的脉搏跳动（规律跳动时）。 随堂练 2.（基础）下列说法正确的是（ ） A. 周期变化的周期只有一个 B. 最小正周期是所有周期中最小的数 C. 若存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)对部分x成立，则该变化是周期变化 D. 周期变化一定是规律变化 随堂练 3.（中档）已知某周期变化的最小正周期为4，且f(2)=3，求f(2+4k)（k为整数）的值，并说明理由。 随堂练 4.（提升）结合生活实例，举例说明一个周期变化，要求：① 明确描述该现象；② 指出其最小正周期；③ 用数学语言（文字或符号）描述其周期特征。 训练答案 （1）是周期变化，最小正周期为1年；（1分） （2）不是周期变化，虽固定时间响起，但无“x+T”的变量重复关系，不满足周期变化的定义；（1分） （3）是周期变化，最小正周期为2π；（1分） （4）是周期变化，规律跳动时，每跳动一次的时间固定，最小正周期为脉搏跳动周期（如每分钟70次，周期为60/70≈0.86秒）。（1分） 2.D（2分）；解析：A选项周期有无数个；B选项最小正周期是最小的正数，不是最小的数（负数也可以是周期，如-6也是6为周期的变化的周期）；C选项需对定义域内所有x成立，不是部分x；D选项正确，周期变化一定是规律变化。 3. f(2+4k)=3（2分）；理由：因为该变化的最小正周期为4，所以4是它的一个周期，对于任意整数k，4k也是它的周期（1分）；根据周期变化的定义，f(x+4k)=f(x)，因此f(2+4k)=f(2)=3（1分）。 4.示例：（4分） ① 现象：潮汐的涨落（规律涨落，无特殊天气影响）；（1分） ② 最小正周期：约12小时25分钟（两次涨潮或两次落潮的间隔）；（1分） ③ 周期特征：设潮汐的水位为f(t)（t为时间，单位：小时），最小正周期T≈12.42小时，对任意时刻t，均有f(t+12.42)=f(t)，即经过约12.42小时后，潮汐水位与t时刻的水位完全相同，规律重复。（2分） 随 堂 检 测 返回主页 随堂测 1.（2分）下列变化中，属于周期变化的是（ ） A. 流星划过夜空的轨迹 B. 每年的端午节（农历五月初五） C. 股票的涨跌幅度 D. 小朋友随机跳绳的次数 随堂测 2. （2分）关于周期变化的周期T，下列说法错误的是（ ） A. T可以是正数 B. T可以是负数 C. T=0也是一个周期 D. 一个周期变化有无数个周期 随堂测 3.（3分）已知钟表分针的转动是周期变化，其最小正周期为60分钟，若t=10分钟时，分针指向数字2，求t=10+60k（k为正整数）时，分针指向的数字，并说明理由。 B（2分）；解析：A、C、D均无固定重复间隔和规律，B选项端午节每年农历五月初五，每12个月重复一次，是周期变化。 C（2分）；解析：周期T必须是非零常数，T=0时，x+T=x，无法体现变化的重复，不是周期。 （3分）指向数字2（1分）；理由：分针转动的最小正周期为60分钟，60分钟是它的一个周期，对于任意正整数k，60k也是周期（1分）；根据周期变化的定义，f(10+60k)=f(10)，t=10分钟时分针指向2，因此t=10+60k时，分针仍指向2（1分）。 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 3. 课后思考 1 2 3 4 认真领会 两个核心概念： 周期现象：按照固定规律重复出现的现象（生活、自然界中的直观体现）； 周期变化：变量y随x变化时，存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)对定义域内所有x成立，T为周期，其中最小的正数为最小正周期。 一个关键判断：周期变化的关键是“固定重复间隔”和“规律重复”缺一不可，缺少一个即为非周期变化； 一个核心关联：周期变化是三角函数的核心背景，本节课所学的周期、最小正周期概念，将直接应用于后续正弦、余弦、正切函数的学习。 41 1. 判断周期变化的方法：先观察现象是否有“规律重复”，再判断是否存在“固定的重复间隔”，两者都满足即为周期变化； 2. 描述周期变化的技巧：明确最小正周期，结合f(x+T)=f(x)的形式，用数学语言描述重复特征； 3. 易错点规避：① 混淆“周期现象”和“周期变化”（周期变化是对变量关系的描述，周期现象是直观体现）；② 认为周期只有一个（周期有无数个，最小正周期是核心）；③ 忽略T是非零常数（T=0不是周期）。 1. 收集3个生活或自然界中的周期变化实例，分别指出其最小正周期，并尝试用数学语言描述其周期特征； 2. 预习下一节课内容，思考：如何用图像表示周期变化？正弦函数的周期变化有什么特点？ 3. 思考：为什么周期变化中，我们通常重点研究最小正周期？（提示：从实用性、简洁性角度分析） $