21.2平行四边形及其性质、平行四边形的判定寒假预习讲义-2025-2026学年人教版八年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

21.2平行四边形及其性质、平行四边形的判定寒假预习讲义（人教版） ☛ 预习内容概览 1. 课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3核心考点★精讲精练 4.巩固提升★综合测试 ☘ 课前预习★目标 ◆ 认识平行四边形的基本图形，能从生活中找出平行四边形实例； ◆ 掌握平行四边形的定义及构成元素； ◆ 理解平行四边形的性质定理和判定定理，初步感知平行四边形的简单判定思路； ◆ 能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角知识解决四边形问题； 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1】平行四边形的定义 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．如下图 2.平行四边形的基本元素：边、角、对角线．相邻的两边为邻边，有四对；相对 的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对 构成要素 主要内容 图示 边 邻边 AB和AD，AB和BC，BC和CD，AD和DC，共有四对 对边 AB和 DC AD和 BC，共有两对 角 邻角 ∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB, ∠DCB和∠ABC,∠BAD和∠ABC,共有四对 对角 ∠BAD和∠BCD,∠ABC和∠ADC,共有两对 对角线 AC和BD,共有两条。共有两条 【知识点2】平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心． ★【重点提醒】（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系．（2）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决． 【知识点3】平行四边形的判定 要素 判定方法与文字语言 数学语言 图形 边 一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形 ∵AB  CD或AD  BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别 平行 的四边形是平行四边形 ∵AB ∥ CD，AD ∥ BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形 ∵AB ＝ CD，AD ＝ BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角 相等 的四边形是平行四边形 ∵∠ABC ＝ ∠ADC， ∠BAD ＝ ∠BCD ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线 相互平分 的四边形是平行四边形 ∵OA ＝ OC，OB ＝ OD ∴四边形ABCD是平行四边形 ❗ 重点：性质与判定的区别 ●性质是由“平行四边形”推出“边、角、对角线的关系”。 ●判定是由“边、角、对角线的关系”推出“是平行四边形”。 【知识点4】平行线间的距离 1．两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．注：距离是指垂线段的长度，是正值． （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度，两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的． 2． 平行四边形的周长与面积： 周长：根据平行四边形对边相等，设相邻两边长为a,b则平行四边形的周长=2（a+b） 平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等． ★ 【重点提醒】 提醒：做题时一定要看清题目是证明它是平行四边形（用判定），还是已知它是平行四边形求角度或长度（用性质）。 易错点：“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）。 策略：证明平行四边形时，首选“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”，这两种方法在几何证明题中应用最广。 辅助线添加 ●当题目中出现平行四边形且涉及对角线时，通常连接对角线，利用“对角线互相平分”的性质。 ●当需要构造全等三角形时，常连接对角线或延长某条边。 ✏ 核心考点★精讲精练 题型1利用平行四边形的性质求解 例1．在中，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 变式1．在中，与的度数之比为，则的度数是 ． 变式2．如图，在中，于点，于点．若，求的度数． 题型2利用平行四边形的性质证明 例2．在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．在平行四边形中，的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点F，，，则线段的长为 ． 变式2．如图，在中，E，F是对角线上两点且，连接，． 求证：． 题型3平行四边形性质的其他应用 例3．有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 变式1．在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是 ． 变式2．作图题 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中画出； (2)线段的长为______的长为______ 题型4求平行线间的距离 例4．如图，已知，下列线段的长中，是，之间的距离的是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 变式1．设，，是同一平面内三条互相平行的直线，已知与的距离是，与的距离是，则与的距离等于 ． 变式2．几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 题型5利用平行线间距离解决问题 例5．两条平行线的公垂线段有（    ） A．1条 B．2条 C．无数条 D．以上说法均不对 变式1．如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点P的移动而变化的是 ．（填序号） 变式2．如图所示，直线，，是上的两点，，是上的两点．与的面积相等吗？请说明理由． 题型6判断能否构成平行四边形 例6．已知在平行四边形中，的度数之比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式1．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是 （填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 变式2．已知：如图，的对角线相交于点在直线上，并且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若，，，求的面积． 题型7添一个条件成为平行四边形 例7．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件： ． 变式2．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 题型8数图形中平行四边形的个数 例8．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式1．如图，在四边形中，，，则图中共有 个平行四边形，它们分别是 （有符号表示）． 变式2．如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 个． 题型9求与已知三点组成平行四边形的点的个数 例9．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 变式1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 变式2．小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．    题型10证明四边形是平行四边形 例10．如图，在四边形中，对角线，相交于点．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 变式1．如图，在四边形中，，，，则当 时，四边形是平行四边形． 变式2．如下图，在四边形ABCD中，，，，，，．试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 题型11全等三角形拼平行四边形问题 例11．用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 变式2．如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 题型12利用平行四边形的判定与性质求解 例12．如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 变式1．如图，在中，，，，，分别是边，上的点，，于点．当时， ． 变式2．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 题型13利用平行四边形性质和判定证明 例13．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是 ． 变式2．如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的长． 题型14平行四边形性质和判定的应用 例14．下列命题中，其逆命题不成立的是（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．等腰三角形的两个底角相等 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．平行四边形的对角线互相平分 变式1．如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有 对． 变式2．如图，在四边形池塘的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘． ✍ 巩固提升★综合测试 一、单选题 1．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 2．如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 3．下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．如图，的对角线，交于点，过点作交边于点，垂足为，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知直线，，，，都垂直于，垂足分别为，．下列选项中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，直线，点A在直线上，点B，C在直线上，若，则直线，间的距离可以是（   ） A．6 B．3 C．7 D．8 7．以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 8．在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则（   ） A．， B．， C．， D．， 9．如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 11．有以下四个命题： （1）平行四边形是中心对称图形 （2）四边形中只有平行四边形才是中心对称图形 （3）平行四边形不是轴对称图形 （4）若一条直线将平行四边形的面积平分，则该直线必过平行四边形的对称中心其中正确的命题有 ． 12．如图，点E是梯形下底的中点，与阴影部分面积相等的三角形（包括阴影部分本身）一共有 个． 13．如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 14．如图，在中，是的延长线上的一点．若，则的度数为 ． 15．如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，则 ． 16．如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是 ． 三、解答题 17．如图，在四边形中，，连接，已知，试说明．    18．如图，四边形是平行四边形，点为边上一点，连接． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点，连接，使得四边形是平行四边形．（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（）的条件下，结合你的作图原理，请试说明理由． 19．如图，中，点E，F分别是对角线上的两点，且．求证：． 20．如图，在中，D、E分别是、的中点，F是延长线上的点，且． (1)图中的平行四边形有哪几个？请说明理由． (2)若的面积是4，求四边形的面积． 21．如下图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 22．如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 23．如图：等腰梯形中，，，，，，求梯形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2平行四边形及其性质、平行四边形的判定寒假预习讲义（人教版） ☛ 预习内容概览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.巩固提升★综合测试 ☘ 课前预习★目标 ◆ 认识平行四边形的基本图形，能从生活中找出平行四边形实例； ◆ 掌握平行四边形的定义及构成元素； ◆ 理解平行四边形的性质定理和判定定理，初步感知平行四边形的简单判定思路； ◆ 能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角知识解决四边形问题； 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1】平行四边形的定义 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．如下图 2.平行四边形的基本元素：边、角、对角线．相邻的两边为邻边，有四对；相对 的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对 构成要素 主要内容 图示 边 邻边 AB和AD，AB和BC，BC和CD，AD和DC，共有四对 对边 AB和 DC AD和 BC，共有两对 角 邻角 ∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB, ∠DCB和∠ABC,∠BAD和∠ABC,共有四对 对角 ∠BAD和∠BCD,∠ABC和∠ADC,共有两对 对角线 AC和BD,共有两条。共有两条 【知识点2】平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心． ★【重点提醒】（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系．（2）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决． 【知识点3】平行四边形的判定 要素 判定方法与文字语言 数学语言 图形 边 一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形 ∵AB  CD或AD  BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别 平行 的四边形是平行四边形 ∵AB ∥ CD，AD ∥ BC ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形 ∵AB ＝ CD，AD ＝ BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角 相等 的四边形是平行四边形 ∵∠ABC ＝ ∠ADC， ∠BAD ＝ ∠BCD ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线 相互平分 的四边形是平行四边形 ∵OA ＝ OC，OB ＝ OD ∴四边形ABCD是平行四边形 ❗ 重点：性质与判定的区别 ●性质是由“平行四边形”推出“边、角、对角线的关系”。 ●判定是由“边、角、对角线的关系”推出“是平行四边形”。 【知识点4】平行线间的距离 1．两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．注：距离是指垂线段的长度，是正值． （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度，两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的． 2． 平行四边形的周长与面积： 周长：根据平行四边形对边相等，设相邻两边长为a,b则平行四边形的周长=2（a+b） 平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等． ★ 【重点提醒】 提醒：做题时一定要看清题目是证明它是平行四边形（用判定），还是已知它是平行四边形求角度或长度（用性质）。 易错点：“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）。 策略：证明平行四边形时，首选“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”，这两种方法在几何证明题中应用最广。 辅助线添加 ●当题目中出现平行四边形且涉及对角线时，通常连接对角线，利用“对角线互相平分”的性质。 ●当需要构造全等三角形时，常连接对角线或延长某条边。 ✏ 核心考点★精讲精练 题型1利用平行四边形的性质求解 例1．在中，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可知，，，，，，即可得出结论． 【详解】解：如图，四边形是平行四边形， ，，，，， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 变式1．在中，与的度数之比为，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，先根据平行线的性质及求出与的度数，再根据平行四边形对角相等可得的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ． ， ，， ． 故答案为：． 变式2．如图，在中，于点，于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查四边形内角和，平行四边形的性质，掌握以上知识是关键，根据四边形的内角和得到，再根据平行四边形的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在四边形中，，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 题型2利用平行四边形的性质证明 例2．在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 根据平行四边形的性质得，结合求出，进而可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选B． 变式1．在平行四边形中，的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点F，，，则线段的长为 ． 【答案】8或12/12或8 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等角对等边等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．由于平行四边形的两组对边互相平行，又平分，由此可以推出所以，则；同理可得，，再分两种为情况：F点在D、E之间；F点在C、E之间．求得各自的便可得． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则； 同理可得，， 当点F在D、E之间时，如图1， ∵， ∴； 当点F在C、E之间时，如图2， ∵， ∴． 故答案为：8或12． 变式2．如图，在中，E，F是对角线上两点且，连接，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由平行四边形的性质得，，则，而，即可根据证明，则． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型3平行四边形性质的其他应用 例3．有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确， 平行四边形不是轴对称图形，故②错误， 平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确， 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确， 故选：C． 变式1．在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是 ． 【答案】120°和60° 【分析】根据平行四边形的性质可以得到，，，即可得到，再根据，求解即可． 【详解】解：如图所示，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°，120°，60°，120°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质． 变式2．作图题 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中画出； (2)线段的长为______的长为______ 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了作图，网格作平行四边形，平行四边形性质，勾股定理等知识． （1）根据平行四边形性质作图即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）， ， 故答案为：，． 题型4求平行线间的距离 例4．如图，已知，下列线段的长中，是，之间的距离的是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】C 【分析】根据平行线间距离的定义，即两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，来判断哪个选项符合． 【详解】解：平行线间的距离是指两条平行线的垂线段的长度． 线段垂直于直线和，因此的长度就是，之间的距离． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线间距离的定义，解题关键是理解平行线间距离的定义，准确识别出两条平行线的垂线段． 变式1．设，，是同一平面内三条互相平行的直线，已知与的距离是，与的距离是，则与的距离等于 ． 【答案】7或17 【分析】本题考查了平行线之间的距离．由于三条直线互相平行，需考虑在与之间或同侧两种情况，分别计算距离． 【详解】解：分两种情况： 当在，之间时，如图： ∵与的距离是，与的距离是， ∴与的距离为． 当，在同侧时，如图： ∵与的距离是，与的距离是， ∴与的距离为． 综上所述，与的距离为或， 故答案为：7或17． 变式2．几何直观如图，，，，于点E，且．求平行线与之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线间的距离，运用等积法求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以平行线与之间的距离为． 题型5利用平行线间距离解决问题 例5．两条平行线的公垂线段有（    ） A．1条 B．2条 C．无数条 D．以上说法均不对 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的定义，平行线之间的距离，根据平行线之间距离处处相等，且结合两条平行线的公垂线段的长度为平行线之间的距离，进行作答即可． 【详解】解：依题意，平行线之间距离处处相等，且两条平行线的公垂线段的长度为平行线之间的距离， ∴两条平行线的公垂线段有无数条， 故选：C 变式1．如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点P的移动而变化的是 ．（填序号） 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键． 根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案． 【详解】解：∵直线， ∴点到直线的距离不会随点的移动而变化，故①正确； ∵，的长随点P的移动而变化， ∴的周长会随点的移动而变化，的大小会随点的移动而变化，故②，④错误； ∵点到直线的距离不变，的长度不变， ∴的面积不会随点的移动而变化，故③正确； 综上，不会随点的移动而变化的是①③． 故答案为：①③． 变式2．如图所示，直线，，是上的两点，，是上的两点．与的面积相等吗？请说明理由． 【答案】与的面积相等．理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线间的距离性质和三角形面积公式，熟练掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键． 通过作两条平行线间的高，利用平行线间距离处处相等的性质，结合三角形面积公式，证明两个三角形面积相等． 【详解】解：与的面积相等，理由如下， 过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、， ，， ∵直线，，， ∴， ∴． 题型6判断能否构成平行四边形 例6．已知在平行四边形中，的度数之比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知两组对角分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 要判定四边形是平行四边形，则其两组对角需要分别相等，即且，结合角度比例即可求解. 【详解】解：设，，，. 要判定四边形是平行四边形，则其两组对角需要分别相等，即且， 由可得，解得； 由可得，解得 此时. ∴当时，能判定四边形是平行四边形， 故选：C． 变式1．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是 （填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法、熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等可以判定平行四边形． 【详解】解：对于①，，，不能保证另一组对边平行或相等，故不能判定； 对于②，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于③，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于④，， 又 ∴四边形是平行四边形，故能判定． 故答案为：②③④． 变式2．已知：如图，的对角线相交于点在直线上，并且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)120 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，对角线相互平分的四边形为平行四边形，垂直定理，勾股定理 （1）根据对角线相互平分的四边形为平行四边形，即可证明． （2）根据可知为直角三角形，由勾股定理可求得，的面积可看成由两个组成，即可求得答案． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形． （2）解：∵，， 在中， ∵四边形是平行四边形， ∴,即 故的面积为120. 题型7添一个条件成为平行四边形 例7．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误； B、∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故B正确． C、由无法判定为平行四边形，故C错误； D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误； 故选：B． 变式1．如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件： ． 【答案】E，F分别是，的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 首先由平行四边形得到，，然后结合中点性质得到，即可判定四边形是平行四边形． 【详解】添加的条件：E，F分别是，的中点 证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 变式2．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】（1）解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 题型8数图形中平行四边形的个数 例8．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 变式1．如图，在四边形中，，，则图中共有 个平行四边形，它们分别是 （有符号表示）． 【答案】 3 ，， 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握有两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定数出平行四边形的个数即可． 【详解】解：，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 则图中共有个平行四边形，它们分别是，，， 故答案为：；，，． 变式2．如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 个． 【答案】5 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，， 为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故答案为：5． 题型9求与已知三点组成平行四边形的点的个数 例9．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 变式1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定以及网格作图等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定进行画图即可； （2）根据平行四边形的判定进行画图即可； （3）根据平行四边形的判定进行画图即可． 【详解】（1）解：如图：平行四边形即为所求． （2）解：如图：平行四边形即为所求． （3）解：如图：平行四边形即为所求． 变式2．小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．    【答案】3种情况，画图见解析 【分析】先连接，，，再分别以，为圆心，，为半径画圆，得到交点E，同法可得D，再延长，交于点F，从而可得答案． 【详解】解：如图，第四棵树的位置有3个位置，    【点睛】本题考查的是平行四边形的作图，掌握利用尺规画平行四边形是解本题的关键． 题型10证明四边形是平行四边形 例10．如图，在四边形中，对角线，相交于点．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断. 【详解】解：A、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； B、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； C、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； D、，能判定这个四边形是平行四边形，符合题意. 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判断、解题的关键是根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定． 变式1．如图，在四边形中，，，，则当 时，四边形是平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知，根据平行四边形判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需让即可列方程求解． 【详解】解：∵在四边形中，，要使其成为平行四边形，必须满足， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 变式2．如下图，在四边形ABCD中，，，，，，．试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 【答案】四边形ABCD是平行四边形．理由见解析 【分析】根据垂直利用勾股定理即可求得的值，然后就可知道四边形的边长，即可判断四边形的形状； 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】，，，， ， 即， 解得， ∴，，， ，， ∴四边形ABCD是平行四边形． 题型11全等三角形拼平行四边形问题 例11．用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 变式1．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 变式2．如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可． 【详解】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形； B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形； C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形． 故选：C 【点睛】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键． 题型12利用平行四边形的判定与性质求解 例12．如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定与性质可知，平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对面积相等的平行四边形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是对角线， ∴，，． ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∵是平行四边形的对角线， ∴， ∵是平行四边形的对角线， ∴． ∴， 即， ∴， 同理可得：． 即：，，． 故选：B． 【点睛】本题考查了数图形中平行四边形的个数，利用平行四边形的判定与性质求解，利用平行四边形性质和判定证明，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 变式1．如图，在中，，，，，分别是边，上的点，，于点．当时， ． 【答案】4 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，以及方程思想的应用，掌握直角三角形角的性质和平行四边形的判定是解题的关键． 先利用直角三角形角的性质求出的长度，设为，结合条件推出四边形是平行四边形，再由得到，最后列方程求解． 【详解】解：，，， ． 设． ，，， 在中，． ， ， 四边形是平行四边形， ． 当时，． ， ， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 变式2．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 题型13利用平行四边形性质和判定证明 例13．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可知可证明四边形为平行四边形，可得到 【详解】解：由题意可知： 四边形为平行四边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质,解题的关键是证明四边形为平行四边形. 变式1．如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到，，结合中点的性质得到，然后根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得到四边形、四边形、四边形都是平行四边形，由此即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； 则图中平行四边形有个， 故答案为：． 变式2．如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，关键是灵活应用这些知识点解题； （1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行论证； （2）根据角平分线的性质可得，然后利用勾股定理求． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴． 题型14平行四边形性质和判定的应用 例14．下列命题中，其逆命题不成立的是（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．等腰三角形的两个底角相等 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．平行四边形的对角线互相平分 【答案】A 【分析】本题考查命题的逆命题和真假命题的概念，正确写出命题的逆命题是解题的关键． 写出每个命题的逆命题，再判断其真假即可求解． 【详解】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形全等，但对应角相等不一定全等（如相似三角形），故逆命题不成立； B、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是两个底角相等的三角形是等腰三角形，成立； C、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，成立； D、平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立． 故选：A． 变式1．如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有 对． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质；平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形的面积等于三角形的面积．三角形的面积等于的面积，三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到5对四边形的面积分别相等． 【详解】解：为平行四边形，为对角线， 的面积等于的面积， 同理三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到的面积等于的面积， 四边形和的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等， 共5对， 故答案为：5． 变式2．如图，在四边形池塘的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查作图一应用与设计作图、平行四边形的判定与性质，连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，则即为所求，解题的关键是理解题意，灵活运用平行四边形的判定与性质解决问题． 【详解】解：连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，如图所示： 则四边形均为平行四边形， ， ，则即为所求． ✍ 巩固提升★综合测试 一、单选题 1．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答． 【详解】解：A、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C、，，四边形为平行四边形，故本项符合题意； D、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； 故选：C． 2．如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定； 首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴ ∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个． 故选：C． 3．下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：如图， A、，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不合题意； B、，，可以证明，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不合题意； C、，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故不合题意； D、，，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定平行四边形，故符合题意； 故选：D． 4．如图，的对角线，交于点，过点作交边于点，垂足为，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形对角线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质和垂直平分线的性质，将的周长转化为平行四边形相邻两边的和，进而求出平行四边形的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，． 又， ． 的周长为， ， 的周长为． 故选：D． 5．如图，已知直线，，，，都垂直于，垂足分别为，．下列选项中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键； 根据题目描述和图形利用平行四边形和平行线的性质来判断选项的正确性． 【详解】解：A、由题可知：，，∴四边形ABCD是平行四边形，∴，一定成立，符合题意； B、题目所给信息无法证明；不符合题意； C、题目所给信息无法证明；不符合题意； D、题目所给信息无法比较四边形ABCD与四边形DEGF的；面积大小，不符合题意； 故选：A ． 6．如图所示，直线，点A在直线上，点B，C在直线上，若，则直线，间的距离可以是（   ） A．6 B．3 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行线之间的距离，垂线段最短，先分析题意，得出，间的距离（垂线段最短），即可作答． 【详解】解：过点A作 ∵直线，点A在直线上，点B，C在直线上，且， ∴，间的距离（垂线段最短）， 观察四个选项，唯有B选项符合题意， 故选：B 7．以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答． 【详解】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即； 当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 8．在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质和二元一次方程组的求解，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 利用平行四边形对角线互相平分的性质，建立关于和的方程并求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴对角线与互相平分，即， ∴，即；且，即， 联立方程得： 解得： 故选：A． 9．如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，由平移的性质得出，，进而可得出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵将沿着的方向平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故D正确，无法判断A，B，C是否正确． 故选：D 10．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出；根据平行线的性质，然后根据等腰三角形的性质得平分；由，四边形是平行四边形，可得，进而由等边对等角可得：，然后由，可得，然后由角的和差计算及等量代换可得：，然后根据外角的性质可得：，进而可得：；根据等底等高的三角形面积相等即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故④错误； ∵， ∴的边上的高和的边上的高相等， ∴由三角形面积公式得：， 都减去的面积得：，故③正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的应用等． 二、填空题 11．有以下四个命题： （1）平行四边形是中心对称图形 （2）四边形中只有平行四边形才是中心对称图形 （3）平行四边形不是轴对称图形 （4）若一条直线将平行四边形的面积平分，则该直线必过平行四边形的对称中心其中正确的命题有 ． 【答案】（1）（3）（4） 【分析】根据平行四边形的对称性，逐一进行判断即可． 【详解】（1）平行四边形是中心对称图形，说法正确，符合题意； （2）四边形中不仅仅平行四边形是中心对称图形，菱形，矩形，正方形也是中心对称图形，原说法错误，不符合题意； （3）平行四边形不是轴对称图形，说法正确，符合题意； （4）若一条直线将平行四边形的面积平分，则该直线必过平行四边形的对称中心说法正确，符合题意； 综上，正确的命题有（1）（3）（4）； 故答案为：（1）（3）（4）． 【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形是解题的关键． 12．如图，点E是梯形下底的中点，与阴影部分面积相等的三角形（包括阴影部分本身）一共有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了求三角形的面积， 先标注图形，再根据等（同）底同（等）高的两个三角形面积相等得出答案． 【详解】解：因为点E是梯形下底的中点， 所以，与平行， 所以和和和的面积相等． 所以与阴影部分面积相等的三角形一共有4个． 故答案为：4． 13．如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 14．如图，在中，是的延长线上的一点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，邻补角的定义知识点，掌握平行四边形对角相等的性质是解题的关键． 先利用邻补角的定义求出的度数，再根据平行四边形对角相等的性质得到的度数． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ∵ 点在的延长线上， ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 15．如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，则 ． 【答案】/3厘米 【分析】利用平行四边形的对边相等且平行以及平行线的基本性质求解即可． 本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 的平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，求平行线间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设直线与直线之间的距离是h，根据勾股定理的逆定理得到是，由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设直线与直线之间的距离是h， ∵，，， ∴， ∴是， ∴， ∴， ∴直线与直线之间的距离是， 故答案为：12． 三、解答题 17．如图，在四边形中，，连接，已知，试说明．    【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线间距离处处相等，三角形面积等知识．过点作，交的延长线于点，过点作，交于点．根据平行线间距离处处相等得到．根据三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，交于点．    ∵， ∴． ∵， ∴． 18．如图，四边形是平行四边形，点为边上一点，连接． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点，连接，使得四边形是平行四边形．（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（）的条件下，结合你的作图原理，请试说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)见解析 【分析】（）以点为圆心，以为半径画弧，交于点，连接，则四边形即为所求； （）由平行四边形的性质得，，进而得，再根据平行四边形的判定即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：理由如下：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 19．如图，中，点E，F分别是对角线上的两点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质得到，，则可证明，得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．如图，在中，D、E分别是、的中点，F是延长线上的点，且． (1)图中的平行四边形有哪几个？请说明理由． (2)若的面积是4，求四边形的面积． 【答案】(1)图中的平行四边形有：平行四边形，平行四边形，理由见解析 (2)16 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理，掌握平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等． （1）由为的中点，可得，再由条件可得四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等可得的面积和的面积都等于的面积为4，从而可得四边形的面积为16． 【详解】（1）解：图中的平行四边形有：平行四边形，平行四边形， 理由是：∵E为的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵D为的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由（1）知四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积是16． 21．如下图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定知识点，掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）先由推出，再用证明，从而得到， （2）由推出，结合，证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：， ， 即． 在与中， ， ． （2）解：四边形是平行四边形．理由： ， ． 又， 四边形是平行四边形． 22．如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由平行四边形得到，，然后得到，即可证明； （2）如图所示，连接，由得到，等量代换得到，证明出，即可得到四边形四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）如图所示，连接，    添加条件为： 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形四边形是平行四边形． 23．如图：等腰梯形中，，，，，，求梯形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理． 过A作于E，过D作于F，证平行四边形和，推出，，，求出，根据含30度角的直角三角形性质求出、，根据勾股定理求出，即可求出答案． 【详解】解：如图，过A作于E，过D作于F， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得： ， ∴梯形的面积． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $