21.2平形四边形寒假预习讲义（6知识点+17大题型+过关检测） 2025-2026学年度人教版八年级数学下册寒假预习（知识点+题型精讲）

21.2平行四边形寒假预习讲义 （6知识点+17大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 利用平行四边形的性质求解】 4 【题型2 利用平行四边形的性质证明】 4 【题型3 平行四边形性质的其他应用】 5 【题型4 求平行线间的距离】 6 【题型5 利用平行线间距离解决问题】 6 【题型6 判断能否构成平行四边形】 7 【题型7 添一个条件成为平行四边形】 8 【题型8 数图形中平行四边形的个数】 8 【题型9 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 9 【题型10 证明四边形是平行四边形】 10 【题型11 全等三角形拼平行四边形问题】 11 【题型12 利用平行四边形的判定与性质求解】 11 【题型13 利用平行四边形性质和判定证明】 12 【题型14 平行四边形性质和判定的应用】 13 【题型15 与三角形中位线有关的求解问题】 15 【题型16 与三角形中位线有关的证明】 15 【题型17 三角形中位线的实际应用】 16 模块二 预习目标导航 · 理解平行四边形的定义，能准确识别平行四边形，掌握其边、角、对角线的核心性质，能结合性质进行简单的边、角计算和推理。 · 初步学会运用平行四边形的性质解决线段相等、角相等的基础几何问题，规范几何语言的表达和简单解题步骤的书写。 · 感知平行四边形在生活中的实际应用，建立几何图形与性质对应的思维，为后续学习平行四边形的判定奠定基础。 · 培养观察图形、分析条件的基本能力，提升几何直观和简单的逻辑推理意识。 模块三 知识点梳理 【知识点1 平行四边形】 1 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形； 2.符号表示：平行四边形用符号“▱”表示.平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 3.基本元素：邻边：AD和AB，BC和DC，AD和DC，AB和BC 对边：AB和DC，AD和BC. 邻角：∠BAD和∠ADC，∠BAD和∠ABC，∠ABC和∠BCD，∠ADC和∠BCD. 对角：∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC 对角线：AC和BD    特别提醒：平行四边形的表示一般按一定的方向（顺时针或逆时针）依次书写各顶点. 【知识点2 平行四边形的性质定理】 性质 符号语言 边 平行四边形的对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD 角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD   特别提醒： 1. 平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形 如图，△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB. 2. 平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形. 如图===, △ABO≌△CDO,△ADO≌△CBO   【知识点3 平行线间距离】 1.定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 2.性质 （1）两条平行线间的距离处处相等. 如图，直线a//b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线b于点C,D，所以AC//BD,又a//b，即两条平行线间的距离处处相等. （2） 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 如图所示，直线l1//l2，AB//CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD. 特别提醒： 平行线间的距离和平行线间的平行线段是不同概念，不能混为一谈. 【知识点4 平行四边形的判定定理】 判定定理 符号表示 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AD=BC,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形   特别提醒： 1. 若一条直线过平行四边形对角线的交点，则这条直线被一组对边截得的线段的中点是对角线的交点. 2.过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分. 【知识点5 平行四边形的对称性】 平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点 【知识点6 三角形的中位线】 三角形中线的概念和性质： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线平行且等于第三边的一半。 三角形的中位线与中线的区别 区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 模块四 题型汇总 【题型1 利用平行四边形的性质求解】 【典例1】．已知在中，，，则的周长为（    ） A．11cm B．28cm C．22cm D．44cm 变式1-1．平行四边形具有不稳定性，当一个平行四边形的形状发生改变时，发生变化的是（ ） A．平行四边形的外角和 B．平行四边形的边长 C．平行四边形的周长 D．平行四边形某些角的大小 变式1-2．如图，在中，已知，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【题型2 利用平行四边形的性质证明】 【典例2】．在中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 平行四边形性质的其他应用】 【典例3】．下列图形中，一定是轴对称图形的是（   ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．梯形 变式3-1．如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 变式3-2．如图，已知点，将线段向左平移三个单位长度，则线段扫过的面积为（　　） A．3 B．6 C． D． 【题型4 求平行线间的距离】 【典例4】．如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 变式4-1．如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（    ） A．2 B．4 C．6 D．14 变式4-2．如图所示，直线，点A在直线上，点B，C在直线上，若，则直线，间的距离可以是（   ） A．6 B．3 C．7 D．8 【题型5 利用平行线间距离解决问题】 【典例5】．如图，在中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E．若，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 变式5-1．如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（   ） A．的大小 B．线段的长度 C．的周长 D．的面积 【题型6 判断能否构成平行四边形】 【典例6】．如图，点，，，在同一平面内．有下列条件：①；②；③；④．从中任意选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（   ）    A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 变式6-1．下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 变式6-2．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【题型7 添一个条件成为平行四边形】 7．如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 变式7-1．如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 变式7-2．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【题型8 数图形中平行四边形的个数】 【典例8】．如图，在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式8-1．如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 变式8-2．如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型9 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【典例9】．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式9-1．以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式9-2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出点（点在小正方形的顶点上），使以为顶点的四边形为平行四边形； (2)在图2中确定点（点在小正方形的顶点上），连接，使，且四边形面积为9，请在图中标出点的位置，则 ． 【题型10 证明四边形是平行四边形】 【典例10】．如图，在四边形中，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求四边形的面积． 变式10-1．如下图，，，均为直线同侧的等边三角形．当时，求证：四边形为平行四边形． 变式10-2．如图，在四边形中，，，，垂足分别为、，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则四边形的周长是____________． 【题型11 全等三角形拼平行四边形问题】 【典例11】．用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式11-1．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 变式11-2．如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1． (1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上． 要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合； ②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹． (2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）． 【题型12 利用平行四边形的判定与性质求解】 【典例12】．如图，已知中，，若，，点是边上的一个动点，以为折痕将折叠得到，与边交于点，当为直角三角形时，则的长为 ． 变式12-1．如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为 ． 变式12-2．如图是等边三角形，分别是延长线上的点，且，连，直线交于点． (1)求的度数； (2)作于，则时，为等腰三角形，求出的值； (3)若在上，，连，作，，连接交于，则的值为___________． 【题型13 利用平行四边形性质和判定证明】 【典例13】．如图，在中，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且．求证：四边形EBFD为平行四边形． 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 ，AD∥ ． 因为， 所以 + ， 即 ． 又因为DE∥ ， 所以四边形EBFD为平行四边形． 变式13-1．已知：如图，在四边形中，，E是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 变式13-2．【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图①，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 【知识应用】 （2）如图②，在中，为的中点．延长到点，使得，延长到点，使得，连接，，．若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 【题型14 平行四边形性质和判定的应用】 【典例14】．如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是 ． 变式14-1．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 变式14-2．图1是升降式篮球架，图2是其侧面示意图，立柱，．伸缩杆的长度变化，带动旋转杆，分别绕点O，A转动、篮板升降．已知，，，，，． (1)求证：； (2)当篮筐离地高度时． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②此时伸缩杆的长度为__________； (3)受制造工艺限制，要求，求篮筐离地高度的取值范围． 【题型15 与三角形中位线有关的求解问题】 【典例15】．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 变式15-1．如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 变式15-2．如图，在中，为上一点，分别延长，至点，，使得，连接，且．若，，则 ． 【题型16 与三角形中位线有关的证明】 【典例16】．如图，中，点，分别是，的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为16，求四边形的周长． 变式16-1．如图，在四边形中，，是的中点，、交于点，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 变式16-2．知识回顾：已知，如图（1）中，点E是边的中点，点F是边的中点，连接．则与的关系为： （用符号语言表达）． 知识应用：已知，如图（2），四边形中，，点M，N分别为，的中点，连接．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 【题型17 三角形中位线的实际应用】 【典例17】．如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在外选一点C，然后步测出、的中点M、N，并步测出的长约为42米，由此可知A、B间的距离约为 米． 变式17-1．如图，为测量池塘边，两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是，，且，则，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 变式17-2．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 模块五 过关检测 1．如图，在中，，，于点．下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D．的面积是12 2．如图，在中，，，，，分别是，的中点，交的延长线于点，连接，则四边形的面积为（   ） A．10 B．12 C．14 D．15 3．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如图，四边形的对角线，相交于点．已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，是上一动点，是上一定点，连接，，，分别是，的中点．当点从点向点移动时，关于线段的长度，下列结论一定正确的是（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不改变 D．不能确定 6．如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成 个平行四边形． 8．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且，．若，则的度数为 ． 9．将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为 ． 10．如图，等边三角形的边长为，动点从点出发，沿的路径以的速度运动；动点从点出发，沿的路径以的速度运动．若动点同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动．设运动时间为，则当的值为 时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形． 11．如图1，平面上两条直线，相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线的距离为p，到直线l2的距离为q，则称有序实数对为点M的“距离坐标”，例如，图1中点O的“距离坐标”为，点N的“距离坐标”为． （1）如图2，点A的“距离坐标”为 ，点B的“距离坐标”为 ； （2）如图3，点C，D分别在直线，上，则C，D两个点中，“距离坐标”为的点是 ； （3）平面上“距离坐标”为的点有 个，“距离坐标”为的点有 个． 12．如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：． 13．如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接． (1)求证：； (2)直接写出的大小，并证明． 14．平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2 ①当，时，求的长． ②探究与的数量关系，直接写出答案． 15．如图，在四边形中，，E是上一点，且，P从A点出发以的速度向B点运动，同时Q从D点出发以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 16．【问题情境】如图①，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小琼的思路如下： 作，则，， ∵是的中线，　　　　　　， ∴；（请完成填空） 【解决问题】如图②，为提高全民健身环境，公园管理部门打算将原有的健身区域进行改造，改造方案如下：分别延长的至点D，E，F，使得A，B，C分别为的中点，依次连接点D，E，F得，已知的面积为，改造甲区域成本为100元，扩建乙区域成本为200元，求改造总费用． 17．在平面直角坐标系中，对于线段和线段给出如下定义：若存在点P（不在直线和直线上），使得，，，的大小均不超过，则称和具有性质． (1)如图1，点，，，，，，，．在线段，，中，和具有性质的是______； (2)如图2，点，，点C，D在第一象限内以原点为端点的同一条射线上，且，点C，D的横坐标分别记为u，v，满足． ①若和具有性质，则当时，v的取值范围是______； ②若和具有性质，且不具有性质，直接写出u，v还应满足的关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2平行四边形寒假预习讲义 （6知识点+17大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 利用平行四边形的性质求解】 4 【题型2 利用平行四边形的性质证明】 5 【题型3 平行四边形性质的其他应用】 7 【题型4 求平行线间的距离】 9 【题型5 利用平行线间距离解决问题】 10 【题型6 判断能否构成平行四边形】 13 【题型7 添一个条件成为平行四边形】 14 【题型8 数图形中平行四边形的个数】 17 【题型9 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 19 【题型10 证明四边形是平行四边形】 22 【题型11 全等三角形拼平行四边形问题】 25 【题型12 利用平行四边形的判定与性质求解】 28 【题型13 利用平行四边形性质和判定证明】 33 【题型14 平行四边形性质和判定的应用】 36 【题型15 与三角形中位线有关的求解问题】 43 【题型16 与三角形中位线有关的证明】 45 【题型17 三角形中位线的实际应用】 49 模块二 预习目标导航 · 理解平行四边形的定义，能准确识别平行四边形，掌握其边、角、对角线的核心性质，能结合性质进行简单的边、角计算和推理。 · 初步学会运用平行四边形的性质解决线段相等、角相等的基础几何问题，规范几何语言的表达和简单解题步骤的书写。 · 感知平行四边形在生活中的实际应用，建立几何图形与性质对应的思维，为后续学习平行四边形的判定奠定基础。 · 培养观察图形、分析条件的基本能力，提升几何直观和简单的逻辑推理意识。 模块三 知识点梳理 【知识点1 平行四边形】 1 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形； 2.符号表示：平行四边形用符号“▱”表示.平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 3.基本元素：邻边：AD和AB，BC和DC，AD和DC，AB和BC 对边：AB和DC，AD和BC. 邻角：∠BAD和∠ADC，∠BAD和∠ABC，∠ABC和∠BCD，∠ADC和∠BCD. 对角：∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC 对角线：AC和BD    特别提醒：平行四边形的表示一般按一定的方向（顺时针或逆时针）依次书写各顶点. 【知识点2 平行四边形的性质定理】 性质 符号语言 边 平行四边形的对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD 角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD   特别提醒： 1. 平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形 如图，△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB. 2. 平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形. 如图===, △ABO≌△CDO,△ADO≌△CBO   【知识点3 平行线间距离】 1.定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 2.性质 （1）两条平行线间的距离处处相等. 如图，直线a//b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线b于点C,D，所以AC//BD,又a//b，即两条平行线间的距离处处相等. （2） 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 如图所示，直线l1//l2，AB//CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD. 特别提醒： 平行线间的距离和平行线间的平行线段是不同概念，不能混为一谈. 【知识点4 平行四边形的判定定理】 判定定理 符号表示 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AD=BC,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形   特别提醒： 1. 若一条直线过平行四边形对角线的交点，则这条直线被一组对边截得的线段的中点是对角线的交点. 2.过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分. 【知识点5 平行四边形的对称性】 平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点 【知识点6 三角形的中位线】 三角形中线的概念和性质： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线平行且等于第三边的一半。 三角形的中位线与中线的区别 区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 模块四 题型汇总 【题型1 利用平行四边形的性质求解】 【典例1】．已知在中，，，则的周长为（    ） A．11cm B．28cm C．22cm D．44cm 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握对边相等是解题的关键. 根据平行四边形对边相等的性质，直接计算周长即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴周长. 故的周长为. 故选：C. 变式1-1．平行四边形具有不稳定性，当一个平行四边形的形状发生改变时，发生变化的是（ ） A．平行四边形的外角和 B．平行四边形的边长 C．平行四边形的周长 D．平行四边形某些角的大小 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的不稳定性． 平行四边形具有不稳定性，形状改变时，内角的大小发生变化，但外角和、边长和周长均不变． 【详解】解：∵多边形的外角和恒为， ∴外角和不变； ∵变形时边长不变， ∴周长不变； ∵平行四边形的不稳定性源于角度的变化， ∴某些角的大小发生变化． 故选：D． 变式1-2．如图，在中，已知，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的性质．由作法得：平分，再结合平行四边形的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：由作法得：平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【题型2 利用平行四边形的性质证明】 【典例2】．在中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形是平行四边形， ∴，，，，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 变式2-1．如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质，结合平行四边形性质推导线段关系是解题的关键． 结合平行与垂直的已知条件，通过判定平行四边形、利用平行线间距离相等的性质，逐一分析每个选项的推导逻辑，判断结论是否一定成立，从而找出不一定成立的选项． 【详解】解：A、由题意可证得四边形是平行四边形，所以，故A选项成立，不符合题意． B、由两条平行线间的平行线段相等可知，故B选项成立，不符合题意． C、，， ； ， ∴四边形是平行四边形， ，故C选项成立，不符合题意． D、与的大小关系不确定，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 变式2-2．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 无法判断， 故选：D． 【题型3 平行四边形性质的其他应用】 【典例3】．下列图形中，一定是轴对称图形的是（   ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．梯形 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，平行四边形的性质，轴对称图形是指沿一条直线对折后两边能完全重合的图形，据此判断各选项是否一定满足条件即可求解． 【详解】解：A.直角三角形不一定是轴对称图形（如含30°的直角三角形），故A不符合； B.平行四边形不一定是轴对称图形（如一般平行四边形），故B不符合； C.等腰梯形一定是轴对称图形（有一条对称轴），故C符合； D.梯形不一定是轴对称图形（如直角梯形），故D不符合． 故选：C． 变式3-1．如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质及三角形面积的计算，推出四边形的面积是的4倍是解本题的关键． 根据平移的性质得出四边形是平行四边形，用表示出、，设点A到的距离为h，然后根据三角形的面积公式与平行四边形的面积公式列式进行计算即可． 【详解】面积为的沿方向平移至的位置，平移的距离是边的2倍， ，即， ，， 四边形为平行四边形， 设点A到的距离为h， ， ∴四边形的面积为： 故选：C． 变式3-2．如图，已知点，将线段向左平移三个单位长度，则线段扫过的面积为（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据平移的性质和平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】∵点，将线段向左平移三个单位长度， ∴线段扫过的图形是一个底边长为3，高为2的平行四边形， ∴线段扫过的面积为， 故选：B． 【题型4 求平行线间的距离】 【典例4】．如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键． 首先利用平行线之间三角形面积相等，得到的面积，再根据面积公式求解点C到的距离即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：A． 变式4-1．如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（    ） A．2 B．4 C．6 D．14 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，平行线间的距离．利用数形结合的思想是解题关键． 根据题意可求出，再根据平行线间的距离的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点， ∴平行线b，c之间的距离是6． 故选：C． 变式4-2．如图所示，直线，点A在直线上，点B，C在直线上，若，则直线，间的距离可以是（   ） A．6 B．3 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行线之间的距离，垂线段最短，先分析题意，得出，间的距离（垂线段最短），即可作答． 【详解】解：过点A作 ∵直线，点A在直线上，点B，C在直线上，且， ∴，间的距离（垂线段最短）， 观察四个选项，唯有B选项符合题意， 故选：B 【题型5 利用平行线间距离解决问题】 【典例5】．如图，在中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E．若，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则可得到，同理可得，设之间的距离为，然后将面积比化为底之比求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 由，设之间的距离为， 则， ∴ ∴， 故选：D． 变式5-1．如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．过点作，交延长线于点，先求出，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵在中，的长是， ∴， ∵，分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∴， ∴乘电梯从点到点上升的高度是， 故选：A． 变式5-2．如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（   ） A．的大小 B．线段的长度 C．的周长 D．的面积 【答案】D 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，得到随着点P的移动，点到的距离不变，即可得出的面积不变，判断即可． 【详解】解：∵直线，点P在直线m上移动， ∴点与直线的距离保持不变， ∵A，B是直线n上的两个定点， ∴点到的距离不变， ∴的面积不变，故D正确； 的大小，线段的长度，的周长都随着点的移动而变化； 故选D． 【题型6 判断能否构成平行四边形】 【典例6】．如图，点，，，在同一平面内．有下列条件：①；②；③；④．从中任意选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（   ）    A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关． 根据平行四边形的判定方法进行分析即可． 【详解】解：①和③根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形； ①和②，③和④根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形； ②和④根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形； ∴能推出四边形为平行四边形的有种． 故选：B． 变式6-1．下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法． 由“两组对角对边相等的四边形是平行四边形”进行判断即可． 【详解】解：∵对角相等的四边形是平行四边形， ∴能判定四边形是平行四边形的是． 故选：B． 变式6-2．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是记住平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，即需满足且，由此即可得到结论. 【详解】解：A、，，，，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； B、，，，，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； C、∵，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，能判定这个四边形是平行四边形，符合题意； D、，，，，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 【题型7 添一个条件成为平行四边形】 7．如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，掌握平行四边形的判定条件是解题关键． 根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：已知，要使四边形为平行四边形， 选项：仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：平行四边形要求对角线互相平分，仅不满足，故错误； 选项：， ， 在和中， , ， ， 四边形为平行四边形． 故正确． 故选：． 变式7-1．如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 变式7-2．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误； B、∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故B正确． C、由无法判定为平行四边形，故C错误； D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误； 故选：B． 【题型8 数图形中平行四边形的个数】 【典例8】．如图，在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据两组对边分别平行的判定条件是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐一分析． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∵ ∴可以通过选择两条平行于的线段和两条平行于的线段来构成新的平行四边形 ∴图中的平行四边形有： 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 ∴共有个平行四边形． 故选：D． 变式8-1．如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定与性质可知，平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对面积相等的平行四边形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是对角线， ∴，，． ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∵是平行四边形的对角线， ∴， ∵是平行四边形的对角线， ∴． ∴， 即， ∴， 同理可得：． 即：，，． 故选：B． 【点睛】本题考查了数图形中平行四边形的个数，利用平行四边形的判定与性质求解，利用平行四边形性质和判定证明，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 变式8-2．如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据平行条件逐一判定平行四边形的方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理，结合已知的平行线关系来确定图中的平行四边形． 【详解】解：， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上，图中共有个平行四边形． 故选：B． 【题型9 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【典例9】．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 变式9-1．以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．做题时需要分类讨论，以防漏解．如图，三点不共线，连接、、，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：如图，三点不共线，连接、、， 分别以、、为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：，，； 综上所述，可以作3个平行四边形， 故选：B． 变式9-2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出点（点在小正方形的顶点上），使以为顶点的四边形为平行四边形； (2)在图2中确定点（点在小正方形的顶点上），连接，使，且四边形面积为9，请在图中标出点的位置，则 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，， 【分析】本题考查平移，平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质： （1）利用平移思想，将点向右移动2个单位，再向下移动一个单位，得到点即可（或将点向左移动2个单位，再向上移动一个单位，也可得到点），此时，故四边形为平行四边形； （2）构造等腰三角形，利用三线合一，结合四边形面积为9，可得面积等于2，由此即可得到点在点下方第4个格点处．再根据勾股定理求出. 【详解】（1）解：如图，四边形（或）即为所求；   或 （2）如图，点即为所求；    由图可知四边形的面积为：． ， 【题型10 证明四边形是平行四边形】 【典例10】．如图，在四边形中，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质及平行四边形的判定等知识点，熟练掌握等边三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质及平行四边形的判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得是等边三角形，，则有，，然后根据勾股定理可得，进而证明得到四边形的面积等于的面积，则问题可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式10-1．如下图，，，均为直线同侧的等边三角形．当时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形的性质得出边角之间的关系，再利用全等三角形的判定得出，进而得出，同理可得，即可得出四边形为平行四边形． 【详解】证明：，为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ． 又为等边三角形， ， ． 同理可得， 四边形是平行四边形． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定，得出是解题关键． 变式10-2．如图，在四边形中，，，，垂足分别为、，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则四边形的周长是____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及准确分析线段的位置关系是解题的关键． （1）通过证明，得，从而，结合证平行四边形； （2）先根据线段位置关系正确计算长度，再用勾股定理算、的长，进而求周长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， 在中，， ∴四边形的周长为：． 【题型11 全等三角形拼平行四边形问题】 【典例11】．用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 变式11-1．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【答案】D 【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量． 【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；    两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；    故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键． 变式11-2．如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1． (1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上． 要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合； ②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹． (2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）图1可以先用边长为1、2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2的直角三角形；图2可以先用边长都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2、1的直角三角形；图3以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可； （2）根据平行四边形的判定方法证明即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：如图1中，∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝， ∴四边形ABCD是平行四边形．（同理，图2和图3均可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行证明） 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，平行四边形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用直角三角形和平行四边形的性质进行拼接． 【题型12 利用平行四边形的判定与性质求解】 【典例12】．如图，已知中，，若，，点是边上的一个动点，以为折痕将折叠得到，与边交于点，当为直角三角形时，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质． 先在中，求得，得到，，然后再分当时和时的情况，然后根据折叠和勾股定理的知识即可求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 以为折痕将折叠得到， ，， 如图，当时，过点作的延长线于点． ， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，不合题意，舍去， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：； 如图，，，当时，点与点重合． ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 变式12-1．如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平移的性质，线段的和与差，平行四边形的判定和性质． 由平移的性质，结合线段的和与差，可得，由平移的性质可得四边形为平行四边形，即可得的长． 【详解】解：由平移可得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由平移可得，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 变式12-2．如图是等边三角形，分别是延长线上的点，且，连，直线交于点． (1)求的度数； (2)作于，则时，为等腰三角形，求出的值； (3)若在上，，连，作，，连接交于，则的值为___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明， 推出， 由， 推出，即可解决问题； （2）如图中， 由题意可知， 设，则， 推出， 计算出的值即可； （3）如图中， 在上截取， 则，证明四边形是平行四边形即可解决问题． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， E， ， ； （2）如图中， 是等腰三角形，， ， 设，则， ， ， （3）如图中， 在上截取， 则， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，会添加常用辅助线构造全等三角形． 【题型13 利用平行四边形性质和判定证明】 【典例13】．如图，在中，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且．求证：四边形EBFD为平行四边形． 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 ，AD∥ ． 因为， 所以 + ， 即 ． 又因为DE∥ ， 所以四边形EBFD为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 根据一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，． ， ， 即． 又， ∴四边形为平行四边形． 变式13-1．已知：如图，在四边形中，，E是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证出四边形为平行四边形是解题的关键． （1）根据，可证明，再证明即可证明四边形是平行四边形； （2）由勾股定理求出的长，进而求出的长，再由平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式13-2．【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图①，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 【知识应用】 （2）如图②，在中，为的中点．延长到点，使得，延长到点，使得，连接，，．若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 【答案】（1）见解析  （2），证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形的对边平行且相等，结合全等三角形的判定与性质证明对角线互相平分； （2）通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质及等边三角形的判定，探究线段与的数量关系． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，． （2）如图所示，过点作交于点，连接，， ． ，， ，即， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 为的中点， ，，三点在一条直线上， ． 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行四边形的性质构造全等三角形，或通过构造平行四边形转化线段关系． 【题型14 平行四边形性质和判定的应用】 【典例14】．如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是 ． 【答案】①② 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．连接，证明．同理可证，则；即可判断①正确；证明四边形是平行四边形．则，即可判断②；若四边形的面积是的2倍．则，证明三点共线，即，但没法证明，即可判断③． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴． 同理可证，， ∴， 故①正确； 连接， ∵， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴； 故②正确； 若四边形的面积是的2倍．则， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，的边上的高为， ∵， ∴， 即点和点到的距离相等， ∴， ∵， ∴三点共线，即， 但没法证明， 故③错误， 故答案为：①②． 变式14-1．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 变式14-2．图1是升降式篮球架，图2是其侧面示意图，立柱，．伸缩杆的长度变化，带动旋转杆，分别绕点O，A转动、篮板升降．已知，，，，，． (1)求证：； (2)当篮筐离地高度时． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②此时伸缩杆的长度为__________； (3)受制造工艺限制，要求，求篮筐离地高度的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①矩形，见解析；② (3) 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质即可得到结论； （2）①由平行四边形的性质和矩形的判定定理得到结论；②过Q作过点Q作于点E，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，再根据勾股定理解答即可； （3）分别求出当时和当时， 的长度，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：①四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； ②如图，过点Q作于点E， 由①得：四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：当时，， 如图，过点M作于点F， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当时，，过点M作于点F，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴篮筐离地高度的取值范围为． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键， 【题型15 与三角形中位线有关的求解问题】 【典例15】．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形，三角形中位线的知识，根据四边形是平行四边形，得到；再根据点E是的中点，得出是的中位线，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：， 则． 故选：A． 变式15-1．如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 【答案】A 【分析】此题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键． 延长交于点F，通过证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理得出，即可得出结果． 【详解】解：延长交于点F， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵D是中点， ∴， ∴是的中位线， ∴ ∴， 故选：A． 变式15-2．如图，在中，为上一点，分别延长，至点，，使得，连接，且．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 首先根据已知条件判断出是的中位线，利用中位线性质得到线段和角的关系，再通过角的等量代换以及边的等量关系证明，最后根据全等三角形对应边相等求出的长度，进而求出的长度． 【详解】解：由题意，得是的中位线， ，， ， ，． ， ． 又， ， ， ． 【题型16 与三角形中位线有关的证明】 【典例16】．如图，中，点，分别是，的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为16，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先三角形中位线证明四边形是平行四边形，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）连接交于点，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，求得菱形的对角线的长，后利用菱形的性质，勾股定理，解答即可． 本题考查了三角形中位线，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接交于点，如图所示： 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， 即菱形的周长为． 变式16-1．如图，在四边形中，，是的中点，、交于点，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，则可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得 ，再根据三角形的中位线定理可得，然后利用勾股定理可得的长，根据线段中点的定义即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴点是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． （2）解：由（1）已证：四边形为矩形， ∴ ， ∵， ∴， 由（1）得：是的中位线， ∴，   ∵， ∴， ∴在中， ， ∵是的中点， ∴． 变式16-2．知识回顾：已知，如图（1）中，点E是边的中点，点F是边的中点，连接．则与的关系为： （用符号语言表达）． 知识应用：已知，如图（2），四边形中，，点M，N分别为，的中点，连接．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 【答案】知识回顾：，；知识应用：， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 知识回顾：根据三角形的中位线的性质可得结论； 知识应用：连接并延长交的延长线于点G，证明，可得，，再结合三角形的中位线的性质可得结论． 【详解】解：知识回顾： ∵点E是边的中点，点F是边的中点， ∴是的中位线， ∴，； 故答案为：，． 知识应用：，，理由如下： 连接并延长交的延长线于点G， ∵， ∴，， ∵N是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∵， ∴． 【题型17 三角形中位线的实际应用】 【典例17】．如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在外选一点C，然后步测出、的中点M、N，并步测出的长约为42米，由此可知A、B间的距离约为 米． 【答案】84 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键．利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵M、N是、的中点， ∴， 又米， ∴米， 即A、B间的距离约为84米， 故答案为：84． 变式17-1．如图，为测量池塘边，两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是，，且，则，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且长度为第三边的一半，据此可求出的长度． 【详解】解：∵ 、分别是、的中点， ∴是的中位线． 根据三角形中位线定理，中位线的长度是的一半，即． 已知，则． 逐一分析选项： A、，与计算结果不符，不符合题意； B、，与计算结果不符，不符合题意； C、，与计算结果不符，不符合题意； D、，与计算结果一致，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，利用中位线与第三边的长度关系求解． 变式17-2．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【答案】(1)中位线，160 (2)三角形的中位线定理 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； （1）根据已知思路写出需要填补的空缺； （2）根据方案一的思路判断依据； （3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长． 【详解】（1）解：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线． ， 160． （2）解：三角形的中位线定理 （3）解：选择方案二：， ， ． 或选择方案三：，， 为直角三角形． ， ， ． 模块五 过关检测 1．如图，在中，，，于点．下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D．的面积是12 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用勾股定理得出的长是解题关键． 利用平行四边形的性质结合勾股定理和平行四边形的面积求法分别分析得出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴故选项A正确，不符合题意； ∵， ， ，， ∴，故选项C正确，不符合题意， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ，故选项B错误，符合题意； 的面积是：， ∴的面积是，故选项D正确，不符合题意， 故选：B． 2．如图，在中，，，，，分别是，的中点，交的延长线于点，连接，则四边形的面积为（   ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形的面积，掌握全等三角形的判定方法、平行四边形的判定条件，及三角形面积的计算是解题的关键． 先利用和是中点的条件，证明与全等，得出；再结合是中点，得到，判定四边形是平行四边形；最后通过三角形面积的关系，将四边形面积转化为的面积，计算得出结果． 【详解】解：， ． 是的中点， ． 在和中： ， ． 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ． ， ， ． ，，， ， ． 故选：B． 3．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； 故①能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ②时，不能证明， 故②不能判定四边形是平行四边形； ③∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故③能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ④∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故④能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 综上所述，只有②不能判定四边形是平行四边形 故选：B． 4．如图，四边形的对角线，相交于点．已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键； 先根据对角线互相平分判定四边形为平行四边形，再依据平行四边形的性质逐项分析即可． 【详解】解：， 即对角线、互相平分 ∴四边形是平行四边形 A、，平行四边形对边相等，不符合题意； B、，平行四边形对边平行，不符合题意； C、，平行四边形对边相等，不符合题意； D、平行四边形无对角线互相垂直的性质，符合题意； 故选：D ． 5．如图，在四边形中，是上一动点，是上一定点，连接，，，分别是，的中点．当点从点向点移动时，关于线段的长度，下列结论一定正确的是（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不改变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵，分别是，的中点， ∴， ∵点是上一定点，是定点，的长度不变， ∴的长度不改变， 故选：C． 6．如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短．连接，过点作于,利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接，过点作于． 面积为，， ， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， 的最小值为． 故选：C． 7．如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成 个平行四边形． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 根据平行四边形的定义数出具体有几个平行四边形． 【详解】解：根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得： 在四边形中，， ∴四边形是平行四边形 同理可得，四边形，四边形，四边形，均为平行四边形；一共4个； 故答案为：4． 8．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由，可知四边形是平行四边形，再根据平行四边形邻角互补的性质求解的度数即可． 【详解】解：如图： ∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形． ． ． ， ． 故答案为：． 9．将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折的变换，掌握翻折的性质、平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 由折叠的性质，得，，根据平行四边形的性质结合两直线平行同位角相等可得，再由三角形的内角和为可求出的度数，即为的度数． 【详解】解：如图，设与交于点． 由折叠的性质，得，， ． 四边形是平行四边形， ， ． 在中，， －， ． 故答案为：． 10．如图，等边三角形的边长为，动点从点出发，沿的路径以的速度运动；动点从点出发，沿的路径以的速度运动．若动点同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动．设运动时间为，则当的值为 时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，利用平行四边形的判定和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键． 分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解． 【详解】解：当点在线段上，点在线段上时，如图①． 四边形为平行四边形， ，． 是等边三角形， 和是等边三角形， ， ， ， ； 当点在线段上，点在线段上时，如图②． 同理可得和是等边三角形，． ，， ， ； 当点在线段上，点在线段上时，如图③． 同理可得和是等边三角形，． ，， ， ． 当停止运动时，，且， （不合题意，舍去）． 综上所述，当的值为或时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形． 故答案为：或． 【点睛】 11．如图1，平面上两条直线，相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线的距离为p，到直线l2的距离为q，则称有序实数对为点M的“距离坐标”，例如，图1中点O的“距离坐标”为，点N的“距离坐标”为． （1）如图2，点A的“距离坐标”为 ，点B的“距离坐标”为 ； （2）如图3，点C，D分别在直线，上，则C，D两个点中，“距离坐标”为的点是 ； （3）平面上“距离坐标”为的点有 个，“距离坐标”为的点有 个． 【答案】 2 4 【分析】本题考查了点到直线的距离，要注意结合图形分析讨论问题． （1）根据“距离坐标”定义解答即可； （2）根据距离坐标”为是指到直线的距离分别是3，0解答即可； （3）根据代表点到直线的距离分别是0和5，则所求点在直线上，且到的距离为5，求解即可；通过画图，分析出到一条直线距离为定值的点在与已知直线平行的两条直线上，解答即可． 【详解】解：（1）点到直线的距离分别是和，点到直线的距离分别是和． 故答案为： （2）“距离坐标”的两个有序数对的第一个数和第二个数分别表示点到直线的距离，所以，“距离坐标”为是指到直线的距离分别是3，0． 结合已知图形，可知满足条件的为点． 故答案为：． （3）代表点到直线的距离分别是0和5，则所求点在直线上，且到的距离为5，这样的点在两侧各有一个． 如图，直线且相邻两条直线距离为5，直线，且相邻两条直线距离为四点的“距离坐标”． 故答案为：2，4． 12．如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定，关键是根据平行四边形的性质得出解答． 根据平行四边形的性质得出，进而利用证明和全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． 13．如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接． (1)求证：； (2)直接写出的大小，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）连接，根据轴对称的性质得出，根据等腰直角三角形的性质得出是等腰直角三角形，即可得出，根据即可得； （2）取中点，连接、，，根据三角形中位线的性质得出，即可证明垂直平分，可证明点在直线上，根据中位线性质得出，根据平行线的性质结合等腰直角三角形的性质得出是等腰直角三角形，得出，利用证明，可得，利用角的和差关系即可求出． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点关于直线的对称点为，连接， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，取中点，连接、，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴点在直线上，即点共线，， ∴， ∵作点关于直线的对称点， ∴， ∵取线段的中点， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查轴对称的性质、三角形中位线的性质、等腰直角三角形的性质全等三角形的判定与性质、平行线的性质及垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 14．平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2 ①当，时，求的长． ②探究与的数量关系，直接写出答案． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由可得，可得，可得结论； （2）①由等腰三角形的性质可得由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求的长，即可求解； ②如图，过点H作于点M，证明，可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可得结论． 【详解】（1）证明：∵平行四边形中，点O是对角线中点， ∴， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①如图2，过点D作于点N， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②， 理由如下：如图，过点H作于点M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，在四边形中，，E是上一点，且，P从A点出发以的速度向B点运动，同时Q从D点出发以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．分点Q在的左侧和右侧两种情形，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，建立等式求解即可． 【详解】解：当点Q在的左侧时，设运动时间为， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴ 解得． 当点Q在的右侧时，设运动时间为， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴ 解得． 则当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或． 16．【问题情境】如图①，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小琼的思路如下： 作，则，， ∵是的中线，　　　　　　， ∴；（请完成填空） 【解决问题】如图②，为提高全民健身环境，公园管理部门打算将原有的健身区域进行改造，改造方案如下：分别延长的至点D，E，F，使得A，B，C分别为的中点，依次连接点D，E，F得，已知的面积为，改造甲区域成本为100元，扩建乙区域成本为200元，求改造总费用． 【答案】 [问题情境] [解决问题]改造总费用为65000元 【分析】[问题情境]作，根据三角形的面积公式得到，，由于是的中线，于是得到结论； [解决问题]连接，根据点A、B、C分别是的中点，得到，，，根据三角形的面积公式得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：[问题情境]作，则，， ∵是的中线，， ∴； 故答案为：； [解决问题]连接， ∵点A、B、C分别是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴乙部分的面积为， ∴改造总费用（元）， 答：改造总费用为65000元． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线、高线，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 17．在平面直角坐标系中，对于线段和线段给出如下定义：若存在点P（不在直线和直线上），使得，，，的大小均不超过，则称和具有性质． (1)如图1，点，，，，，，，．在线段，，中，和具有性质的是______； (2)如图2，点，，点C，D在第一象限内以原点为端点的同一条射线上，且，点C，D的横坐标分别记为u，v，满足． ①若和具有性质，则当时，v的取值范围是______； ②若和具有性质，且不具有性质，直接写出u，v还应满足的关系． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查平行四边形的性质，含角直角三角形的性质； （1）根据定义判断即可； （2）①以为边作等边和等边，以为边作等边和等边,菱形的内部及边界上的点P使得，菱形的内部及边界上的点P使得，当两个菱形有公共部分时，和具有性质；②和具有性质，且不具有性质，即要两个菱形没有公共部分即可，当刚好经过点H时，；当刚好经过点E时，． 【详解】（1）解：如图所示，分别以、为对角线作正方形、正方形， 由正方形的性质可得：， ， ∴正方形的内部和边界上的任意一点P可满足，， 正方形内部和边界上的任意一点P可满足，， ∴使得，，，的点P位于正方形和正方形的公共部分， ∴和具有性质， 同理：如图所示，分别以、为对角线作的两个正方形的边重合，即上的点P能使得，，，， ∴和具有性质， 如图所示，分别以、为对角线作的两个正方形没有公共部分，即不存在点P能同时使得，，，， ∴和不具有性质， 综上：，和具有性质． 故答案为：，． （2）解：①如图所示，以为边作等边和等边，以为边作等边和等边, ∴四边形是菱形，四边形是菱形， ， ， ∴菱形的内部及边界上的点P使得，菱形的内部及边界上的点P使得， ∴当两个菱形有公共部分时，和具有性质， 当点E刚好在边上时，过点C作轴，过点D作轴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，解得：， ∴当时，两个菱形有公共部分，和具有性质． 故答案为：． ②和具有性质，且不具有性质，即要两个菱形没有公共部分即可， 当刚好经过点H时，如图所示，由①得四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∴当时，两个菱形没有公共部分， 当刚好经过点E时，如图所示，由①得四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，， ∵，， ∴， ∴当时，两个菱形没有公共部分． 综上：当或，和具有性质，且不具有性质． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $