精品解析：山东济南市济阳区2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

九年级数学202601 满分150分 时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷的指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0．5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图是一个由5个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了组合立体图形的三视图，解题的关键是掌握三视图的定义． 根据三视图进行求解即可． 【详解】解：由图得，该图的主视图为 故选：A． 2. 把的图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 直接运用二次函数图象的平移规律解答即可． 【详解】解：由二次函数的平移规律可得：把的图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的解析式为：． 故选D． 3. 若一元二次方程有实数根，则的值可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，先将方程化为标准形式，再根据判别式与实数根的关系求出m的取值范围，进而判断选项即可． 【详解】解：∵原方程可整理为， 又∵该一元二次方程有实数根， ∴根的判别式， 其中，，， ∴， 即， 解得：， ∵选项中只有， ∴m的值可能是2． 故选：D． 4. 如图，是地球示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线，．点表示济阳区的位置，纬度大约是北纬（即：）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据切线得出直角，利用直角三角形的两个锐角互余得出，然后利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 如图，6个全等的小正方形放置在中，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正切定义，根据题意得到，，，进而利用正切定义求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意，，，， ∴． 故选：A． 6. 如图，小强在距离墙8米的点处站立，在离点2米的点处放置一平面镜，用激光笔从点向点发出一束光，光在经过点处的平面镜反射后照射在墙上处，此时激光笔的发光点距离地面米．以所在的水平线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据题意表示出相关线段的长度，证明，然后根据相似三角形的对应边成比例求出，即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 根据光的反射可得， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 故选：C． 7. 如图，扇形可以绕着正六边形的中心旋转，若，等于正六边形的边心距的2倍，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正六边形的性质得，连接OE，OC，可得OC=OE=DE=CD，得，从而得，根据ASA证明得，结合即可求解． 【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形 ∴ 连接OE，OC，则 ∴ ∴四边形OCDE是菱形， ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵AB=2 ∴CD=DE=2 过点C作CD⊥ED的延长线于点H ∴ ∴ ∴DH=1 ∴ ∴扇形半径长为 ∴ ∴ ∴ 故选：B 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正六边形的性质，根据正六边形的性质得出对应角相等是解题关键． 8. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．如图是正面印有“四书”字样的书签，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．则从中随机抽取2张，抽到“中庸”、“大学”书签的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率的计算，解题的关键是掌握画树状图或列表法． 利用画树状图进行求概率即可． 【详解】解：令《论语》为，《孟子》为，《大学》为，《中庸》为， 画树状图如下： 等可能出现的情况共12种， 抽到“中庸”、“大学”书签的可能有2种， ∴抽到“中庸”、“大学”书签的概率是， 故选：D． 9. 如图，四边形是矩形，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交和于点；分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交边于点；作射线，交于点，交射线于点，连接．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的作法和性质，相似三角形的性质与判定等，利用矩形和角平分线的定义可得，即得，得到，进而由得，再根据即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， 由作图可知，是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上；⑤若方程的两根为，则． 以上结论正确的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． ①根据函数图象进行分析二次函数的参数取值即可； ②根据对称轴得出，根据点的坐标得出参数之间的关系，即可求解； ③根据当时，，进行判断即可； ④根据抛物线的对称性进行判断即可； ⑤根据，确定一元二次方程的参数，然后求解即可． 【详解】解：①由抛物线图象可得， ∵抛物线开口向上， ∴； ∵对称轴位于轴左侧， ∴符号相同， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴， 故①正确； ②∵对称轴为直线， ∴， ∴， 将代入解析式得，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ③由可得，当时，， 由②得， ∴， 故③错误； ④∵，且两个点的纵坐标相等， ∴两个点关于直线对称， ∵点在该函数图象上， ∴点也在该函数图象上， 故④正确； ⑤∵， ∴当时，， ∴方程转化为， 解得； 当时，， ∴方程转化为， 解得或； ∵方程的两根为， ∴， 故⑤正确； 综上，正确的选项为①②④⑤， 故选：B． 二、填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 抛物线的对称轴是直线___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，抛物线的对称轴为直线． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 12. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．如图所示，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径为6，中间有边长为1的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率是____．（保留π） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了几何概率，根据满足题意的题意的图形面积除以总面积即可求出答案． 【详解】解：∵铜钱的面积为，而中间正方形小孔的面积为， ∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是． 故答案为： 13. 如图，是的直径，点C，D在上，，若，则___________°． 【答案】65 【解析】 【分析】本题考查了圆和三角形．熟练掌握圆周角定理推论，等腰三角形性质，是解答该题的关键． 利用直径所对的圆周角是直角可得，由等腰三角形的性质推知． 【详解】解： ∵是的直径， ∴， ∴； 又∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：65． 14. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．若，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得出点的坐标，运用待定系数法即可求出的解析式；再通过比例关系解出点的坐标，可得反比例函数表达式；过点作轴，垂足为，则，联立方程组解出点的坐标． 【详解】在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∵、两点在函数上， 将、代入得 解得，， ∴ 设，过点作轴，垂足为，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即，，即， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； 联立， 得， ∴，， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面积计算的方法是解题的关键． 15. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，将沿过点的直线翻折得到恰好三点共线．若平分，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键：作，翻折得到，平行四边形的性质，得到，，推出，进而求出的长，等积法求出的长，勾股定理求出的长，等积法求出的长，进而求出的长，求出的长，根据三角形的外角结合角的和差关系求出，再根据正切的定义进行求解即可． 【详解】解：作， ∵翻折， ∴， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵三点共线， ∴ ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算，零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，熟练掌握相关计算法则是解题的关键； 先根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算，然后进行乘法运算后合并即可． 【详解】解： 17. ，求代数式的值． 【答案】6 【解析】 【分析】先算括号内的分式减法，然后算分式除法，通过约分化成最简，最后代入即可求解． 【详解】解： =， =， =， =， ∵， ∴， 则原式=． 18. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，． 求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，进而得出，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再利用线段的差得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 19. 国庆节假期张亮和爸爸去垂钓园钓鱼，已知如图2，斜坡的坡度为长为5米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角是． （1）求点到水平面的距离； （2）求浮漂与斜坡下端之间的距离．（结果精确到，参考数据：， 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形． （1）过点作于点，设，则，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）过点的水平线交于点，过点作于点，得出四边形为矩形，得出相等边，然后利用锐角三角函数进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵斜坡的坡度为， ∴设，则， 根据勾股定理得， 解得， ∴点到水平面的距离为米； 【小问2详解】 解：如图所示，过点的水平线交于点，过点作于点， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴浮漂与斜坡下端之间的距离为米． 20. 如图，中，，以为直径的圆交于点E，过点E作于于点F，交的延长线于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，要证明是的切线，只要证明即可； （2）连接，在中，求得，，在中，求得，证明，利用相似三角形的性质，列式计算即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵为直径， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 解得， 即． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理及其推论、勾股定理、等腰三角形的性质以及解直角三角形等，注意准确作出辅助线是解此题的关键． 21. 为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动·健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践．现随机抽取九年级部分学生，统计其每日体育活动时长（时长用表示，单位：分钟），并对数据（时长）进行统计整理．下面给出了部分信息： a．在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如下表所示： 组别 运动时间分钟 数据 第一组 54，57，53 第二组 63，65，，68，64，66 第三组 72，，76，79 第四组 82，，88，83 b．不完整的学生体育运动时长的频数分布直方图和扇形统计图如下： 根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数； （2）请补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中第四组的圆心角的度数是___________度； （4）若第四组数据的中位数是84，则第四组中被盖住的数字为___________； （5）若该校共有学生2000人，试估算该校约有多少名学生每日运动时长不少于80分钟． 【答案】（1）20 （2）见解析 （3）72 （4）85 （5）400 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表、扇形统计图和频数直方图，根据部分求总体，求圆心角的度数，根据中位数求数据，根据样本频数估计总体频数，解题的关键是掌握以上定义和数形结合的思想． （1）根据第一组的数据除以其占比即可得出总量； （2）求出剩余组的实际数据，然后补全频数直方图即可； （3）用乘以其占比即可； （4）根据中位数的定义进行求解即可； （5）根据样本频数估计总体频数即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为（人）； 【小问2详解】 解：第二组的人数为（人）， 第四组的人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：第四组的圆心角的度数是， 故答案为：72； 【小问4详解】 解：∵第四组共有4个数据， ∴中位数为排序后的第2和第3个数据的平均数； ∵第四组已知的三个数排序为82，83，88，且中位数为84， ∴假设被盖住的数字为，则， ∴， 解得， ∴被盖住的数字为85， 故答案为：85； 【小问5详解】 解：根据题意得， （人）， 所以，该校约有400名学生每日运动时长不少于80分钟． 22. 为迎接我区文旅产业发展大会，九曲黄河万里情景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． （1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若经销商计划销售该纪念品每日获利800元，且尽可能让利于顾客，求该纪念品的销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天的获利最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）40 （3）当销售单价为55元时，每天的获利最大，最大利润是1250元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和解析式，解一元二次方程，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设销售单价应定为元，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可； （3）令销售利润为，则，然后根据二次函数图象和性质进行求最值即可． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 将和代入解析式得， ， 解得 ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设销售单价应定为元，根据题意得， ， 整理得， 解得或， ∵尽可能让利于顾客， ∴取， ∴销售单价应定为40元； 【小问3详解】 解：令销售利润为，则， ∵， ∴抛物线顶点为最高点， ∴顶点横坐标为， 顶点纵坐标为， ∴当销售单价为55元时，每天的获利最大，最大利润是1250元． 23. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点． （1）求的值； （2）如图1，若点为线段上一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，若的面积为，求点的坐标； （3）如图2，连接，并延长至点，使，作的角平分线交轴于点，过点作于点，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用一次函数解析式求出点的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式即可； （2）联立解析式求出交点坐标，假设，则，根据三角形的面积求出的值即可； （3）延长交直线于点，证明，得出相等的边，假设，利用勾股定理求出相关线段的长度和列出方程求解，然后利用线段中点坐标公式求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得， ， ∴； 将代入得， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：联立解析式得， 解得或， ∴， 假设，则，， ∴， ∴ ∴， 解得或，均符合题意， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图所示，延长交直线于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，且， ∴由勾股定理得，，， 假设， ∴由勾股定理得，， 解得或（舍去）， ∴， ∴点的坐标为， 即点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合，求函数解析式，根据三角形的面积求出自变量的值，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线过点两点，与轴交于点，顶点为，连接，作直线． （1）求抛物线的表达式和顶点的坐标； （2）如图1，点为第一象限内抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，当时，求点的横坐标； （3）如图2，将抛物线的图象沿直线的方向平移得到新抛物线，顶点为；将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好落在抛物线上，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或2 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，解一元二次方程，函数图象平移的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数的表达式，将表达式整理成顶点式求顶点坐标即可； （2）利用待定系数法求出直线的表达式为，假设，则，表示出相关线段的长度，根据线段相等列出，然后分类进行求解即可； （3）线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点作轴于点，过点作，交的反向延长线于点，证明，得出相等的线段，求出点，假设抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，则点的坐标为，抛物线的表达式为，将代入解析式，求出的值即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴； 设直线的表达式为， 将点，代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 根据题意得，假设，则， ∴， 由（1）可得对称轴为直线， ∵过点作轴的平行线交抛物线于点， ∴点与点关于对称轴对称， ∴， ∴， 当时，整理得， 解得或（舍去）； 当时，整理得， 解得或（舍去）； 综上，求点的横坐标为或2； 【小问3详解】 解：如图所示，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点作轴于点，过点作，交的反向延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 根据题意得，假设抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， 则点的坐标为， ∴抛物线的表达式为， 将代入得， ， 解得或， ∴点的坐标为或． 25. 如图1，已知线段的长度为定值，线段绕点在直线上方旋转，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点为射线上的任意一点，连接． （1）如图2，若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是___________； （2）如图2，在（1）的条件下，若，求的长； （3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及相似三角形判定与性质，旋转的性质及应用，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题． （1）连接，证明，可得，故； （2）延长交于M，求出，，用勾股定理即可得，故； （3）过A作，且，连接，求出，知D在以E为圆心，半径为的圆上运动，故当的值最大时，D在延长线上，过点A作于点N，再求得，，根据三角形面积公式即得答案． 【小问1详解】 解：连接，如图： ∵将线段绕点B逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：延长交于M，如图： ∵， ∴， 由（1）知，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过A作，且，连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴D在以E为圆心，半径为的圆上运动， ∴当的值最大时，D在延长线上， 过点A作于点N，如图：   在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学202601 满分150分 时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷的指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0．5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图是一个由5个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 把的图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程有实数根，则的值可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 如图，是地球示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线，．点表示济阳区的位置，纬度大约是北纬（即：）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，6个全等的小正方形放置在中，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 如图，小强在距离墙8米的点处站立，在离点2米的点处放置一平面镜，用激光笔从点向点发出一束光，光在经过点处的平面镜反射后照射在墙上处，此时激光笔的发光点距离地面米．以所在的水平线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，扇形可以绕着正六边形的中心旋转，若，等于正六边形的边心距的2倍，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．如图是正面印有“四书”字样的书签，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．则从中随机抽取2张，抽到“中庸”、“大学”书签的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是矩形，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交和于点；分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交边于点；作射线，交于点，交射线于点，连接．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上；⑤若方程的两根为，则． 以上结论正确的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 抛物线的对称轴是直线___________． 12. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．如图所示，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径为6，中间有边长为1的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率是____．（保留π） 13. 如图，是的直径，点C，D在上，，若，则___________°． 14. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．若，则点的坐标为_________． 15. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，将沿过点的直线翻折得到恰好三点共线．若平分，则的值为___________． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. ，求代数式的值． 18. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，． 求证：． 19. 国庆节假期张亮和爸爸去垂钓园钓鱼，已知如图2，斜坡的坡度为长为5米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角是． （1）求点到水平面的距离； （2）求浮漂与斜坡下端之间的距离．（结果精确到，参考数据：， 20. 如图，中，，以为直径的圆交于点E，过点E作于于点F，交的延长线于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动·健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践．现随机抽取九年级部分学生，统计其每日体育活动时长（时长用表示，单位：分钟），并对数据（时长）进行统计整理．下面给出了部分信息： a．在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如下表所示： 组别 运动时间分钟 数据 第一组 54，57，53 第二组 63，65，，68，64，66 第三组 72，，76，79 第四组 82，，88，83 b．不完整的学生体育运动时长的频数分布直方图和扇形统计图如下： 根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数； （2）请补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中第四组的圆心角的度数是___________度； （4）若第四组数据的中位数是84，则第四组中被盖住的数字为___________； （5）若该校共有学生2000人，试估算该校约有多少名学生每日运动时长不少于80分钟． 22. 为迎接我区文旅产业发展大会，九曲黄河万里情景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． （1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若经销商计划销售该纪念品每日获利800元，且尽可能让利于顾客，求该纪念品的销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天的获利最大，最大利润是多少？ 23. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点． （1）求的值； （2）如图1，若点为线段上一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，若的面积为，求点的坐标； （3）如图2，连接，并延长至点，使，作的角平分线交轴于点，过点作于点，求点的坐标． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线过点两点，与轴交于点，顶点为，连接，作直线． （1）求抛物线的表达式和顶点的坐标； （2）如图1，点为第一象限内抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，当时，求点的横坐标； （3）如图2，将抛物线的图象沿直线的方向平移得到新抛物线，顶点为；将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好落在抛物线上，求点的坐标． 25. 如图1，已知线段的长度为定值，线段绕点在直线上方旋转，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点为射线上的任意一点，连接． （1）如图2，若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是___________； （2）如图2，在（1）的条件下，若，求的长； （3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $